Построение модельного уравнения линейной регрессии для сгруппированных данных

Цель работы: овладение способами построения моделей линейной регрессии для сгруппированных данных по методу наименьших квадратов и с использованием коэффициента линейной корреляции, выработка умения и навыков оценки надежности уравнения регрессии и его коэффициентов.

Содержание работы: по опытным данным требуется:

• 1. Построить корреляционное поле. По характеру расположения точек в корреляционном поле выбрать общий вид регрессии.
• 2. Написать уравнение линейной регрессии y на x по методу наименьших квадратов и с использованием коэффициента корреляции. Сравнить полученные уравнения и сделать вывод о выборе одного из них.
• 3. Оценить тесноту связи между признаками X и Y с помощью выборочного коэффициента корреляции и его значимость.
• 4. Проверить адекватность модельного уравнения регрессии на, записанного через коэффициент корреляции .
• 5. Проверить надежность уравнения регрессии y на x, записанного через коэффициент корреляции и его коэффициентов.
• 6. Построить уравнения регрессий в первоначальной системе координат.

Задача. Фонтанную скважину исследовали на приток Y нефти. При различных режимах работы с замерами забойных давлений X глубинным манометром. Данные замеров приведены в корреляционной таблице 1:

Выполнение работы Пусть признак X характеризует изменение забойного давления, а признак Y изменение объема притока нефти. Используя данные табл. 11, строим корреляционное поле (рис. 1).

Рис. 1 Корреляционное поле

Проведя линию тренда (черная линия), видим, что число точек, расположенных над и под ней, практически одинаково, причем расстояния этих точек до линии тренда одинаковые. Это дает основание предположить наличие линейной зависимости между признаками X и Y. Для подтверждения этой гипотезы перейдем от данного распределения к новому, найдя для каждого значения признак X условное среднее признака Y по формуле:

.

При, .

При, .

При ,.

При ,.

При ,.

При ,.

При ,.

При, .

При, .

Строим точки с координатами (рис. 2).

Рис. 2.

Из рис. видно, что отклонения точек от построенной прямой незначительны. Следовательно, связь между признаками и может носить линейный характер. Составим уравнения линий регрессий y на x по методу наименьших квадратов и через коэффициент линейной корреляции .

Применим метод наименьших квадратов к нахождению коэффициентов и уравнения линейной регрессии.

.

Решаем систему нормальных уравнений.

Для нахождения сумм, входящих в систему, составляем табл.

Полученная из табл. система.

имеет решение (а0, а1) = (-2,7645; 0,108). Тогда уравнение линейной регрессии запишется в виде:

Найдем уравнение линейной регрессии y на x по формуле, используя коэффициент линейной корреляции:

.

Так как данные выборки для признаков X и Y заданы в виде корреляционной таблицы и объем выборки, то для нахождения величин, входящих в уравнение регрессии, переходим к вспомогательному распределению с условными вариантами и. По корреляционной табл. 11 находим наибольшую частоту совместного появления признаков X и Y:. Тогда сгруппированный линейный регрессия корреляция.

, , .

Составляем корреляционную табл. 13 в условных вариантах.

Корреляционная таблица в условных вариантах.

По табл. 13 находим:

.

.

.

Тогда.

.

.

Для нахождения суммы составляем табл. 14.

Тогда, согласно (56), (58),.

.

.

.

.

.

Отсюда и из (47), (48) следуют уравнение линии регрессии y на х:

.

или.

.

и уравнение линии регрессии x на y:

.

или.

.

Проверяем тесноту связи между признаками X и Y. Для этого, используя критерий Стьюдента, вычисляем статистику.

.

При уровне значимости и числе степеней свободы.

находим по таблице распределения Стьюдента.

.

Так как, то выборочный коэффициент линейной корреляции значимо отличается от нуля. Следовательно, можно считать, что изменение притока нефти и изменение забойного давления связаны линейной корреляционной зависимостью. Дадим интерпретацию, например, уравнению регрессии y на x. Из уравнения регрессии видно, что при изменении забйного давления, например, на 10 атм на забое, изменение притока составит. Это результат воздействия отклонений при изменении забойного давления. Фактически изменение притока может составить, что является результатом воздействия неучтенных в модели факторов, не зависящих отдаления. Проверим полученное уравнение регрессии y на x на адекватность по критерию Фишера-Снедекора. Вычислим статистику.

.

Составим расчетные табл.

11 -4,16 17,3056 12 -3,16 9,9856 13 -2,16 4,6656 14 -1,16 1,3456 15 -0,16 0,0256 16 0,84 0,7056 17 1,84 3,3856 18 2,84 8,0656 19 3,84 14,7456 11 -4,16 17,3056	10,543 -4,617 21,316 689 11,683 -3,477 12,89 529 12,823 -2,337 5,461 569 13,963 -1,197 1,432 809 15,103 -0,057 0,3 249 16,243 1,083 1,172 889 17,383 2,223 4,941 729 18,523 3,363 11,309 769 19,663 4,503 20,277 009

Находим.

.

По условию,. Тогда.

.

При уровне значимости и числах степеней свободы ,.

по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора находим. Так как, то модель линейной регрессии согласуется с опытными данными.