Медиана наблюдений (Хм)

Медианой Х_м называют наблюдаемое значение х, (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Медиана Х_м вычисляется по нижеприведённым формулам.

Если п — четное, то медиана рассчитывается по формуле:

Если /7 — нечетное, то по формуле:

Следует иметь в виду, что медиана Х_м является наиболее эффективной оценкой для симметричных экспоненциальных распределений, в которых контрэксцесс принадлежит интервалу 0 <^<0,45. Для класса распределений, близких к нормальному, с 0,45 <^<0,67 эффективными оценками являются средние арифметические X, Х_{Ш>-, Х_т, занимающие медианное положение.

Для распределений, близких к равномерному и арксинусоидальному, с 0,67 < х < 1 целесообразно использовать центр размаха X_л. Для двумодальных распределений с 0,67 < % < 1 — центр срединного размаха Х_с.

Медиана X_м является эффективной оценкой центра экспоненциальных пологоспадающих одномодальных распределений Лапласа с эксцессом ? > 3,8.

Срединный размах вариационного ряда

Центр срединного размаха X ^ определяют в зависимости от кратности членов ряда по ниже приведенным формулам.

При /?, кратном 4 находится по формуле:

При четном п находится по формуле:

При (п —1), кратном 4 находится по формуле:

При (п +1), кратном 4 находится по формуле:

Центр срединного размаха вариационного ряда (А^,_с) может быть определен также по формуле:

где *_0>25> *0.75−25% ^и 75%-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненные значения конкретных результатов наблюдений).

Для симметричных двумодальных распределений с эксцессом 1 < Б < 2,4 (например, композиция двух экспоненциальных распределений) эта оценка является эффективной.

Следует отметить, что обе квантильные оценки Хд, Х_м] являются защищенными от влияния промахов, поскольку они не зависят от координат промахов.

Центр размаха (хя)

Для ограниченных распределений (равномерных, треугольных, трапецеидальных и др.) эффективной оценкой центра распределения может служить центр размаха вариационного ряда, вычисляемый по формуле:

где х, х_п — крайние значения вариационного ряда.

Однако эта оценка очень чувствительна к результатам с грубой погрешностью, так как она определяется по наиболее удаленным от центра распределения результатам наблюдений, каковыми и являются промахи.

В условиях, когда отсутствуют сведения о законе и виде распределения за оценку центра Х_{ц р} рекомендуется принимать медиану оценок X, Х₀₉, Х_м

Х_с(х_я), Х_р, расположенных в вариационный ряд.