Энергия и импульс электромагнитной волны

Пусть волна распространяется вдоль оси х. Выберем достаточно малый объем в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рис. 10.7. В этом объеме поле имеет структуру, описанную в п. 10.2.1. Пусть d — толщина слоя, S— площадь. В объеме V=Sd содержится энергия.

Обратите внимание на то, что в силу (10.17) энергия электрического и магнитного полей одинакова. Рассматриваемый объем.

Рис. 10.7.

в

Рис. 10.8.

движется со скоростью с и пересекает площадку S за время Д1 = d/c, так что за единицу времени через единицу площади протекает энергия.

Величина Р называется плотностью потока энергии (применительно к свету эта величина называется интенсивностью).

Этот же объем обладает массой т = W/c¹ и импульсом р = тс — IV/c. Энергия синусоидальной волны, заключенная в цилиндре длиной А. и сечением S (рис. 10.8), равна.

X.

W = |Е₀ЕdV = 5е₀?₀²[sin² кх dx.

V О Для интеграла имеем:

и энергия будет равна.

Таким образом, средняя объемная плотность энергии для синусоидальной волны.

Задача 10.3. Найти среднюю объемную плотность энергии для рассмотренной в предыдущем пункте волны (типичные параметры в радиовещании).

Решение. Средняя объемная плотность энергии и плотность потока энергии

Задача 10.4. Интенсивность солнечного света на Земле порядка 1,4 • 10^! Вт/м². Какова средняя напряженность (Е) электрического поля в потоке солнечного света?

Решение. Из формулы (10.24) получаем (Е) = (Р/се₀)^,/2 = 5,3? 10² В/м.

Плотность потока энергии представляется вектором Пойнтинга Р = Рп, где п — единичный вектор в направлении распространения волны, так что поток энергии через площадку d.5 равен PdS. Этот вектор уже фигурировал у нас в п. 1.2.10 при обсуждении закона сохранения энергии. Напомним этот закон:

где Р = Ё х Н. Здесь первое слагаемое слева — скорость изменения энергии в объеме V, второе — поток вектора Р через границу объема V, в правой части — мощность, выделяемая в объеме V.

Если энергия поля в объеме V не меняется или пренебрежимо мала, уравнение (10.27) дает.

Если J j? Ё d V >0, энергия втекает в объем и превращается в другие.

V

виды энергии (ср. с п. 9.3.2). Например, если поверхность S охватывает работающий электромотор, величина j> Р • d.9 будет равна мощности,.

S

развиваемой мотором плюс мощность потерь внутри поверхности S. Электрическая энергия не передается по проводам, она течет в пустом пространстве, и этот поток определяется вектором Р.

Задача 10.5. Рассмотрим двухпроводную линию в виде коаксиального кабеля (рис. 10.9). Будем считать, что сопротивление самого кабеля пренебрежимо мало и все падение потенциала происходит на нагрузке. Найти мощность, вектор Пойнтинга.

Рис. 10.9.

Решение. Разность потенциалов между внутренним и наружным цилиндрами равна U, таким образом, U = IR. Электрическое поле такой системы рассмотрено в п. 7.3.2, магнитное — в п. 8.1.1. Для вектора Пойнтинга получаем.

он направлен вдоль цилиндров в сторону нагрузки. Вектор Р отличен от нуля в области R_t < г < R₂, и полный поток энергии через поперечное сечение этой линии равен.

т. е. энергия течет в пространстве между цилиндрами, и поток энергии равен мощности, выделяемой на нагрузке.

Возникает законный вопрос — зачем тогда провода? Ответ прост: провода нужны для формирования полей нужной конфигурации. Довольно удивительно, конечно, что как бы ни располагались провода, ведущие от источника тока к потребителю, возникают поля, устроенные надлежащим образом, и энергия течет куда надо. Не может ли быть так, что часть энергии минует потребителя и уйдет в пространство? При стационарных токах — не может, при переменных — не только может, но и уходит в виде электромагнитного излучения, и эти потери тем больше, чем выше частота тока.

Для электромагнитной волны вычисление Р = Ёх Н даст результат (10.24).

Задача 10.6. Оценить напряженность электрического поля в волне на расстоянии 100 м от передатчика мощностью 0,1 Вт.

Решение. Будем считать, что излучение изотропно (одинаково по всем направлениям). На самом деле это не так, но оценка по порядку величины от этого не пострадает. Формула (10.28) дает.

где N — мощность передатчика; S — поверхность, охватывающая передатчик. Пусть S — сфера радиусом г.

Имеем:

откуда Р (г) = N/4nr². Таким образом, мы нашли величину Р на расстоянии гот передатчика. Из (10.24) находим.

— это на порядок больше чувствительности бытового радиоприемника.