Вихрь. 
Потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости

Если мнимое, то и.

(42).

поэтому.

(43).

где — вещественное число.

Тогда и, а уравнения линий тока и эквипотенциалей.

и (рис. 5). (44).

Составляющие скорости.

и (45).

Циркуляция вдоль замкнутой линии

или, (46).

. (47).

Комплексный потенциал потока с циркуляцией равен.

. (48).

Рис. 5. Линии тока и эквипотенциали вихря

Величина скорости.

. (49).

Движение соответствует циркуляционному потоку вокруг вихревой нити.

Диполь

Комплексный потенциал.

(50).

после подстановки даст

(51).

и. (52).

Линии тока и эквипотенциали.

;. (53).

Это семейства окружностей с центрами, расположенными на оси и .

Рис. 6. Диполь

Обтекание круглого цилиндра

Комплексный потенциал, включающий сумму потенциалов плоскопараллельного оси Х потока и диполя, можно записать.

(54).

Отделив мнимую и вещественную части запишем из.

(55).

Выражения для потенциала скорости и функции тока с учетом.

(57).

Следовательно, уравнение линии тока будет или.

(58).

Нулевая линия тока задается двумя уравнениями.

(59).

Второе уравнение представляет собой окружность радиуса.

(60).

с центром в начале координат. Первое соответствует оси абсцисс (рис. 7).

Рис. 7. Линии тока при обтекании круглого цилиндра

Рис. 8. Цилиндрические координаты (полярные в сечении)

Заменив нулевую линию тока твердой стенкой без изменения характера движения потока получим обтекание круглого цилиндра.

В цилиндрических координатах запишем равенства (рис. 8) и.

(61).

поэтому.

(62).

Проекции скорости будут

(63).

(64).

На поверхности цилиндра, а (65).

Точки, в которых скорость равна нулю при обтекании цилиндра, соответствуют и Максимальные значения скоростей соответствуют и.

Из уравнения Бернулли для нулевой линии тока получим.

(68).

где p — давление в любой точке на поверхности цилиндра.

Вводя коэффициент давления.

(69).

и подставляя.

Получим.

(70).

Поэтому.

(71).

Рис. 9. Распределение коэффициента давления

Обтекание реальной жидкостью круглого цилиндра ведет к несимметричному распределению давления. Вид кривой распределения давления зависит от числа Рейнольдса Re.

Проекции сил давления, действующего на элементарную площадку (единичной длины) будут равны:

(72).

Поскольку.

(73).

(74).

(75).

Учитывая

и (76).

получим.

Аналогично доказывается, что и.

Отсутствие силы сопротивления для тел, независимо от их формы, обтекаемых потоком идеальной жидкости, в гидродинамике называется парадоксом Даламбера.