Применение конструктивных методов исследования устойчивости систем большого порядка в вычислительной практике

Проблема устойчивости играет важную роль не только в математике, механике и технике, но и в физике, химии, биологии. Эта проблема исследовалась и решалась, начиная с середины позапрошлого столетия. Она возникла в связи с ростом мощности и быстроходности паровых машин и со склонностью этих машин к неустойчивости и самораскачиванию. Проблеме устойчивости посвящено огромное число книг, монографий и журнальных статей в которых излагаются методы исследования устойчивости и их применение к различным конкретным задачам. Уже давно в математической литературе излагались различные формы критериев устойчивости, обилие методов, способов исследования и отмечались связи между ними. Этот интерес объясняется широким практическим приложением в различных областях науки и техники. Первые успешные работы по устойчивости принадлежат Джеймсу Максвеллу, И. А. Вышнеградскому и Шарлю Эрмиту. Однако, они не получили широкой известности из-за плохой практической применимости в конструкторских расчетах. Позже задача была решена другими известными учеными и инженерами, в честь которых и стали называться методы предложенные ими. Условно при анализе результатов, полученных в этой области, можно выделить два основных направления: создание аналитических методов исследования устойчивости и создание вычислительных методов и алгоритмов решения этой проблемы. С другой стороны, эти методы достаточно взаимосвязаны и вычислительные методы также имеют своей основой глубокие фундаментальные исследования. Основные подходы к созданию аналитических методов исследования были разработаны A.M. Ляпуновым, и позже в русле его идей Н. Н. Красовским, Н. Г. Четаевым, К. П. Персидским, Е. А. Барбашиным, В. В. Румянцевым, В. И. Зубовым, В. М. Матросовым, Р. Беллманом, Д. Хейлом и другими крупными отечественными и зарубежными математиками. Из второго направления исследований можно выделить методы исследования устойчивости динамических систем по первому линейному стационарному приближению, так как эти методы наиболее полно разработаны и позволяют решить многие практические задачи. Обычно эти методы принято разделять на: матричные (например, Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара) и частотные (например, Михайлова, Найквиста).

Актуальность данной тематики определяется насущными проблемами науки и техники, связанными с постоянно расширяющимся полем применения различных методов исследования устойчивости. В различных областях науки все чаще и чаще возникает задача исследования систем очень высоких порядков, для которых известные методы трудно применимы. В связи с чем, перед учеными ставиться задача нахождения новых путей исследования устойчивости, с помощью которых возможно уменьшить трудоемкость и, следовательно, увеличить скорость определения устойчивости данных систем.

Вопрос об устойчивости линейной стационарной системы X = Ах, как известно, сводится к вопросу, расположены ли слева от мнимой оси корни характеристического многочлена системы. Однако используемые методы имеют недостатки в основном в плане необходимости выполнять огромное количество арифметических операций, особенно для систем большого порядка. Для систем же выше 1000 порядка решить вопрос об устойчивости линейной стационарной системы с помощью некоторых методов вообще невозможно за обозримое время. Увеличение порядка исследуемых систем, связана со всеобщим внедрением быстродействующих компьютеров, обладающих высокой разрядностью. Поэтому стало актуальным разработка методов обладающими соответствующими характеристиками.

Поэтому целью диссертации является исследование различных характеристик наиболее известных вычислительных методов оценки качественного поведения динамических систем по первому линейному приближению и созданию для систем большого порядка новых эффективных алгоритмов такой оценки на основе последних достижений в этой области.

Методы исследования, используемые в работе основаны на сравнительном анализе трех возможных видов погрешностей присущих каждому вычислительному методу, т. е. анализу неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности, а также на результатах численных экспериментов и подходе предложенном Дж. X. Уилкинсоном к оценке ошибок округления.

Новизна. Ниже, в работе, на основе нового метода понижения порядка впервые предлагается другой подход к исследованию устойчивости. Впервые предложены и реализованы в виде программного комплекса эффективные алгоритмы реализующие рекуррентные методы линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов систем первого приближения, позволяющие определить качественную картину расположения корней этого многочлена на комплексной плоскости. Полученные алгоритмы позволяют за число 2 операции = П однозначно решить вопрос о местонахождении корней характеристического многочлена на комплексной полуплоскости, что является значительным преимуществом перед другими методами.

Метод понижения порядка имеет существенное практическое значение в области исследования устойчивости линейных стационарных систем. Он требует несравнимо меньшего числа арифметических операций, следовательно, многократно увеличивается скорость исследования. Полученные в работе аналитические оценки и результаты численных экспериментов показали, чтс! представленные алгоритмы могут быть применены к исследованию устойчивости систем очень большого порядка (вплоть до 10 000). Проблемы исследования устойчивости таких систем возникают при исследовании многозвенных систем автоматического регулирования, при моделировании сложных экологоэкономических систем и в моделях прогнозирования погоды.

Существенное снижение количества арифметических операций достигнуто за счет использования одних лишь линейных преобразований коэффициентов характеристического многочлена, приводящих к понижению порядка этого многочлена. Так как эти преобразования являются линейными, они не изменяют качественную картину расположения корней исходного многочлена. Из этого же вытекает еще одно значительное преимущество этого метода: не сложность составления алгоритма и, следовательно, программирования этого процесса на ЭВМ. Метод легко представим в виде нескольких рекуррентных процедур, что предполагает его устойчивость к вычислительным ошибкам вплоть до очень высоких порядков.

Исходя их изложенного, научная проблема и направление диссертационного исследования состоит в следующем: обзор и систематизация вычислительных методов и способов исследования характеристических многочленов линейных стационарных систем на устойчивость. Создание новых эффективных алгоритмов оценки качественного поведения и устойчивости динамических систем большого порядка по первому линейному стационарному приближению. Сравнение и оценка их эффективности. Исследование полученного алгоритма на устойчивость к ошибкам вычисления. Подтверждение теоретического исследования с помощью создания комплекса программ, реализующих рекуррентные методы линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов систем первого приближения с целью определения качественной картины расположения их корней на комплексной плоскости.

Настоящая работа состоит из четырех глав.

В первой главе приведен обзор основных методов исследования устойчивости линейных стационарных систем.

Параграф первый состоит из краткого описания матричных методов, таких как критерии Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара, а так же иннорный метод. Этот метод описывает проблемы устойчивости с позиции теории инноров квадратных матриц, введенных американским ученым Э. И. Джури.

Во второй параграф главы входит описание частотных методов исследования устойчивости: критерий Михайлова и критерий Найквиста, применяемый, в основном, для исследования автоматических систем управления.

Третий параграф описывает вычислительный метод В. И. Зубова и его применение при исследовании устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем без построения для этих систем характеристических многочленов.

Вторая глава посвящена рекуррентным методам преобразования коэффициентов при исследовании устойчивости линейных стационарных систем.

Параграф первый второй главы содержит описание алгоритма Евклида, выделения общих корней двух многочленов и, на основе его, нахождения кратных корней многочлена. А так же, рассматривается алгоритм выделения у многочлена симметричных корней (на основе же алгоритма Евклида) и, в частности, выделение чисто мнимых корней (с помощью построения годографа Михайлова и применение к нему алгоритма Евклида).

Второй параграф включает в себя описание нового метода понижения порядка, позволяющего исследовать устойчивость линейных стационарных систем (то есть построить качественную картину расположения корней характеристического многочлена на комплексной плоскости).

Данный метод позволяет за несколько секунд (при использовании процессора среднего уровня) однозначно решить вопрос о том является ли система асимптотически устойчивой или нет. Так же с помощью обратного хода метода понижения порядка можно построить множество полиномов Гурвица (то есть асимптотически устойчивых полиномов), с помощью выбора произвольного вещественного числа ОС > 0 взяв за основу полином Гурвица первого порядка, вида, а + Ьх — 0.

В третьем параграфе данной главы рассматриваются полиномы, к которым нельзя сразу применить метод понижения порядка. В этом случае применяется «метод сдвига», который преобразует полином к виду удобному для применения метода понижения порядка. В третий же параграф данной главы входит, исследование симметричных полиномов (так называемого «вырожденного случая»).

Глава три посвящена сравнительному анализу всех, описанных в данной работе методов исследования устойчивости линейных стационарных систем при реализации этих методов на ЭВМ.

В параграф первый входит сравнительный анализ классических матричных и иннорного метода исследования устойчивости, описанные в первой главе.

Во втором параграфе рассматриваются частотные методы.

В третьем параграфе проводится сравнительный анализ рекуррентных методов исследования устойчивости многопараметрических систем описанных во второй главе.

В четвертой главе представлена реализация рекуррентных методов исследования устойчивости.

В первом параграфе речь идет об исследовании устойчивости алгоритмовк вычислительным ошибкам, на основе известных работ Гавурина и Уилкинсона. Дана оценка вычислительной погрешности полученного алгоритма.

Во втором параграфе главы представлена общая характеристика программ.

В третьем — текст программы «Имитатор построения полиномов Гурвица», с помощью которой можно построить асимптотически устойчивый полином практически любой размерности и обратная проверка его с помощью метода понижения порядка. А также, программа, реализующая рекуррентные методы, и в частности, метод понижения порядка исследования устойчивости или неустойчивости характеристического полинома, дающая полную качественную картину расположения корней на комплексной плоскости.

В «Заключении» работы приведена общая характеристика и основные выводы по результатам диссертационной работы.

На защиту выносятся :

— Обзор, классификация методов исследования устойчивости линейных стационарных систем;

— созданные новые эффективные алгоритмы оценки качественного поведения и устойчивости динамических систем большого порядка по первому линейному стационарному приближению, реализующие рекуррентные методы преобразований коэффициентов характеристических многочленов систем первого приближения с целью определения качественной картины расположения их корней на комплексной плоскости;

— сравнительный анализ предложенных вычислительных алгоритмов с наиболее известными в данной области вычислительными критериями и алгоритмами по их производительности, точности и устойчивости к вычислительной погрешности;

— комплекс программ, реализующий рекуррентные методы линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов системы первого приближения с целью оценки ее качественного поведения и позволяющий проводить численные эксперименты по изучению данного подхода и программа построения асимптотически устойчивого полинома любой наперед заданной размерности.

В заключение я хочу выразить благодарность своему научному руководителю доктору физико — математических наук, профессору Николаю Владимировичу Зубову за предложенную тему диссертационного исследования и за ту помощь, которая была мне оказана в процессе написания работы.

Заключение

.

Достижение цели диссертации. В представленной диссертационной работе, выполнен анализ известных, наиболее часто используемых, методов и способов исследования устойчивости линейных стационарных динамических систем по первому приближению X = Ах. Сравнение и оценка их производительности и точности при исследовании на устойчивость характеристических многочленов. Показано, что метод понижения порядка имеет неоспоримое преимущество перед всеми известными методами исследования.

Это достигнуто за счет создания нового алгоритма, позволяющего существенно ускорить исследование на устойчивость и составления качественной картины расположения корней на комплексной плоскости. В методе понижения порядка используется значительно меньше арифметических операций по сравнению со всеми известными методами, и они являются линейными преобразованиями коэффициентов характеристического многочлена системы (не надо вычислять определители, не надо находить сами корни характеристического многочлена, нет необходимости строить графики или снимать опытные данные с приборов).

Исследована устойчивость алгоритма к вычислительным ошибкам, возникающая из-за машинного округления чисел, в процессе выполнения арифметических операций. Показано, что при использовании машины среднего уровня вычислительная погрешность не является существенной.

По данному алгоритму разработаны программы и опробованы для произвольных полиномов (в том числе для полиномов высокого порядка) на предмет их устойчивости или неустойчивости и построения полиномов Гурвица (то есть асимптотически устойчивых) практически любого порядка (ограниченных лишь ресурсами машины).

Научная новизна. С помощью представленных эффективных алгоритмов, реализующих рекуррентные методы линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов систем первого приближения, определить устойчивость многочленом впервые стало возможным за очень малое количество времени (для построения полинома Гурвица 10 порядка и обратной проверки его на устойчивость затратилось менее 3 секунд машинного времени на ЭВМ среднего уровня). Показано преимущество предложенных алгоритмов реализующих рекуррентные методы над остальными по производительности и точности. Также показано, что рекуррентные алгоритмы могут быт применены к мнгосвязным и многоконтурным системам, т. е. к системам большого прядка, которые невозможно исследовать с помощью других методов.

Этот метод исследования в основе своей использует известные положения математического анализа, высшей алгебры, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости (других наук) и не противоречит их положениям. Базируется на строго доказанных выводах фундаментальных и прикладных наук, что определяет достоверность и обоснованность полученных результатов.

Разработанные программы опробованы на компьютерах находящихся, на факультете Прикладной математики — процессов управления СПбГУ, Научном исследовательском институте Вычислительной математики и процессов управления имени В. И. Зубова СПбГУ, а также на домашнем компьютере. Результаты численных экспериментов анализировались и сопоставлялись с результатами использования других методов и программ на их основе.

Полученные в диссертационной работе результаты доказывают практическую значимость диссертационной работы: позволяют значительно увеличить скорость получения результатов исследования, не уменьшая при этом качество, следовательно, в общем, увеличить эффективность работы, затрачивая меньше времени, труда, а при расчете на ЭВМ меньше ресурсов машины, что особенно актуально для исследования устойчивости систем очень больших порядков.

Работа представляет теоретический и практический интерес при исследовании устойчивости в различных областях математики, физики, техники и других науках. На основе полученных результатов возможно дальнейшее научное исследование.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах и конференциях, проводимых на факультете Прикладной математики — прессов управления Санкт-Петербургского Государственного Университета. Были предложены студентам третьего курса для изучения в рамках специализированного курса. Сделано ряд публикаций по теме диссертации. Результаты работы использовались при выполнении ряда хоздоговорных НИР в НИИ ВМ и ПУ им. В. И. Зубова СПбГУ.