Метод регуляризации для сингулярно возмущенных краевых задач при изменении характера спектра

Во многих разделах естествознания возникают математические задачи с малым параметром. При этом встает вопрос об их приближенном решении. Теория дифференциальных уравнений с параметром разрабатывается в двух направлениях — численные и асимптотические методы. Они не исключают, а взаимно дополняют друг друга. Однако, в некоторых случаях применение численных методов (даже с использованием быстродействующих ЭВМ) оказывается малоэффективным. Здесь фундаментальное значение приобретают асимптотические методы исследования, которые позволяют получать формулы, описывающие качественное поведение решения при стремлении параметра к нулю.

Различают два вида зависимости уравнения (или системы) от малого параметра — регулярную и сингулярную. Система в нормальной форме регулярно зависит от параметра 6, если все ее правые части являются гладкими функциями от 6 при малых?^О — в противном случае система зависит от параметра 6 сингулярно. По этому признаку различные асимптотические методы относят либо к регулярной (классической) теории возмущений, либо к сингулярной теории возмущений.

Асимптотические методы зародились в математическом анализе еще в ХУШ веке. Исследования Лагранжа, Лапласа, а позднее Римана заложили основы будущей теории. Математически идеи регулярной теории возмущений были оформлены в трудах А. Пуанкаре [из] в XIX веке. Им были введены понятия асимптотического ряда и асимптотической сходимости и с их помощью четко сформулирована задача теории возмущений. Следует отметить важный вклад А. М. Ляпунова [54], разработавшего метод доказательства сходимости рядов по степеням малого параметра, посредством которых определяются периодические решения. Регулярная теория возмущений нашла широкое применение в квантовой механике. Ее математические основы подытожены в работах К. Фридрихеafl40j и Т. Като [45−4б] .

Следуя методу Пуанкаре-Ляпунова, решение регулярно возмущенной задачи получают с помощью некоторых поправок к решению предельной (при ?=0)задачи. При решении сингулярно возмущенных задач дело усложняется тем, что нельзя полагать L-0 в данном уравнении. Так в задачах химической киненики малым параметром служит масса катализатора, при этом наличие малого параметра является основным фактором, определяющим ход процесса. При его формальном обращении в нуль математическая модель разрушается.

В 1837 году Лиувиллем jl5lj была установлена структура фундаментальной системы для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка при я 00, ъ (рс)УО. В 1907 году Шлезингер [l52] и в 1908 году Биркгоф [l49j строго доказали теорему о структуре фундаментальной системы (первый — вдоль луча (ХЛ/^? —oi, второйв секторе ^ <�С (Ж<^ 6, $ 0) для линейного сингулярно возмущенного уравнения 1Ъ-ого порядка б" «^ + rL~'сц (ж, е) ¦. ¦ -г L (х, О % + o. i) где X 6 и — малый комплексный параметр. При.

0 эта теорема может быть сформултрована следующим образом.

Теорема. Пусть I) коэффициенты уравнения (0.1) равномерно ограничены и разлагаются в равномерно сходящиеся ряды сх> • a6 С00fa,§-].

2) корни характеристического уравнения.

AV а40(х)}Г" * + - + CUmCX.) =0 при Ух 6 t?-^] различны и удовлетворяют неравенствам.

Re Я, • ¦¦ ¦ ^.

Тогда существует фундаментальная система решений y^[x.j€) ", уравнения (0.1), для которой имеет место асимптотическое разложение при? 0 ^ Ъсо & + fхь^ПМ], (о.2) равномерное по аналитическое по? и бесконечно дифференцируемое по X.

Аналогичный результат имеет место и для линейных сингулярно возмущенных систем (см., например, [~4?]).

В последующие несколько десятилетий интерес математиков к вопросам асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений понизился. Но поскольку задачи с малым параметром возникали на практике и требовали решения, то ими продолжали заниматься представители прикладных дисциплин. Было разработано много различных методов, каждый из которых предназначался для решения задач определенного типа. Так, для решения конкретных задач механики жидкости и газа были созданы метод сращиваемых разложений [по] и метод Лайтхилла [144] - для задач с переменной кратностью спектраметод Цваана, метод Лангера? l5oJ, метод Маслова jj03] - для нелинейных задач в колебательном случаеметод усреднения Крылова-Боголюбова (см., например,).

С конца сороковых годов проблемами сингулярных возмущений стал заниматься широкий круг математиков. Это связано, с одной стороны, с прогрессом в таких прикладных областях как теория нелинейных колебаний, теория автоматического регулирования, оптика, квантовая механика, гидродинамика, химическая кинетика и т. д., ас другой — с публикацией известных работ академика А. Н. Тихонова [l3I, 132], в которых доказаны теоремы о предельном переходе в нелинейных сингулярно возмущенных системах. В дальнейшем А. Б. Васильевой jl8−2o] создан метод асимптотического интегрирования таких задач, который успешно развивается и сейчас. Для линейных задач, в том числе и для некоторых уравнений в частных производных, был разработан метод М. И. Вишика и Л. А. Люстерника ]. Эти авторы рассматривали также сингулярно возмущенные системы с бесконечно большими начальными значениями и заложили основы теории «начального скачка» [24^. Построение асимптотических решений для таких систем проводилось в работах А. Б. Васильевой jje] и К.А.Касы-мова [43,44^. Широкое развитие и применение получил метод усреднения в работах Ю. А. Митропольского [104-Юб'], Самойлен-ко A.M. [I2l], А. Н. Филатова [138,139], М. М. Хапаева [l4I, I42] С. Ф. Фещенко и Н. И. Шкиля [137,145^. Задачи с так называемыми точками срыва были изучены А. А. Дородницыным на примере уравнения Ван-дер-Поля [35], а затем с более общих позиций рассматривались в работах Л. С. Понтрягина и Е. Ф. Мищенко [107,108] Из числа ленинградских математиков прикладными задачами сингулярной теории возмущений занимаются С. Л. Носов, А. Н. Покровский jl02], И. И. Романюк [117]. Значительные результаты в области асимптотического анализа сингулярно возмущенных операторных уравнений в абстрактных пространствах получены Ю.Л.Да-лецким [29−3l], М. Г. Крейном [32], С. Г. Крейном [51−53], В. А. Треногиным [9,133,135″ ] .

В конце пятидесятых — начале шестидесятых годов С. А. Ломов [55−98] предложил новый метод решения сингулярно возмущенных задач, получивший название метода регуляризации. Основная идея этого метода состоит в том, что сингулярную зависимость решения от параметра можно описать с помощью спектра некоторого оператора. Посредством введения дополнительных (независимых) регуляризирующих переменных осуществляется переход (подъем) в пространство большей размерности, в котором задача, индуцированная исходной, будет регулярно возмущенной. Для нахождения коэффициентов ряда теории возмущений для решения ре-гуляризованной задачи получаются итерационные системы, неоднозначная разрешимость которых устраняется правильным выбором и точным описанием классов функций, в которых их следует решать .

Метод регуляризации С. А. Ломова отличается значительной общностью, строгостью и внутренней красотой. При построении асимптотических решений для него важен не характер задачи (например, задачи колебательного и неколебательного типов, к которым применяются обычно разные асимптотические методы), а характер спектра предельного оператора этих задач. Усилиями.

С.А.Ломова и его учеников [4,5,12−16,28,38,39,48−50,118,119, I22-I26J создается стройное здание общего асимптотического метода, пригодного для решения широкого класса сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (линейных и нелинейных), для линейных уравнений в частных производных, для некоторых операторных уравнений, для задач, находящихся в условиях стабильности спектра и при нарушении этих условий. Наконец, важной отличительной особенностью теории С. А. Ломова является то, что асимптотические ряды, полученные в рамках его метода, могут (при определенных условиях) сходиться и в обычном смысле ][94−9б], тогда как при решении другими методами это принципиально невозможно .

В большинстве работ по теории сингулярных возмущений асимптотические методы применяются к случаю так называемого стабильного спектра предельного оператора. Сформулируем условия стабильности на примере задачи Коши для системы.

U} = еЧ Ж°>*Н°Х?Ш] (о.з) здесь предельный оператор L0 = -А (х)).

Определение. Говорят, что задача (0.3) находится в условиях стабильности спектра, если спектр матрицы Д (х) удовлетворяет следующим условиям:

V х е Qo, X] A^x^Ajtx) ,.

VxeL°, X] XiC.

At (x)=0 oev0;

VxeLo.X].

•или Ai^so (j-^" -)или 2°. или oO.

В противном случае говорят, что условия стабильности спектра нарушены.

Условия стабильности означают, грубо говоря, что точки спектра не слипаются и не обращаются в нуль в отдельных точках рассматриваемого промежутка, т. е. характер спектра не меняется с изменением независимой переменной. Между тем, с прикладной точки зрения задачи с нестабильным спектром являются более важными, чем задачи со стабильным спектром, так как на практике редко можно гарантировать выполнение условий стабильности.

Общая теория асимптотического интегрирования задач в условиях нестабильности спектра еще не построена, асимптотическому анализу подвергались лишь некоторые частные случаи. Трудность решения таких задач состоит в том, что во многих случаях еще неизвестна структура фундаментальной системы решений, а также в том, что предельный оператор оказывается необратимым всюду на рассматриваемом промежутке.

Характерным примером задачи с нестабильным спектром является известная задача с точкой поворота. Для системы (0.3) это означает, что в некоторой точке отрезка [Р?Х] матрица /4(рс) имеет кратное собственное значение. Интерес к уравнениям с точками поворота обусловлен такими прикладными исследованиями как рассмотрение тонких упругих тороидальных оболочек и изгиба кривых труб, вопросами гидродинамической устойчивости параллельных течений и пр. Кратные точки поворота возникают при изучении явлений дифракции на эллиптических цилиндрах с почти единичным эксцентрисететом и при решении уравнения Шредингера.

Наиболее распространенным методом исследования асимптотического поведения решений задач с точками поворота является метод ВКБ (метод Вентцеля, Крамерса, Бриллюэна) ]Tl43j. Некоторым вопросам данного метода и его приложениям посвящены работы А. А. Барышникова [2,з] и Н. М. Матвеева [iOI^. Другим распространенным методом изучения таких задач является метод Цваана, связанный с выходом в комплексную плоскость. М.В.Фе-дорюком разработан метод продолжения асимптотики решения, известной в некоторой области или на линии, на всю комплексную плоскость. В 1949 году Р. Лангер [150] впервые получил равномерные асимптотические приближения к решению задач с точками поворота, включая и саму точку поворота. А. А. Дородницыным [13б] развит метод эталонных уравнений для получения асимптотических разложений решений ряда задач с точками поворота, который он использовал для изучения некоторых вопросов спектральной теории. Асимптотические ряды для фундаментальной системы решений с точками поворота на бесконечном промежутке получены в работах А. А. Стакуна 127,128^ .

В 1969 году С. А. Ломовым ^66] с помощью его метода получено равномерное асимптотическое разложение решения задачи Коши для неоднородного уравнения с простой точкой поворота. Краевая задача с точкой поворота изучена А. А. Бободжановым JV].

Другим примером задачи с нестабильным спектром являются задачи, в которых изменение характера спектра происходит за счет того, что собственные значения предельного оператора обращаются в нуль в некоторых точках рассматриваемого промежутка. Задача такого типа изучалась впервые С. А. Ломовым.

79,84] на примере начальной задачи для линейного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка в случае, когда одна из двух точек спектра имеет нуль первого порядка.

В работе [?] В. Н. Бобочко, С. А. Ломов и И. И. Маркуш исследовали задачу Валле-Пуссена при нарушении знакопостоянства корней характеристического уравнения, т. е. задачу с внутренним пограничным слоем.

Настоящая диссертация посвящена применению метода регуляризации С. А. Ломова к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных задач в условиях нестабильности спектра, когда одно из собственных значений предельного оператора имеет нуль первого порядка в единственной точке рассматриваемого промежутка. Изучаются.

1) краевая задача для сингулярно возмущенного линейного дифференциального уравнения второго порядка — глава I;

2) задача Коши для сингулярно возмущенного уравнения первого порядка в конечномерном гильбертовом пространстве (система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка относится к этому классу) — глава 2.

В главе I рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача.

0.4) при ?., когда корни характеристического уравнения а, (х) Л + О удовлетворяют условию.

Согласно теореме Шлезингера-Биркгофа фундаментальная система решений при достаточно малых 6 имеет вид (0.2), где Хо —, 1=4,2.. Однако для асимптотического интегрирования краевой задачи знание этой структуры практически ничего не дает и может быть использовано лишь при доказательстве теоремы об оценке остаточного члена ряда теории возмущений. В работе? l30] Я. Д. Тамаркин впервые рассмотрел краевую сингулярно возмущенную задачу и исследовал поведение ее функции Грина.

Как известно, решение краевой задачи, вообще говоря, не сходится равномерно к предельному решению при ?.-^0 .В работе [23] М. И. Вишика и Л. А. Люстерника, дополненной А.Б.Шаба-том [l45^, найдены необходимые и достаточные условия на корни характеристического уравнения, обеспечивающие равномерную разрешимость краевой задачи. Некоторые результаты, обобщающие результаты А. Б. Шабата, получены В. Г. Разумейко [lI4][ .

В работе М. П. Мягковой [109^ краевая задача для скалярного уравнения исследована методом регуляризации, и, в отличие от результатов предыдущих авторов, полученная асимптотика является регуляризованной (типа Биркгофа). При этом корни характеристического уравнения предполагались различными и мюли реальную часть строго больше или меньше нуля. В монографии [93] (глава 3) излагается теория асимптотического интегрирования краевой задачи для систем, также находящихся в условиях стабильного спектра.

В рассматриваемом нами случае нестабильного спектра дело осложняется тем, что решение предельного уравнения разрывно на заданном промежутке, и формальный перенос методики работы [109] невозможен. В работе [84J С. А. Ломовым была получена равномерная асимптотика сингулярно возмущенной задачи Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка при? О, когда спектр изменяет характер в одной точке. Автор выдвинул гипотезу: если точка спектра имеет нуль первого порядка, то модельным уравнением для описания сингулярностей будет и,' Т (Л = 0, соответствующий коэффициент в котором является нулем первого порядка. Решением такого уравнения будет функция e/jLjv^- ^у^). В рассматриваемой главе эта гипотеза применяется для изучения поведения решения краевой задачи (0.4) при Ъ. Методом регуляризации строится формальный асимптотический ряд, начинающийся с отрицательной степени малого параметра, и доказывается его асимптотическая сходимость при достаточно малых &>0. При этом построенный ряд является единственным в некотором классе функций, в котором решаются итерационные задачи для определения его коэффициентов. В отличие от работы [84], где изучается задача Коши, оценка остаточного члена ряда возмущений для решения краевой задачи проводится с использованием функции Грина.

Замечание. Аналогичным образом может быть решена и задача (0.4) в предположении, что корни характеристического уравнения удовлетворяют условию:

Ai (x) = a (x)?o, XtL^oc%Coo)) &euro-(х)<0 to € [0,0.

Это условие на спектр, так же как и условие (0.5), обеспечивает равномерную разрешимость данной краевой задачи.

Во второй главе изучается сингулярно возмущенная задача.

Коши fH X. ФХ, (0.6) при? 0 в комплексном конечномерном гильбертовом пространстве Е • Предполагается, что при каждом фиксированном оператор А (эс) &euro-(Е, Е), его спектр простой, лежит в замкнутой левой полуплоскости и одна из его точек имеет нуль первого порядка при Х=0, а именно: Л^ — OCOlQx^ где — действительная функция, такая что СС^ЭС) <0 vx е cegq.

Исследование асимптотического поведения решения ^(pc^s) данной задачи проводится методом регуляризации с использованием некоторых элементов метода проекций. В § I дается постановка задачи и точное описание используемых в дальнейшем понятий и обозначений. В § 2 описывается выбор регуляризирую-щих функций и проводится регуляризация задачи. В § 3 описывается так называемое пространство элементарных решений U и действие на нем операторов, участвующих в формулировке ре-гуляризованной задачи. В § 4 доказаны теоремы 2.1 и 2.2 о нормальной и однозначной разрешимости некоторых промежуточных задач в пространстве элементарных решений и с их помощью излагается способ построения ряда теории возмущений для решения регуляризованной задачи, который оказывается единственным в U. В § 5 доказывается, что сужение этого ряда является формальным асимптотическим решением исходной задачипроводится оценка остаточного члена этого ряда и тем самым обосновывается его асимптотическая сходимость. В § 6 приводится один пример задачи Коши для системы второго порядка, на котором иллюстрируется рассмотренный способ асимптотического интегрирования, причем оказывается, что полученный ряд сходится в обычном смысле.

К числу новых результатов, полученных в диссертации, мы относим:

I)Применение метода регуляризации С. А. Ломова для решения краевой задачи (0.4) в одном из простейших случаев нарушения условий стабильности спектра, когда одна из собственных функций имеет нуль первого порядка на правом конце рассматриваемого промежутка.

2)Распространение метода регуляризации С. А. Ломова при' таком же типе изменения характера спектра на линейные сингулярно • возмущенные дифференциальные системы, которые рассматриваются как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в конечномерном гильбертовом пространстве. Разработанная при этом методика и применяемый математический аппарат позволяют без значительных изменений получать обобщения для других абстрактных пространств в случае ограниченного оператора.

Основные результаты опубликованы в работах [153−156], а также докладывались на семинаре по теории возмущений под руководством профессора С. А. Ломова в Московском энергетической институте, на семинаре под руководством профессора В. А. Якубовича на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова, на семинаре по асимптотическим методам под руководством с.н.с., 'И.И.Романюк на факультете прикладной математики-процессов управления ЛГУ, на семинаре по дифференциальным уравнениям и математической физике под руководством профессора Н. М. Матвеева в Ленинградском государственном педагогическом институте юл.А. И. Герцена, на научной конференции «Герценовские чтения» в том же институте, на итоговых научных конференциях в Чувашском государственном университете им. И. Н. Ульянова, на Всесоюзной школе-семинаре «Методы малого параметра и их применение» в Минске (1982 г.).

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность Сергею Александровичу Ломову и Николаю Михайловичу Матвееву за постоянное внимание и большую помощь в работе.

Г Л, А В A I.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ДИШРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ХАРАКТЕРА СПЕКТРА.

В этой главе методом регуляризации С. А. Ломова получена равномерная асимптотика решения краевой задачи для сингулярно возмущенного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка при стремлении малого параметра к нулю в случае, когда одна из точек спектра имеет нуль первого порядка на правом конце рассматриваемого промежутка.

§ I. Постановка задачи.

Будем изучать решение сингулярно возмущенной кравеой задачи? + = i (x), (1.1) g (o, 6)= y (i, s)=o O-Z) при e +0 в предположении, что /l (x), СЦ (х) 3 (XajCx) 6.

C^CO^ljIR) и К0РНИ характеристического уравнения удовлетворяют условию.

Wx)=a (x).

Для асимптотического интегрирования задачи (I.I),(I.2) при условии (1.3) применим метод регуляризации.

1.Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-Харьков: Гос.науч.-техн. изд-во Украины, 1939.-719 с.

2. Барышников А. А. Построение приближенного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка в окрестности кратной точки поворота.-В сб.:Методы и модели управления-Рига, 1972, вып.2, с.64−71.

3. Барышников А. А. О решении системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с четырьмя классическими точками поворота.-В сб.: Асимптотические методы в теории систем. Иркутск, 1973, вып. 5, с.91−103.

4. Бободжанов А. А., Ломов С. А. Применение спектральной теории операторов для асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач.-Тр./Моск.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1982, вып.566, с. 93−97.

5. Бобочко В. Н., Маркуш И. И. Асимптотические методы в теории линейных сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений. -Ужгород: Изд-во УжГу, 1977.-72 с.

6. Бобочко В. Н., Маркуш И. И., Ломов С. А. Асимптотическое представление решений задачи Балле-Пуссена с внутренним пограничным слоем.-Ужгород, 1978.-42 с.-Рукопись представлена Ужгор. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 22 авг. 1978, № 2840−78.

7. Валиев М. А. Асимптотическое решение задачи Коши для гиперболического уравнения с параметром.-Тр./Моск.энерг.ин-т.М.:МЭИ, 1972, вып.146,с.2−12.

8. Валиев М. А. Регуляризованные асимптотические разложения для абстрактных параболических уравнений в гильбертовом пространстве .-Тр./Моек.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1974, вып.201,с.3−12.

9. Валиев М. А. Метод регуляризации сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.-ДАН СССР 1975, т.220, Р 5, с. Ю08-Ю12.

10. Валиев М. А., Ломов С. А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных задач в случае неограниченного несамосопряженного оператора. ДАН СССР, 1977, т.236 № 1,с.11−13.

11. Валиев М. А., Ломов С. А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве.-Дифферент уравнения, 1981, т.17,№ 10,с.1792−1805.

12. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.:Мир, 1967.-310 с.

13. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной.-УМН, 1963, т.18,Р 3, с.15−86.

14. Васильева А. Б., Бутузов В.<1.Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.-М.:Наука, 1973.-272с.

15. Васильева А. Б., Бутузов ВД>. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях.М.:Изд-во МГУ, 1978.106 с.

16. Васильева А. Б., Кураев Н. М. Внутренний переходный слой в односторонне устойчивой сингулярно возмущенной системе.-Диффе-ренц.уравнения, 1979, т. I5, № 10,с.1748−1753.

17. Васильева А. Б., Шаминская М. В. Краевая задача для сингулярно возмущенных дифференциальных и разностных систем, когда невозмущенная система находится на спектре.-Дифференц.уравнения, 1977, т.13,Р4,с.738−742.

18. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой.-УМН, 1957, т.125,с.3−122.

19. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр.-ДАН СССР, I960, т. 132, N96, с. 1242−1245.

20. Глазман И. М., Любич Ю. И. Конечномерный линейный анализ в задачах.-М.:Наука, 1969.-476 с.

21. Градштейн И. С. Линейные уравнения с переменными коэффициентами и малыми параметрами при старших производных.-Матем.сб., 1950, т. 27, И, с. 47−68.

22. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.-М.:Наука, 1979.-431 с.

23. Губин Ю. П., Ломов С. А., Сафонов В. Ф. Точечный резонанс в системе двух осцилляторов.-ПММ, 1982, т.46,вып.3,с.389−396.

24. Далецкий Ю. Л. Асимптотический метод для некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами.-ДАН СССР, 1962, т.143,№ 5,с.1026−1029.

25. Далецкий Ю. Л. Об одном линейном уравнении относительно элементов нормированного кольца.-УМН, 1959, т.14,Р I, с.165−168.

26. Далецкий Ю. Л., Крейн С. Г. О дифференциальных уравнениях вгильбертовом пространстве.-Укр.матем.журн., 1950, т.2,Р4,с.71−91.

27. Далецкий Ю. Л., Крейн М. г! Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.-М.:Наука, 1970.-534с. *.

28. Дзядык С.Ю.О поведении решений неоднородных дифференциальных уравнений с точкой поворота и малым параметром при производной .-Укр.матем.журн., 1973,№ 5,с.657−662.

29. Дзядык С. Ю. Исследование решений колебательного типа неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.-Киев, 1973.с.Препринт/Ин-т матем. АН УССР: ИМ-73−7 .

30. Дородницын А. А. Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля. -ГОШ, 1947, т. II,№ 3, с.313−328.

31. Елисеев А. Г. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных уравнений с непрерывным спектром предельного оператора.- Вкн.:Всесоюзн.конф.по асимп. методам, ч.I.Алма-Ата:Наука, 1979, с.69−73.

32. Елисеев А. Г., Ломов С. А. Теория возмущений в банаховом пространстве.-ДАН СССР, 1982, т.264,Р I, с.34−38.

33. Иосида К. Функциональный анализ.-М.:Мир, 1967.-624 с.

34. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем.-Фрунзе:Илим, 1972. -356 с.

35. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.-M.:Наука, I977.-744 с.

36. Касымов К. А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, содержащего малый параметр.-УМН, 1962, т.17, № 5,с.187−188.

37. Касымов К. А. Асимптотические разложения решений задачи Коши .с начальным скачком для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.-Изв. АН Каз. ССР, 1963,№ 3,с.66−96.

38. Като Т. Интегрирование эволюционных уравнений в банаховом пространстве.-В сб. пер." Математика", 1958, т.2,Р 4, c. II7-I35.

39. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.-М.:Мир, 1972. -740 с.

40. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:ИЛ, 1958.-474 с.

41. Коняев Ю. А. Метод регуляризации в применении к нелинейным сингулярно возмущенным задачам.-Тр./Моск.энерг.ин-т.М.:МЭИ, 1975, вып.260,с.I06-I13.

42. Коняев Ю. А. Построение регуляризованной асимптотики для линейных систем с многочленной сингулярностью спектра.-Тр./ Моек.энерг.ин-т.М.:МЭИ, 1978, вып.357,с.51−55.

43. Коняев 10.А.Асимптотика фундаментальной матрицы некоторых сингулярно возмущенных уравнений.-В кн.:Некоторые вопр. диф-ференц.уравн.в решении прикл.задач.Тула:Изд-во ТЛИ, I981, с.6-II.

44. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.-М.:Наука, 1967.-464 с.

45. Крейн С. Г., Чернышев К. И. Поведение решений общих линейных систем, мероморфно зависящих от малого параметра.-ДАН СССР, 1.81,т.260,Р 3, с.530−535.

46. Крейн С. Г., Чернышев К. И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, — Новосибирск, 1969. -18 с.

47. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движений.-М.:Гос-техиздат, 1950.-471 с.

48. Ломов С. А. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр.-Тр./Моек.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1962, вып.42,с.99−144.

49. Ломов С. А. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.-Сб.научн.трудов МО СССР, 1962,№ 24,c.I9I-2I8.

50. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с малым параметром. -ДАН СССР, 1963, т.148,№ 3, с.516−519.

51. Ломов С. А. Обобщение теоремы Фукса на неаналитический случай.-Матем.сб., 1964, т.65,Р 4, с.498−511.

52. Ломов С. А. О модельном уравнении Лайтхилла.-Сб.научн.трудов МО СССР, 1964, № 54,с.74−83.Ломов С. А. Регуляризация сингулярных возмущений.-Докл.науч-но-техн.конф.МЭИ, секц.матем.М.:МЭИ, 1965, с.129−133.

53. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением.-ИАН СССР, сер.матем., 1966, т.30,Р 3, с.525−572.

54. Ломов С. А. Приближенный метод решения дифференциальных уравнений с малым параметром.-Сб.научн, трудов МО СССР, 1966,№ 67,с.117−125.

55. Ломов С. А. Об одном методе регуляризации сингулярных возмущений.-ДАН СССР, 1967, т.177,№ 6,с.1273−1276.

56. Ломов С. А. Асимптотическое поведение решений уравнений, предельные решения которых разрывны.-Докл. научно-техн.конф.по итогам научно-исслед. работ за 1966;67 гг., секц.матем., М.:МЭИ, 1967, с.133−145.

57. Ломов С. А. Построение асимптотических решений некоторых задач с параметрами.-ИАН СССР, сер.матем., 1968, т.32,№ 4,с.884−913.

58. Ломов С. А. Равномерные асимптотические разложения одной задачи с точкой поворота.-Докл.научно-техн.конф.по итогам науч-но-исслед.работ за 1968;1969 гг., секц.матем.М.:МЭИ, 1969, с.42−50.

59. Ломов С. А. Асимптотическое решение параболической задачи с параметром.-Докл.научно-техн.конф.по итогам научно-иселед.ра-. бот за 1968;69 гг., секц.матем.М.:МЭИ, 1968, с.51−54.

60. Ломов С. А. Приближенное решение некоторых уравнений с параметрами .-Дифференц.уравнения, 1969, т.5,Р 7, с.72−87.

61. Ломов С. А. Об одном методе асимптотического решения дифференциальных уравнений.-В кн.:Тр.У Международной конф. по нелинейным колебаниям, т.I.Киев, 1970, с.368−374.

62. Ломов С. А. Асимптотические решения в критическом случае.-Тр./Моск.энерг.ин-т.М. :МЭИ, 1971, вып.89,с.З-10.

63. Ломов С. А. Асимптотическое решение дифференциальных уравнений с параметрами.-ДАН СССР, 1971, т.196,Р 2, с.285−288.

64. Ломов С. А., Мягкова М. П. Однозначная разрешимость асимптотически корректных задач.-Тр./Моск.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1972, вып. 146, с.85−88.

65. Ломов С. А. Метод возмущений для сингулярных задач.-ИАН СССР, сер.матем., 1972, т.Зб.Р 3, с.635−651.

66. Ломов С. А. Формализм неклассической теории возмущений.-ДАН СССР, 1973, т.212,№ I, с.33−36.

67. Ломов С. А. Математическое описание пограничного слоя в некоторых простейших случаях.-Тр./Моск.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1974, вып.201,с.79−94.

68. Ломов С. А. 0 сходимости асимптотических рядов.-Тр./Моск. энерг. ин-т.-М.:МЭИ, 1975, вып.240,с.91−96.

69. Ломов С. А. Теория возмущений сингулярных краевых задач: Учеб. пособие для студ. фак-та прикл.матем.-Алма-Ата-Изд-во Каз. ГУ, 1976.-65 с.

70. Ломов С. А. Метод регуляризации сингулярных возмущений.-В кн.:Методы исследования нелинейных систем. Киев, 1976, с.164−209.

71. Ломов С. А. Равномерные аппроксимации решений дифференциальных уравнений с переменной кратностью спектра.-В кн.:Всесоюзн. симпозиум по теории аппроксимации функций в компл.области. Уфа, 1976, с.53−54.

72. Ломов С. А. Обобщение метода регуляризации на некоторые эллиптические задачи.-В кн.:Всесоюзн.научно-техн.конф." С-овремен-ные проблемы радиотехники в народном-хозяйстве" .М., 1977, с. 46.

73. Ломов С. А. Регуляризованные асимптотические ряды. гВ кн.: Исследования по интегро-дифференц.уравнениям.Фрунзе, 1977, с. 21−27.

74. Ломов С. А. Однозначная разрешимость некоторых матричных уравнений с частными производными.-Матем.заметки, 1977, т.21, № 4,с.525−530.

75. Ломов С. А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных задач в случае неограниченного несамосопряженного оператора.-ДАН СССР, 1977, т.236,№ I, c. II-I3.

76. Ломов С. А. Асимптотическое интегрирование при изменении характера спектра.-Тр./Моек.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1978, вып.357,с. 56−62.

77. Ломов С. А. О новой постановке задач, возникающих при построении регуляризованных асимптотических рядов.-В кн.:Тр.Всесоюзной конф. по ура! вн. с часты. производными, посвящ.75-летию со дня рожд.акад.И. Г. Петровского.М., 1976, М., 1978, с.145−148.

78. Ломов С. А. Асимптотическое интегрирование нелинейных сингулярно возмущенных систем и линейных уравнений в гильбертовом пространстве.-В кн.:Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Киев:Наукова думка, 1979, с.78−86.

79. Ломов С. А., Сафонов В. Ф. Метод регуляризации, для систем со слабой нелинейностью в резонансном случае.-Матем.заметки, 1979, т.25,№ 6,с.371−389.

80. Ломов С. А. Возможности и проблемы метода регуляризации.-В кн.:Всееоюзн.конф.по асимптотическим методам, чЛ. Алма-Ата, 1979, с.3−7.

81. Ломов С. А. Асимптотическое интегрирование и метод Фурье.-Тр./Моек.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1979, вып.412,с.84−88.

82. Ломов С. А. Внутренний пограничный слой.-Тр./Моск.энерг.ин-т. -М.:МЭИ, 1980, вып.499,с.57−60.

83. Ломов С. А. Приближенные решения дифференциальных уравнений при наличии существенно особых точек в решении.-В кн.Всесоюз. симпозиум по теории аппроксимации функций в комплексной области .Уфа, 1980, с. 84−85 .

84. Ломов С. А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач для уравнений с частными производными.-В кн.:Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. Киев, 1981, с.60−98.

85. Ломов С.А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений.-М.:Наука, 1981,-400 с.

86. Ломов С. А. Интегрирование сингулярно возмущенных задач с по мощью рядов, сходящихся не только в асимптотическом смысле, но и в обычном.-В кн.:Тр.1Х Междунар.коннф.по нелинейным колебаниям. Киев, 1981,0.198−199.

87. Ломов С.А.0 слабой сходимости решений сингулярно возмущенных задач к предельным решениям.-Тр./Моск.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1982, вып.566,с.46−48.

88. Ломов С. А. Аналитические решения сингулярно возмущенных задач. -ДАН СССР, 1982, т.265,№ 3,с.529−534.

89. Ломов С. А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач и метод регуляризации.-В кн.:Методы малого параметра и их применение: Тез.лекц.и крат.научн.сообщ.Всесоюзн. школы-семинара.Мн., 1982, с.45−48.

90. Ломов С. А., Юдина А. С. Структура фундаментальной системы решений сингулярно возмущенного уравнения с регулярной особой точкой.-ИАН СССР.сер.матем.1982,т.46,Р 5, с.1124−1133.

91. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об асимптотическом поведении решений дифееренциальных уравнений в гильбертовом пространстве. -ЙАН СССР, сер.матем., 1972, т.36,Р 5, с.1080−1133.

92. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.-Мн.:Вышэйш.школа, 1974.-766 с.

93. Матвеев Н. М., Барышников Л.А.К вопросу о построении приближенного решения линейного дифференциального уравнения второгопорядка в окрестности точки поворота произвольной кратности.-Всб.:Асимпт.методы в теории систем, вып.8. Иркутск, 1975, с.155−160.

94. Мищенко Е. Ф, Понтрягин Л. В. Вывод некоторых асимптотических оценок для решения дифференциальных уравнений с малым параметром при производных.-ИАН СССР, сер.матем., 1959, т.23,IP 5, с.643−660.

95. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.-М.:Наука, 1975.-247 с.

96. Рыжих А. Д. Асимптотические решения линейного дифференциального уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами.-Тр.Моек.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1978, вып.357,с.92−94.

97. Рыжих А. Д. Асимптотическое интегрирование уравнений в банаховых пространствах.-Тр./Моек.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1982, вып. 566, c. II3-II8.

98. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики.-М.:Мир, 1982.-488 с.

99. Самойленко A.M.О методе Галеркина в теории возмущений инвариантных торов.-ДАН СССР, сер.физ.-мат.и техн. науки, I977, Р 2, с.112−115.

100. Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных систем со слабой многочленной нелинейностью .-Тр./Моек.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1974, вып.201,с.142−150.

101. Сафоноф В. Ф. Аналитические решения одной задачи нелинейной теории методом регуляризации.-Тр./Моск.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1976, вып.292,С.103−107.

102. Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений .-ДАН СССР, 1977, т.235,Р6,с.1274−1276.

103. Сафонов В, Ф. Асимптотичекиие решения сингулярно возмущенной нелинейной задачи с нулевой точкой спектра предельного оператора.-Тр./Моек.энерг.ин-т.-М.:МЭИ, 1978, вып.357,с.

104. Сафонов В. Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений.-ИАН СССР, с ер.матем., 1979, т.43,Р 3, с.628−653.

105. Стакун А.А.Дзета-функции, асимптотика спектра и регуляризованные следы одного класса операторов.-В кн.:Струйные кавита-ционные течения и современные вопросы теории управления.Чеб., 1978, с.109−122.

106. Стакун А.А.О формулах следов для дифференциальных операторов с точкой поворота.-В кн.:Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Чебоксары, 1982, с.92−106.

107. Талдыкин А. Т. Элементы прикладного функционального анализа. Учеб.пособие.-М.:Высш.школа, 1982.-383 с.

108. Тамаркин Я.Д.О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды.-Петроград, 1917. с.

109. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра.-Матем.сб., 1948, т.22,с.193−204.

110. Треногин В. А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика.-УМН, 1970, т.25,Р4,с.123−156.

111. Треногин В. А. Функциональный анализ.-М.:Наука, 1980.-496с.

112. Федорюк М. В. Асимптотика решения обыкновенных дифференциальных уравнений п.-го порядка.-Дифференц.уравнения, 1966, т.2, № 4,с.492−507.

113. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.-Киев:Науко-ва думка, 1966.-251 с.

114. Филатов А. Н. Асимптотические методы в задачах моделирования колебаний климата и долгосрочного прогноза погоды.-Тр. Гидрометеорол.н.-и.центра СССР, 1982, вып.248,с.36−45.

115. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.-Ташкент:Фан, 1974.-216 с.

116. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве.-М.:Мир, 1969.-232 с.

117. Хапаев М. М. О методе усреднения и некоторых задачах, связанных с усреднением.-Дифференц.уравнения, 1966, т.2,№ 5,с.600 -608.

118. Хапаев М. М. Об исследовании на устойчивость в системах интегро-дифференциальных уравнений методом усреднения.-ДАН. СССР, 1980, т.250,№ 2,с.295−299.

119. Хединг Дж.

Введение

в метод фазовых интервалов/метод ВКБ/. -М.:Мир, 1965, с.

120. Цянь-Сюэ-Сэнь.Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го.-В кн. Проблемы механики, вып.2.М., 1959, с.7−62.

121. Шабат А. Б. Краевые задачи с малым параметром для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.-УМН, 1962, т.12, • Р I, с.235−241.

122. Шкиль Н. И. Асимптотические методы в дифференциальных уравнениях. -Киев: Наукова думка, 1971.

123. Штокало И.3.Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.-Киев:Изд-во АН УССР, I960.-78с.

124. Юдина А.С.О методе регуляризации для уравнений с регулярноособой точкой.-Тр./Моск.энерг.ин-т.-М.-МЭИ, 1978, вып.357, с.119−121.

125. IckeMunfVi .

126. Ращепкина H.A. Асимптотическое интегрирование краевой задачи при изменении характера спектра.-Укр.матем.журн., 1982, т.4, 1!° б, с.789−792.

127. Ращепкина Н. А. (совместно с Крысиной О.И.) Асимптотическое интегрирование задачи Коши при изменении характера спектра. -Чебоксары, 1982. 27 с. — Рукопись представлена Чув.гос.ун-том. Деп. в ВИНИТИ 9 ноября 1982 г., № 5518−82.

128. Ращепкина Н. А. Асимптотическое интегрирование задачи Коши в условиях нестабильности спектра. В кн.: Метода малого параметра и их применение: Тезисы лекц. и крат, научн. сообщений Всесоюзн. школы-семинара. Мн., 1982, с. 108.