Разностная сетка для трёхмерных задач

Запишем трёхмерное дифференциальное уравнение параболического типа, не содержащее первых производных по координатам х_у у и 2, в следующем общем виде:

Уравнение (9.1) должно быть дополнено начальным и двумя граничными условиями по каждой из пространственных координат (для определённости будем рассматривать граничные условия 1-го рода):

Пусть для независимых переменных заданы следующие интервалы их изменения:

Разбивая каждый из этих интервалов на некоторое количество равных частей (по аналогии с тем, как это было сделано в разделе 2.3.1 для случая двух независимых переменных), Получим разностную сетку, которая в данном случае будет четырёхмерной. Введём следующие обозначения:

п — порядковый номер точки деления по оси t; j — порядковый номер точки деления по оси х; k — порядковый номер точки деления по оси у; т — порядковый номер точки деления по оси г;

/^w+1 —tⁿ = At — величина интервала между точками по оси t; Xj_+i —Xj = Ах = h_x — величина интервала между точками по оси х;

— у_к = Ay = h_y — величина интервала между точками по оси у;

Z_m+1 — Z _т = Az = h_z — величина интервала между точками по оси г;

и (/^я, x_j9 у_к9 Z_m) = и" _{к т} — значение функции u{t, х, у, г), соответствующее точкам tⁿу Xj, у_к, Z_ml

f (tⁿ, Xj, y_kyZ_m) — fj_ykttn — значение функции f (t_tx, y, г), соответствующее точкам tⁿу Xj, у_к, z_т.

Введём нумерацию точек разностной сетки по каждой из осей следующим образом:

по оси г- п = 0, 1, 2, М;

по оси д: — у* 1, 2, 3,…" по оси у- k = 1, 2, 3, N; по оси гт — 1, 2, 3,…"У/.

Тогда значения переменных t, х₉ у и гв точках разностной сетки будут определяться согласно следующему правилу: