Закон больших чисел в банаховом пространстве

Одним из важнейших утверждений в теории вероятностей и, в частности, в теории вероятностных распределений в банаховых пространствах является закон больших чисел. Наряду с законом повторного логарифма и центральной предельной теоремой, закон больших чисел (з.б.ч.) в банаховых пространствах находит свое применение как в математической статистике так и в математической физике.

Первым утверждением такого рода является результат Я. Еер-нулли^опубликованный в «i Ars Conjectanoii 11 1713 r. j и относится к последовательности независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события одинакова. Следующим отметим результат Ф. Хаусдорфа (1913, [75]j сближающий з.б.ч. с другими предельными теоремами теории вероятностей в смысле нормировки: пусть Х^ «XA — независимые случайные величины (с.в.) имеющие распределение P{Xj = 11] = -i/Z, тогда.

P{ Um n’l? ZLXl «o) — i, (o.i) для любого 0< p < Z. В случае p — 1 соотношение (o.i) доказал Э. Борель (1909, [49]). Законченный вид этот результат получил в работе Марцинкевича и Зигмунда.

1937, [ЮО]). А именно соотношение (o.i) для независимых одинаково распределенных с. в. и некоторого 0 < р < Z выполняется тогда и только тогда когда конечен момент E|XJ^h ЕX±- = О при ¿-£р< Z. В случае р= 4 этот результат получен А. Н. Колмогоровым (1930,[93]|.

Более слабым чем соотношение (o.i) является утверждение.

Р{|11 XI >еп'И = 0, У?>о. (о.2) оО = 1 1 >

Об этом соотношении и лига речь в выше упомянутой книге Я. Бер-нулли. В случае р — 4 А. Н. Колмогоровым (1929, [91], ?92^, а в более общем случае В. Келлером^1937, доказано, что выражение (0.2] имеет место для независимых одинаково распределенных с.в. и некоторого 0 < р < 2, тогда и только тогда когда.

От аР[|Х<|>п'/рЬ* т п. при и р<2.(0.з) п-««» -а'Р.

Необходимые и достаточные условия для (0.2) выраженные через характеристическую функцию с.в. X содержатся в работах [б1| и [58] .

Другим направлением исследования з.б.ч. можно считать нахождение условий сходимости к нулю нормированной суммы относительно метрик. Так например в монографии Ревеса [П7], наряду с выше упомянутами видами сходимости, исследуется сходимость в среднем, т. е. сходимость средних арифметических значений в пространстве • Хорошо известно (см. например стр. 32 в [117]], что вообще говоря сходимость в среднем несравнима со сходимостью с вероятностью единица. В этом смысле интересным является результат Пайка и Бута [пб], утверждающий, что соотношение (ол) выполняется тогда и только тогда когда имеет место равенство.

Ьт Е а-^г: X- | Р = о. (0.4).

Я-*.

Здесь уместно привести аналогичную характеризацию соотношения (о.?) полученную в работе, А именно, равенство (0.2] эквивалентно таму, что т 5Ир РПгС'/Р21 XМ.

Л^оо * > О I 1 т. е. имеем сходимость в, так называемом, «слабом 1-р» пространстве.

Известно (см. [23] и [ю]^, что в случае разнораспределейных с.в. необходимые и достаточные условия для соотношения (о.^ немогут быть выражены только через моментные условия. Нахождению необходимых и достаточных условий в этом случае посвящены работы С. В. Нагаева [ю] и А. И. Мартикайнена |У|. Хорошо известным достаточным условием для соотношения (ол]при р = Л. является сходимость ряда.

— Е|х.|гг.

1= 1 ' для некоторого г > ± и Е X ^ = 0 для всех ?>1. Этот результат получен Ю. В. Прохоровым [22 ], а в частных случаях А. Н. Колмогоровым [9з]^для Iи Брунком [52] (для целых г) .

Следующим этапом в исследовании з.б.ч. является установление скорости сходимости, естественной мерой которого считается оценка скорости сходимости к нулю величины.

Существуют и другие методы измерения скорости сходимости (см. например работы [бо] ,[94], ?72], [бз] ,[2], [18]^. Классическими в — этой области сейчас стали результаты Баума и Каца, а также Хейди и Рохатги:

Теорема 0.1 [4б], [77]. Пусть 0 < .Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (Х-)-е следующие утверждения эквивалентны:

1) &-т а11 Р (|Х4|>а4/Р]=0 и выполняется соотношение (0.3) ;

2) Ьп^РЦЕХ.иел^ио.Уех".

Если г > 4 «то каждое из этих утверждений эквивалентно следующему g.

3) ?im |HPz:Xi >е]=0 V?>0.

П-«» 00 1 К ^ п ' l=i J }.

Теорема 0.2 [4б]. Пусть 0 < р<? , г ^ 1. Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (XjieifV следующие утверждения эквивалентны:

1) E|Xd|p*< и ЕХ4 = о пРи1йр<�г;

2)? a*-* P (|z: XL i > <оо v6> о .

П.— 4. 1 1 J.

Если г > 4 «т0 каждое из этих утверждений эквивалентно следующему ^ ?

3) П a*-zpSsap np2lXi >е]<^, Ve>0. arl ЦъЛ.

Теорема 0.3 [4б]. Пусть 0 < р < 2,. Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (Xi)ielN сле~ дующие утверждения эквивалентны:

1) EIXJP^+IX.I и ЕХ4 = О при р<�г ;

2) Р [2Z Xil > гЛ} <<*>, V е>0 — at д.

В случае р = 1 и ^ кг Бриллинджером [ol] доказана справедливость утверждения 2) в теореме 0.1 при условиях.

E|XJl<�°° и.

ЕХ 4 = 0. Сюй и Роббинс [84] доказали импликацию I) 2) в теореме 0.2 для р — i и г — Z, Зрдё-шем [б2],[бз] доказана эквивалентность этих утверждений, а Спицером [120] получен случай р = г 1. Обобщения изложенных результатов содержатся, начиная с той же статьи Хейди и Рохатги ?77], в работах Гренка и Хэнсона [бб], Хянсона и Райта [73], Рохатги [lI8j, Чэна [бб], В. В. Петрова [l9], [20], И.В.Широковой-Хрущевы [37], [зв], [зз], С. Х. Сираждинова и М.У.

Гафурова [б?], Хатори, Маима и Мори [7^, А. Гута £б5|, Л. В. Розовского — [2в]. Отметим также статью £ю] в которой содержится результат объединяющий теоремы 0.1 и 0.2 (см. также теорему 3.1.5 — первое число указывает главу, второе — параграф третье — номер утверждения в параграфев ссылках в пределах той же главы первое число отсутствуетаналогично нумеруются и формулы^.

В случае существования производящих функций моментов с.в. в невыраяденном интервале, скорость сходимости в з.б.ч. является экспоненциальной. Более точно следующий результат Баума, Каца и Рида, дополняющий теоремы 0.1 — 0.3, гласит:

Теорема 0.4 [45]. Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. следующие утверждения эквивалентны:

1) О 3 С и Т такие, что.

Л Ее**' 4 Се" -*1*1, /<�е[-Т, Т];

2) V е, > О 3 с и такие, что.

Одним из этапов исследования з.б.ч. является рассмотрение с.в. со значениями в пространстве Банаха. Такая постановка задачи не является только теоретическим обобщением. Обоснованием этого направления является работа Ю. В. Прохорова [21]. Примеры отдельных задач, решения которых следуют из результатов з.б.ч. и скорости сходимости в з.б.ч. для банаховозначных с.в., можно найти в работах Лая [98] и А. Кожэниовского [эб].

Для обсуждения известных результатов: и изложения содержания диссертации введем некоторые обозначения и понятия.

Всюду в дальнейшем (1 В, II • II) — вещественное сепарабель-ное пространство Банаха,, ?, Р) — вероятностное пространство, 10(1В) — множество сильно измеримых отображений X *. 521 В * называемых банаховозначными с.в. (|Вс.в.). В круге вопросов затрагиваемых в диссертации требование сепарабельности пространства и сильной измеримости 1Вс.в. не являются излишиш (по этому вопросу ом. например работу [и]). Распределением |Вс.в. X называется мера «£(Х/ на борелевс-кой б» -алгебре, определенная равенством.

Х)(А) = рох-'(А) = Р (Х'ЧА)).

Как обычно, 5 п обозначает сумму первых г членов последовательности независимых 1Е> -с.в. СX ^) се 1Ы • Если дополнительно выполняется равенство (X) = (У.^) для всех I ъ 1, то используется обозначение 5а (Х). Срезку 1Вс.в. X на уровне, а будем обозначать через.

X м = X • 1 I. ИХ II 6 а } и ХЬа^Х-ХГа!, здесь и в дальнейшем Ц р — индикатор множества Р. Е X означает среднее по Бохнеру. Предел.

А) ЕХ = «¿-т 5 ХМ Р (Лсо).

— Ь^ ьо ^ будем называть Аинтегралом. Если среднее по Бохнеру существует, то.

А)ЕХ = ЕХ. На протяжении всей работы будем рассматривать следующие множества 18 -с.в.:

Lp*(B) = {x"L.(IB): «XII f [MIyt)fj? lp (-.iib)s{x4,(b): ujfp{m>t)-o,.

L^(B)" fX"LM (B):.(A)EX-0 при для p? ^ ^ esa. Заметим, что Lpfp (lB>) = Lp (lB) — множеству классов 18-с.в., норма которых интегрируема в р-той степени. Это легко следует применяя интегрирование по частям. Введенные множества изоморфны соответственно подпространствам пространств Лоренца и Марцинкевича. Квазинормы в этих пространствах обычно определяются с помощью невозрастающей перестановки измеримой функции X.

Пространства Лоренца и Марцинкевича состоят из классов функций.

X для которых соответственно конечны величины 4.

ЬЩ.

0<-Ь где 0 < р, с^ < съо • В доказательстве леммы 2.1.9 мы пользуемся равенством квазинормы НХЦроо величине^0.6 ^^см. например стр. 17 монографии [з]^. Более исчерпывающую информацию об этих пространствах можно найти в работах [4в] и. Для упрощения формулирован утверждений введем еще следующие множества |В-с.в.:

А/|1−1Мр (|В") = {(Х-1)16м6Ц (1Вв>): Р-Ьп ИР 6а-о] - б шмр (в~) =((х-)ии?и (1в1: пм, и — имг (в" 1мд-={0Уи1 нч. ъ~Ь и* о] •.

Здесь ив^ип^Т^Пв^ЗОМ М и В^ 1 В для всех 1^-4. Пределы Ри п.н.-&па понимаются в смысле соотношений (0.2) и (ол) соответственно, только абсолютная величина заменена на норму пространства 1 В .

1 т означает сходимость в пространстве. Если дополнительно выполняются равенства о^(Х)-об (Х^) для всех I ^ 1, то будем использовать введенные обозначения заменив 1В>°° на 1Е> .

Перейдем к изложению результатов о з.б.ч. в пространствах Банаха. Первый результат в этом направлении получила Э. Мурье в [109]. А именно она доказала справедливость з.б.ч. А. Н. Колмогорова, т. е. равенство.

ЗИГМв) = !: (1Ь) в произвольном (сепарабельном) банаховом пространстве 1 В. В дальнейшем оказалось, что справедливость тех или иных фактов теории вероятностей тесно связано с геометрией бесконечномерного пространства. Впервые в связи с вопросами теории вероятностей для |В-с.в. условие на геометрию пространства Банаха наложено 8.%рье и Р. Форте [бб]. Позднее это условие было обобщено В. А. Войчинским [128], выделением пространств класса (0<с* ^ 1). А. Беком [47] получена полная характеризация банаховых пространств в которых выполняется «классический» з.б.ч. для разнораспределенных 1В-с.в. Впоследствии доказано [бз], что этот класс (В — выпуклых пространств) совпадает с классом иравномерно не пространств изученного Джеймсом. И. Хоф|>-манн-Йоргенсеном [?в] было введено понятие (радемахеровского) типа и котипа, которое вместе с устойчивым типом и котипом (введенным в изучалось Ж. Пизье и Б. Морей в [108]. Одним из результатов этой работы является вывод, что устойчивый тип I эквивалентен 6-выпуклости. И. Хоффманн-Йоргенсеном также доказано [79], что класс пространств совпадает с классом (Л* <х) -равномерно гладких пространств, которые характеризуют з.б.ч. для мартингалов (см. [п4] и ?[3^ |. Большое развитие получила также теория классов банаховых пространств связанных с устойчивыми мерами (см. работы [9], [шз], ^104^, [ю^ .

Появление столь большого числа разных классов пространств связанных с вероятностными распределениями в бесконечномерных пространствах, а также существование в функциональном анализе других классов (см. например обзорную статью [127]^, объясняет целесообразность используемого в названии первой главы словосочетания «вероятностная геометрия», В § 1 этой главы введено понятие типа (р, ? которое является естественным обобщением многих нам известных геометрических типов^см. определение 1.1.2 и замечания 1.1.3^. Основным результатом этого параграфа можно считать теорему 1.1.6, в которой получена характеризация пространств устойчивого типа в терминах радемахеровских с.в. Упомянутый результат позволяет сравнить пространства устойчивого типа с другими классами. Во втором параграфе доказаны геометрические свойства показывающие «внутреннее единство» класса пространств типа (р,?. Эти результаты совпадают с некоторыми из утверждений доказанных Д. П. Дкиси в [бв] для Ввыпуклых пространств и А. Г. Шангуа в [Зб] для В^-выпуклых пространств. В последнем параграфе первой главы содержится характеризация пространств типа (р, ъ через неравенства для сумм независимых НЗ-с.в. (см. теорему 1.3.4^. Эти неравенства являются основным средством установления связи геометрии банахова пространства с з.б.ч., а также скоростью сходимости в з.б.ч. и используются в последующих главах.

1.Азларов Т.А."Володин H.A. Законы’больших чисел для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин, — Теория вероятн. и ее примен., 1981, т. ХХУ1,вып.3,с.584−590.

2. Бенткус В. Ю., Паулаускас В.й. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для гауссовских смесей в бесконечномерных пространствах.-Лит.матем.сб., 1983, т. XXIII,№ I, с. 17−29.

3. Берг Й."Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства.

Введение

-Москва:Мир, 1980.

4. Лоэв М. Теория вероятностей.-Москва:ЙЛ, 1962.

5. Норвайша Р. О законе больших чисел, для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин.-Лит.матем.сб., 1983, т. XXIII,№ 3,с.100−109.

6. Норвайша Р. О скорости сходимости в слабом законе больших чисел в банаховом пространстве.-Лит.матем.сб., 1984, т. ХХ1У,№ I, с.131−139.

7. Норвайша Р. Закон больших чисел в банаховых пространствах.-В сб.:ХХ1У Конференция Литовского Математического Общества, Вильнюс, 22−23 июня 1983, Тезисы докладов, ИМК АН Лит. ССР, 1983, с.143−144.

8. Норвайша Р. Закон больших чисел для независимых случайных величин.-В сб.:ХХУ Конференция Литовского Математического Общества, Шяуляй, 14−15 июня 1984, Тезисы докладов, Вильнюс, 1984, с.208−209.

9. Норвайша Р. Закон больших «чисел для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин.-Лит.матем.сб., 1984, т. ХХ1У № 4,сЛ33−150.

10. Норвайша Р., Рачкаускас А. Закон больших чисел относительно квазинорм.-Лит, матем.сб., 1984, т. ХХ1У, Р 2, с.130−144.

11. Норвайша Р., Рачкаускас А. Закон больших чисел относительно квазинорм.II.-Лит.матем.сб., 1984, т. ХХ1У3,с.162−176.

12. Петров В. В. Оценки в слабом законе больших чисел.-Мат.заметки, 1972, т.12,Р 5, с.639−642.

13. Петров В. В. Одна предельная теорема для сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин.-Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1979, т.85,с.188−192.

14. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.-Теория вероятн. и ее примен., 1956, т Л, вып. 2, с. П7−238.

15. Прохоров Ю. В. Об усиленном законе больших чисел.-Изв.АН СССР 1950, т.14,с.523−536.

16. Прохоров Ю. В. Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел.-Теория вероятн. и ее примен., 1959, т.1У, вып.2,с.215−220.

17. Рачкаускас А. Ю. Операторный идеал типа (р ,) .-Лит.матем. сб., 1984, т. ХХ1У, Р 4, с. 151−166.

18. Розовский Л. В. Оценки скорости сходимости в слабом законе больших чисел.-Лит.матем.сб., 1980, т. XX, Р 4, с.147−163.

19. Розовский Л. В. О соотношении скорости сходимости в слабом и усиленном законах больших чисел.-Лит.матем.сб., 1981, т. XXI, № 1,с.155−167.

20. Розовский Л. В. О скорости сходимости в усиленном законе больших чисел.-Теория вероятн. и ее примен., 1981, т. ХХУ1,вып.I, с.138−143.

21. Розовский Л. В. Оценки скорости сходимости в усиленном законе больших чисел.-Мат.заметки, 1983, т.34,Р 6, с.883−896.

22. Рудин У. функциональный анализ.-Москва:Мир, 1975.

23. Сковорода Скорость сходимости в законе больших чисел в • '.банаховых пространствах. -Изв. ВУЗов, сер. матем., 1982, № I, с.64−67.

24. Келлер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т2. -Москва:Мир, 1967.

25. Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения.-Москва:Наука, 1974.

26. Хрущева И. В. О скорости сходимости в законах больших чисел для взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных в еличин.-Теор.вероятн.и мат ем.стат., 1977, Р 17, с.141−153.

27. Шангуа А. Г. 0 законах больших чисел в банаховом пространстве. -Сообщ.АН ГССР, 1978, т.92,Р 2, с.297−300.

28. Шангуа А. Г. О В^-выпуклых пространствах.-Сообщ.АН ГССР, 1979 т.94,Р 3, с.553−556.

29. Шангуа А. Г. Законы больших чисел в банаховом пространстве.-Канд.дисс., Тбилиси, 198I.

30. Широкова И. В. О скорости сходимости в слабом законе больших чисел.-Теор.вероятн.и матем.стат., 1973, т.8.

31. Широкова И. В. О скорости сходимости в законе больших чисел при моментных ограничениях.-Лит.матем.сб., 1974, т. Х1У, Р I, с.195−206.

32. Acosta de A. Existence and convergence of probability measures in Banach spaces.-Trans.Amer.Math.Soc., 1970, v.152,p.273−298.

33. Acosta de A. Inequalities for B-valued random vectors with, applications to the strong law of large numbers.-Ann. Probab-I98I, v.9,Ho I, p. I57-I6I.

34. Acosta de A., Araujo A., Gine E. On Poisson measures, Gaussian measures and the central limit theorem in Banach spaces.-Adv.in Probab., Dekker, New York, 1978, v.4,p.1−68.

35. Alf G. Rates of convergence for the laws of large numbers for independent Banach valued random variables.-J.Multiv. Anal., 1975, v.5,p.322−329.

36. Araujo A., Gine E. The central limit theorem for real and Banach valued random variables.-Wiley, New York, 1980.

37. Araujo A., Gine E., Mandrekar Y., Zinn J. On the accompanying laws theorem in Banach spaces.-Ann.Probab., 1981, v.9,Ho 2, p.202−210.

38. Baum L.E., Katz M., Read R.R., Exponential convergence rates for the law of large numbers.-Trans.Amer.Math.Soc., 1962, v. 102, ITo 2, p. 187−199. .

39. Baum L.E., Katz M. Convergence rates in the law of large numbers.-Trans.Amer.Math.Soc., 1965, v.120,No I, p.108−123.

40. Beck A. A convexity condition in Banach spaces and the strong law of large numbers.-Proc.Amer.Math.Soc., 1962, v.13,p.329−334.

41. Bennet G., Rudnick K. On Lorentz Zygmund spaces.-Rozprawy, Matematyczne, 1980, v. 135, p. 1−72.

42. Borel E. Sur les probabilites denombrables et leurs apli-cations arithmetiques.-Rendeconti del Circolo Mat. di Palermo, 1909,26,247−271.

43. Bozorgnia A., Rao B.M. Limit theorems for weighted sums of random elements in separable Banach spaces.-J.Multivar. Anal., 1979, v.9,No 3, p.428−433.

44. Brilinger D.R. A note on the rate of convergence of a mean.-Biometrika, 1962, v.49,No 3−4,P.574−576.

45. Brunk H.D. The strong law of great numbers.-Duke Math.J., 1948, p. I8I-I89.

46. Butzer P.L., Hahn L. General theorems on rates of convergence in distribution of. random variables. I, II.-J.Multivar. Anal., 1978, v.8,No 2, p.181−220.

47. Chatterji S.D. Vector valued martingales and their applications. -Lect.Notes Math., 1976, v.526.

48. Chen R. A remark on the tail probability of a distribution.-J.Multivar.Anal., 1978, v.8,No 2, p.328−333.

49. Daffer P. Z., Taylor R.L. Laws of large numbers forSfC^d. Ann.Probab., 1979, v.7,No I, p.85−95.

50. Daffer P.Z., Taylor R.L. Convergence of weighted sums of random elements in $ 0fi. .-J.Multivar.Anal., 1980, v. 10, No I, p.95−106.

51. Deo C.M., Truax D.R. A note on the weak law.-Ann.Math. Statist., 1968, v.39,No 6, p.2159−2160.

52. Dharmadhikari S.W., Sreehari M. On convergence in zmean of normalized partial suns .-Ann.Probab., 1975, v.5,No 6, p.1023−1024.

53. Dudley R.M. Speeds of metric probability convergence.-Z.Wahrsch.verw.Geb., 1972, v.22,p.323−332.

54. Ehrenfeucht A., Fisz M. A necessary and sufficient condition for the validity of the weak law of large numbers.-Bull.de 1'Acad.Polonaise des Sci.Ser.Math., I960,8,583−585.

55. Erdos P. On a theorem of Hsu and Robbins.-Ann.Math.Statist., 1949, v.20,No 2, p.286−291.

56. Erdos P. Remark on my paper «On a theorem of Hsu and RobbinsAnn.Math.Statist., 1950, v.21,No I, p.138.

57. Peller ?/. Uber das Gesetz der grossen Zahlen.-Acta Scient. Math., Szeged, 1937, v.8,No 4, p. I9I-20I.

58. Fortet R., Mourier E. Les fonctions aleatoires comme elements aleatoires dans les espaces de Banach.-Stud.Math., 1955, v.15, p.62−79.

59. Prank W.E., Hanson D.L. Some results giving rates of convergence in the law of large numbers for weighted sums of independent random variables.-Trans.Amer.Math.Soc., 1966, v.124, No 2, p.347−359.

60. Gafurov M.U., Siragdinov S.H. Some generalizations of results Erdos Katz related with the law of large numbers and its applications.-Kibernetica, 1979, v.15,No 4, p.272−292.

61. Giesy D.P. On a convexity condition in normed linear spacesTrans.Amer.Math.Soc., 1966, v, 125, No I, p. II4-I46.

62. Giesy D.P., James R.C. Uniformly non and Bconvex Ba-nach spaces.-Stud.Math.(PRL), 1973, v.48,No I, p.61−69.

63. Giesy D.P. Strong laws of large numbers for independent sequences of Banach space valued random variables.-Lect. Notes Math., 1976, v.526,p.89−99.

64. Gut A. Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices.-Ann.Probab., 1978, v.6,No 3, p.469−482.

65. Hall P. On the rate of convergence in the weak law of large numbers.-Ann.Probab., 1982, v.10,No 2, p.374−381.

66. Hanson D.L., Wright P.T. Some more results on rates of convergence in the law of large numbers for weighted sums of independent random variables.-Trans.Amer.Math.Soc., 1969, v.141,p.443−464.

67. Hatori H., Maxima M., Mori T. Convergence rates in the lawof large numbers when extreme: terms are excluded.-Z.Wahrsch. verw.Geb., I979>v.47,No I, p. I-I2.

68. Hausdorff P. Grundzuge der Mengenlehre.-Leipzig, 1913.

69. Heinkel B. On the law of large numbers in 2-uniformly smooth Banach spaces.-Ann.Probab., 1984, v.12,No 3"p.851−857.

70. Heyde C.C., Rohatgi V.K. A pair of complementary theorems on convergence rates in the law of large numbers.-Proc. Camb.Phil.Soc., I967, v.63,No I, p.73−82.

71. Hoffmann-Jorgensen J. Sums of independent Banach space valued random variables.-Aarhus Universitet, Maternatisk Institut, Preprint Series, 1972/1973,No 15, p.1−89.

72. Hoffmann-Jorgensen J. On the modulus of smoothness and the ^^ -conditions in Banach spaces.-Aarhus Universitet, Mate-matisk Institut, Preprint series,.1974.

73. Hoffmann-Jorgensen J. Sums of independent Banach space valued random variables.-Stud.Math., IS74, v.52,No 3"p.159−186.

74. Hoffmann-Jorgensen J. Probability in B-spaces.-Aarhus Univ., Lect. Notes Series, 1977, No 48.

75. Hoffmann-Jorgensen J., Pisier G. The laws of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces.-Ann.Probab., I976, v.4,NO 4, p.587−599.

76. Howell J., Taylor R.L."Woyczynski W.A. Stability of linear forms in independent random variables in Banach spaces.-Lect.Notes Math., I980, v.860,p.32I-345.

77. Hsu P.L., Robbins H. Complete convergence and the law of large numbers.-Proc.Nat.Acad.Sci.(USA), 1947, v.33,No 2, p.25−31.

78. Hunt R. A. On spaces.-L'Ens. Math., 1966, v. 12, p.249−275.

79. Ito K., Nisio M. On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables.-Osaka J.Math., 1968, v.5,p.35−48.

80. Jain N.C. Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables.-Z.Wahrsch.verw.Geb., 1975, v.33,No 2, p.155−166.

81. Jain N.C., Marcus M.B. Central limit theorems forvalued random variables.-J.Funct.Anal., 1975, v. I9,p.216−231.

82. James R.C. Nonreflexive spaces of type 2.-Israel J.Math., 1978, v.30,No 1−2,p.I-I3.

83. Jurek Z., Urbanik K. Remarks on stable measures on Banach spaces.-Colloq.Math., 1978, v.38,No 2, p.269−276.

84. Kolmogoroff A. Uber die Summen durch den Zufall bestimmterunabhangiger Grossen.-Math.Ann., 1928, v.99,p.309−319.i.

85. Kolmogoroff A. Bemerkungen zu meiner Arbeit Uber die Summen Zufalliger Grossen" .-Math.Ann., 1929, v.102,p.484−488.

86. Kolmogoroff A. Sur la loi forte des grands nombres.-C.r. Acad.Sei., 1930, v.191,Ho 20, p.9I0−9I2.

87. Koopmans L.H., Martin N., Pathak P.K., Quails C. On the divergence of certain random series.^Ann.Probab., 1974, v.2, No 3, p.546−550.

88. Korzeniowski A. On Marcinkiewicz strong law of large numbers in Banach spaces.-Ann.Probab., 1984, v.12,Nol, p.279−280.

89. Korzeniowski A. Bound state problem for random potentials.-Stoch.Analysis and applicat., I984, v.2,No 2, p. I2I-I29.

90. Kuelbs J., Zinn J. Some stability results for vector valued random variables.-Ann.Probab., 1979, v.7,No I, p.75−84.

91. Lai T.L. Convergence rates in the strong law of large numbers for random variables taking values in Banach spaces.-Bull.Inst.Math.Acad.Sinica, 1974, v.2,No I, p.67−85.

92. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces.-Lect.Notes Math., I973, v.338,pp.243.

93. Marcinkiewicz J., Zygmund A. Sur les fonctions independan-tes.-Fund.Math., I937yv.29,p.60−90.

94. Marcus M.B."Woyczynski A.W. Stable measures and the central limit theorem in spaces of stable type p.-Trans.Amer. Math.Soc., 1979, v.251,p.71−102.

95. Marcus M.B., Pisier G. Characterizations of almost surely continuos pstable random Fourier series and strongly stationary processes.-Acta Math., 1984, v.152,No 3−4,p.245−301.

96. Mandrekar V., Zinn J. Central limit problem for symmetric caseconvergence to non Gaussian law.-Stud.Math., 1980, v.67,p.279−296.

97. Mandrekar V., Weron A. oC stable characterizations of Banach spaces (4 < OC < 2″).-J.Multivar.Anal., 1982, v. II, p.572−580.

98. Mathe P. A note on classes of Banach spaces related to stable measures. -Math.Iiachr., 1984, v. 115, p. 189−200.

99. Maurey B. Espaces de cotype p, 0< p ^ 2, .-Seminaire Maurey Schwartz, 1972;73,Exp.VII.

100. Maurey B. Theoremes de factorisation pour les Operateurs lineaires a valeurs dans un espace L^ .-Asterisque, Soc. Math. Prance, 1974, v. II, pp.163.

101. Maurey B., Pisier G. Series de variables aleatoires vectorielles independantes et proprietes geometriques des espaces de Banach.-Stud.Math., 1976, v.58,p.45−90.

102. Mourier E. Elements aleatoires dans un espace de Banach.-Ann.Inst.H.Poincare, 1953, v.13,p.159−244.

103. Neveu J. Discrete parameter martingales.-Amsterdam:North Holand Publishing Co., 1975.

104. Padgett V/.J., Taylor R.L. Laws of large numbers for normed linear spaces and certain Frechet spaces.-Lect.Notes Math., 1973, v.360,pp.III.

105. Pisier G. Le theoreme de la limite centrale et la loi du logarithme itere dans les espaces de Banach.-Seminaire Maurey-Schwartz, 1975;76,Exp.III.

106. Pisier G. «Type» des espaces normes.-Seminaire Maurey-Schwartz, 1973;74.

107. Pisier G. Martingales with values in uniformly convex spaces.-Israel J.Math., 1975, v.20,p.326−350.

108. Pisier G. On the dimension of the ?? subspaces of Banach spaces, for p < 2, .-Trans.Amer.Math.Soc., I9Q3, v.276,Ho I, p.20I-2II.

109. Pyke R., Root D. Convergence in % -mean of normalized partial sums.-Ann.Math.Statist., 1968, v.39,No 2, p.379−381.

110. Revesz P. The laws of large numbers.-Academic Press, 1968.

111. Rohatgi V.K. On convergence rates in the law of large numbers for weighted sums of independent random variables.-Proc.Amer.Math.Soc., 1969, v.20,No 2, p.570−574.

112. Rosinski J. Remarks on Banach spaces of stable type.-Prob.and Math.Statst., 1980, v. I, No I, p.67−71.

113. Spitzer P. A combinatorial lemma and its application to probability theQry.-Trans.Amer.Math.Soc., 1956, v.82,No 2, p.323−339.

114. I. Sztencel R. On baundendness and convergence of some Banach space valued random series.-Prob.and Math.Statist., 1981, v.2,No I, p.83−88.

115. Taylor R.L. Stochastic convergence of weighted sums of random elements in linear spaces.-Lect.Notes Math., 1978, v.672,pp.216.

116. Taylor R.L., Wei D. Laws of large numbers for tight random elements in normed linear spaces.-Ann.Probab., 1979, v.7,No I, p.150−155.

117. Taylor R.L., Calhoun C.A. On the almost sure convergence of weighted sums of random elements in S) 0f l. .-Inter-nat.J.Math., I98I, v.4,No 4, p.745−752.

118. Tien N.Z., Weron A. Banach spaces related to.

119. Tzafriri L. On the type and cotype of Banach spaces.-Israel. J.Math., 1979, v.32, No I, p.32−38.

120. Tzafriri L. Some directions of research in Banach space theory.-Proc.2nd Conf."Paderborn, 1979, Amsterdam, 1980, p. I-I8.

121. Woyczynski W. A, Random series and laws of large numbers in some Banach spaces.-Theory Probab. and Apl., I973"v.18,Ho 2, p.361−367.

122. Woyczynski W.A. On Marcinkiewicz-Zygmund laws of large numbers in Banach spaces and related rates of convergence. -Prob. and Math.Statist., 1980, v. I, Uo 2, p. II7-I3I.

123. Woyczynski W.A. Tail probabilities of sums of random vectors in Banach spaces and related rates of convergence.-Lect.Notes Math., I980, v.794,p.455−469.

124. Woyczynski W.A. Survey of asymptotic behavior of sums of independent random vectors and general martingales in Banach spaces.-Lect.Notes Math., 1983, v.990,p.215−220.

125. Yurinskii V.V. Exponential inequalities for sums of random vectors.-J.Multivar.Anal., 1976, v.6,No 4, p.473−499.'.

126. Zinn J. A note on the central limit theorem in Banach spaces.-Ann.Probab., 1977, v.5,No 2, p.283−286.