Преобразование графиков функций

Преобразование графиков функций

В этой статье я познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции .

Линейным преобразованием функции называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду, а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.

Определения порядка преобразований.

Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию.

В ее основе лежит функция. Назовем ее базовой функцией. При построении графика функции мы совершаем преобразования графика базовой функции. Если бы мы совершали преобразования функции в том же порядке, в каком находили ее значение при определенном значении аргумента, то сначала мы бы нашли значение выражения, стоящего под знаком корня:. Обозначим это выражение. Назовем преобразование внутренним преобразованием, или преобразованием аргумента, затем мы бы нашли значение базовой функции в этой точке: .

После этого мы бы совершили преобразование самой функции:. Назовем его внешним преобразованием, или преобразованием функции.

Рассмотрим, какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

• 1. f (x) f (x+b).
• 1. Строим график функции .
• 2. Сдвигаем график функции вдоль оси ОХ на |b| единиц.

влево, если b>0.

вправо, если b<0.

Построим график функции .

• 1. Строим график функции .
• 2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

• 2. f (x) f (kx).
• 1. Строим график функции .
• 2. Абсциссы точек графика делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции .

• 1. Строим график функции
• 2. Все абсциссы точек графика делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

• 3. f (x) f (-x).
• 1. Строим график фунции .
• 2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

Построим график функции .

• 1. Строим график функции .
• 2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

• 4. f (x) f (|x|)
• 1. Строим график функции .
• 2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY. Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции выглядит так:

Построим график функции .

1. Строим график функции (это график функции, смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

• 1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ.
• 2. Все преобразования аргумента совершаются «наоборот» и «в обратном порядке».

Например, в функции последовательность преобразований аргумента такая:

• 1. Берем модуль от х.
• 2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. — сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы «наоборот»).

Затем выполнили преобразование f (x) f (|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования совершаются.

• 1. Вдоль оси OY.
• 2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

• 1. f (x)f (x)+D.
• 1. Строим график функции y=f (x).
• 2. Смещаем его вдоль оси OY на |D| единиц.

вверх, если D>0.

вниз, если D<0.

Построим график функции .

• 1. Строим график функции .
• 2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

• 2. f (x)Af (x).
• 1. Строим график функции y=f (x).
• 2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

Построим график функции .

• 1. Построим график функции .
• 2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

• 3. f (x)-f (x).
• 1. Строим график функции y=f (x).
• 2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

Построим график функции .

• 1. Строим график функции .
• 2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

• 4. f (x)|f (x)|.
• 1. Строим график функции y=f (x).
• 2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции .

1. Строим график функции. Он получается смещением графика функции вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

y=f (x) |y|=f (x).

• 1. Строим график функции y=f (x).
• 2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции .

1. Строим график функции :

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

линейный модуль аргумент ось координата.