Модельное представление и функциональное исчисление некоторых классов операторов в пространствах с идефинитной метрикой

1. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой лишь ненамного моложе общей спектраль ной теории операторов в банаховых и гильбертовых пространствах, частным случаем которой она, очевидно, является. Впервые индефинитная метрика возникла в явном виде в работах физиков-теоретиков в связи с задачами квантовой теории поля (Надь[1]) и с тех пор методы геометрии и теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой регулярно используются при исследовании различных проблем теоретической физики. Первый важный результат в области спектральной теории самосопряженных операторов в таких пространствах, во многом определивший ее дальнейшее развитие, получил Л. С. Понтрягин (Понтрягин [1]), постановка же задачи, решенной в его работе, принадлежит C.JI. Соболеву и порождена некоторыми задачами гидромеханики (см. Соболев [1]). К настоящему времени сформировались многие направления, связанные как с внутренней логикой развития теории операторов и операторных алгебр в пространствах с индефинитной метрикой (см. Азизов, Иохви-дов [1−3], Наймарк, Исмагилов [1], Ando [1], Bognar [1], Iohvidov, Krein, Langer [1] - здесь и далее мы ссылаемся преимущественно не на оригинальные статьи, а на имеющиеся по данному кругу вопросов обзорные статьи и монографии), так и с ее приложениями к ряду проблем операторных уравнений (Далецкий, Крейн [1]), механики (Копачевский, Крейн, Нго Зуй Кан [1]) и примыкающим к ней разделам общей теории систем (R.W. Brockett [1]), теории дифференциальных операторов и полиномиальных операторных пучков (Маркус [1], Шкаликов [1], На-боко [1], Пятков [1]), теории рассеяния (Лакс, Филлипс [1], Агосепа [1], Киселев, Попов [1]), аналитической теории матриц-функций и задачам электротехники (Ефимов, Потапов [1], Аров [1], Helton [2]), теории управления (Francis, Helton and Zames [1]), теории характеристических функций (А.Кужель [1]), теории функций (de Branges [1]) и т. д. Остановимся на некоторых из перечисленных направлений чуть подробнее. Как хорошо известно, исследование физических систем со многими степенями свободы требует развития спектральной теории наборов операторов. Эта задача даже для коммутативных семейств обычных самосопряженных операторов достаточно трудна (см., напр., Березанский [2],.

Самойленко [1]), исследования же в рамках аксиоматического подхода в квантовой теории поля дополнительно требуют рассмотрения пространства с индефинитной мртпикой и пойствующих в них самосопряженных операторных алгебр (И'7*-алгсбр) (Боголюбов, Логунов, Оксак, Тодо-ров [1], Зюбер, Ициксон [1]). Одним из первых возможных шагов в развитии спектральной теории наборов коммутирующих самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой могли бы быть иследования по модельному представлению таких наборов, связанному с минимальным множеством порождающих это семейство элементов и их модельным представлением (в случае обычных самосопряженных операторов соответствующая проблема решается известной теоремой Дж. фон Неймана). К числу вопросов, нуждающихся здесь в дальнейшем исследовании, относится также проблема описания бикоммутанта IV,/*- алгебры (Дадашян, Хоружий[1]).

Далее, редукция ряда задач к спектральным задачам для операторов, действующих в индефинитных пространствах (см., напр., Агранович [1]), часто обусловлена тем, что спектральную теорию самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой можно рассматривать как своеобразный раздел теории возмущений обычных самосопряженных операторов, где возмущенный оператор имеет вид (I 4- Б) А, А и Я самосопряжены в гильбертовом смысле и точка —1 не является собственным значением оператора 5. Если оператор 5 вполне непрерывен, то этот случай сводится к пространствам Пк, если оператор (1 + 3) ограниченно обратим — то к «/-пространствах, в общей же ситуации — к так называемым (^,(?)-пространствам или, короче, (7-пространствам (о сведении произвольного гильбертова пространства с индефинитной метрикой к некоторому стандартному пространству см. Лангер [1] и Штраус [1]). В этом круге вопросов обычно играет существенную роль проблема о спектральном разложении соответствующего оператора и сходимости его интегрального представления (о первом результате такого типа см. Крейн, Лангер [1]). К подобной же проблеме приводят и задачи о регуляризации интегрального представления для тех или иных функций или последовательностей, порождающих соответствующие индефинитные проблемы моментов (М.Г.Крейн, Г. Лангер [2], В. И. Горбачук [1,2]). Интерес к изучению «/-изометрических и «/-унитарных операторов, начатому в работе И. С. Иохвидова (Иохвидов [2]), позже был усилен работой Ч. Дэвиса (Davis [1]), в которой было введено понятие Jунитарной дилатации фактически любого оператора в гильбертовом пространство (напомним, что обычная унитарная дилатация имеет место только для сжимающих операторов), к этому же направлению относятся работы А. Кужсль [2] и Сахнович [1]. Ясно, однако, что последовательное использование этой идеи невозможно без теории J-изометрических и J-унитарных операторов, сравнимой в своем развитии с теорией обычных изометрических и унитарных операторов.

Исследование ряда нерешенных задач в указанных трех направлениях и явилось основным мотивом для написания настоящей работы. Первая задача — это построение функциональной модели для коммутативного семейства Jсамосопряженных (J-c.c.) операторов, действующих в пространстве Понтрягина или, при дополнительных условиях, в пространстве Крейна, и приложение этой модели к исследованию проблемы би ком мутанта. Вторая задача — сравнительное изучение вопросов модельного представления и функционального исчисления для 7г-полууни-тарных и 7г-унитарных операторов. Наконец, третья задача — исследование особенностей модельного представления и функционального исчисления для дефинизируемых J-с.с.операторов со спектральной по Дан-форду итерацией.

2. Перейдем к краткому описанию содержания диссертации, состоящей из настоящего введения, пяти глав и списка литературы, включающего свыше 140 наименований.

Гл. 1 включает три параграфа и посвящена в основном описанию тех понятий, терминов и известных результатов, относящихся к геометрии пространств с индефинитной метрикой и теории действующих в них операторов, которые используются в последующих главах. Здесь даются, в частности, определения регулярных и псевдорегулярных подпространств, Q-самосопряженных (Q-c.c.) и т. п. операторов, ./-ортогональной спектральной функции (J-орт.сп.ф.) с конечным числом спектральных особенностей и стандартного ./-пространства J-l?3{&). Под последним пространством понимается обычное гильбертово функциональное пространство вектор-функций L|(C-), заданных на отрезке [—1- 1] и принимающих значения в гильбертовом пространстве М. А. Наймарка (Наймарк [1]) относится к классу Основные библиографические ссылки приведены в § 3. Гл. 2 посвящена вопросам модельного описания ./-симметричного операторного множества 2) (в частности, И^У-алгебры 21, т. е. слабо замкнутой 3- симметричной алгебры с единицей) класса Д*", действующего в сепарабельном пространстве Крейна, которое в рамках этой главы всегда предполагаются коммутативными. Основным фактом, приведенным в § 1 (он необходим для изложения последующих результатов), является теорема 2.1.23 о существовании у указанного выше множества 2) •/-орт.сп.ф. Е с конечным множеством спектральных особенностей Л, общей в некотором естественном смысле для всех операторов из 2), в частности, такой, что для любого оператора, А 6 2) найдется функция ср (А), связанная с, А интегральным представлением АЕ (А) = /А (р (Л)(1Е для всякого отрезка Д С КЛ. Указанная ./-орт.сп.ф. дальше называется собственной спектральной функцией (с.с.ф.) семейства 2). § 2 носит вспомогательный характер. В нем по спектральной функции (разложению единицы) вводятся связанные с этой оператор-функцией неограниченные элементы банахова пространства, доказываются некоторые предложения, описывающие действия с неограниченными элементами, показывается, что эти предложения применимы к конкретным функциональным пространствам. .

В § 3 строится так называемое основное модельное пространство ./-орт. сп. ф. Е, которая предполагается неограниченной. Делается это следующим образом. Пусть множество спектральных особенностей оператор-функции Е состоит только из нуля. Положим (С1лп=замкнутая линейная оболочка) = СЬщ{Е (Д)^}, Е = Тогда возможны два.

0?Д=Д 3 случая. В первом из них подпространство является семидефинитным, которое без ограничения общности можно считать неотрицательным. Тогда в качестве основного модельного пространства для Е берется пространство ¿-£(<Е), получающееся присоединением к пространству !/?( которые по определению предполагаются попарно ортогональными, ортогональными к L|((S) и нормированными, а связь между Е и ?|( S5, что Е = WX^W~l, где Х — действующий в ?|(2.3.17. Далее в этом параграфе обсуждается проблема произвола в выборе основного модельного пространства для Е, итог которому подведен в теореме 2.3.24. Добавим, что основным модельным пространством для ./-симметричного семейства 2) называется основное модельное пространство для его с.с.ф. Из приведенных выше результатов следует (см. теорему 2.3.25), что каждому оператору, А € 2) отвечает действующий в ?|(.

В § 4 детально исследуется связь между функциональным пространством вида Ц? ГЬ2и, где неубывающая функция <т (£) определяет ограниченную, а кусочно-неубывающая функция — неограниченную меры Лебега-Стильтьеса, и принадлежащей к (коммутативной) И7./" -алгеброй 21. Исследуется также вопрос о минимальном числе порождающих элементов алгебры 21.

В § 5 дается приложение некоторых из приведенных ранее конструкций к проблеме корректного определения дифференциального оператора с сингулярным потенциалом вида, А = ^ + ?(?)• как оператора, действующего в некотором пространстве Понтрягина.

В § 6 той же главы приведены библиографические и исторические ссылки, затрагивающие проблему авторства приводимых результатов. Гл. 3 посвящена, как это следует из ее названия, проблеме описания бикоммутанта для действующей в сепарабельном пространстве Крейна ./" -алгебры 31 класса ?>+. В § 1 доказывается лемма 3.1.9 о спектральном разложении бикоммутанта для коммутативной алгебры 21. Оказывается, что с.с.ф. исходной алгебры является таковой и для ее бикоммутанта 21″, что, однако, не означает, что 21 = 21″. Приводятся примеры, когда 31 ф 21″. В § 2 исследуется структура коммутанта и бикоммутанта для IV./" -алгебры 21 класса при этом рассматривается как коммутативный, так и некоммутативный случаи. Для алгебры, нильпотентная часть которой имеет относительно 21 линейную коразмерность, равную единице, приводится полное описание 21 и 21', а для коммутативной алгебры общего вида доказывается (теорема 3.2.41) критерий равенства 21 = 21″. В качестве следствия (следствие 2.41) этого критерия имеем, что моногенная И^./*- алгебра класса И* всегда совпадает со своим бикоммутантом. В § 3 этой же главы проблема бикоммутанта анализируется для бициклических И7″ ./" -алгебр 21 класса Приводится пример коммутативной алгебры такого типа, для которой 21 ф ЗМ и доказывается, что для коммутативной циклической И7^-алгебры 21 введенного Т. Я. Азизовым класса К (Н), входящего в объединение классов по всем конечным /с, но не тождественного ему, всегда 21 = 21'. Наконец, § 4 содержит библиографическую справку по основным вопросам, затронутым в гл. 3.

Гл. 4 посвящена спектральному анализу и модельному представлению действующих в сепарабельном пространстве Понтрягина 7г-полуунитарных и 7г-унитарных операторов. § 1 носит вводный характер. В нем определяется ряд инвариантных подпространств для 7г-полуунитарного опера-гора U, в частности, дефектное подпространство ?=(?/5э)Ш и подпространство сдвига $j8=^CLin {?/*?}, описывается матричное представление такого оператора, вводятся понятия вполне 7г-неунитарного оператора (определение 4.1.6) и класса таких 7г-полуунитарных операторов, для которых Sja С (определение 4.1.7). Показывается, что операторы класса S+ имеют точечный спектр, не пересекающийся с внутренностью единичного круга.

§ 2 посвящен кругу вопросов, относящихся к разложению Вольда для 7Г-полуунитарных операторов. Известно (McEnnis [1], [2]), что не для всякого 7Г-полуунитарного оператора U существует непосредственный аналог разложения Вольда, т. е. разложение пространства Понтрягина в 7Г-ортогональную сумму инвариантных относительно U подпространств, на одном из которых U совпадает с обычным оператором сдвига, а на втором действует как 7г-унитарный оператор. Частичным аналогом разложения Вольда для 7г-полуунитарного оператора U является установленная в этом параграфе теорема 4.2.8, в которой, в частности, утверждается, что на единичной окружности Т найдутся две конечные системы точек {Aj} и {/¿-т} и такая коммутативная система 7г-ортопроекторов {£" (Д)}, где ACTлюбая дуга, граничные точки которой не могут принадлежать множеству {A,} U {цт} и Д П {A,} = 0, что E (A)U = UE (A), оператор Ue (A)Sj 7г-унитарен и ct{Ue (^)sj) С Д. Эта теорема используется в § 6 для построения модельного пространства произвольного 7г-полууни-тарного оператора.

§ 3 посвящен модельному представлению оператора U € S+ в случае, когда точечный спектр этого оператора принадлежит Т, и описанию функциональной структуры Alg U — слабо замкнутой алгебры, порожденной оператором U. В частности (теорема 4.3.8) доказывается существование такой конечной системы регулярных в единичном круге Ю> вектор-функций со значениями в что действующий на линейной оболочке этой системы и класса Харди Я2(£) (эта оболочка обозначается Я2(£)) оператор 1/~: (1/Е/)(0 = (/(?) — /(0))/?, ДО € Н2(£)), подобен оператору (i/|$j,)*. Введенное таким образом пространство Н2(£1) называется основным модельным пространством. С его помощью далее вычисляется скалярная регулярная в D функция ??(?)> вводится пространство Щ© регулярных в Ю> скалярных функций Для которых ^(О^О € #2(?) устанавливается естественное соответствие между А^С/ и функциональным пространством П Н°°© (теоремы 4.3.12, 4.3.21 и 4.3.25).

Содержание § 4 близко к содержанию предыдущего параграфа, но он посвящен модельному представлению оператора II € в случае, когда точечный спектр этого оператора лежит вне Т, и описанию функциональной структуры АНаложенные на и условия резко упрощают его свойства, делая их в целом аналогичными свойствам обычного оператора сдвига. Укажем, в частности (см. теорему 4.4.9 и следствие 4.4.11), что все пространство распадается в прямую сумму двух инвариантных относительно ?/ подпространств, одно из которых конечномерно, а сужение и на второе подобно оператору сдвига.

В § 5 строится основное модельное представление 7г-унитарного оператора II и исследуется функциональная структура А^ и. В силу очевидной связи между свойствами 7г-с.с. и 7г-унитарных операторов мы ограничимся указанием на два возможных варианта в описании в зависимости от расположения абсолютно непрерывной части оператора С/. Итак, если абсолютно непрерывный спектр ?7 не является множеством полной лебеговой меры, то основным функциональным пространством, связанным с будет пространство П (см. выше описание § 4 гл.2), состоящее теперь из функций, определенных на отрезке [0:27т], в противном случае таким пространством будет уже введенное в гл. 4 пространство Щ{ С) П Я°°(С).

В § 6 для произвольных 7г-полуунитарных операторов обобщены основные результаты предшествующих трех параграфов, установлена связь между основными модельными пространствами 7г-полуунитарного оператора II и его регулярной 7г-унитарной дилатации (теорема 4.6.14), между алгебрами А^ I/ и А^ (следствие 4.6.20).

Заключительный § 7 содержит, как и обычно, библиографическую справку по результатам, вошедшим в гл. 4.

Гл. 5 посвящена дефинизируемым (деф.) ф-с.с.операторам. В первой части § 1 изложены без доказательства некоторые результаты, основным из которых является теорема о существовании с.с.ф. у ф-с.с. дефини-зируемого оператора (теорема 5.1.8), вошедшие в кандидатскую диссертацию автора. Во второй части того же параграфа решается обратная задача о дефинизируемости Q-c.c. оператора, обладающего с.с.ф. с конечным множеством критических точек. В § 2 исследуется функциональная структура обозначаемого Ahs (E) множества операторов, допускающих слабо безусловно сходящееся представление (см. определение 1.2.13) В = /я.

О W'1. (О A^W-1 о)>a-wam О J' где Sy = © оператор W: ~~1к * изометричен, операторы Л (+) и А^ действуют в перестановочны и самосопряжены. Допускающий такое представление J-с.с. оператор, А назван в работе (определение 5.3.15) уравновешенным оператором.

В заключение этого параграфа строится функциональная модель уравновешенного «/-положительного оператора со спектральным квадратом. Для этого используется L| (.

2 (-) тово функциональное пространство L~ (.

5.3.19), что уравновешенный <7- положительный оператор, А с неограниченной спектральной функцией и спектральным квадратом подобен.

А 2 (—) действующему в пространстве (.

Эта функциональная модель используется затем для вычисления норм операторов из А^А (предложение 5.3.20 и пример 5.3.21). § 3 содержит библиографические замечания к гл. 5. 3. Основные научные результаты, изложенные в настоящей работе, заключаются в следующем:

1°. Для описания семейства класса И* предложено модельное пространство, на котором операторы семейства изображаются операторами умножения на скалярные функции, и дано полное описание таких функций в случае, когда семейство является ./" -алгеброй.

2°. Установлена связь между спектральным разложением коммутативной ./" -алгебры 21 класса Д*". и ее бикоммутанта. Показана нетривиальность проблемы бикоммутанта (задачи о равенстве 21 = 21″) для указанной алгебры.

3°. Предложено полное описание коммутативной IV3*- алгебры 21 класса .О]1″ и на его основе получен критерий равенства 21 = 21″ для такой алгебры. Доказана теорема о равенстве 21 = 21' для коммутативной циклической IV./" -алгебры 21 класса К (Н).

4°. Исследована структура спектра 7г-полуунитарных операторов, получено их спектральное разложение, а на основе такого разложения — соответствующее им модельное представление и функциональное исчисление. Показана связь между модельным представлением 7г-полуунитар-ных операторов и их регулярных 7Г-унитарных дилатаций. 5°. Для ./-положительного оператора со спектральной итерацией полностью исследована функциональная структура порождаемой им слабо замкнутой алгебры и предложена функциональная модель для описания такого оператора.

4. Основные результаты работы были опубликованы в статьях, заметках и сообщениях Штраус [6−30], Strauss [2, 3, 5]. Они систематически докладывались на Воронежских зимних математических школах, школах по теории операторов в функциональных пространствах, на 12°" Международной конференции по теории операторов в г. Тимишоара (Румыния, 1988 г.), на 20ом Международном семинаре по функциональному анализу в г. Липтовски Ян (Чехословакия, 1989 г.), на Крымских осенних математических школах (КРОМШ-1 — 5, 11), на конференции памяти М. Г. Крейна (г. Одесса) в 1990 г. и на 2°** конференции, посвященной анализу Шура (г.Лейпциг, Германия) в 1992 г., Международной конференции по теории операторов и интерполяционным проблемам в честь 80-летнего юбилея М. Котляра (Каракас, Венесуэла) в 1994 г., на летних Санкт-Петербургских конференциях по математическому анализу (Summer St. Petersburg Meetings in Mathematical Analysis) в 1999 и 2001 гг., на Международном семинаре по теории операторов и ее приложениям (IWOTA-2000, Фару, Португалия) в 2000 г., на семинаре А. Г. Косгюченко А.А.Шкаликова (МГУ) в 1986 и 1990 гг., семинарах Ю. М. Березанского и М. Л. Горбачука (Институт математики АН УССР, г. Киев) в 1987 и 1990 гг., семинаре Н. К. Никольского и В. И. Васюнина (ЛОМИ) в 1989 г., в отделе функционального анализа института математики СО АН СССР (г.Новосибирск) и институте математики им. К. Вейерштрасса (г.Берлин, Германия) в 1990 г., семинарах профессора Лоухивара (Свободный берлинский университет, г. Берлин, Германия) и профессора Х. Лангера (Венский технический университет, г. Вена, Австрия) в 1992 г. и т. д.

5. В работе принята обычная символика. Начало доказательства помечается символом ?, его окончание — ¦, само слово «доказательство» обычно не указывается. Предложения, определения, леммы и т. п. в пределах одного параграфа нумеруются подряд, при этом на первой позиции ставится номер главы, затем — номер параграфа. Перечень цитированной литературы приведен в алфавитном порядке двумя отдельными списками для статей и монографий, опубликованных на русском или иностранных языках соответственно, при библиографических ссылках сначала указывается Фамилия автора (авторов) на языке оригинала, затем — номер работы этого автора.

1. Спектральная теория и теория расширений операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Дисс. на соискание уч. степени д-ра физ.-мат.наук.- Воронеж, 1985. 275 с. А з и з о в Т. Я., И о х в и д о в И.

2. Линейные операторы в гильбертовом пространстве с С?-метрикой / / УМН. — 1971. — Т. 26 No 4. — 43−92.

3. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой / / Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ/ВИНИТИ.-1979. Т. 17. 113−206.

4. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. — М.: Наука, 1985. 352 с. А з и з о в Т. Я., У с в я ц о в, а Е. Н.

5. О полноте и базисности собственных и присоединенных векторов операторов класса К{Н) // Укр. матем. ж.- 1978. Т. ЗО, No 1. — 86−88. А л ь б е в е р и о С, Г е с т е з и Ф., Х ё э г — К р о н Р. , Х о л ьд е и X.

6. Решаемые модели в квантовой механике. — М.: Мир, 1991. — 567 с. А р о в Д. 3.

7. Гамма-производящие матрицы, J-внутренние матрицы функции и связанные с ними задачи экстраполяции//Функ.анализ и его прил.- 1988.-Т.22, вып.1. 57−59. А р о н ш, а й н Н.

8. Квадратичные формы на векторных пространствах / / Математика (сб.переводов).-1964. Т.8, No 5. 105−158. А х и е з е р Н. И. и Г л, а з м, а н И. М.

9. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. T. LХарьков: Вища шк, 1977. 316 с. Б с л л м, а н Р.

10.

Введение

в теорию матриц.- М.: Наука.- 1969. 368 с. Б е н д е р с к и й О. Я., Л и т в и н о в Н., Ч и л и н В. И.

11. Описание коммутативных симметричных алгебр операторов в пространстве Понтрягина П1//Деп.рукопись Ташкент, 1989. 44 с. Б е р г Й., Л е ф с т р е м Й.

12. Интерполяционные пространства.

Введение

— М.: Мир, 1980. 264 с. Б с р е з, а н с к и й Ю. М.

13. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наукова Думка, 1965. 800 с.

14. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных.- Киев: Наукова Думка, 1978. 360 с. Б е р е 3 а н с к и й Ю. М., У с Г. Ф., Ш е ф т е л ь Я. 3.

15. Функциональный анализ.- Киев: Выща Школа, 1990. — 600 с. Б и р м, а н М. Ш, С о л о м я к М. 3.

16. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. — 264 с. Б о г о л ю б о в Н. Н., Л о г у н о в А. А., О к с, а к А. И., Т о д ор о в И. Т.

17. Общие принципы квантовой теории поля.- М.: Наука, 1987. 616 с. Б р, а т т е л и У., Р о б и н с о н Д.

18. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика.- М.: Мир, 1982. 512 с. Г, а р н е т т Дж.

19. Ограниченные аналитические функции.-М.: Мир, 1984. 469 с. Г е р и ш А., Г е р и ш В.

20. Пространство Понтрягина и сходимость метода БубноваГалеркина / / ДАН СССР.- 1970. Т.193, No 6. 1218−1221. Г и н з б у р г Ю. П.

21. О J-нерастягивающих операторах в гильбертовом пространстве / / Научи, зап. физ.-мат.фак. Одесского гос.пед. ин-та, 1958. Т.22, No 1. 13−20. Г и н з б у р г Ю. п., И о х в и д о в И.

22. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой / / УМН.- 1962. Т.17, No 4. 3−56. Г л, а з м, а н И. М., Л ю б и ч Ю. И.

23. Конечномерный линейный анализ.- М.: Наука, 1969. 476 с. Г о р б, а ч у к В. И. (П л ю щ е в, а В. И.).

24. Об интегральном представлении непрерывных эрмитово-индефинитных ядер// ДАН СССР.- 1962. 145, No 3. 534−537.

25. Об интегральном представлении эрмитово-индефинитных матриц с /с отрицательными квадратами// Укр.мат.журнал.- 1962. T.14,No 1. 30−39.

26. О единственности представления эрмитово-индефинитных функций и последовательностей.- Укр.мат.журнал.- 1966. T.18,No 2. 107−113. Г о р б, а ч у к В. И., Г о р б, а ч у к М. Л.

27. О представлении вакуумного среднего полевых операторов в пространстве с индефинитной метрикой.- Укр.мат.журнал.- 1966. T-18,No 6. 108−111. Г о ф м, а н К.

28. Банаховы пространства аналитических функций.- М: ИЛ, 1963. 312 с. Д, а д, а ш я н К. Ю., Х о р у ж и й С. С .

29. О полевых алгебрах в квантовой теории поля с индефинитной метрикой. 11. Формулировка модулярной теории в пространстве Понтрягина / / ТМФ,-1985. Т.62, No 1. 30−44. Д, а л е ц к и й Ю. Л., К р е й н М. Г.

30. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1970. 534 с. Д, а н ф о р д Н., Ш в, а р ц Дж. Т.

31. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962. 896 с.

32. Квантовая теория поля. Т.1. М.: Мир, 1984. 448 с. и о X в и д о в Е. и .

33. Об одном обобщении понятия J-унитарного оператора //Сб. XV Всесоюзная школа по теории операторов в фунциональных пространствах. Тезисы докладов. 4.1 — Ульяновск: УГПИ, 1990. 101. И о х в и д о в И.

34. К теории неопределенных теплицевых форм / / ДАН СССР.- 1955, — ТЛ01, е 2. 213−216.

35. Об операторах с вполне непрерывными итерациями / / ДАН СССР.- 1963. Т.153, No 2. 258−261.

36. G-изометрические и J-полуунитарные операторы в гильбертовом пространстве / / УМН.- 1965. Т.20, е 3. 175−181. И о х в и д о в И. С, К р е й н М. Г.

37. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой.1. Труды ММО, 1956. Т.5. 367−432.

38. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой.11. Труды ММО, 1959. Т.5. 413−496. К, а н т о р о в и ч Л, В., А к и л о в Г. П.

39. Функциональный анализ. 2-е изд.- М.: Наука, 1977. 741 с. К, а т о Т.

40. Теория возмущения линейных операторов.- М: Мир, 1972. 740 с. К и с е л е в А. А., П о п о в И. Ю.

41. Индефинитная метрика и рассеяние на области с малым отверстием / / Мат. заметки.- 1995. Т.58, вып.6. 837−850. К о п, а ч е в с к и й Н. Д., К р е й н Г., Н г о З у й К, а н .

42. Операторные методы в линейной гидродинамике.- М.: Наука.- 1989. 416 с. К р е й н М. Г., Л, а н г е р Г. К.

43. О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве с индефинитной метрикой / / ДАН СССР.- 1963. Т.152, No 1. 39−42.

44. Интерполяция линейных операторов.- М.: Наука, 1978. 400 с. К у ж е л ь А. В.

45. Теория рассеяния для автоморфных функций.- М.: Мир, 1979. 326 с. Л и т в и н о в Н.

46. Описание коммутативных симметричных алгебр в пространстве Понтрягина П1//ДАН УзССР.- 1987. No 1. 9−12. Л о г и н о в А. И.

47. Полные коммутативные симметричные операторные алгебры в пространстве Понтрягина П1 / / Мат.сборник.- 1971. 84, No 4. 575−582. Л я н ц е В. Э.

48. Об одном обобщении понятия спектральной меры// Мат.сб.- 1983. Т.61, No 1. 80−120.

49. О спектральном анализе несамосопряженных операторов / / ДАН СССР. — 1977. — Т.232, No 1. 36 — 39. Н, а д ь К. ЬПространства состояний в квантовой теории поля.- М.: Мир, 1969. -136 с. Н, а й м, а р к М. А.

50. О перестановочных унитарных операторах в пространстве П^ II ДАН СССР.- 1963. Т. 149, No 6. 1261−1263.

51. О коммутативных алгебрах операторов в пространстве IIi / / ДАН СССР.- 1964. Т. 156. 734−737.

52. Коммутативные алгебры операторов в пространстве 111 / / Rev. roum. math, pures et appl. — 1964. V.9,No 6. Pp. 499−529.

53. Банаховы коммутативные симметричные алгебры операторов в просгранстве Hi / / Изв. АН СССР. Сер.матем.- 1965. 29. 689−700.

54. Нормированные кольца.- М.: Наука, 1968. 664 с. Н, а й м, а р к М. А., И с м, а г и л о в Р. Представления групп и алгебр в пространствах с индефинитной метрикой //Матем.анализ 1968, М: ВИНИТИ, 1969. 73−105. Н и к о л ь с к и й Н. к.

55. Лекции об операторе сдвига.- М.: Наука, 1980. 384 с. Н и к о л ь с к и й Н. К., Х р у щ е в С В .

56. Функциональная модель и некоторые задачи теории функций / / Тр. мат. ин-та АН СССР.- 1987. Т.176. 97−210. С, а м о й л е н к о Ю.

57. Спектральная теория наборов самосопряженных операторов.- Киев: Наукова Думка, 1984. 232 с. П о н т р я г и н Л.

58. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой / / Изв. АН СССР. Сер.матем. — 1944. — 8. 243−280. П я т к о в Г.

59. Индефинитные эллиптические спектральные задачи / / Сиб. мат. журнал. — 1998. — Т.39, No 2. — 409−426. Р и д М., С, а й м о н .

60. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1977. 358 с. Р и с е Ф., С е к е ф, а л ь в и — Н, а д ь Б.

61. Лекции по функциональному анализу.- М.: Мир, 1979. 590 с. С о б о л е в Л.

62. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / / ЖПМТФ.- 1960.-NO 3. 20−55. С, а х н о в и ч Л. А.

63. О ./-унитарной дилатации ограниченного оператора / / Функ. анализ и его прил.- 1974; Т.8, No З.-С. 83−84. С с к с ф, а л ь в и — Н, а д ь Б., Ф о я ш Ч.

64. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве.- М.: Мир, 1970. С п и т к о в с к и й и. М.

65. Факторизация эрмитовых матриц-функций и классификация сдвигов в пространстве с индефинитной метрикой //Укр.мат.журн.- 1989. 41, No 10. 1388-С у д, а к о в Н.

66. О малых колебаниях упругой вытянутой осесимметричной оболочки, целиком заполненной вращающейся идеальной несжимаемой жидкостью. — Препринт 91.01, ИПММ АН УССР, Донецк, 1991, 64 с. С у п р у н е н к о Д. А., Т ы ш к е в и ч Р. И.

67. Перестановочные матрицы.- Минск: Наука и техника, 1966. 104 с. Ш м у л ь я н Ю. Л.

68. Теория расширения операторов в пространствах с индефинитной мет^ рикой / / Изв. АН СССР.- 1974. Т.38, вып.4. 896−908. Ш к, а л и к о в А. А.

69. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними / / Труды семинара им. И. Г. Петровского.-1989. Вып. 14. 140−224. Ш т р, а у с В. А.

70. Оператор Грама и (7-ортонормированные системы в гильбертовом пространстве / / Сб. трудов аспиранстов матем. ф-та, вып.1. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1971. 85−90.

71. О спектральном разложении неотрицательных операторов в правильных (35,д)-пространствах //Изв. АН ЭССР.-1972. Т.24, No 4. 360−363.

72. Некоторые вопросы геометрии и спектральной теории операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой. Дис. на соискание учен, степени канд. физ.-мат.наук, Воронеж, 1972, 126 с.

73. О непрерывных эрмитово-индефинитных функциях / / Мат. заметки.- 1973. Т.13, вып.2. С- 303−310.

74. G-ортонормированные системы и базисы в гильбертовом пространстве / / Изв. ВУЗов. Математика.- 1973. No 9. 108−117.

75. К теории самосопряженных операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой / / Сиб.мат.журнал.- 1978, — Т. Х1Х, No 3. 685−692.

76. Об интегральном представлении J-самосопряженного оператора в П" / / Сб. Исследования опер. ур-ий в функ-ых пр-вах.- Свердловск: Изд-во урГУ.- 1983. 110−115.

77. Некоторые особенности спектральной функции тгсамосопряженного оператора// Сб. Функциональный анализ. Теория операторов.- Ульяновск: Изд-во УГПИ.- 1983. 135−146.

78. Модельное представление простейшего тгсамосопряженного оператора / / Сб. Функциональный анализ. Спектральная теория.- Ульяновск: Изд-во УГПИ.- 1984. С — 123−133.

79. О функциональном исчислении тг-самосопряженных операторов / / Сб. IX школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов.- Тернополь: Збруч.- 1984. 151−152.

80. О некоторых свойствах тг-изометрического оператора, порожденного сдвигом / / Сб. Функциональный анализ. Спектральная теория, — Ульяновск: Изд-во УГПИ.- 1985. 137−147.

81. Функциональное представление алгебры, порожденной самосопряженным оператором в пространстве Понтрягина / / Функ. анализ и его прил.- 1986. Т. 20, вып.1. 91−92.

82. О модели 7г-полуунитарного оператора, порожденного сдвигом в максимальном неотрицательном подпространстве / / Сб. Функциональный анализ. Линейные пространства. — Ульяновск: Изд-во УГПИ. — 1986.-С.147−157.

83. О циклическом J-самосопряженном операторе// С6. Х1 Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Ч. 11, Челябинск: Изд-во ЧПИ, 1986. 152.

84. Интегро-полиномиальное представление регулярных функций от оператора, спектральная функция которого имеет критические точки / / Докл. АН УССР. Серия А.- 1986. No 8. 26−29.

85. О структуре операторов, дважды перестановочных с операторами класса К{Н) Ц Укр.матем.ж.- 1986. Т.38, No 6. 805.

86. Элементы функционального исчисления для Jсамосопряженных дефинизируемых операторов// Известия ВУЗов. Математика.- 1987. No 1. 83−85.

87. О дефинизируемом аналоге проблемы моментов Хаусдорфа / / ДАН арм.ССР.-1987. T. LXXX1V, No 1. — 9 -12.

88. Самосопряженные алгебры в пространствах со знакопеременной квадратичной формой//Сб. XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообш, ений. Ч.1. Львов: Институт прикладных проблем механики и математики АН УССР, 1987. 320.

89. О порождающих элементах коммутативной W J*-aягe6pы / / Сб. XII 1икола по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов.Ч.2. Тамбов: Изд-во ТГПИ, 1987. 124.

90. Об аналоге разложения Вольда для тг-полуунитарных операторов / / УМН.- 1988. Т.43, No 1. 185−186.

91. О бициклической самосопряженной алгебре в пространстве Крейна, неизоморфной своему коммутанту//УМН.- 1988.-Т.43, No 4. 233−234.

92. Структурные свойства тг-полуунитарного оператора / / Сб. XIII школа по теории операторов в фунциональных пространствах: Тезисы докладов. — Куйбышев: КГУ, 1988. 214−215.

93. Функциональное представление операторов, дважды перестановочных с самосопряженным оператором в пространстве Понтрягина / / СМЖ.- 1988. T. XXIX, No 6. 176−184.

94. Алгебра, порождаемая унитарным оператором в пространстве Понтрягина / / Сб. XIV школа по теории операторов в фунциональных пространствах. Тезисы докладов.- Новгород: НГПИ, 1989. 96.

95. О структуре семейства коммутирующих J-самосопряженных операторов / / УМЖ.- 1989. Т.41, No 10. 1431−1433.

96. О бикоммутанте Vrj*-ajire6pbi / / Сб. XV Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Ч. П — Ульяновск: УГПИ, 1990. 131.

97. О структуре тг-унитарного оператора и порождаемой им алгебры / / Сб. Спектральн! i еволющйн! задач!.- К.: УМК ВО, 1991.-С.4−6.

98. Функциональные модели операторов в пространствах Понтрягина и Крейна: Отчет о НИР (заключит.) / Челяб. гос. техн. ун-т (ЧГТУ) — ГР 1 900 051 674, 1991, 29 с. (Сборник рефератов НИР и ОКР. Серия 22, 9−1991).

99. Симметричные банаховы алгебры в пространстве типа Hi / / Мат.сб.- 1972. Т.89, No 2. 264−279. A п d о Т.

100. Linear operators in Krein spaces. Lecture Notes. — Sapporo: Hokkaido University, 1979. A r o c e n a R.

105. On unitary dilatations and characteristic functions in indefinite inner product spaces// Operator theory: Adv. and Appl. (Birkhauser Veriag) .-1987. V.24. Pp. 87−102. D a v i s Ch.

106. Pseudo-regular spectral functions in Krein spaces// J. of ОТ.- 1984. No 12. Pp. 349−358. H e l t o n J. W.

107. Unitary operators on a space with an indefinite inner product / / J. of Funct. analysis.- 1970. V.6, No 3. Pp. 412- 440.

109. Introduction to the spectral theory of linear operators in spaces with an indefinite metricBerlin: Akademie-Verlag, 1982. 120 p. J a I a V a V.

110. On spectral decomposition of a class of bounded operators in a Banach space with a nondegenerate Hermitianform. Univ. Jyva skula, Dept.Math., 1970, Report 9, 32 p. J o n a s P.

111. Bedingung fiir die Existenz einer Eigenspektralfunction fur gewisse Automorphismen lokalkonvexer Raume / / Math. Nahrichten.- 1970. No 45, H 1−6. Pp. 143−160.

112. On the functional calculus and the spectral function for the definitizable operators in Krein space.- Prepr. Akad.Wiss. DDR, Zentralinst. Math, und Mech., 1979, No 4, 36 p.

115. Zur Spektraltheorie J-selbstadjungierter Operatoren// Math. Ann.- 1962. V.146, No 1. Pp. 60−85.

116. Spectraltheorie linearer Operatoren in J-raumen und enige Anwendungen auf die Shar L (A) = >?I + B 4- C— Habilitationsschrift, Tech.Univer., Dresden, 1965.

119. Shifts on indefinite inner product spaces// Pacific J. Math.- 1979. V.81, No 1- Pp. 113−130.

120. Shifts on indefinite inner product spaces.ll.// Pacific J. Math.- 1982. V. IOO, No .- Pp. 177−183. S t r a u s s V. (Shtraus V.A.).

121. Functional models for operators acting in indefinite inner product spaces / / Report of the Twelfth conference on Operator Theory. Timisoara (Romania), June 6−16, 1988, Pp.103−105.

122. On an analogue of the Wold decomposition for a 7r-semi-unitary operator and its model representation.- Contemporary Mathematics (USA: AMS).-1995. V.189. P.473−484.

123. On definitizabie operator with spectral square in Krein space, in: Spectral and evolutional problems. Proceedings of the Forth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium 4, 127−132, Simferopol State University, Simferopol, Crimea/Ukraine, 1995.

124. Descomposici6n espectral de una algebra de operadores en espacio de Krein. Trabajo de ascenso, Universidad Sim6n Bolfvar, Caracas, 1998, 48 p.

126. Analytic functional calculus aлd spectral decompositions. Dordrecht: D. reidel Co., 1982.