Сложение и вычитание

Пусть отрезки a, b, c таковы, что.

c= a+b

и при выбранной единице длины.

e a= е, b= e (рис.2).

тогда.

т.е. длина отрезка е выражается числом, которое целесообразно рассматривать, как сумму чисел 6/4 и 7/4 .

Определение: Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n и p/n, то суммой чисел a и b называется число, представляемое дробью m+p/n .

Если положительные рациональные числа представлены дробями с разными знаменателями, то эти дроби приводят к НОЗ, а потом складывают по правилу (1). Например: 5/12+2/15=25/60+8/60=25+8/60=33/60=11/20 .

Сумма любых двух положительных чисел существует и единственна. Сложение положительных рациональных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:

a+b=b+a

для любых

a, b, Q+ (a+b)+c = a+(b+c)

для любых a, b, c Q+

Различают правильные и неправильные дроби. Дробь называют правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.

Пусть m/n — неправильная дробь. Тогда m n. Если m кратно n, то в этом случае дробь m/n является записью натурального числа. Например, если дана дробь 15/3, то 15/3 =5. Если число m не кратно n, то разделим m на n с остатком:

m=nq+r,.

где r. Поставим nq+r вместо m в дробь m/n и применим правило (1):

Поскольку r < n, то дробь r/n правильная => дробь m/n оказалась представлена в виде суммы натурального числа q и правильной дроби r/n. Это действие называют выделением целой части из неправильной дроби. Например, 13/4=4*3+¼=4*¾+¼=3+¼. Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е вместо 3+¼ пишут 3 ¼ и называют такую запись смешанным числом.

Рассмотрим вычитание положительных рациональных чисел.

Определениe Разностью положительных рациональных чисел a и b называется такое положительное рациональное число c, что

a=b+c

Понятие разности определено, а как практически из одного положительного рационального числа вычесть другое?

Пусть.

a=m/n, b=p/n,

а разность а-b пусть представляется дробью x/n. Найти x. По определению разности.

m/n=p/n+x/n,

а по правилу (1)

p/n+x/n=p+x/n.

Таким образом,.

m=p+x,

но m, p и x _числа натуральные, а для них эта запись означает, что.

x=m-p.

Приходим к следующему правилу: