Второй замечательный предел

I V.

Теорема 8.6. Предел функции /(*)= 1+ — при л* —> существует и равен е.

^х)

( 1Y.

Доказательство. Как известно, lim 1+— равен е (п. 7.3.3). Сначала докажем.

" «Ч ^п)

теорему для х > 1. Возьмем п — [х] — целая часть от числа х> тогда х = п + а, О < а < I. Поскольку п й х < п + 1, то 1/(я + I) < /х < /п и тогда (1 + 1/(л + 1) У < < (I + 1 fxY ^ (1 + I/п)" * *. Мы получили ограничения на функцию сверху и снизу; для применения теоремы 8.4 нужно вычислить пределы этих ограничений. Так как при х -" о© целая переменная /!-><�", предел ограничения справа:

Аналогично вычисляется и предел ограничения слева:

Отсюда по теореме 8.4 получаем утверждение теоремы при .v -> +":

Для случая х —" -<�" положим х = -у. Получаем:

Число е является одной из фундаментальных величин в математике. Показательная функция типа с^ах называется экспонентой, логарифм с основанием е называется натуральным и обозначается символом In, в теории вероятностей и статистике функция е'^х является основополагающей.

Второй замечательный предел (8.14) широко применяется для вычисления других пределов. Рассмотрим примеры его применения.

Пример 4. Найти lim (I + .v)^l/jf.

дг —? О Применим здесь замену переменной, полагая /х = у. Тогда у °о при лг —> О, т. е. имеем:

Пример 5. Найти lim (1 + 2/х)^х.

Л —*®>

Заменим переменную, положив х = 2у. При х —" оо и у —" оо, откуда.

Пример 6. Найти lim (log_a(l + х)/х).

JC —* О Преобразуем дробь под знаком предела:

Объединяя оба случая, получаем окончательно утверждение теоремы: