Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Рекуррентные решения задач оценивания при комбинированных возмущениях

Диссертация: Рекуррентные решения задач оценивания при комбинированных возмущениях
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В отсутствие статистической информации о помехах подобными шдлчлмн занимается теория гарантированного оценивания, инициированная 11.11 Красовским и получившая развитие в работах А. Ь. Куржанского 2i, 25, 261, Л II Берк-екаса и И. В. Родоса f381, Х. С. Вигзенхаузена |96], Ф. Л. Черноусько, Ф С Швенне |91]. Решение задачи в этих работах сводится, как правило, к описанию эволюции некоторых областей… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Гарантированное оценивание
    • 1. 1. Постановка задач гарантированного оценивания
      • 1. 1. 1. Задача множественного оценивания при неопределенности
      • 1. 1. 2. Априорная информация о наборе неизвестных параметров
      • 1. 1. 3. Задача множественного оценивания при заданном ограничении на меры неопределенности набора неизвестных параметров
    • 1. 2. Метод динамического программирования. Гарантированное оценивание для задачи с ограничением на мягкую меру неопределенности
    • 1. 3. Решение задач гарантированного оценивания систем, подверженных влиянию нескольких источников помех
      • 1. 3. 1. Задача оценивания при известном ограничении на смешанную меру неопределенности. Случай
      • 1. 3. 2. Задача оценивания при известном ограничении на смешанную меру неопределенности. Случай II
      • 1. 3. 3. Алгоритм решения задачи оценивания для системы с геомефиче-скими ограничениями
    • 1. 4. Точечное оценивание неизвестного состояния системы. Ошибки оценивания
      • 1. 4. 1. Точечные оценки и множества ошибок при известном уровне ограничения на меру неопределенности
    • 1. 5. Решение задачи типа Нж
      • 1. 5. 1. Построение оценок Нх в случае мягкой меры неопределенности
      • 1. 5. 2. Построение оценок Нос в случае жестких и смешанных мер неопределенности
    • 1. 6. Совместное оценивание модели и состояния билинейной сис темы
      • 1. 6. 1. Преобразование исходной билинейной системы к линейному виду
      • 1. 6. 2. Постановка и реоление задач оценивания для преобразованной системы
      • 1. 6. 3. Схема получения оценок неизвестного состояния и переходной функции исходной системы
    • 1. 7. Примеры к первой главе
      • 1. 7. 1. Динамическое изменение гарантированных множественных оценок при ограничении на различные меры неопределенное! и
      • 1. 7. 2. Пример оценивания неизвестного состояния и параметра модели некоторой билинейной системы
      • 1. 7. 3. Иллюстрации
  • 2. Доверительное оценивание состояния системы при смешанной неопределенности
    • 2. 1. Задача точечного оценивания
      • 2. 1. 1. Постановка задачи точечного оценивания
      • 2. 1. 2. Построение рекуррентной точечной оценки математического ожидания при заданном векторе средних. Фильтр Калмана
      • 2. 1. 3. Построение множественной оценки неизвестного вектора средних
      • 2. 1. 4. Решение задачи точечного оценивания
    • 2. 2. Задача доверительного оценивания
    • 2. 3. Смешанный стохастический 'Ях фильтр
    • 2. 4. Примеры ко второй главе
      • 2. 4. 1. Динамическое изменение доверительных множественных оценок при фиксированных векторах средних
      • 2. 4. 2. Динамическое изменение множественных оценок вектора средних при ограничении на различные меры неопределенности
      • 2. 4. 3. Построение доверительных множественных оценок при ограничении на различные меры неопределенности набора неизвестных векторов средних
      • 2. 4. 4. Условно-доверительные оценки
      • 2. 4. 5. Иллюстрации

Рекуррентные решения задач оценивания при комбинированных возмущениях (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Задача оценивания (фильтрации) состояния параметров систем по результатам измерения доступных наблюдению величин в условиях постоянно действующих входных воздействий — одна из центральных в теории управления [5, 23]. Она мотивирована различными прикладными проблемами в областях обработки и передачи сигналов и телекоммуникации, навигации и управления, но неполным данным, авюмашзацни, а также многочисленными задачами математического моделирования в целом. В названных задачах источники помех могут порождать входные воз teiici вия различной природы, например, электронной или механической. Электронные возмущения обычно полагаются случайными (распределенными чаще всего по нормальному закону). Априорная информация о механических возмущениях часто недостаточна для юго, чюбы высказать какие-либо предположения об их распределении. Обычно по. lauuoi, чн> доступна лишь информация о диапазоне значений некоторой неотрицаюльной функции этих возмущений — так называемой меры неопределенности. Отмешм, чи> .)ффек1, аналогичный воздействию возмущений, может быть 1акже вызван неполной информацией о параметрах модели системы.

В условиях статистического описания неопределенных параметров псе [едованпе задачи оценивания привело в сороковые годы прошлого столетия к ра) рабо|ке теории фильтрации Колмогорова—Винера |18, 95]. В связи с развитием с редел в лвгомашза-ции в 1960 году появилась теория фильтрации Калмана |60|, нацеленная на решение подобных задач для процессов управления. Главной особенное 1ью филыра Калмана является то, что оценка состояния системы может быть получена рекурреншо из досча-точно простых уравнений. Таким образом, процедура ее получения являекя адаптивной, позволяющей уточнять решения по мере поступления новых измерении.

В отсутствие статистической информации о помехах подобными шдлчлмн занимается теория гарантированного оценивания, инициированная 11.11 Красовским [22] и получившая развитие в работах А. Ь. Куржанского 2i, 25, 261, Л II Берк-екаса и И. В. Родоса f381, Х. С. Вигзенхаузена |96], Ф. Л. Черноусько [33], Ф С Швенне |91]. Решение задачи в этих работах сводится, как правило, к описанию эволюции некоторых областей, называемых далее информационными множествами, которые содержат все состояния системы, совместимые как с результатами измерений, так и с априорными ограничениями на неопределенные возмущения. Описание указанных областей, таким образом, обеспечивает гарантированные оценки искомых величин. Они строятся, как и в первом случае, адаптивно, по реализовавшимся значениям измеренных параметров. В последующие годы теория гарантированного оценивания была широко развита в части изучения вопросов идентификации, нелинейных задач, а также задач оценивания для систем с распределенными параметрами [2, 34, 36, 37, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 78, 79, 83, 84, 94, 33, 59, 63, 561. Интенсивно разрабатывались и соответствующие вычислительные процедуры [43, 46, 5л, 62, 75, 671.

На практике часто встречаются случаи, когда на траекторию движения системы и устройства, при помощи которых производятся измерения, оказываю! влияния несколько источников возмущений. Они могут порождать помехи как однотипной, так и различной функционатьной природы. Решению задач оценивания для систем с подобными комбинированными возмущениями посвящена настоящая работа.

Следует подчеркнуть что рассмотренные в диссертации задачи оценивания конечномерных траекторий по результатам измерений относятся к числу «обрашых» |4). При этом упомянутые в данной работе решения задачи с мягкими интегральными ограничениями являются в бесконечномерном случае аналогами уравнений известит регуля-ризатора А. Н. Тихонова. [73]. В данной работе основное внимание уделено рассмотрению комбинированных ограничений на возмущения, применению динамического программирования и обеспечению рекуррентности решений — эффективном) нос iроению динамических оценок, особенно важных для управляемых процессов.

Целыо работы является разработка методов динамического программирования для построения рекуррентных решений задач гарантированного и стохастической) оценивания неизвестного состояния дискретных систем с комбинированными возмущениями, в числе которых могут быть случайные составляющие, а также составляющие, не допускающие статистического описания, с заданным ограничением на меру неопределенности набора неизвестных параметров или с неизвестным ограничением на эту меру (задач типа II ж).

Предложенный в работе подход основан на применении техники динамического программирования. При получении решения использован принцип оптимальности [39], модифицированный для рассматриваемого круга задач. Это позволяет выполнить одно из основных требований к решениям — добиться их рекуррентности.

Как отмечалось в работах [35, 36, 67], центральным в методе динамического программирования для задач гарантированного оценивания является поняше информационной функции, которая задается как решение прямого уравнения Гамилыона—Якоби— -Беллмана или его дискретного аналога. Информационная функция обладает тем свойством, что ее множества уровня совпадают с упомянутыми выше информационными множествами — решениями задач гарантированного оценивания. Таким образом, последующие решения будут следовать схеме Л: принцип оптимальности — информационная функция — информационное множество. При этом соответствующие решения будут определены в рекуррентной форме.

Первая глава диссертации посвящена развитию методов гарантированного оценивания. Предполагается, что система подвержена комбинированному воздействию нескольких источников возмущений, причем какая-либо статистическая информация о помехах отсутствует.

Рассматривается линейная система, моделируемая уравнениями динамики х (?) 1).ф-1) f #(/-l)r (/- 1). / 1.п. (D и уравнениями наблюдений г/0) — Сг'(/).г (г) 4 ш (/), /-1.п. (2).

Здесь векторы т (0),., х (п) 6 Hir — начальное и текущие состояния сииемы Векторы v (i — 1) 6 BV' и w (i) б Я" ',) 1. п обозначают неопределенные возмущения, которые могут быть порождены несколькими источниками помех Матрицы А{г— 1). В (/- 1),(V (?), / - 1. п считаются известными, гапдА{/) г,/ 0."-1.

Введем обозначение: ад.1 Ш."(/)}.//</•.

Под ((1,п) будем понимать следующий набор неопределенных параметров:

С (ТТп) ^ {x (Q), v. nl], w[l, n]}.

Основная задача состоит в том, чтобы по известным измерениям у[ 1, п | у, «оценить значение вектора х (п) при некоторой дополнительной информации о наборе неизвестных параметров ((l.n), входящих в систему.

В главе 1 предполагается, что информация о неизвестных параметрах набора <(1. п) задается при помощи ограничения на некоторую функцию Т (((.п)), а именно, имеет место неравенство.

М) < г- (3).

Под мерой неопределенности вектора и в работе понимается функция c/^(u, u*) — j|w — u’llj, — (и — u*)W («— и*). где вектор а* и весовая матрица W — W > 0 — заданы.

В данной работе в качестве, F"(1,7j)) рассматриваются меры неопределенности набора неизвестных параметров. Они представляют собой различные комбинации, получаемые применением операций суммирования и / или максимизации к мерам неопределенности векторов, составляющих этот набор. Если используется юлько операция суммирования, то меру неопределенности набора неизвестных параметров будем называть мягкой, если только операция максимизации — жесткой, а в случае их комбинации — смешанной. Отметим, что основное внимание в работе уделяекя задачам оценивания неизвестного состояния систем, меры неопределенности набора неизвестных параметров которых являются смешанными.

В зависимости от того, доступна ли информация о числе р2 в неравенстве (3), можно рассматривать различные задачи. В работе анализируются два случая: когда число fi2 известно и когда оно априори не задано.

В первом случае предполагается, что р2 — фиксированное число, и рассматривается задача гарантированного оценивания вектора .г (т?) при помощи множества.

Во втором, когда число /у2 не задано, основное внимание уделяется поиску наименьшей положительной константы, ограничивающей отношение между «входом» и «выходом» системы (1)-(2) (аналогично тому, как это делается в /Ух теории управления [37]).

Заключение

.

В заключении кратко сформулируем основные результаты работы.

1. Предложен общий подход к решению задач оценивания для систем с комбинированными возмущениями, основанный на применении техники динамического программирования.

2. Показано, что решения (информационные множества) задач гарантированного оценивания при смешанных мерах неопределенности могут быть предел авлены в виде пересечения параметрического семейства эллипсоидов, центры и матрицы которых вычисляются адаптивно. Предложен новый алгоритм оценивания неизвестного состояния системы в случае, когда на помехи наложены геометрические ограничения.

3. Рассмотрены задачи типа Нж, когда уровень ограничения па меру неопределенности не задан. Показано, что точечной оценкой неизвестного состояния сисчемы в этом случае будет предел последовательности чебышевских центров решений соответствующих задач множественного оценивания при фиксированных ограничениях.

4. Для систем с мультипликативной неопределенностью получены множественные оценки как неизвестного состояния, гак и дискретного аналога переходной функции. Предложенный рекуррентный метод решения сочетает параметрическое оценивание с непараметрическим.

5. Для систем, помехи в которых являются гауссовскими случайными векторами с известными ковариационными матрицами, но неизвестными векторами средних, предложен рекуррентный способ построения верхних оценок доверительных областей — решений задачи множественного оценивания.

Показать весь текст

Список литературы

  1. С. А., Енюков И .С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика Основы моделирования данных и первичная обработка. М.: Финансы и статистика, 1983
  2. В.Я., Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач М Паука, 1986.
  3. А.Е., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления М Мир, 1972.
  4. Д.П., Шрив С. Стохастическое оптимальное управление М Наука, 1985.
  5. Ф.II. Численные методы решения экстремальных задач М ¦ Фактриал, 2002.
  6. Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
  7. B.C. Обобщенный метод наименьших квадратов. Теория и применение в астрономии. СП-б.: Наука, 1997.
  8. МЛ. О структуре минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания. // Изв. РАН. Техническая кибернетика, N3., С.87−95, 1994. к
  9. М.И. Устойчивость информационных областей в задаче гарантированного оценивания. // Труды Матем. ин-та им. Стеклова, Доп. вып. 2: Труды ИММ УрО РАН, с. 104−118, 2000.
  10. И. А. Метод гарантированного оценивания состояния линейной динамической системы со смешанной неопределенностью //Вестник МГУ. Сер. 15. Вы-числ. математика и кибернетика, N3, С.37−40, 2000.
  11. И.А. Задача фильтрации при смешанной неопределенное&trade-. // Изв. РАН. Теория и системы управления, N5, С. 16−24, 2001.
  12. Г. П., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1984.15} Калман Р. Е. Об общей теории систем управления // Труды I Конгр ИФАК, Т.1, Изд. АН СССР, 1961.
  13. Кац И.Я., Куржаиский А. Б. Минимаксное оценивание в многошаговых системах. // Докл. АН СССР, Т.221, В.5, 1975.
  14. Кац II.Я., Тимофеева Г. А. Динамические оценки доверительных и информационных множеств в стохастически неопределенных системах. // Изв РАН Техническая кибернетика, N6, С.42−46, 1994.
  15. А.И. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. // Изв. АН СССР. сер. Матем Т.5, С.3−11. 1911
  16. А. С., Куржанский А. Б. Управление и оценивание при неполной информации. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, N4, 1983.
  17. Е.К. О полиэдральном оценивании областей достижимости в линейных системах при помощи параллелотопов. // Выч. техн. Т. З, N2, С. 11−20, 1998.
  18. Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.
  19. Н.Н. К теории управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем. // Прик. матем. и мех., Т.28, В.1, 1964.
  20. Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
  21. А.Б. Дифференциальные игры наблюдения. // Докл. АН СССР, Т.207, В. З, 1972.
  22. А.Б. К теории позиционного наблюдения. Общие соотношения. // Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, N5, 1973.
  23. А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.
  24. П. Теория матриц. М.: Мир, 1970.С.549.
  25. Р.Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1976.
  26. II.Ф. О некоторых экстремальных свойствах сигналов в задаче оценивания траекторий систем с априорными квадратичными ограничениями на неопределенные параметры. // Авт. и Телмех., N1, С.84−94, 1985.
  27. II. Робастность в статистике. М: Мир, 1984.
  28. Ф.Л., Мсликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М: Наука, 1978.32J Черноусько Ф. Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенноеiей при помощи эллипсоидов. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, N3-N5.1980
  29. Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.
  30. Ananiev B.I., Pischulina I.Ya. Minimax quadratic filtering in systems with time-lag. // Differential Control Systems, A.V. Kryazhimski, ed., Ural Sci. Cent., P. 3−12,1979.
  31. Baras J.S., Bensoussan A., James M.R. Dynamic observers as asymptotic limits of recursive filters: special cases. // SIAM Journal on Appl. Math., V. 48, N5, P. 1И7−1158, 1988.
  32. Baras J.S., Kurzhanski А.В. Nonlinear filtering: the set-membership (Bounding) and the IIX approaches. // Proceedings of the IFAC NOLCOS Conference, Tahoe, CA, Plenum Press, 1995.
  33. Bazar Т., Bernhard P. H°° Optimal control and related minimax design problems. Boston: Ser. SCFA, Birkhauser, 1991.
  34. Bertsekas D.P., Rhodes I.B. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty.// IEEE Trans. Aut. Control, AC-16, P. 117−128, 1971.
  35. Bertsekas D.P. Dynamic programming. V.1. Boston: Athena Scientific. 1995.
  36. Boyd S., El Ghaoui L., Perron E., Balakrishnan A.V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia: SI AM Publ., 1994.
  37. Cerone V. Feasible parameter set for linear models with bounded errors in all variables. // Automatica, V.29, P.1551−1555, 1993.
  38. Chernousko F.L., Melikyan A.A. Some differential games with incomplete information. // Lecture Notes in Computer Science, Springer Ver., Berlin, Y.27, P.445−450, 1975.
  39. Chernousko F.L. State estimation for dynamic systems. CRC Press, 1994.
  40. Chernousko F.L., Rokityanskii D. Ya. Ellipsoidal bounds on reachable sets of dynamical systems with matrices subjected to uncertain perturbation. // Journ. Optim. Theory and Appl, V.104,N.1,P.1−19,2000.
  41. Chernousko F.L., Shmatkov A.M. New Results on Optimal Ellipsoidal Estimation for Uncertain Dynamical Systems. // Proc. World Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.
  42. Chisci L., Garulli A., Zarra G. Recursive state bounding by parallelotopes. // Preprint, Univ. Firenze, 1995.
  43. Clement Т., Gentil S. Recursive membership set estimation for output-errors models. // Mathem. and Comput. in Simul., V.32, P.505−513, 1990.
  44. Digailova I.A., Kurzhanski A.B. On the state estimation problem under mixed uncertainty.// Proc. of the Conf. MTNS, Perpignan, 2000.
  45. Digailova I.A., Kurzhanski A.B. The state estimation problem under mixed uncertainty. // Elsevier Science, NOLCOS-Ol, St. Petersburg, V.2, P.547−552, 2001.
  46. Digailova I.A., Kurzhanski A.B. The joint model and state estimation problem under set-membership uncertainty. // Proc. Wo-id Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.
  47. Digailova I.A., Kurzhanski A.B. On model and state estimation under mixed uncertainty. // Proc. MTNS-2002, Notre Dame, USA, 2002.
  48. Doyle J.C., Francis B.A., Tannenbam A.R. Feedback control theory. N.Y.: McMillan, 1992.
  49. Duricu C., Walter E, Polyak B.T. Multi-input-output ellipsoidal state bounding. // Journ. Optim. Theory and Appl., V. lll, N2, P.273−303, 2001.
  50. Fogel E. System identification via membership set constraints with energy constrained noise. // IEEE, Trans. Aut. Contr. V. 24, N5, P. 7.52−757, 1979.
  51. Fogel E., Huang Y.F. On the value of information in system identification — bound noise case. // Automatica. V. 18, P. 229−238, 1982.
  52. A., Tesi A., Vicino A. (Eds) Robustness in identification and control. Springer, Lecture Notes in Control and Information Sciences, V.245, 1999.
  53. Ghaoui L.E., Calafiore G. Bounded uncertainty models in finance: parameter estimation and forecasting. // Proc. World Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.
  54. Gusev MJ. Errors bounds for reachable set under discrete approximation of state constraints.// Elsevier Science, NOLCOS-Ol, St. Petersburg, V.3, P. 1355−1360, 2001
  55. Kailath T. Linear systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980.
  56. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME. Ser. D, V.82, 1960.
  57. Khargonekar P.P., Rotes М.Л. Mixed II2/HX filtering.// Proc of the 31-th Conf. on Decision and Control. Tucson., 1992.
  58. Kostousova E.K. State estimation for dynamic system via parallelotopies: optimization and parallel computations. // Optim. Meth. and Softwear, V.9. N4. P. 269−306. 1998.
  59. Krener A. Necessary and sufficient conditions for worst-case //x control and estimation. // Math. Syst. Estim. and Control, N4, 1994.
  60. Kuntsevich V.M., Lychak M. Guaranteed estimates, adaptation and robustness in control systems, // Letcure Notes in Contr. Inf. Sci., V. 169, Springer-Verlag, 1992.
  61. Kurzhanski A., Valyi /. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston-Birkhauser, 1997.
  62. Kurzhanski А.В., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis. // Lecture Notes in Computer Sciences. Springer, V. 1790, P.202−214, 2000.
  63. Kurzhanski A.B. Identification: a theory of guaranteed estimates. // From Data to Model, J.C. Willems, (Ed.), Springer-Verlag, 1989.
  64. Kurzhanski А.В., Tanaka M. On a unified framework for deterministic and stochastic treatment of identification problems. //Working Paper WP-89−13, 1IASA, Laxenburg, Austria, 1989.
  65. Kurzhanski A.B. The Identification problem: a theory of guaranteed estimates, // Automation and Remote Control, translated from «Avtomatika i Telemekhanika», V. 52, N4, pt. l, P. 447−465, 1991.
  66. Kurzhanski А.В., Pschcnichnyi B.N., Pokotilo r.G. Optimal inputs for guaranteed identification. // Problems of Control and Information Theory, V 20, N1, P 13−23, 1991.
  67. Kurzhanski А.В., Sivergina l.F. On noninvertible evolutionary systems' guaranteed estimates and the regularization problem. // Sov. Math. Doklady, V 12, N2, P 451 455, 1991.
  68. Kurzhanski А.В., Sugimoto K. Valyi I. Guaranteed state estimation tor dynamic systems: Ellipsoidal techniques. // International Journal of Adaptive Contr and Sign Proceedings, V. 8., P. 85−101, 1994.
  69. Matasov A.I. Estimation for uncertain dynamic systems. Kluwer Acad Pub, 1998.
  70. Melikyan A.A., Shinar J. Identification and construction of singular surface in pursuit-evasion games. // Sixth International Symposium on Dynamic Games and Applications, St-Jovite, Quebec, Canada, July 13−15, Vol. Preprint, 1994.
  71. Milanese M., Vicino A. Optimal estimation for dynamic systems with set-membership uncertainty: an overview. // Automatica, V. 27, P. 997−1009, 1991.
  72. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier II., eds. Bounding approaches to system identification. London: Plenum Press. 1995.
  73. Milanese M., Novara C. Set membership identification of nonlinear systems. // Proc. of the 39 IEEE Conf. on Decision and Control, Sydney, AU, P.2831−2836, 2000.
  74. Milanese M., Novara C. Set membership Prediction of nonlinear tine series. Estimation of nonlinear regressions. // Proc. of the 40 IEEE Conf. on Decision and Control, Orlando, FL., 2001.
  75. Milanese M., Novara C. Set membership estimation of nonlinear regressions. // Proc. World Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.
  76. Nagpal K.M. Khargonekar P.P. Filtering and smoothing in an IIX setting. // IEEE, Trans, on Aut. Contr., V.36, N2, P.152−166, 1991.
  77. Norton J.P. Identification and application of bounded-parameter models, Automatica, V. 23, N4, P. 497−507, 1987.
  78. J.P. (Ed.) Special issues on bounded-error estimation. // Inter Journ of Addaptive Control and Signal. Proc., V. 8, N1, 1994.
  79. J.P. (Ed.) Special issues on bounded-error estimation. // Inter Journ of Addaptive Control and Signal. Proc., V. 9, N2, 1995.
  80. Ovseevich A.I. Extremal properties of ellipsoids approximating attainability sets, ' Problems of Control and Information Theory, V.12, N1, P. 1−11, 1983.
  81. Ovseevich A.I., Reshetnyak У U.S. Approximation of the intersection of ellipsoids in problems of guaranteed estimation, //m Sov. J. Comput. Syst. Sci., V. 27, N1, 1989.
  82. Polyak B.T., Nazin 5.Л., Durieu C., Walter E. Ellipsoidal estimation under model uncertainty. // Proc. World Congress IFAC-2002, Barcelona, Spain, 2002.
  83. Rokityanskii D.Ya. Opiinal ellipsoidal estimation of attainability sets for linear systems with uncertain matrix. // Isvestiya RAN. Theor. i Syst. Upr., N4, P. 17−20, 1997.
  84. Schweppe F.C. Recursive state estimation: unknown but bounded errors and system inputs. // IEEE, Trans. Aut. Cont., AC-13, 1968.
  85. Schweppe F.C. Uncertain dynamic systems. // Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973.
  86. E. (Ed.) Special issue on parameter identification with error bound. // Mathem. and Comput. in Simul., V.32, N5−6, 1990.
  87. Walter E., Pronzato L. Identification of parametric models from experimental data. B.:Springer, 1997.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!