Вывод формул для расчета нетто-взносов на примере программы страхования «Дожитие с возвратом взносов»

Суть программы страхования: в договоре такого типа устанавливается страховая сумма по дожитию, а вот выплата по случаям смерти равна сумме уплаченных на момент смерти взносов. Если договор страхования оплачен единовременным взносом, то в случае смерти выгодоприобретатель получит ровно один единовременный взнос. Если взносы уплачивались в рассрочку, то выплата по смерти будет зависеть от года страхования, в котором наступила смерть.

Необходимо отметить, что название «Дожитие с возвратом взносов» — это коммерческое название программы страхования. Строго говоря, никакие взносы не возвращаются, а происходит выплата страховой суммы в размере уплаченных на момент смерти взносов. Таким образом, мы имеем дело с вариантом смешанного страхования жизни, где страховая сумма по дожитию и смерти не совпадают.

Единовременный взнос. Обозначаем данный взнос как G, тогда страховые выплаты, возникающие в данном варианте программы, схематично можно изобразить как рис. 1.1.

Рис. 1.1. Выплаты в договоре страхования на дожитие с возвратом взносов. Единовременный взнос.

На рис. 1.1 видно, что выплата по смерти равна G независимо от года страхования. Возникает данная выплата на протяжении действия договора страхования с определенной вероятностью, которая будет определена ниже, в зависимости от страхового года. Выплата по дожитию S производится в конце действия договора с вероятностью , j)_x. Ожидаемая современная стоимость (ОСС) выплаты по дожитию (пользуясь формулой для данного вида покрытия из предыдущего параграфа):

Сформируем ОСС по случаям смерти.

Если смерть происходит на первом страховом (полисном) году, страховая компания выплатит Gq_xv, т. е. единовременный взнос (он и есть все уплаченные на момент смерти взносы) с учетом вероятности умереть лицу в возрасте х и дисконтирования.

На втором полисном году ожидаемая выплата по смерти составит Gp_xq_x+1v². Здесь уже необходимо учитывать, что застрахованное лицо доживает до второго полисного года. Это обусловливает появление в формуле р_х — вероятности лицу в возрасте х прожить один год. Дисконтирование производится за два года. Сумма уплаченных на момент смерти взносов по-прежнему G — взнос единовременный.

Суммируя ОСС выплат по случаям смерти за 1-й и 2-й полисные годы, получаем ОСС выплат за два первых года: Gq_xv + + Gp_xq_x+lv² — смерть может наступить либо на первом, либо на втором страховом году.

Получим ОСС выплат по смерти за третий полисный год, а именно G₂p_xq_x+2v³. Как и формула для второго года, данное выражение имеет четкую логическую структуру — выплата в размере G происходит с вероятностью q_x+2 при условии, что застрахованное лицо доживает до третьего полисного года (за это отвечает вероятность ₂Р_х), дисконтирование за три года. И всего по трем полисным годам: Gq_xv + Gp_xq_x+lv² + G2p_xq_x+2v³ (либо в первый год, либо во второй год, либо в третий год).

Соблюдая описанную логику, можно получить ОСС выплат по случаям смерти за весь срок действия договора страхования: Gq_xv + Gp_xq_x+-_lv² + G^q^v² + … + G_n__}p_xq_x+n__}v’K Вынося в данном выражении G за скобки и учитывая, что ₀р_х = 1, q)_x = = р_х, можно получить краткую запись:

п-1

где X jPx4j^vi+1 — ^не что иное как д* ^ — единовременная еди- 1=о ничная нетто-ставка для страхования жизни на срок.

Чтобы получить нетто-взнос, записываем уравнение эквивалентности обязательств страховщика и страхователя:

где Р = G (1 -/).

Тогда.

И сразу можно получить формулу для брутто-взноса:

Договор страхования на дожитие с возвратом взносов относится к такому типу договоров, когда невозможно напрямую из уравнения эквивалентности обязательств получить размер нетто-взноса. Здесь мы выводим формулу для брутто-взноса, затем, применяя правило Р = G (1 — /), рассчитываем нетто-взнос:

Рассроченные взносы, срок уплаты взносов совпадает со сроком страхования. Схематично выплаты для этого случая изображены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Выплаты в договоре страхования на дожитие с возвратом взносов. Рассроченные взносы. Срок уплаты взносов совпадает со сроком страхования.

ОСС выплаты по дожитию здесь точно такая же, как и в случае для единовременного взноса: _np_xvⁿS = _nE_xS, так как принципы выплаты по дожитию не изменяются. А вот схема выплат по случаям смерти будет немного другая, что хорошо видно на рис. 1.2.

В первый полисный год сумма уплаченных на момент смерти взносов составляет G и ОСС выплат Gq_xv.

Во второй год в случае смерти застрахованного лица страховщик выплатит уже 2G, тогда ОСС выплаты 2Gp_xq_{x + 1}v². Третий год выплата и ОСС выплаты соответственно 3G и 3G₂p_xq_x+2^v3- По аналогии могут быть получены формулы для всех остальных полисных лет. Просуммировав и сделав преобразования, получим ОСС выплат по случаям смерти за весь срок страхования:

В случае единовременного взноса ОСС взносов была равна Р, так как один взнос уплачивался в начале договора страхования. Для рассроченной уплаты взносов, очевидно, ОСС взносов будет другая, чем для единовременного взноса. Представим это на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Поступление нетто-взносов в договоре страхования на дожитие с возвратом взносов. Рассроченные взносы. Срок уплаты взносов совпадает со сроком страхования.

Итак, в начале первого полисного года страховая компания получит нетто-взнос Р. Это и есть ОСС страховых взносов за первый год, так как взносы уплачиваются в начале года, а в первом году клиент жив, здоров, находится в офисе страховщика. Поэтому вероятность уплаты этого взноса равна 1, дисконтирование на момент 0 не требуется.

Второй полисный год. Страховщик получает второй неттовзнос Р при условии, что клиент доживает до начала второго года. Таким образом, требуется учесть вероятность р_х и продисконтировать на момент 0 при помощи v. Тогда за второй год Pp_xv и за два года Р + Pp_vv.

Далее логическая структура должна быть понятна: неттовзнос —> вероятность дожития —> дисконтирование, и за весь срок страхования получаем ОСС нетто-взносов: Р + Pp_xv + + P?p_xv² + … + Р_п — jp_xvⁿ ~ ¹ — всего п слагаемых по одному на каждый взнос для рассматриваемого примера. Выносим Р за скобки, учитываем ₀р_х = 1,₁р_х = р_х, получаем.

Теперь запишем уравнение эквивалентности обязательств: где заменим Р = G (1 —f) и получим

Как и в случае с единовременным взносом, здесь также невозможно вывести напрямую формулу для нетто-взноса. Поэтому определяем брутто-взнос, затем освобождаем его от нагрузки и получаем нетто-взнос:

Рассроченные взносы, период уплаты взносов меньше срока страхования. Рассмотрим третий, самый сложный вариант договора страхования на дожитие с возвратом взносов. Периодичность уплаты взносов — рассроченная, период уплаты взносов меньше срока страхования. Схема выплат представлена на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Выплаты в договоре страхования на дожитие с возвратом взносов. Рассроченные взносы. Срок уплаты взносов меньше срока страхования.

Здесь для простоты рассмотрен договор на семь лет, с периодом уплаты взносов 4 года. Далее будет произведено обобщение для любого срока страхования п и периода уплаты взносов к.

ОСС выплаты по дожитию остается без изменений относительно двух предыдущих случаев и с учетом конкретных цифр ₇p_xv⁷S = ₇E_xS, подход к формированию ОСС выплат по случаям смерти и ОСС взносов будет другой, что видно на рис. 1.4.

Пользуясь алгоритмом составления формулы для ОСС выплат по случаям смерти, который был рассмотрен в двух предыдущих вариантах, и используя схему выплат, представленную на рис. 1.4, получим указанную ОСС сразу за весь срок договора страхования:

Данная сумма слагаемых не может быть «свернута» в (М)^, так как начиная с момента 4 коэффициент перед G фиксируется. Чтобы привести формулу в удобный вид в стандартной актуарной нотации, необходимо сделать преобразования.

Разбиваем одно выражение на два: первые четыре слагаемых (1) Gq_xv + 2Gp_xq_x+1v² +3G₂p_xq_x+2v³ + 4G₃p_xq_x+3v⁴ и последние три слагаемых (2) 4G₄p_xq_x+4v^s+ 4G₅p_xq_x+5v⁶+ 4G₆p_xq_x+6v⁷.

Видим, что (1) может быть представлено в виде G (M)^. Остается преобразовать (2).

Из курса актуарной математики известны следующие закономерности:

где х, t, и, п е N.

Тогда применительно к нашему примеру С учетом этого вынесем в (2) за скобки 4G₄Pj, v⁴, получим.

Очевидно, что выражение, которое стоит в скобках, — это ^v+4-з!' ^а 4G₄Рх^у4 ~ 4G₄E_x. Таким образом, собираем ОСС выплат по случаям смерти:

Поясним данный результат. На этапе уплаты взносов (с первого по четвертый годы) страховая сумма по случаям смерти увеличивается согласно условиям договора страхования (возврат взносов), а именно на первом году — один взнос, на втором году — два взноса и т. д. Таким образом, имеем страхование на случай смерти с возрастающей суммой, которое описывается как G (M)^ti. Далее по окончании уплаты взносов (с пятого по седьмой годы) страховая сумма становится постоянной, так как взносы больше страхователем не уплачиваются, а их сумма равна 4G. Это страхование на случай смерти с постоянной страховой суммой 4GA* j|. Однако ОСС данных выплат отстоит от начала договора страхования на 4 года, поэтому 4GAi₊₄^| необходимо продисконтировать к моменту 0 с учетом того, что застрахованное лицо доживет до возраста х + 4. Таким образом, в формуле появляется множитель ₄Е_Х.

Для нахождения ОСС взносов нетрудно будет проделать все выкладки, которые производились для предыдущего варианта договора, и получить G (l-/)a т]. Стоит обратить внимание на то, что к моменту 0 приводятся взносы не в количестве 7, т. е. не за весь период страхования, а в количестве 4 — ровно столько, сколько должно быть уплачено по договору страхования.

Выпишем уравнение эквивалентности обязательств.

откуда находим G:

Аналогичные выкладки можно провести для любого срока страхования п и любого периода уплаты взносов к < п. Поэтому в общем виде формулу можно переписать следующим образом:

Контрольные вопросы и задания

• 1. Какие выплаты производятся по программе «Смешанное страхование жизни»?
• 2. Укажите ключевое отличие программы «Страхование жизни на срок» от программы «Страхование к сроку».
• 3. Укажите ключевое отличие программы «Страхование к сроку» от программы «Смешанное страхование жизни».
• 4. В чем суть программы «Кредитное страхование жизни»?
• 5. Чем программа «Кредитное страхование жизни» отличается от программы «Страхование жизни на срок»?
• 6. Чем программа «Страхование на дожитие» отличается от программы «Страхование жизни на срок»?
• 7. Чем программа «Пожизненное страхование» отличается от страхования пенсии (ренты)?
• 8. Что такое тарифный базис?
• 9. Перечислите по крайней мере три параметра, которые могут составлять тарифный базис.