Определение касательного напряжения трения

Для расчета коэффициентов переноса в теплои массообменных аппаратах различных конструкций необходимо определить среднее значение касательного напряжения на стенке (или динамической скорости), где — плотность среды, кг/м3.

Рассмотрим общий метод определения касательного напряжения трения (локального потока импульса) на стенке — поверхности обтекаемого тела. Пусть ось направлена по нормали к стенке. В этом случае касательное напряжение на ось в любой точке пограничного слоя будет определяться по известному выражению с учетом молекулярного и турбулентного переноса где.

 — динамическая молекулярная и турбулентная вязкость, Па· с;

 — коэффициенты кинематической молекулярной и турбулентной вязкости, м2/с;

— градиент скорости.

Касательное напряжение на стенке, то есть при, может быть выражено, используя уравнение импульсоотдачи (потока импульса) в виде:

где.

— коэффициент переноса импульса (импульсоотдачи), м/с;

 — скорость в ядре потока и на стенке, м/с.

В уравнении (2) учитывая условие прилипания, имеем .

В литературе [8] имеет размерность кг/(м2· с). Однако, как показано ниже удобнее использовать размерность — м/с.

Еще в середине XIX столетия изучением процесса трения в трубах занимались сначала Дарси, а потом Фаннинг, которые и ввели понятие о коэффициенте трения:

при, где — средняя скорость потока, м/с.

Комплекс (3) соответствует критерию Стантона для потока теплоты и критерию Стантона для потока компонента при массообмене.

Полный поток импульса (сила) в единицу времени, который переходит от среды к стенке, записывается в виде:

где.

— площадь поверхности канала (тела), м2.

Аналогично записываются потоки массы компонента и теплоты:

где.

 — коэффициенты массоотдачи и теплоотдачи;

 — движущие силы соответствующих процессов.

Размерности — Вт (м2· К), а зависит от способа выражения концентрации компонента. Если — кг/м3, то — м/с. Чтобы получить размерность м/с, то надо разделить на, где — удельная теплоемкость, Дж/(кг· К).

При полной гидродинамической аналогии (аналогия Рейнольдса) коэффициенты переноса, приведенные к одинаковой размерности, равны При используются различные модификации гидродинамической аналогии [3, 7−9], где , — числа Шмидта и Прандтля.

При использовании любых модификаций гидродинамической аналогии необходимо вычисление или экспериментальное определение коэффициента трения (3), который связан с касательным напряжением (или динамической скоростью трения).

Например, для трубы динамическую скорость можно определить из уравнения баланса сил где.

— перепад давления канала, Па;

— площадь поперечного сечения, м2;

— поверхность канала, м2;

— коэффициент гидравлического сопротивления;

записано в форме выражения Дарси-Вейсбаха.

Для пластины из выражения (3) имеем:

Из (9) и (10) следует связь .

Запишем значение динамической скорости, используя выражение (2).

Рассмотрим подход определения коэффициента переноса импульса [3,7].

Введем относительный поток импульса. Тогда из выражения (1) запишем где.

— толщина гидродинамического пограничного слоя, м.

Сравнивая (12) и (2) приходим к следующему выражению для определения коэффициента импульсоотдачи Выражение (13) является достаточно общим и позволяет рассчитать коэффициент переноса импульса на основе известного коэффициента молекулярной вязкости, а также известного характера изменения коэффициента турбулентной вязкости и относительного потока импульса в пограничном слое. Применение выражения (13) рассмотрено ниже.

В тех случаях, когда значения или неизвестны (например, в аппаратах с вводом внешней энергии в контактирующие фазы), находит применение подход вычисления динамической скорости, с использованием средней диссипируемой энергии в единице объема среды [3, 5−7,10−12].

В общем случае для несжимаемой жидкости количество диссипирующейся энергии, т. е. количество механической энергии, превращающейся в тепловую, отнесенное к единице времени и единице объема, определяется по выражению:

где.

— динамическая вязкость, Па· с;

, — пространственные координаты, м;

, — составляющие вектора скорости среды по соответствующим координатам, м/с.

Применение данного выражения для прикладных расчетов сопряжено со значительными трудностями, поэтому скорость диссипации энергии в жидкости, обусловленной вязкостью, при градиенте скорости записывают в виде [13].

где.

— плотность потока энергии, ;

• — касательное напряжение, Па;
• — скорость среды, м/с;
• — поперечная координата, м.

Ниже рассмотрены различные примеры применения выражения (15) для расчета касательного напряжения (и динамической скорости) при ламинарном и турбулентном режимах.