Локально-одномерные разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода

В последние годы возрос интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под знаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегро-дифференцирования, так и приложениями таких конструкций в различных областях науки [12], [38], [41], [51], [57], [74], [75], [78], [80], [81], [90], [91], [92], [93], [96], [97].

Интегралы и производные нецелого порядка и дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в теоретической физике, механике и прикладной математике. Дробное математическое исчисление является мощным инструментом для описания физических систем, которые обладают памятью и нелокалыгостыо. Многие процессы в сложных системах обладают нелокалыюстыо и характеризуются долгосрочно]! памятью. Дробные интегральные и дробные дифференциальные операторы позволяют описывать некоторые из этих характеристик. Использование дробного математического анализа может быть полезным для получения динамических моделей, в которых интегродифференциальные операторы по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную пелокальность сложных сред и процессов [59].

Дифференциальные уравнения дробного порядка также возникают при использовании концепции фрактала в физике конденсированных сред [49]. Перенос, описываемый оператором с дробными производными на больших расстояниях от источников, приводит к иному поведению относительно малых концентраций по сравнению с классической диффузией, что заставляет пересмотреть существующие представления о безопасности, базирующиеся на представлениях об экспоненциальной скорости затухания (см. [20], [21]). Как отмечено в [42], дробное исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в механике сплошных сред. Уравнения в дробных производных описывают эволюцию некоторой физической системы с потерями, причем показатель производной указывает на долю состояний системы, сохраняющихся за все время эволюции. Такие системы могут быть классифицированы как системы с «остаточной» памятью, занимающие промежуточное положение между системами, обладающими полной памятью, с одной стороны, и марковскими системами, с другой [47].

Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса так же стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильно-пористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка [9], [24], [25], [26], [45], [48], [65], [66].

Теория фракталов широко используется для описания структуры неупорядоченных сред и протекающих в них процессов [27], [34], [35], [36], [66]. Примерами неупорядоченных сред являются пористые тела. При этом фракталами могут быть поровое пространство, скелет породы, поверхность скелета породы и т. д. В случае, когда трещины и сплошные пористые блоки представляются однородными взаимопроникающими континуумами, для описания фильтрации жидкости обычно используется модель Баренблатта-Желтова [8]. В случае, когда пространство представляет собой фрактал с размерностью Хаусдорфа-Безиковича dj) погруженный в сплошную среду с размерностью d, (d ^ df, d = 2, 3), для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется дифференциальное уравнение дробного порядка [48].

Дробное дифференцирование и дробное интегрирование восходит к исследованиям большого числа известных математиков, таких как Лейбниц,.

Лиувилль, Риман, Абель, Рисс, Вейль. Сама идея обобщения понятия диф-dpf (x) ференцироваиия ——па нецелые р возникла с самого зарождения диффеdxp ренциального исчисления. Первые работы в этом направлении принадлежат Г. Лейбницу, Я. Бериулли, Л. Эйлеру и Ж. Фурье [71], [72], [82].

В 1832 — 1837 г. г. появляется серия работ Лиувилля [82] — [88], сделавших его по праву создателем теории дробного исчисления. В работах Б. Римана, X. Хольмгрена, А. Летникова, А. Грюпвальда [79] было продолжено изучение производных любого порядка.

К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O’Shaughnessy, S. Mandelbrojt [94], [89]. Задачу’типа Коши для уравнения D%x — f (x, y) рассмотрели Е. Pitcher, W.E. Sewell в работе [95], в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работах М.А. Al-Bassam, A.Z. Al-Abccleen, H.L. Arora [70] — [73], где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе A.M. Нахушева [40] изучена задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения дробного порядка т у" {х) + а0(х)у'{х) +^2ak (x)D^k{wk{x)y (x)) + ат+1(х)у (х) = f (x), (0.1) jfe=i где 0 < ак < 1, ао (х), am+i (x), ак (х), wk{x), к = 1,2, ., тf (x) — непрерывные на [0,1] функции, Dqx — оператор дробного в смысле Римана-Лиувплля дифференцирования порядка а. К задаче Штурма-Лиувилля.

Роу'(О) + qoy (0) = r0, pi у'{1) + gi2/(l) = п, для уравнения (0.1) редуцируются многие прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

В работах [1], [2] Т. С. Алероев исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения и" {х) + a (x)D%xu = f (x), 0 < х <1, 0 < а < 1. (0.2).

Им показано, что задача п (0) + /Зи) = и (1) = 0, ?3 ^ 0, /(:х) = 0, а (х) = Л для уравнения (0.2) не имеет отрицательных собственных значений.

Ранее A.M. Нахушевым в работе [40] показано, что число Л является собственным значением задачи и (0) = 0, и (1) = 0, а (х) = Л для уравнения (0.2) тогда и только тогда, когда Хк является нулем функции Миттаг-Леффлера E, 2Q)2(—А). Работы [50], [52] также посвящены исследованию собствееных значений данной задачи.

Ю.А. Бабепко в работе [7] для определения тепловых и диффузионных потоков на границе раздела двух сред применил метод расщепления оператора уравнения на два множителя, каждый из которых содержит производную порядка — по t.

Ряд работ В. К. Вебера и М. И. Иманалиева [14] — [19], [28] посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений дробного порядка.

В монографиях [39], [51], [57], [81] дан достаточно полный обзор работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка. Монография [39] посвящена качественно новым свойствам операторов дробного интегро-дифференцнрования и их применению к дифференциальным уравнениям дробного порядка.

Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы Головизшша В. М., Киселева В. П., Ко-роткина И.А., Юркова Ю. П. [20) — [21], Шханукова-Лафишева М.Х. [60], К. Diethelm и N. G. Walz [76], К. Diethelm и N. J. Ford [77] и др. Работы [3] - [5], [9], [10], [11], [37], [60], [67], [68], [69] посвящены построению и исследованию разностных схем для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений с дробной производной по времени и пространственной координате.

В работе [54] предложена локально-одномерная схема для линейного и простейшего квазилинейного уравнения параболического типа с любым числом р пространственных переменных, пригодных в случае произвольной пространственной области G, на границе Г которой заданы краевые условия первого рода, а в случае когда G — параллелепипед, краевые условия третьего рода. Все эти схемы абсолютно устойчивы относительно начальных и граничных данных, а также по правой части, и равномерно сходятся со скоростью 0(h2 + т). В работе [55] рассматриваются локально-одномерные разностные схемы на произвольных неравномерных сетках для линейных и квазилинейных параболических уравнений. Принцип максимума для линейного уравнения параболического типа в случае неравномерных сеток дает лишь первый порядок аппроксимации по h для погрешности z = у — и относительно погрешности аппроксимации.

Локально-одномерным схемам для дифференциальных уравнений диффузии дробного порядка в многомерных областях посвящена работа Лафи-шевой М.М. и Шхаиукова-Лафишева М.Х. [37].

Цель диссертационной работы работы:

1. построение локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами;

2. построение локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией;

3. построение локально-одномерных схем для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной по пространственной переменной в младших членах;

4. построение локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью;

5. построение локально-одномерных схем для уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе;

6. доказательство устойчивости и сходимости разностных схем для рассматриваемых задач.

Методы исследования. В работе для построения локально — одномерных схем для рассматриваемых задач используется метод суммарной аппроксимации. Для получения априорных оценок используются метод энергетических неравенств и принцип максимума.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. для уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

2. для уравнения диффузии дробного порядка с конвекцией построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

3. для уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной по пространственной переменной в младших членах построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

4. для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью построены локально-одномерные схемы. С помощью принципа максимума получена априорная оценка в равномерной метрике. Доказаны устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем;

5. для уравнения параболического типа вр-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе построены локально-одномерные схемы. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка для решения локально-одномерной схемы и доказана ее сходимость.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. построение локально-одномерных схем для: a) уравнения диффузии дробного порядка с переменными коэффициентамиb) уравнения диффузии дробного порядка с конвекциейс) уравнения диффузии дробного порядка с дробной производной по пространственной переменной в младших членахс1) уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостьюе) уравнения параболического тина в р-мерном параллелепипеде с нелокальным условием на границе;

2. устойчивость и сходимость локально-одномерных схем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и является продолжением развития теории краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменными коэффициентами.

Локально-одномерные разностные схемы, построенные для рассматриваемых задач, могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации представлены в виде докладов на:

1. Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», 29 июня — 4 июля, 2008 г., Владикавказ;

2. Международном Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». КБР, г. Нальчик-Эльбрус, 17 — 22 мая 2009 г.;

3. Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейиа. Воронеж, 25—30 января 2010 г.;

4. I региональной междисциплинарной конференции молодых ученых «Наука-Обществу». Владикавказ, 18—20 марта 2010 г.;

5. Международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». Владикавказ, 19—24 июля 2010 г.;

6. Международной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «ПЕРСПЕКТИВА-2010», 23−26 апреля 2010 г., КБР, п. Эльбрус, ЭУНК КБГУ;

7. Международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование». Россия, Владикавказ, 12—19 июля 2010 г.;

8. Седьмой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Г. Самара, 3—6 июня 2010 г.;

9. Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». КБР, г. Нальчик, КЧР, а. Хабез, 25−30 июня 2010 г.;

10. Международной конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики», г. Нальчик, 5—8 декабря 2011 г.;

11. Втором Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». КБР, Эльбрус -2012;

12. семинарах кафедры вычислительной математики КБГУ в 2010—2013 гг. г.;

13. семинарах по математическому анализу ЮМИ в 2010—2013 гг. г.;

14. семинарах по математическому моделированию и чпсленым методам ЮМИ в 2010;2013 г. г.;

15. научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительных методов ВМиК МГУ имени М. В. Ломоносова в 2012;2013 г. г.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 9 работах [98] - [106]. Из них [100], [102], [103], [104], [105] и [106] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 132 страницах и состоит из введения, 5 глав и списка литературы, состоящей из 106 наименований.

1. Алероев Т. С. Задачи Штурма — Лиувилля для дифференциального уравнения первого порядка с дробными производными в младших членах. // Дпфференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 6. С. 341.

2. Алероев Т. С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. // Диффереиц. уравнения. 1984. Т. 20. № 1. С. 171−172.

3. Алиханов A.A. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка. // Дифференциальные уравнения, 2010, том 46, № 5, с. 658−664.

4. Алиханов A.A. К вопросу об аппроксимации дифференциального уравнения дробного порядка разностным уравнением. Труды Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 1—3 июня 2005 г. г. Самара 143с.

5. Алиханов A.A. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени.// Вестн. СамГТУ. Сер. Физ мат. науки. № 2(17). 2008. с. 13−20.

6. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором, аппроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения. // ЖВМ и МФ. 1969. Т.9. № 2. С. 337−349.

7. Вабенко Ю. И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Л.: Химия, Л.о., 1986. — 144 с.

8. Баренблатт Г. И., Желтое Ю. П. Об основных уравнениях фильтрации жидкости в трещиноватых породах // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132. № 3. С. 545−548.

9. Березовский A.A., Шхануков М. Х., Керефов A.A. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации. Укр. мат. журн. 1993. Т. 45. № 9. С. 1289−1298.

10. Бечелова А. Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 42—43.

11. Бечелова А. Р. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с 40—41.

12. Бэгли Р. Л., Торвик П.Дою. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием. Аэрокосмическая техника. 1984, т. 2, № 2, с. 84−93.

13. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. Т.185. № 4. С. 739−740.

14. Вебер В. К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка. Исследования по интегро-дифференциальиым уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с 119−125.

15. Вебер В. К. К общей теории линейных систем с дробными производными. Исследования по иптегро-дифферепциальпым уравнениям в Киргизии. Фруизе: Илим, 1985, вып. 18, с 301−305.

16. Вебер В. К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. Исследования по интегро-дифференцпальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, с. 306−312.

17. Вебер В. К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка. Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. 1973, вып. 10, с. 7−14.

18. Вебер В. К. Пассивность линейных систем дифференциальных уравнений с дробными производными и квазиасимптотика решений. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с. 349−356.

19. Вебер В. К. Структура общего решения системы у^ = Ау, 0 < а < 1. Сб. тр. аспирантов и соискателей Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. 1976, вып. И, с. 26−32.

20. Головизиин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения диффузии с дробной производной в одномерном случае: Препринт 1ВИАЕ -2003;12. М.: ИБРАЭ РАН, 2003. 35 с.

21. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А., Юрков Ю. П. Прямые задачи классического переноса радионуклидов в геологических формациях // Изв. РАН. Энергетика. 2004. № 4. с. 121−130. и МФ. 1968. Т.8, № 3. С. 679−684.

22. Гордезиани Д. Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. // Препринт института прикладной математики при ТГУ. -Тбилиси. 1981.

23. Гулин A.B., Иопкин H.H., Морозова В. А. Устойчивость нелокальных разностных схем. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. С. 320.

24. Джарбашян М. М. Интегральные преобразования функции в комплексной плоскости. М.: Наука. 1966. 671 с.

25. Дэ1сарбашяи М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля. Изв. АН Арм. ССР. мат. 1970. Т. 5. т. С. 71−97.

26. Джарбашян М. М., Нерсесян A.B. Дробные производные и задачи Ко-ши для дифференциальных уравнений дробного порядка. Изв. АН Арм. ССР. мат. 1968. Т. 3. № 1. С. 3−29.

27. Динариев О. Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин. // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 1990. № 5. С. 66−70.

28. Илшиалиев М. И., Вебер В. К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применение. Исследование по интегро-диффереициаль-ным уравнениям в Киргизии. Фрупзе: Илим, 1980, вып. 13, с. 49—59.

29. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальным условием // Дифференц. ур пя. 1977, Т.13, № 2. С. 294−304.

30. Ионкин Н. И. О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи // Актуальные вопросы прикладной математики. Изд во МГУ. 1989, С. 240.

31. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Нелокальная задача для оператора Штурма Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках // ДАН СССР. 1986. Т.291. № 3. С. 534−539.

32. Иоикин H. И., Моисеев Е. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. ур ия. 1979, Т.15, № 7. С. 1284−1295.

33. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т.4. № 6. С. 1006−1023.

34. Кобелев В. Л., Кобелев Я. Л., Романов Е. П. Недебаевская релаксация и диффузия во фрактальном пространстве // Докл. РАН. 1998. Т.361. № 6. С. 755−758.

35. Кобелев В. Л., Кобелев Я. Л., Романов Е. П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // Докл. РАН. 1999. Т.369. № 3. С. 332−333.

36. Кочубей А. Ю. Диффузия дробного порядка. Дифференциальные уравнения. 1990, т.26 с. 660−670.

37. Лафишева М. М., Шхануков М. Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. № 10. С. 1878−1887.

38. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. —М.: Высшая школа. 1995. -301 с.

39. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. —М.: ФИЗМАТ-ЛИТ. 2003. -272 с.

40. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложения. Нальчик. 1995. 50 с.

41. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их приложения. Нальчик, 2000 г. -298с.

42. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. V.: Физматгиз, 2003 г.

43. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДАН СССР. 1978. Т.242. № 5. С. 1008−1011.

44. Нерпин C.B., Чудновский А. Ф. Энергои массообмен в системе растение-почва-воздух. Л.:ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ, 1975 г.

45. Нигматуллин P.P. Решение обобщенного уравнения переноса в среде с фрактальной геометрией. Phs. stat. Sol. b. 133. 1986.

46. Нигматулии P.P. Особенности релаксации системы с остаточной памятью //. Физ. твердого тела. 1985. Т.27. № 5. С. 1583−1585.

47. Нигматулин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теор. и матем. физ. 1992. Т. 90. № 3. С. 354−368.

48. Нигматулии P.P. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Status Solidi. B. 1986. V. 133. P. 425−430.

49. Олемской A.M., Флат А. Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды. // Успехи физических наук. 1993. Т.163. № 12. С. 1−50.

50. Попов А. Ю. О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной. // Фундаментальная и прикладная математика, 2006, том.12, № 6. С. 137−155.

51. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005.

52. Псху A.B. О вещественных нулях функции Миттаг-Леффлера. // Мат. заметки. 2005. Том. 77, вып. 4, С. 592−599.

53. Самарский A.A. Теория разностных схем. -М.: Наука. 1989. —616 с.

54. Самарский A.A. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. // ЖВМ и МФ. 1962. Т.2. № 5. С. 787−811.

55. Самарский A.A. Локально-одномерные схемы на неравномерных сетках. // ЖВМ и МФ. 1963. Т.З. № 3. С. 431−466.

56. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. —М.: Наука. 1973. -415 с.

57. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторис их приложения. Минск. «Наука и техника». 1987. -688 с.

58. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского A.A. для псевдопараболических уравнений высокого порядка. // ДАН СССР. 1987. Т.297. № 3. С. 547−552.

59. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро дифференцированием дробного порядка. -М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. —568 с.

60. Таукенова Ф. И., Шхаиуков-Лафишев М. Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 10. С.1871−1881.

61. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1966. -724 с.

62. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз. 1960. -656 с.

63. Фрязинов И. В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи//Ж.вычисл.матем. и матем. физ. 1964. Т. 4, 1106−1112.

64. Чудновский А. Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло и влагопереноса в почве // «Сб. трудов по агрофизике», вып. 23, Гидрометеоиздат, 1969. С. 41—54.

65. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные. Ж. экс-перпм. и теор. физ. 1995. Т. 108. вып. 5 № 11. С. 1875−1884.

66. Шогенов В. Х., Кумыкова С. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные. // Докл. АМАН. 1996. Т. 2. № 1. С. 43−45.

67. Шхануков М. Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной. Докл. РАН. 1996, т. 348, N6, с.746—748.

68. Шхаиуков-Лафишев М.Х., Бечелова А. Р. Замечание к постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 286—287.

69. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А. Р. Численное решение третьей краевой задачи для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка. Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики. Нальчик, 1996, с. 103.

70. Al-Abedeen A.Z., Arora H.L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary differential equations of generalized order // Canad. Math. Bull. 1978. Vol. 21. №. P. 267−271.

71. Al-Abedeen A.Z. Existence theorem on differential equations of generalized order. // Rafidain J. Sei. Mosul. Univ. Iraq. 1976. Vol. 1. P. 95−104.

72. Al-Bassam M.A. Some existence theorems on differential equations of generalized order // Ibid. 1965. Bd 218. S. 70−78.

73. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy. Quart. Appl. Math. 21(1963). Pp. 155−160.

74. Carpintery A. Mainardi F. (Eds.) Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. CIAM Cources and Lectures. Vol. 376. Wien: Springer. 1997.

75. K. Diethelm, G. Walz. Numerical solution of fractional order differential equations by extrapolation, Numer. Algorithms 16 (1997), 231—253.

76. K. Diethelm, N. J. Ford. Analysis of fractional differential equations, J. Math. Anal. Appl. 265 (2002), 229−248.

77. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order, Fractal and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Udine, 1996). CISM Courses and Lectures. 1997. Vol. 378. P. 223−276.

78. Grunwald A.K. Uber «begrenzte» Derivationen und deren Anwendung // Z. angew. Math, und Phys. 1867. Bd 12. S. 441−480.

79. Hilf er R. (Ed.) Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore: WSPC. 2000.

80. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier. 2006.

81. Liouville J. Memoire sur le calcul des differentielles a indices quelconques // Ibid. P. 71−162.

82. Liouville J. Memoire sur le changement de la variable independante dans le calcul des differentielles a indices quelconques // J. l’Ecole Roy. Polytechn. 1835. T. 15. sect. 24. P. 17−54.

83. Liouville J. Memoire sur le theoreme des fonctions complementaires // J. fur reine und angew. Math. 1834. Bd. 11. S. 1−19.

84. Liouville J. Memoire sur l’integration des equations differentielles a indices fractionnaires // Ibid. 1837. T. 15. № 55. P. 58−84.

85. Liouville J. Memoire sur l’usage que l’on peut faire de la formule de Fourier, dans le calcul des differentielles a indices quelconques // Ibid. 1835. Bd. № 1−3, 13. S. 219−232.

86. Liouville J. Memoire sur une formule d’analyse // Ibid. 1834. Bd. 12. № 4. S. 273−287.

87. Liouville J. Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nouveau genre de calcul pour resoudre ces questions // J. l’Ecole Roy. Polytechn. 1832. T. 13. sect. 21. P. 1−69.

88. Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo clelle variazione Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend Cl. sei., fis. mat. e natur. Ser. 6. 1925. Vol. 1. P. 151−156.

89. Le Mehaute A., Tenreiro Machado J.A., Trigeassou J.C., Sabatier J. (Eds.) Fractional Differentiation and its Applications. Bordeaux: Bordeaux Univ. 2005.

90. Metzler R., Klafter J. The random walk s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. Phys. Reports. 2000. Vol. 339. P. 1—77.

91. Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York: John Wiley and Sons. 1993.

92. Oldham K.B., Spanier, J. The Fractional Calculus. New York-London: Academic Press. 1974. 234 p.

93. O’Shaughnessy L. Problem j|433. Amer. Math. Month. 1918. Vol. 25. P. 172−173.

94. Pitchel E., Sewell W. Existence theorems for solutions of differential equations of non-integral order. Ibid. 1938. Vol. 44. № 2. P. 100−107.

95. Podlubny I. Fractional Differential Equations. SanDiego: Academic Press, San Diego-Boston-New York-London-Sydney-Tokyo-Toronto, 1999, 368 pages.

96. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. New York: Gordon and Breach. 1993.

97. Баззаев А. К. Численное решение третьей краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка методом суммарной аппроксимации. Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008— 376 с.

98. Баззаев А. К., Шхануков М. Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода // ЖВМ и МФ., 2010, Т. 50, № 7, С. 1200−1208.

99. Баззаев А. К. Первая краевая задача для обобщенного уравнения параболического типа с дробной производной по времени в многомерной области // Труды молодых ученых. Серия: Математика. 2010. Выпуск № 4, С. 147−162.

100. Баззаев А. К. Третья краевая задача для обобщенного уравнения параболического типа с дробной производной по времени в многомерной области // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2010. № 2, С. 5—14.

101. Баззаев А. К. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с краевыми условиями третьего рода. // Владикавказский математический журнал, 2011, Т. 13, Выпуск 1, С. 3—12.

102. Баззаев А. К., Гутлюва Д. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием. // ЖВМ и МФ, 2012, том 52, № 6, с. 1048−1057.

103. Баззаев А. К., Мамбетова А. Б., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью // ЖВМ и МФ, 2012, том 52, № 9, с. 1656−1665.

104. Баззаев А. К. Разностные схемы для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями третьего рода в многомерной области. // Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 11—16.