Геометрия и комбинаторика виртуальных узлов

Настоящая диссертация посвящена двум бурно развивающимся теориям — теории виртуальных узлов и теории гомологий Хованова.

Классическая теория узлов, насчитывающая более двухсот лет, за последние десятилетия обогатилась разнообразными методами и тонкими инвариантами, составляющими мощный аппарат современной теории узлов. Естественным образом классическая теория узлов (т.е. теория узлов в трехмерном евклидовом пространстве или в трехмерной сфере), является составной частью неизмеримо более широкой теории — узлов в трехмерных многообразиях. Для этой теории аппарат развит в гораздо меньшей степени.

Теория виртуальных узлов занимает промежуточное положение между теорией узлов в произвольных трехмерных многообразиях и классической теорией узлов. Она с одной стороны гораздо шире классической теории узлов, а с другой стороны близка к ней в силу некоторых причин, которые мы изложим ниже. Вследствие этого многие методы и инварианты классических узлов могут быть перенесены на «виртуальную» теорию. Это перенесение часто требует дополнительных идей, которые представлены в настоящей диссертации. Среди таких идей — мощные новые инварианты — гомологии Хованова (1997). Последние представляют собой гомологии цепного комплекса, который строится по диаграмме узла (зацепления) — сами гомологии являются инвариантами узла (зацепления).

Для перенесения теории гомологий Хованова на виртуальные узлы потребовалось построение нового комплекса, имеющего те же гомологии, что.

1.1.

Введение

6 и комплекс Хованова. Такое построение потребовало ряда новых идей: ориентации и упорядочения окружностей в состояниях, скрученных коэффициентов в алгебре Фробениуса гомологий тривиального узла, использования внешних произведений вместо обычных тензорных (симметрических) произведений. Ключевую роль в построении теории гомологий Хованова для виртуальных узлов, в изучении свойств гомологий Хованова, а также в других задачах сыграло понятие атома (введенное А. Т. Фоменко [F] и активно изучаемое А. Т. Фоменко и его школой, см. сборник [ФБШ] и ссылки в нем). Независимо то же понятие атома было определено В. Г. Тураевым [Tur2]. Атомы и d-диаграммы (особый вид хордовых диаграмм с двумя семействами незацепленных хорд, стр. 163) сыграли ключевую роль также в доказательстве гипотезы В. А. Васильева (глава 8). Теория d-диаграмм разработана автором в работах [Ман-2], [Ман-3], [Ман-1]. Род атома (в других источниках называемый родом Тураева) оказался естественным образом связан не только с гомологиями Хованова, но и с гомологиями Ожвата-Сабо, [Low].

Опишем некоторую общую точку зрения, которая позволяет трактовать классические и виртуальные узлы единым образом. Классический узел (или зацепление) можно задать диаграммой узла. На диаграмме есть перекрестки и непересекающиеся между собой линии, соединяющие перекрестки друг с другом. Если расставить на плоскости перекрестки .)<) произвольным образом и указать, в каком порядке их концы соединяются друг с другом, то иногда соединяющие линии могут быть выбраны непересекающимися (в этом случае получается диаграмма классического узла), а в некоторых случаях установить непересекающиеся соединительные линии не удается — получается «виртуальная» диаграмма, или диаграмма виртуального узла. Виртуальные перекрестки, обозначаемые кружочками, возникают всякий раз, когда четырехвалентный граф, определенный заданными перекрестками и заданным способом соединений этих перекрестков не является плоским, что представляет собой довольно частое явление. Пример виртуальной диаграммы изображен на рис. 1.1.

Таким образом, виртуальные узлы относятся к классическим примерно так же как произвольные графы к плоским графам.

1.1.

Введение

7.

Рис. 1.1. Виртуальная диаграмма.

При этом эквивалентность (изотопность) диаграмм классических узлов определяется посредством формальных комбинаторных преобразований (движений Рейдемейстера), которые относятся к близко стоящим перекресткам. Для виртуальных узлов, заданных посредством набора классических перекрестков с указанием способа соединения перекрестков друг с другом эквивалентность задается в точности теми же движениями Рейдемейстера (различные способы изображения соединения классических перекрестков приводят к диаграммам, отличающимся друг от друга движением объезда, см. далее).

Отметим, что на этом пути обобщения появились новые теории: виртуальных многомерных узлов (абстрактных узлов, Камада-Камада [КК]), а также пространственных виртуальных графов (Меллор, Флеминг, [FM]). Нетрудно показать, что виртуальные диаграммы происходят от узлов (зацеплений) в утолщенных двумерных поверхностях.

Теория узлов является одной из основных ветвей маломерной топологии. Как математическая теория, она восходит к концу восемнадцатого века. Важный вклад в развитие теории узлов внесли А. Т. Вандермонд, К.-Ф. Гаусс [Gau], Ф. Клейн, М. Ден [Dehn], Дж. Александер [Alel, А1е2] и другие выдающиеся ученые.

При этом прорыв в теории узлов, приведший к современному ее состоянию, решению многих давно стоящих проблем, связан с открытиями Дж.Х.Конвея [Con] и В.Ф. Р. Джонса [Jonl], а позднее — В. А. Васильева [Vasl, Vas2] и других и относится к последней трети двадцатого века (по.

1.1.

Введение

8 линомы Конвея, Джонса, инварианты Васильева конечного порядка). За открытия в теории узлов В.Ф. Р. Джонс, Э. Виттен, В. Г. Дринфельд (1990) и М. Л. Концевич (1998) были удостоены высшей математической награды — филдсовских медалей.

В 1997 году была предложена еще одна выдающаяся конструкция инвариантов узлов — гомологии Хованова [Kh]: каждой диаграмме узла сопоставляется алгебраический комплекс, все гомологии которого представляют собой инварианты узлов, а эйлерова характеристика этого комплекса совпадает с полиномом Джонса.

В девяностые годы XX века получили широкое развитие несколько направлений маломерной геометрии и топологии, связанных с теорией узлов, имеющих самостоятельный интерес. С одной стороны, получила широкое распространение теория лежандровых узлов, лежащая на стыке теории узлов и контактной геометрии [FT, EGH, Che, ЕН]. Она имеет многомерные аналоги и связана с различными областями геометрии и топологии.

Другим направлением является теория гомологий зацеплений, двумя важнейшими ветвями которой являются теория гомологий Хованова [Kh] и теория гомологий Хегора-Флоера, предложенная П. Ожватом и З. Сабо, см. [OzsSz].

Замечательным изобретением является теория виртуальных узлов, открытая Луисом Кауфманом в 1996 году, [Каи7]. С ее появлением стало понятно, что теория классических узлов является малой составной частью более широкой теории, изучение свойств которой помогает лучше понять некоторые явления в теории классических узлов, а также стимулирует постановку новых задач, см. [FKM]. Теория виртуальных узлов находит свои применения в классической теории узлов. Посредством теории виртуальных узлов была решена проблема существования комбинаторных формул для всех инвариантов конечного порядка классических узлов [GPV].

Проблема распознавания классических узлов была одной из центральных в маломерной топологии. Ее первое безупречное решение связано с именами Хакена, Хемиона, Матвеева и др. Результат об алгоритмической распознаваемости важен также и по причине того, что в маломерной топологии часто имеет место алгоритмическая нераспознаваемость. С появле.

1.1.

Введение

9 нием теории виртуальных узлов естественно встал вопрос об их алгоритмической распознаваемости. Этот вопрос разрешен положительно в главе 2 настоящей диссертациипри этом помимо нескольких структурных положений теории Хакена-Матвеева потребовалась также нетривиальная теорема Куперберга и ряд рассуждений, специфических для виртуальных узлов.

Теория виртуальных узлов, ее конструкции и методы тесно взаимодействуют с различными разделами классической теории узлов, в частности, с инвариантами Васильева. Этому посвящена глава 8. В ней, с использованием атомов и с?-диаграмм доказана гипотеза Васильева о планарности графов с крестовой структуройэта гипотеза играет ключевую роль в работе Васильева [Вас] о существовании комбинаторных формул для инвариантов конечного порядка.

К теории виртуальных узлов проявили интерес многие известные ученые: О. Я. Виро, В. Г. Тураев, М. Н. Гусаров, М. Хованов, Л. Розанский Р. Фенн, К. Рурк, Ге Молинь, С. Картер, Б. Меллор, Г. Куперберг, В. В. Вершинин, В. Г. Бардаков, Н. Камада, С. Камада, Д. Рэдфорд, и др. Ей посвящено множество работ, см., напр., [APS, Bar, BF, DK1, FJK, FM, FRR, Dye, GKZ, GPV, Н, HK],[Kad, Kam. Nl, Kam. N2, Kam, Kau7, Kau8, Kau9, DK2, Kaul, KK], [KaulO, KL, KL2, KR, KhR3, Kup, Nel, Satoh, SW, SW2, Saw, Saw2, TuTu, Tur4, Ver, Viro2, Viro, W, ZZ1, ZZ2] и ссылки в них.

Упомянутые выше теории имеют связь с различными задачами комбинаторики, трехмерной и четырехмерной топологии, теорией представлений групп и алгебр Ли. На последней основано построение так называемых квантовых инвариантов, см. [Turl, Oht].

1. Ма1. Мантуров, В.О. (2005), Теория узлов. Регулярная и хаотическая динамика, Москва-Ижевск, 512 сс.

2. Ма2. Мантуров, В.О. (2004), О полиномиальных инвариантах виртуальных зацеплений, Труды ММО, 65 (1), сс. 175−200.

3. МаЗ. Мантуров, В.О. (2003), О распознавании виртуальных кос, Запискинаучных семинаров ПОМИ, 299. Геометрия и топология, 8, сс. 267 286.

4. Ма4. Мантуров, В.О. (2002), Инварианты виртуальных зацеплений. Доклады РАН, 384 (1), сс. 11−13.

5. Ма5. Мантуров, В.О. (2003), Атомы и минимальные диаграммы виртуальных зацеплений. Доклады РАН, 391 (2), сс. 166−168.

6. Маб. Мантуров, В.О. (2004), Полином Хованова для виртуальных узлов.

7. Доклады РАН, 398, (1). сс. 15−18.

8. Ма7. Мантуров, В.О. (2003), Кривые на поверхностях, виртуальные узлыи полином Джонса-Кауфмана, Доклады РАН, 390 (2) сс. 155−157.

9. Ма8. Мантуров, В.О. (2004), Инварианты конечного порядка виртуальныхзацеплений и полином Джонса-Кауфмана, Доклады РАН, 395 (1), сс. 18−21.

10. Ма9. Мантуров, В.О. (2005), О длинных виртуальных узлах. Доклады.

12. МаЮ. Мантуров, В.О. (2002), Инвариантный полином двух переменныхдля виртуальных зацеплений. Успехи мат. наук, 57, N0 .5, сс. 141 142. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 372.

13. Mall. Мантуров, В.О. (2005), Комплекс Хованова для виртуальных узлов,.

14. Фундаментальная и прикладная математика, т. 11, 4, сс. 127−152.

15. Ма12. Мантуров, В.О. (2005), Доказательство гипотезы Васильева о планарности сингулярных зацеплений, Извеетия РАН, т. 69, 5, сс. 169 178.

16. Ма13. Мантуров, В.О. (2003), Комбинаторные вопросы теории виртуальных узлов, Математические вопросы кибернетики, т. 12, сс. 147−178.

17. Ма14. Мантуров, В.О. (2006), Комплекс Хованова и минимальные диаграммы узлов, Доклады РАН, 406, (3). сс. 308−311.

18. Ма15. Мантуров В. О. (2007), Гомологии Хованова виртуальных узлов спроизвольными коэффициентами. Известия РАН, 71 (5), pp. 111−148.

19. Mani. Manturov, V.O. (2004), Knot Theory, CRC-Press, Boca Raton, 416 pp.

20. Man2. Manturov, V.O. (2003), Multivariable polynomial invariants for virtualknots and links. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12,(8), pp. 1131−1144.

21. МапЗ. Manturov, V.O. (2003), Kauffman-like polynomial and curves in 2surfaces. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12, (8), pp.11 451 153.

22. Man4. Manturov, V.O. (2005), Vassiliev invariants for virtual links, curves onsurfaces and the Jones-Kauifman polynomial. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 14, (2), pp. 231−242.

23. Man5. Manturov, V.O. (2004), Long virtual knots and their invariants. Journalof Knot Theory and Its Ramifications, 13 (8), pp.1029−1039.

24. Man6. Manturov, V.O. (2002), On Invariants of Virtual Links, Acta.

25. Applicandae Mathematicae, 72 (3), pp. 295−309.

26. Man7. Manturov, V.O. (2004), Virtual Knots and Infinite-dimensional Liealgebras. Acta Applicandae Mathematicae, 83 (3), pp. 221−233.

27. Man8. Manturov, V.O. (2005), Flat Hierarchy, Fundamenta Mathematicae, vol188, pp. 147−154. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 373.

28. Мап9. Manturov, V.O. (2007), Khovanov Homology for Virtual Links with.

29. Arbitrary Coefficients, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 16(3), pp. 345−377.

30. KMl. Kauifman, L.H., Manturov, V.O. (2005), Virtual Biquandles,.

31. Fundamenta Mathematicae, 188, pp. 103−146.

32. KM2. Кауфман, Л.Х., Мантуров, В.О. (2006) Виртуальные узлы и зацепления, Труды математического института РАН им. В. А. Стеклова, т. 252, N. 1, 114−133. 1. Другие цитируемые работы:

33. Alel. Alexander, J. W. (1923), Topological invariants of knots and hnks. Trans.1. AMS., 20, pp. 257−306.

34. Ale2. Alexander, J.W. (1933), A matrix knot invariant. Proc. Nat. Acad. Sei.1. USA, 19, pp. 222−275.

35. Ale3. Alexander, J.W. (1923), A lemma on systems of knotted curves, Proc.

37. AP. Asaeda, M. , Przytycki, J. (2004), Khovanov homology: Torsion and.

39. APS. Asaeda, M. , Przytycki, J., Sikora, A. (2004), Categorification of the.

40. Kauffman bracket skein module of I-bundles over surfaces. Algebraic and.

41. Geometric Topology, 4, No. 52, pp. 1177−1210.

42. Arnl. Arnold, V. l. (1994), Topological invariants of plane curves and caustics,.

43. Univ. Lect. Series, 5, AMS Providence, R. L.

44. Arn2. Arnold, V. l. (1994), Plane curves, their invariants, perestroikas andclassifications, in: Singularities and Bifurcations, Adv. Soviet Math., 21,.

46. Artl. Artin, E. (1925), Theorie der Zopfe. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 4, pp. 27−72. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 374.

47. Avd. Avdeev, R.S. (2006), On extreme coefficients of the Jones-Kauffmanpolynomial for virtual links, J. Knot Theory Ramifications, 15, (7), pp. 853−868.

48. BaMo. Bae, Y. and Morton, H.R. (2003) The spread and extreme terms of the.

49. Jones polynomial. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 12, (3), pp. 359−373.

50. Bar. Bardakov, V .G. (2004) The virutal and universal bradis. Fundamenta1. Mathematicae, 184, 1−18.

51. BF. Bartholomew, A. and Fenn. R. (2003), Quaternionic Invariants of Virtual.

52. Knots and Links, www.maths.sussex.ac.uk/StafF/RAF/Maths/Current/1. Andy / equivalent. ps,.

53. BL. Birman, J.S. and Lin, X.-S. (1993), Knot polynomials and Vassihev’sinvariants, Inventiones Mathematicae, 111, pp. 225−270.

54. Bigl. Bigelow, S. (2001). Braid groups are Hnear, J. Amer. Math. Soc, 14, pp.471−486.

55. Big2. Bigelow, S. (2002). Does the Jones polynomial detect the unknot. Journalof Knot Theory and Its Ramifications 11, pp 493−505.

56. Bir2. Birman, J.S. (1974), Braids, links and mapping class groups. Princeton,.

57. NJ: Princeton Univ. Press, 1974 (Ann. Math. Stud., 1982).

58. Bir3. Birman, J.S. (1993), New points of view in knot theory. Bull. AMS, 28, pp. 283−287.

59. BNl. Bar-Natan, D. (1995), On the Vassiliev knot invariants. Topology, 34, pp. 423−475.

60. BN2. Bar-Natan, D. (2002), On Khovanov’s categorification of the Jonespolynomial. Algebraic and Geometric Topology, 2(16), pp. 337−370.

61. BN3. Bar-Natan, D. (2004), Khovanov’s homology for tangles and cobordisms, arXiv: mat. GT/410 495 Geometry and Topology, 9, 1443−1499 (2005).

62. Bou. Bouchet, A. (1994), Circle graph obstructions, /. Combinatorial Theory1. B, 60, pp. 107−144. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 375.

63. BuF. Budden, S., Fenn, R. (2004), The Equation ВДА- 1){А, В)] = 0 and.

64. Virtual Knots and Links, Fundamenta Mathematicae 184, pp. 19−29.

65. Bur. Burau, W. (1936) Uber Zopfgruppen und gleichzeitig verdrillte.

66. Verkettungen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 11, pp. 179−186.

67. BZ. Burde, G. and Zieschang, H. (2003), Knots (Berlin: Walter de Gruyter).

68. КФ. Кроуэлл, F., Фокс, F. (1967), Введение в теорию узлов, (М.: Мир).

69. Саг. Carter, J.S. (1991), Closed curves that never extend to proper maps ofdisks, Proc. AMS, 113 (3), pp. 879−888.

70. CDBook. Chmutov, S. and Duzhin, S., Mostovojr, J. CDBook. Introduction to.

71. Vassiliev Knot Invariants, http://www.pdmi.ras.ru/ duzhin/ papers/cdbook.ps.gz.

72. CDL. Chmutov, S.V., Duzhin, S.V. and Lando, S.K. (1994), Vassiliev knotinvariants / — / / /, Advances in Soviet Mathematics, 21, pp. 117−147.

73. Che. Chekanov, Yu. (2002), Differential algebras of Legendrian links, 1. ventiones Mathematicae, 150(3), pp. 441−483.

74. ChK. Champanerkar, A., Kofman, L, Spanning trees and Khovanov homology, arxiv: math. GT/607 510.

75. CEl. Cairns, G., Elton, D., The planarity problem for signed Gauss words,.

76. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2, No.4. (1993), pp. 359 367.

77. CE2. Cairns, G., Elton, D., The planarity problem II, Journal of Knot Theoryand Its Ramifications, 5, No.2. (1996), pp. 137−144.

78. CS. J.S.Carter and M. Saito, Diagrammatic invariants of knotted curves andsurfaces, (unpublished manuscript — 1992).

79. CKS. Carter, J.S., Kamada, S., Saito, M. (2002), Stable equivalence of knots onsurfaces. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 11, pp. 311−322.

80. CKS2. Carter, J.S., Kamada, S., Saito, M. (2004), Surfaces in 4-space, (N.Y:1. Springer Verlag). 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 376.

81. Con. Conway, J. H, (1970), An enumeration of knots and links and some of theiralgebraic properties, In: Computational Problems in Abstract Algebra (New York, Pergamon Press), pp. 329−358.

82. Dehl. Dehornoy, P. (1995), From large cardinals to braids via distributivealgebra. Journal of Knot Theory and its Ramifications, 4, pp. 33−79.

83. Dehn. Dehn, M. (1914), Die beiden Kleeblattschhngen, Mathematische.

85. Dehn2. Dehn, M. (1910), Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes,.

86. Mathematische Annalen, 69, ss. 137−168.

87. DKl. Dye, H.A. and Kauffman, L.H. (2004), Virtual knot diagrams andthe Witten-Reshetikhin-Turaev Invariants, arXiv: math. GT/407 407,.

88. Journal of Knot Theory and Rs Ramifications, Vol. 14, No. 8, pp. 10 451 075 (2005),.

89. DK2. Dye, H.A., Kauffman, L.H. (2004), Minimal Surface Representation of.

90. Virtual Knots and Links, arXiv: math. GT/401 035 v l .

91. Дро. Дроботухина, Ю.В. (1991), Аналог полинома Джоунса-Кауфманадля зацеплений в КР^ и обобщение теоремы Кауфмана-Мурасуги,.

92. Алгебра и анализ, 2(3), сс. 613−630.

93. DuK. Duzhin, S.V., Karev, M.V., Detecting the orientation of long links byfinite type invariants, arXiv: math. GT/507 015 v4 21 Jul 2005.

94. Dye. Dye, H.A. (2003), Detection and Characterization of Virtual Knot.

95. Diagrams, Ph.D. Thesis, University of Ilhnois at Chicago.

96. Дын. Дынкин, Е.Б. (1947), О коэффциентах в формуле СатрЬеИ’а.

97. Hausdorff’a, Доклады АН СССР, 57 (4), сс.323−326.

98. EGH. Ehashberg, Ya., Givental, А. and Hofer, Н. (2002), An introduction tosymplectic field theory, Geom Funct. Anal., Special Volume, Part II, pp. 560−673. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 377.

99. EH. Etnyre, J., Honda, K. (2000), Knots and Contact Geometry, Part /, Part/7, arXiv: mat. GT/0006n2. Part J: Torus knots and the figure eight knot.

100. Journal of symplectic geometry, (2001), 1, pp, 63−120.

101. EKT. Ehahou, Sh., Kaufman, L.H., Thistletwaite, M. (2003). Infinite familiesof hnks with trivial Jones polynomial. Topology, 42, pp. 155−169.

102. F. Fomenko A. T. (1991), The theory of multidimensional integrablehamiltonian systems (with arbitrary many degrees of freedom). Molecular table of all integrable systems with two degrees of freedom. Adv. Sou. 1. Math, 6, pp. 1−35.

103. ФМ. Фоменко, A.T., Матвеев, С В. (1991), Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии, М., Изд. МГУ.

104. ФБШ. Топологические методы в теории гамильтоновых систем (1998), подред. А. Т. Фоменко, А. В. Болсинова, А. А. Шафаревича., М, Факториал.

105. FJK. Fenn, R., Jordan-Santana, М. and Kauffman, L.H. (2004), Biracks andvirtual links www.maths.sussex.ac.uk/Reports/TAGG/TAGG02−01.ps,.

106. Topology & AppL, 145, pp. 157−175.

107. FKM. Fenn, R. A, Kauflfman, L. H, and Manturov, У.О. (2005), Virtual.

108. Knots: Unsolved Problems, Fundamenta Mathematicae, Proceedings ofthe Conference «Knots in Poland-2003», 188, pp. 293−323.

109. FM. Flemming, Th., Mellor, В., Virtual Spatial Graphs, arXiv: math.1. GT/510 158.

110. FRR. Fenn, R.A., Rimanyi, P. and Rourke, C P. (1997), The braidpermutation Group, Topology, 36(1), pp. 123−135.

111. FRSl. Fenn, R.A., Rourke, C P, Sanderson, B. (1995), Truncs and classifyingspaces. Applied Categorical Structures 3 pp. 321−356.

112. FRS2. Fenn, R.A., Rourke, C P, Sanderson, B. (1993), An introduction to.

113. Species and the Rack Space Topics in Knot Theory: Kluwer Academic1. Publishers, pp. 33−55 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 378.

114. FT. Fuchs, D. and Tabachnikov, S. (1997), Invariants of Legendrian andtransverse knots in the standard contact space. Topology, 36, pp. 10 251 053.

115. Ga. Garoufahdis, S. (2004), A conjecture on Khovanov’s invariants,.

116. Fundamenta Mathematicae, 184, pp. 99−101.

117. Gar. Garside, F.A., The braid group and other groups (1969), Quart. J. Math.

119. Gau. Gauss, C.F. (1877), Zur Mathematischen Theorie der electrodynamischen.

120. Wirkungen, Werke Koningl. Gesell. Wiss. Gottingen 5 (1877), s. 605.

121. GKZ. Mo-Lin Ge, L.H. Kauffman, Yong Zhang, Virtual Extension of.

122. Temperley-Lieb Algebra, arXiv: math-ph /610 052 v i 22 Oct 2006.

123. GL. Gordon., C. McA, and Luecke, J. (1989), Knots are determined by theircomplements, J. Amer. Math. Soc, 2 (2), pp. 371−415.

124. Gold. Goldman, W. (1986), Invariant functions on Lie groups and Hamiltonianflows of surface group representations, Inventiones Mathematicae, 85, pp. 263−302.

125. Goryu. Goryunov, V. (1998), Vassilive type invariants in Arnold’s J±theoryof plane curves without direct self-tangencies. Topology 37, pp. 603−620.

126. GPV. Goussarov M., Polyak M., and Viro 0.(2000), Finite type invariants ofclassical and virtual knots. Topology 39, pp. 1045−1068.

127. Гус. Гусаров, М.Н. (1991), Новая форма полинома Джонса-Конвея дляориентированных зацеплений. Зап. научных семинаров ЛОМИ, 193,.

128. Геометрия и топология, 1, сс. 4−9.

129. И. Hrencecin, D., On Filamentations and Virtual Knot Invariant, Thesiswww.math.uic.edu/ dhren/FINALCOPY.ps.

130. Hak. Haken, W. (1961), Theorie der Normalfiachen, Acta Mathematicae 105, pp. 245−375.

131. Hem. Hemion, G. (1992), The classification of knots and 3-dimensional spaces,(Oxford: Oxford Univ. Press). 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 379.

132. HL. Hass, J., Lagarias, J. (2001), The number of Reidemeister moves neededfor unknotting, J. Amer. Math. Soc, 14 (2), pp. 399−428.

133. HK. Hrencecin, D. and Kauffman, L.H. (2003), On Filamentations and Virtual.

134. Knots, Topology and its Applications, 134, pp. 23−52.

135. HOMFLY. Freyd, R, Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, W.B.R, Millett, K.C.and Ocneanu A. (1985), A new polynomial invariant of knots and links.

136. Bull. Amer. Math. Soc. 12, pp. 239−246.

137. Hur. Hurwitz A (1891). Uber Riemannsche Flache mit gegebenen.

138. Verzweigungspunkten. Math. Ann., 39, pp. 1−61.

139. K. Ishii, A., Kamada, N., Kamada, S. (2006), The virtual magnetic.

140. Kauffman bracket skein module and skein relations for the f-polynomial, available at http://www4.ocn.ne.jp/ xyz/LvA03.pdf.

141. Jac. Jacobsson, M. (2002), An invariant of link cobordisms from Khovanov’shomology theory, arXiv: mat. GT/206 303 v l .

142. Joh. Johannson, K.(1979), Homotopy equivalences of 3-manifolds withboundaries. Lecture Notes in Mathematics, 761, (Berhn: Springer-Verlag).

143. Jonl. Jones, V. F. R. (1985), A polynomial invariant for hnks via Neumannalgebras. Bull. Amer. Math. Soc, 129, pp. 103−112.

144. JKS. Jaeger, F., Kauffman, L.H., and H. Saleur (1994), The Conway.

145. Polynomial in and Thickened Surfaces: A new Determinant.

146. Formulation, J. Combin. Theory. Ser. B., 61, pp. 237−259.

147. Jon2. Jones, V. F. R. (1987), Hecke algebra representations of braid groupsand hnk polynomials, Annals of Mathematics, 126, pp. 335−388.

148. Joy. Joyce D. (1982), A classifying invariant of knots, the knot quandle,.

149. Journal of Pure and Applied Algebra, 23 (1), pp. 37−65.

150. Kad. Kadokami, S. (2003), Detecting non-triviahty of virtual hnks. Journal of.

151. Knot Theory and Its Ramifications, 6, pp. 781−819.

152. Kadi. Kadison, L. (1999), New examples of Frobenius extensions. University1. cture series, AMS. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 380.

153. Kam.Nl. Kamada, N. (2002), On the Jones polynomial of checkerboardcolorable virtual knots, Osaka Journal of Mathematics, 39, (2), pp. 325 333.

154. Kam. N2. Kamada, N. (2005), A relation of Kauffman’s /-polynomials ofvirtual links. Topology and Its Applications, 146−147, pp. 123−132.

155. Kam. Kamada, S. (2000), Braid presentation of virtual knots and welded knots, arXiv: math. GT/8 092 v l, 2000.

156. Kaul. Kauffman, L.H. (1987), On Knots, (Annals of Math Studies, Princeton1. University Press).

157. Kau2. KaufFman, L.H. (1991), Knots and Physics, (Singapore: World1. Scientific).

158. Kau3. Kauffman, L.H. (1987), State Models and the Jones Polynomial,.

160. Kau4. Kauffman, L.H. (1983), Combinatorics and knot theory. Contemporary.

162. Kau5. Kauffman, L.H. (2003), e-mail to the author. May 2003.

163. Kau6. Kauffman, L.H. (1973), Link manifolds and periodicity. Bull. Amer.

165. Kau7. Kauffman, L. H. (1999), Virtual knot theory, European Journal of.

167. Kau8. Kauffman, L.H. (2001), Detecting virtual knots, Atti. Sem. Math. Eis.,.

168. Univ. Modena, Supplemento al vol. IL, pp. 241−282.

169. Kau9. Kauffman, L.H.. , Diagrammatic Knot Theory, in preparation.

170. KaulO. L. H. Kauffman (2004), A Self-Linking Invariant of Virtual Knots.

171. Fundamenta Mathematicae, vol. 184, pp. 135−158.

172. Kaul. Kauffman, L. H. (1997), Virtual Knots, talks at MSRI Meeting, January1997 and AMS meeting at University of Maryland, College Park, March 1997. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 381.

173. Kh. Khovanov, M. (1997), A categorification of the Jones polynomial, Duke.

175. Khl. Khovanov, M. (2002) A functor-valued invariant of tangles, Algebr.

176. Geom. Topol. 2, pp. 6651⁷⁴¹ (electronic), arXiv: math. QA/103 190.

177. Kh2. Khovanov, M. (2004), Link homology and Frobenius extensions, 1. Arxiv. Math:GT/411 447.

178. Kh3. Khovanov, M. (2005), Categorifications of the colored Jones polynomial.

179. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 14 (1), pp. 111−130.

180. KhRl. Khovanov, M., Rozansky, L., Matrix Factorizations and Link Homology, 1. Arxiv. Math:GT/401 268.

181. KhR2. Khovanov, M., Rozansky, L., Matrix Factorizations and Link Homology1. H, Arxiv. Math:GT/505 056.

182. KhR3. Khovanov, M., Rozansky, L., Virtual crossings, convolutionsand a categorification of the S0(2N) Kauffman polynomial, 1. Arxiv. Math:GT/701 333.

183. KK. Kamada, N. and Kamada, S. (2000), Abstract link diagrams and virtualknots. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 9 (1), pp. 93−109.

184. KL. Kauffman, L.H., Lambropoulou, S. (2004), Virtual braids, Fundamenta.

185. Mathematicae, vol. 184, pp. 159−186.

186. KL2. Kauffman, L.H., Lambropoulou, S. (2006), Virtual braids and the L.

187. Move, J. Knot Theory Ramifications 15, No. 6, 773−811.

188. KNS. Kamada, N., Nakabo, S. and Satoh, S. (2002), A virtualized skeinrelation for Jones polynomial, Illinois Jornal of Mathematics, 46 (2), pp. 467−475.

189. Kon. Kontsevich, M. (1993), Vassiliev’s knot invariants, Adv. in Soviet Math., 16(2) (1993), pp. 137−150.

190. Kra. Krammer, D. (2002), Braid groups are hnear, Ann. of Math., 2 (155), pp.131−156. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 382.

191. KR. Kauifman, L.H. and Radford, D. (2002), Bi-Oriented Quantum Algebrasand a Generalized Alexander Polynomial for Virtual Links, AMS.

193. Kup. Kuperberg, G. (2002), What is a Virtual Link?, www.arXiv.org, math.

194. GT/208 039, Algebraic and Geometric Topology, 2003, 3, 587−591.

195. Bull. Amer. Math. Soc. 82 (1976), no. 1, 121−122.1.w. Lowrance, A., Heegaard-Floer Homology and Turaev genus, arxiv: math. 1. GT/0709.0720.

196. Much. Manchon, P.M. (2004), Extreme coefficients of the Jones polynomialand the graph theory. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 13, 1. N. 2, pp. 277−296.

197. Ман-1. Мантуров, В.О. (2000), Бифуркации, атомы и узлы, Вестник МГУ.1. Сер. Матем., 1, сс. 3−8.

198. Ман-3. Мантуров, В.О. (2000), Скобочная полугруппа узлов. Мат. Заметки, 67, (4), сс. 449−462.

199. Ман-4. Мантуров, В.О., Компактные и длинные виртуальные узлы. Труды1. ММ О, в печати.

200. Маг. Markoff, А. А. (1936), Uber die freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe,.

202. Мат. Матвеев, C.B. (1982), Дистрибутивные группоиды в теории узлов.

203. Мат. Сборник, 119 1, pp. 78−88.

204. Matv. Matveev, S.V. (2003), Algorithmic topology and classification of 3manifolds, (N.-Y.: Springer Verlag).

205. Mel. Mellor, B. (2003), A few weight systems arising from intersection graphs,.

207. Miy. Miyazawa, Y. (2006), Magnetic Graphs and an Invariant for Virtual1. nks, /. Knot Theory & Ramifications, 15 (10), pp. 1319−1334.

208. MN. Malyutin, A., Netsvetaev, N. (2004), Dehornoy’s ordering of the braidgroup and braid moves, St. Petersburg Mathematical Journal, 15, pp. 437−448.

209. Moi. Moise, E.E. (1952), Afhne structures in 3-manifolds. V. The triangulationtheorem and Hauptvermutung, Annals of Mathematics, 57, pp. 547−560.

210. Moo91. Moody, J.A.(1991), The Burau representation of the braid group ?"is unfaithful for large n. Bull. Amer. Math. Soc, 25, pp. 379−284.

211. Мог. Morton, H.R. (1986), Threading knot diagrams, Math. Proc. Cambridge.

213. MT. Menasco, W. and Thistlethwaite, M. (1993), A classification of alternatinglinks. Annals of Mathematics, 138, pp. 113−171.

214. Muri. Murasugi, K. (1987), The Jones polynomial and classical conjectures inknot theory, Topology 26, pp. 187−194. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 384.

215. MW. Morrison, S., Walker, K. Fixing the functoriahty of Khovanov homology, arxiv: math. GT/701 339.

216. Nel. Nelson, S. (2001), Unknotting virtual knots with Gauss diagram forbiddenmoves. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 10 (6), pp. 931 935.

217. HOBI. Новиков, П., Топология, М.-Ижевск: РХД, 2002.

218. Oht. Ohtsuki, Т. (2002), Quantum Invariants. A Study of Knots, 3-Manifolds, and Their Sets, (Singapore: World Scientific).

219. OzsSz. Ozsvath, P., Szabo, Z. Heegaard diagrams and Fioer homology, arxiv: math. GT/602 323.

220. Ош. Ошемков, A.A. (1994),. Кодирование особенностей. Труды МИРАНим В. А. Стеклова, т. 205, сс. 131−141.

221. Пап. Папакирьякопулос, Д. (1958), О лемме Денаи асферичности узлов.

222. Сб. переводов «Математика», 2, (4), сс. 32−49.

223. ПС. В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский (1997), Узлы, зацепления, косы итрехмерные многообразия, МЦНМО.

224. PV. Polyak, М. and У1го, О. (1994), Gauss diagram formulae for yassilievinvariants. Int. Math Research Notices, 11, pp. 445−453.

225. Ras. Rasmussen, J. A. (2004), Khovanov Homology and the slicegenus, ArXivMath:/GT. 402 131.

226. Ras2. Rasmussen, J., Some Differentials on Khovanov-Rozansky Homology (2006), arXiv: math. GT/607 544.

227. Rei. Reidemeister, K. (1932) нем.: Knotentheorie, (Berhn: Springer) англ: Knot Theory, (New York: Chelsea Publ. & Co.).

228. Rein. Reinhart, B.L. (1962), Algorithms for Jordan Curves on Compact.

229. Surfaces, Annals of Mathematics, 75, No. 2., pp, 209−222.

230. Satoh. Satoh, S. (2000), Virtual knot presentation of ribbon torus-knots, J.

231. Knot Theory Ramifications, 9 (4), pp. 531−542.1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 385.

232. Saw. J. Sawollek (2003), On Alexander-Conway polynomials for virtualknots and links, arXiv: math. GT/9 912 173 21 Dec 1999. J. Knot Theory.

234. Saw2. J. Sawollek (2002), An Orinetation-sensitive Vassiliev invarinats forvirtual knots, arXiv: math. GT/203 123.

235. Shu. Shumakovitch, A. (2004), Torsion of the Khovanov homology, Arxiv: GT/405 474.

236. Schu. Шуберт, X. (1966), Алгоритм для разложения зацеплений на простыеслагаемые. Математика, 10 (4), сс. 57−104.

237. SW. D. S. Silver and S. G. Wihiams (2001), Alexander Groups and Virtual1. nks, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 10 (l), pp. 151−160.

238. SW2. Silver, D.S., Wihiams, S.G. (2006), Alexander Groups of Long Virtual.

239. Knots, Journal of Knot Theory and its Ramifications, 15 43-Ь2.

240. Thl. Thistlethwaite, M. (1987), A spanning tree expansion for the Jonespolynonial. Topology, 26, pp. 297−309.

241. Th2. Thistlethwaite, M. (1988), On the Kauffman polynomial of an adequatehnk. Invent. Math. 93 (2), 285−296.

242. Tho. Thompson, A. (1994), Thin position and the recognition problem for S^,.

243. Math. Res. Letters, 1 (5), pp. 613−630.

244. Tra. Traczyk, P. (1998) A simpe proof of Markov’s theorem. Proceedings ofthe Conference 'Knots in Poland — 1995, Warszawa, Banach Centre.

246. Turl. Turaev V .G. (1992), The Yang-Baxter equation and invariants of hnks, 1. ventiones Mathematicae, 3, pp. 527−553.

247. Tur2. Turaev, V .G. (1987) A simple proof of the Murasugi and Kauffmantheorems on alternating links. Enseignement Mathematique, 2 (33), N. 3−4, pp. 203−225.

248. ТигЗ. Тураев, В.Г. (2004), Введение в комбинаторные кручения, МЦНМО, 2004. 1. Л И Т Е Р, А Т У Р, А 386.

249. Tur4. Turaev, V. G. (2003) Virtual strings and their cobordisms, 1. Arxiv: Math. GT/03m85.

250. Tur5. Turaev, V .G. (1989), Algebras of loops on surfaces, algebras of knots, and quantization, Inventiones Mathematicae, pp. 59−95.

251. TuTu. Turaev, V .G., Turner, P.(2005), Link homology and unorientedtopological quantum field theory, arXiv: math. GT/506 229 v l .

252. Vasl. Vassiliev, V. A. (1990), Cohomology of knot spaces, in Theory of.

253. Singularities and its applications, Advances in Soviet Mathematics,!, pp.23−70.

254. Vas2. Vassihev, V. A. (1994), Complements of Discriminants of Smoothmaps: Topology and Apphcations, Revised Edition, Amer. Math. Soc, 1. Providence, R.I.

255. Вас. Васильев, В.A. (2005), Инварианты первого порядка и когомологиипространств вложений самопересекающихся кривых в Известия 1. РАН, т. 69 5, сс. 3−52.

256. Ver. Vershinin, V. (2001), On Homology of Virtual Braids and Burau.

257. Representation, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 18(5), pp. 795−812.

258. Viro. Viro, 0. (2002), Remarks on definition of Khovanov Homology, arXiv: math. GT/202 199 v l .

259. Viro2. Viro, O. (2005), Virtual links and orientations of chord diagrams.

260. Proceedings of the Gokova Conference-2005, International Press, pp. 187 212.

261. Viro3. Viro, O., (1988;1989), Обобщения модуля Александера (неопубликовано).

263. Wal. Waldhausen, F. (1967), On irreducible 3-manifolds which are sufficientlylarge. Annals of Mathematics, 87, (1), pp. 56−88.

264. Wehl. Wehrli, S. (2003),, Khovanov homology and Conway mutations, Arxiv:1. GT / 301 312.

265. Weh2. Wehrli, S. (2004), A spanning tree model for the Khovanov homology, 1. ArxivG T / 409 328.

266. W. S. Winker. PhD. Thesis (1984), University of Ilhnois at Chicago.

267. ZZl. Zinn-Justin, P, Zuber, J.-B. (2004), Matrix integrals and the generationand counting of virtual tangles and links. Journal of Knot Theory and Its.

268. Ramifications, 13, (3), pp. 325−355.

269. ZZ2. Zinn-Justin, P., Zuber, J.-B. (2005), Tables of Alternating Virtual Knots, http.7/ipnwebin2pr3frlptms/membres/pzinn/virtlinks.