Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов и их приложения

Современное развитие науки стимулирует все более широкое применение численного моделирования в различных ее областях. С его помощью делается прогноз погоды, конструируются летательные аппараты, турбины, химические реакторы, решаются многие другие задачи науки и техники. Стремление добиться наиболее полного и точного описания рассматриваемых явлений приводит к необходимости использования сложных математических моделей, что в свою очередь стимулирует развитие численных методов и предъявляет повышенные требования к их свойствам: точности, устойчивости, адекватности в описании законов сохранения и т. д.

Данная работа посвящена развитию метода коллокаций и наименьших квадратов (КНК). Здесь предложены способы построения вариантов метода КНК повышенного порядка точности для численного решения краевых задач для двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса и уравнения Пуассона, а также консервативный вариант метода для стационарного уравнения теплопроводности.

Суть метода коллокаций заключается в следующем. Приближенное решение ищется в конечномерном линейном пространстве функций. Неизвестные коэффициенты его разложения по базису пространства определяются из уравнений коллокаций и краевых условий. Уравнения коллокаций — это требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло уравнениям исходной дифференциальной задачи в конечном множестве точек области (точках коллокаций), в которой ставится эта задача. Краевые условия получаются из требований выполнения соответствующих условий рассматриваемой задачи в нескольких точках на границе области. В методе коллокаций записывается ровно столько уравнений, сколько имеется неизвестных. В методе КНК число уравнений превосходит количество неизвестных, то есть система, из которой ищутся неизвестные коэффициенты, является переопределенной. Для ее решения используется метод наименьших квадратов (МНК).

Применение МНК зачастую улучшает свойства численного метода. Например, в задаче построения аппроксимапта при использовании интерполяционного полинома Лагранжа для функции, заданной в узлах равномерной сетки, с ростом числа узлов интерполяции существенно ухудшается устойчивость решения (начиная с некоторого количества узлов). Применение метода наименьших квадратов делает более устойчивым построение решения этой задачи в виде полинома. Отличие МНК от метода Лагранжа в том, что в нем не требуется равенства значений аппроксиманта и дискретного значения интерполируемой функции в узлах, а требуется достижение минимума функционала, который обычно состоит из суммы квадратов невязок с весовыми коэффициентами для всех узлов.

Проблемой создания методов повышенного порядка точности численного решения эллиптических уравнений занимались многие исследователи. Она успешно решалась, начиная с тридцатых годов прошлого века [47] (Ш.Е. Ми-келадзе). Обзор последующих исследований можно найти в работах А.Н. Ва-лиуллина [9,10], некоторая библиография приведена в книгах Г. Стренга, Дж. Фикса [64], Ф. Съярле [66], Л. А. Оганесяна, Л. А. Руховца [49], К. Шваба [125], K.-J. Bathe [82], В. П. Ильина [21], а также статьях [80] (I. Babuska, М. Suri), [74,75] (В.П. Шапеев, А.В. Шапеев). В [7,62,63,132] А. Г. Слепцовым, В. В. Беляевым, В. П. Шапеевым, предложены и реализованы варианты методов коллокаций и КНК для эллиптических уравнений второго порядка. В них приближенное решение ищется в пространстве кусочно-квадратичных функций на сетках с прямоугольными или треугольными ячейками. Они позволяют в случае достаточно гладкого решения строить приближенные решения, которые сходятся к точному со вторым порядком на последовательности сеток при h —" 0, где h — максимальный линейный размер ячеек сетки. В данной работе на основе результатов, полученных в [7,24,51,62,63,116,127,132], предложен способ построения вариантов метода КНК повышенного порядка точности для уравнения Пуассона. Это уравнение, как достаточно простое, было выбрано для отработки подхода к созданию вариантов метода КНК повышенного порядка в более сложных случаях. В численных экспериментах показано, что в случае достаточно гладкого решения новые варианты метода, предложенные в данной работе, позволяют получать приближенное решение, сходящееся к точному с высоким порядком на последовательности сеток при h —" 0.

Система Навье-Стокса определяет одну из важнейших моделей в механике сплошной среды. Она описывает движения широкого класса реальных жидкостей и имеет приложения в различных областях естествознания. Большой вклад в развитие теории вязкой несжимаемой жидкости внесли работы Ж. Лерэ, Ю. Шаудера [110,111], Ж. Л. Лионса [40,113], О. А. Ладыженской [39], Р. Темама [67] и других исследователей [32,33,102]. В них рассматриваются вопросы существования, единственности и устойчивости решений краевых задач для уравнений Навье-Стокса.

Система Навье-Стокса нелинейна. Она неразрешима аналитически в общем случае. Поэтому для ее решения, как правило, применяют численные методы. В уравнениях Навье-Стокса при старших производных присутствует множитель 1/Re. При больших значениях числа Рейнольдса Re он становится малым, вследствие чего в области решения возникают особенности в виде тонких пограничных слоев, зон их взаимодействия, отрывов потока и т. д. С ростом числа Рейнольдса картина течения обычно усложняется, а приближенные методы решения уравнений Навье-Стокса становятся менее устойчивыми. Эти обстоятельства предъявляют повышенные требования к применяемому численному алгоритму. Поэтому приближенное решение уравнений Навье-Стокса представляет собой сложную задачу вычислительной математики [6,68].

В настоящее время существует большое количество различных подходов к численному решению краевых задач для уравнений Навье-Стокса. Широкое распространение получили конечно-разностные и конечно-объемные методы (см., например, монографии Н. Н. Яненко [78], П. Роуча [120], О.М. Бе-лоцерковского [6], В. И. Полежаева [52], А. И. Толстых [68], а также статьи [93] (A.J. Chorin), [71] (И.В. Фрязинов), [17] (В.А. Гущин), [97] (U. Ghia, K.N. Ghia, С.Т. Shin), [4] (Н.С. Бахвалов, Г. М. Кобельков, Е.В. Чижонков), [89] (С.Н. Bruneau, С. Jouron), [130] (D. Sidilkover, U.M. Ascher), [13] (В.А. Га-ранжа, В.Н. Коныпии), [96] (Е. Erturk, С. Gokcol), [34] (В.М. Ковеня) и цитируемую в них литературу). Большую популярность завоевали различные варианты метода конечных элементов [53] (В.Я. Ривкинд, B.C. Эпштейн), [135] (С. Taylor, T.G. Hughes), [103] (J.G. Heywood, R. Rannacher), [90,91] (G.F. Carey, J.T. Oden), [98] (V. Girault, P.A. Raviart), [100,115] (R. Glowinski, O. Pironneau), [88] (F. Brezzi, M. Fortin), [137,138] (S. Turek), [83,84] (P.B. Bo-chev, M.D. Gunzburger и др.). В ряде работ успешно применялись другие проекционные методы, в частности, спектральные [118] (С. Canuto, M.Y. Hussaini,.

A. Quarteroni и др.), [85] (О. Botella, R. Peyret), [136] (W. Tee, I.J. Sobey) и метод KHК [107,108] (B.N. Jiang, L.A. Povinelli), [59] (Л.Г. Семин, А. Г. Слепцов,.

B.П. Шапеев), [117] (M.M.J. Proot, M.I. Gerritsma) [101] (W. Heinrichs).

Существующие на данный момент методы зачастую малоэффективны при решении сложных практических задач в рамках модели Навье-Стокса. Во многих случаях они дают приемлемый результат только при их использовании на сверхмощных ЭВМ. Известны несколько приемов, которые упрощают построение численных методов решения уравнений Навье-Стокса. Среди них, напрршер, введение искусственной сжимаемости или членов с дополнительной вязкостью [78,120]. Однако наличие этих слагаемых в уравнениях подменяет исходную физическую задачу Оценка вклада в погрешность решения введенных искусственных членов представляет определенную трудность. Это, а также другие обстоятельства, позволяют утверждать, что необходим поиск новых численных методов решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости.

Методы коллокаций и КНК хорошо зарекомендовали себя при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [122] (R.D. Russell, L.F. Shampine), [87] (С. de Boor, В. Swartz), [79] (U. Ascher, J. Christiansen, R.D. Russel), [19] (Ю.С. Завьялов, Б. И. Квасов, В.JI. Мирошниченко), [124] (К.Н. Schild), уравнений эллиптического [7, 62, 63, 132] (А.Г. Слепцов, В. В. Беляев, В.П. Шапеев) [112] (Z. Leyk) и параболического [51,116] (А.В. Плясунова, А.Г. Слепцов) типов, уравнений Стокса [58,107] и Навье-Стокса [25,59,104,108]. Поэтому задача реализации новых вариантов метода КНК для уравнений Навье-Стокса является актуальной.

В работах Л. Г. Семина, В. П. Шапеева и А. Г. Слепцова [58,59,127] созданы варианты метода КНК для уравнений Стокса и Навье-Стокса второго порядка точности. В данном исследовании проведено их обобщение. Здесь предложен способ построения вариантов метода КНК, в котором за счет увеличения порядка полиномов, аппроксимирующих компоненты решения, можно повышать порядок точности метода (при условии достаточной гладкости решения). С его помощью реализованы новые варианты метода до восьмого порядка включительно. Для исследования их возможностей в данной работе проведены численные эксперименты с решением задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся крышкой. Она считается многими исследователями эталонной для численных методов решения уравнений Навье-Стокса [13,24,25, 59, 67,81, 85, 96, 97,101,104,117,127,129,136]. Среди работ, опубликованных к настоящему моменту в мировой литературе, в [81] (Е. Barragy, G.F. Carey), [85] (О. Botella, R. Peyret), [13] (В.А. Гаран-жа, В.Н. Коньшин), [96] (Е. Erturk, С. Gokciol), [129] (A.V. Shapeev, R Lin) выполнены одни из наиболее точных расчетов этой задачи. О достоверности результатов, приведенных в [13,81,85,96,129], свидетельствует то, что все они получены существенно разными методами и хорошо согласуются между собой. Отдельные численные характеристики течения в каверне, приведенные в [13,81,85,96,129] совпадают с точностью от 10~6 до 10~8. Отметим, что метод КНК также существенно отличается от используемых в [13,81,85,96,129] методов.

В главе 2 приведены таблицы характерных значений решения задачи о течении в каверне, полученных в данной работе и в [13,81,85,96,129]. В эти таблицы также включены результаты широко известной и цитируемой статьи [97] (U. Ghia и др.). Работа [97] опубликована в 1982;м году. В ней были получены выдающиеся для своего времени результаты. Однако они, по-видимому, уступают, но точности расчетам, которые были проведены в последние годы [13,81,85,96,129]. Из сравнения с работами [13,81,85,96,129] видно, что новые варианты метода КНК позволяют с высокой точностью рассчитать подробные детали вихревой структуры течения. В частности, для центрального вихря в каверне при Re = 1000 результаты для функции тока, полученные методом КНК, совпадают с приведенными в работах [85, 129] с точностью 2 • 10~8. Кроме того, в численных экспериментах на последовательности сеток установлено, что приближенное решение, получаемое с помощью новых вариантов метода КНК, сходится к точному с высоким порядком при h —0 (при достаточной гладкости решения).

В [101,107,108,117] ранее были предложены варианты метода КНК, при реализации которых уравнения Навьс-Стокса переписывались как система дифференциальных уравнений первого порядка. При этом в уравнения в качестве новой неизвестной добавлялась завихренность. В данной работе этот прием не использовался. Одним из достоинств предложенных здесь вариантов метода перед описанными в [101,107,108,117] является то, что они позволяют строить приближенное решение, которое точно удовлетворяет уравнению неразрывности div v — 0 внутри каждой ячейки сетки.

Построение приближенных решений уравнений Навье-Стокса, имеющих необходимую точность, часто связано с большими затратами ресурсов ЭВМ. Для уменьшения времени, необходимого для проведения расчета, здесь использовался вариант метода ускорения сходимости итераций, предложенного в работах А. Г. Слепцова [60, 109]. В нем в ходе итерационного процесса к текущему приближению добавляется поправка из подпространства Крылова [123]. При исследовании новых вариантов метода КНК в данной работе проделано большое количество различных численных экспериментов (с аналитическим решением, с решением эталонной задачи о течении в каверне). Их выполнение за относительно небольшой срок было бы невозможным без использования эффективного алгоритма ускорения сходимости итераций [26]. Применение других известных методов ускорения, например, многосеточного подхода [11,69], по-видимому, позволит добиться дополнительного расширения возможностей вариантов метода КНК, предложенных в данной работе.

Непрерывно дифференцируемых функций недостаточно для описания многих важных физических процессов. Например, в задаче Стефана о фазовых переходах частная производная от температуры по нормали к поверхности раздела фаз терпит разрыв первого рода. При математическом моделировании таких процессов приходится переходить к рассмотрению обобщенных решений. Для расчета последних существуют различные методы. Некоторые из них описаны, например, в [14,46,49,55,56,64,66]. Одним из известных подходов, позволяющих рассчитывать обобщенные решения, является построение консервативных разностных схем [14] (С.К. Годунов), [55,56] (А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич), обеспечивающих выполнение на разностной сетке интегральных законов сохранения, которые имеют смысл как в случае гладких, так и разрывных подынтегральных выражений.

В данной работе предложен и реализован новый консервативный вариантметода КНК для численного решения стационарного уравнения теплопроводности. Уравнения коллокаций и условия согласования, используемые в нем для построения приближенного решения, получены здесь из требований выполнения закона сохранения энергии в ячейках сетки, баланса потоков на границах между ними и непрерывности решения (в конечном числе точек на границах между ячейками). В численных экспериментах с решениями, имеющими значительные разрывы производных, показано, что приближенное решение, получаемое методом КНК, сходится к точному с порядком не хуже первого на последовательности сеток при h —> 0. При реализации консервативного варианта метода КНК здесь использовался опыт создания консервативных разностных схем, описанный в литературе [14,55,56].

Новые численные алгоритмы, предложенные в данной работе, применены для решения задачи о движении расплава в сварочной ванне при лазерной сварке металлических пластин. За последние сорок лет в странах с развитой индустрией лазерные технологии усиленно разрабатывались и внедрялись в различных отраслях промышленности: авиационной, космической, автомобилеи судостроении. Были созданы специальные центры по разработке технологий с применением лазеров. В промышленности лазеры используются в первую очередь для сварки, резки и поверхностной обработки изделий. В последние годы возрастающее внимание уделяется разработке технологии лазерной сварки металлических изделий. Лазерная сварка имеет ряд достоинств по сравнению с другими видами соединения материалов. Но ее широкое внедрение сдерживается низкой стабильностью свойств сварных соединений. Экспериментальное изучение и определение оптимальных технологических параметров в связи с особенностями самого процесса сварки сопряжено с большими методическими трудностями pi значительными затратами. Поэтому разработка адекватных математических моделей теплофизических процессов, протекающих в соединяемых деталях, а также численных алгоритмов для реализации моделей сварки на ЭВМ является актуальной проблемой.

Лазерная сварка характеризуется многообразием физико-химических и гидродинамических процессов. В месте контакта луча лазера с изделием металл плавится, образуя ванну с расплавом (жидким металлом). Если мощность лазера выше некоторой критической, то расплав в зоне сварки кипит, образуя паровой канал микроскопических размеров, из которого с большой скоростью истекает газ из ионов металла и различных компонент и включений, присутствующих в сплаве.

Область взаимодействия луча лазера и металла неустойчива. Она окружена плотным облаком паров металла и обладает высокой температурой. Эти обстоятельства сильно затрудняют измерения физических параметров процесса и визуальное наблюдение зоны сварки. Неоднородности в материале изделия и нестабильность поглощения лазерного излучения порождают возмущения в движении расплава, которые усиливаются на вертикальных стенках канала, растут и становятся соизмеримыми с его поперечными размерами. При этом имеет место и гидродинамическая неустойчивость [41]. Возникающие пульсации скорости и давления в жидком металле распространяются по всей ваппе. Однако если интенсивность поглощения излучения лазера и скорость сварки постоянны, то небольшие пульсации параметров течения газа и расплава происходят около их средних величин. В этом случае средние значения параметров процесса в зоне сварки и на периферии можно считать постоянными.

Под действием сил поверхностного натяжения и трения истекающего газа о стенки канала в сварочной ванне возникают вихревые движения расплава. В ранее опубликованных моделях лучевой сварки (электронно-лучевой и’лазерной) они не учитывались [121] (D. Rosenthal), [54] (Н.Н. Рыкалин). Известные оценки скорости движения расплава в сварочной ванне показывают, что для режимов сварки, используемых на практике, течение жидкого металла может быть турбулентным [119] (R. Rai, Т.A. Palmer и др.).

Теплофизическая модель без учета вихревых движений расплава позволяет удовлетворительно рассчитать некоторые параметры процесса сварки: размеры сварочной ванны, области с двухфазным состоянием металла, ширину сварного шва и предсказать размеры зерен в кристаллической структуре застывшего металла [72,73,76] (А.Н. Черепанов, В. П. Шапеев и др.). Однако моделирование процессов в ванне на основе уравнений динамики вязкой теплопроводной жидкости показывает, что движение расплава в ней зависит от физических параметров процесса и в свою очередь влияет на форму ванны и в некоторой степени на ее размер [95] (J. Dowden, М. Davis, P. Kapadia). В [134] (W. Sudnik, D. Radaj и др.) для учета вихревых движений расплава используются полуэмпирические формулы.

В данной работе предложена трехмерная квазистационарная математическая модель процесса лазерной сварки встык двух металлических пластин. В ней для описания теплопереноса используется уравнение теплопроводности с конвективными членами, а для моделирования течения расплава в сварочной ванне — уравнения Навье-Стокса. В модели учитывается наличие парогазового канала в зоне воздействия лазерного луча на металл. При этом в любой точке поверхности канала записывается условие теплового баланса и учитывается трение о поверхность паров металла, истекающих из него. Другие особенности модели изложены далее в соответствующих разделах главы 4.

Ввиду существенной сложности трехмерной модели, в данной работе на ее основе путем осреднения уравнений по одной пространственной переменной (переменной у, ось которой направлена перпендикулярно сварному шву) создана квазитрехмерная модель. В ней учитывается конечность в направлении оси у характерных размеров области, в которой протекают физические процессы. Приближенно учитываются поток тепла в направлении оси у и трение между перпендикулярными к оси у слоями расплава в ванне. На основе квазитрехмерной модели и новых вариантов метода КНК в данной работе создан численный алгоритм для моделирования тепломассопереноса в изделии. Он позволяет оценить влияние конвекции расплава на распределение температуры в пластинах в процессе сварки и форму сварочной ванны. Проведены расчеты лазерной сварки титановых пластин при их различных толщинах.

В постановке задачи о моделировании лазерной сварки присутствуют требования к численным алгоритмам, которые были учтены в данной работе при создании вариантов метода КНК: наличие внутренних границ, на которых производные решения терпят разрыв первого рода, криволинейность внутренних границ и поверхности парового канала, большие числа Рейнольдса для течения в сварочной ванне.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В заключение сформулируем основные результаты работы.

1. Предложен способ построения вариантов метода КНК повышенного порядка точности для численного решения уравнения Пуассона. На его основе созданы варианты метода до восьмого порядка включительно. В численных экспериментах показано, что в случае достаточно гладкого решения они позволяют получать приближенное решение, сходящееся к точному с высоким порядком на последовательности сеток при h —> О, где h — максимальный линейный размер ячеек сетки.

2. Для численного решения стационарного уравнения теплопроводности предложен и реализован консервативный вариант метода КНК. Уравнения коллокаций и условия согласования, используемые в нем для построения приближенного решения, получены в результате аппроксимации закона сохранения энергии в ячейках сетки. Проведены численные эксперименты на последовательности сеток с решением, имеющим значительные разрывы производных. Показано, что имеет место сходимость приближенного решения к точному с первым порядком при h —> 0.

3. Предложен способ построения вариантов метода КНК высокого порядка точности для уравнений Навье-Стокса. На его основе созданы варианты метода до восьмого порядка включительно. Для исследования их возможностей проведена серия численных экспериментов с аналитическим решением и с решением известной эталонной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся крышкой. В расчетах на последовательности сеток установлено, что приближенное решение, получаемое с помощью новых вариантов метода КНК, сходится к точному с высоким порядком при h 0 (при достаточной гладкости решения). Сравнением с высокоточными результатами расчетов течения в каверне, полученными другими исследователями, показано, что предложенные в данной работе варианты метода КНК позволяют с хорошей точностью рассчитать подробные детали вихревой структуры течения.

4. Предложены новые трехмерная и квазитрехмерная модели процесса лазерной сварки встык двух металлических пластин. На основе вариантов метода КНК, созданных в данной работе, и квазитрехмерной модели построен численный алгоритм для расчета распределения температуры в изделии и моделирования течения расплава в сварочной ванне. Проведены расчеты процесса лазерной сварки титановых пластин при их различных толщинах. Исследовано влияние течения расплава в сварочной ванне на ее форму.