Понятие базиса. 
Свойства вектора в данном базисе

Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел — коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса мы сопоставим вектор, если составим линейную комбинацию:

.

Числа — называются компонентами (или координатами) вектора в данном базисе (записывается).

Теорема: При сложении двух векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Определение и свойства координат вектора на плоскости аналогичны. Вы легко можете сформулировать их самостоятельно.

Проекция вектора

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит р. Если один из векторов нулевой, то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой, то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина:

.

ц — угол между векторами (рис. 9).

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA₀.

Если угол ц острый проекция является положительной величиной, если угол ц тупой — проекция отрицательна, если угол ц прямой — проекция равна нулю.

При ортогональной проекции угол между отрезками OA₀ и AA₀ прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

1. Проекция суммы равна сумме проекций):

.

2. Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число:

.

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базиса на плоскости угол ц, тогда:

.

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами, и ортонормированного базиса в пространстве углы б, в, г, соответственно (рис. 11), тогда. Причем,.

.

Величины cosб, cosв, cosг называются направляющими косинусами вектора .