Моделирование тепломассопереноса с фазовыми превращениями в задачах оптимизации теплотехнических установок

Актуальность. Оптимизация тепломассопереноса в теплотехнических установках, применяемых в металлургии, вакуумной технике, химической технологии и т. д., является одной из актуальных задач. Общие вопросы оптимизации освещены в трудах: Болтянский В. Г. [5], (Бутковский А.Г., Малый С. А., Андреев Ю.Н.) [12−13], Егоров А. И. [24], Ли Р. [46], Рей У. [69], Сиразетдинов Т. К. [75]. В настоящей работе рассмотрен класс задач, когда необходима оптимизация на основе комплексных математических моделей, учитывающих не только взаимодействие излучения, конвекции, кондукции, фазовых превращений и массопереноса, но и технологические, конструктивные, производственные и другие ограничения. В диссертации детально изучены комплексные модели плавки стали в электродуговой печи (ЭДП) и очистки веществ на кристаллизаторе, запатентованном немецкими учеными (далее в тексте банд-кристаллизатор). Основы математического моделирования процессов в промышленных печах даны в монографиях: (Арутюнов В.А., Бухмиров В. В., Кру-пенников С.А.) [1], Гольдфарб Э. М. [17−18], Ефроймович Ю. Е. [26], Марков H.A. [51]. Моделированию процессов при плавке стали в ЭДП посвящены работы отечественных и зарубежных исследователей: (Игнатов И.И., Попов H.H., Венявкина Е. А., Яковлева А. Т., Хаинсон A.B., Моржин А. Ф., Егоров A.B.) [28−32, 66−68], (Esser F., Fiendler Н., Lachner W.) [80, 88−90], Farschtschi А. [91]. Вместе с тем, вопрос оптимизации плавки при одновременном учете различных факторов и ограничений изучен недостаточно, поэтому представляет интерес создание полной модели плавки, позволяющей имитировать работу ЭДП в условиях реального производства и оценивать затраты.

В теорию тепломассопереноса при фракционной кристаллизации значительный вклад внесли: (Мясников С.К., Казимбеков Б. А., Малышев В. А., Жаворонков Н. М., Лапин Н. В., Николаев Д. А., Кулов H.H., Муравьев М.Ю.) [4144, 55], а также Brauer Н. [82], (Burton J., Slichter W., Prim R.) [84−85], Hurle D. [98], (Erdman H., Simrock K.) [87], Mayer M. [100], Guenter M. [94], Gustaf M. [95], Wilke W. [116], (Wintermantel К., Kast. W) [117−118]. Вместе с тем, процесс кристаллизации на банд-кристаллизаторе практически не изучен, поэтому одной из важных задач является создание комплексной математической модели этого процесса, позволяющей имитировать работу кристаллизатора, прогнозировать чистоту кристалла, производительность и нежелательные режимы.

Эффективность оптимизации может быть существенно увеличена в тех случаях, когда удается выделить небольшое число сосредоточенных параметров, определяющих процесс. Такой переход позволяет использовать метод динамического программирования, дающий эффективные алгоритмы поиска глобального экстремума с учетом многочисленных ограничений, неаналитического характера информации и дискретного характера задачи. Метод динамического программирования широко используется в различных прикладных задачах (см. Беллман Р. [3]). Вместе с тем, недостаточно внимания уделено его применению при оптимизации теплотехнических установок. В связи с этим разработка универсальной методики оптимизации, основанной на переходе к модели с сосредоточенными параметрами с последующим использованием алгоритмов динамического программирования, является актуальной задачей.

При моделировании плавки в электро-дуговых печах возникают две группы задач. Первая группа — связана с моделированием лучистого переноса в областях со сложной геометрией. Моделированию излучения в теплотехническом оборудовании посвящены работы: Блох А. Г. [4], (Зигель Р., Хауэлл Д.) [27], (Ключников А.Д., Иванцов Г. П.) [35], Невский A.C. [56]. Аналогичные задачи возникают при расчете тепломассопереноса в вакуумных системах и насосах. Моделированию этих процессов посвящены работы: (Гарбуз Г. А., Иванов В.И.) [15], Дэшман С. [23], Ермаков С. М. [25], Коган М. [36], (Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А.) [38], Розанов JI.B. [71], Саксаганский Г. Л. [73]. Основными методами расчета указанных задач являются метод угловых коэффициентов, метод Монте-Карло, метод интегральных соотношений. Поскольку в ряде двумерных и трехмерных задач эти методы либо не применимы, либо не являются эффективными и удобными, то необходима разработка новых методов. Вторая группа задач связана с моделированием процессов нагрева и плавления дисперсной среды под действием излучения. Значительный вклад в моделирование нагрева и плавления различных сред внесли: (Крылов JI.C., Бровкин JI.A.) [6], (Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А.) [7], Гольдфарб Э. М. [17−18], Гольдштик М. А. [19], (Лыков A.B., Берковский Б. М., Прудников А.П.) [47−49], Мазо А. Б [50], Невский A.C. [57], Рыкалин H.H. [72], (Чистяков В.К., Саламатин А. Н., Фомин С. А., Чугунов В.А.) [78], Чудновский А. Ф. [79]. Вместе с тем, алгоритмы решения сопряженных двумерных и трехмерных задач о нагреве и плавлении дисперсной среды с учетом излучения, мало изучены, поэтому их разработка представляет научный и прикладной интерес.

Цель работы:

• разработка комплексных математических моделей, учитывающих различные механизмы тепломассопереноса и многочисленные ограничения для плавки в электродуговой печи и фракционной кристаллизации на банд-кристаллизаторе;

• разработка и применение алгоритмов оптимизации теплотехнических установок на примерах электродуговой печи и банд-кристаллизатора;

• разработка эффективных методов и алгоритмов решения двумерных и трехмерных задач свободномолекулярного и лучистого переноса;

• разработка алгоритмов решения двумерных задач о нагреве и плавлении дисперсной среды под воздействием диффузного излучения.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием известных' базовых математических моделей, апробированных аналитических и численных методов решениякорректным применением общих законов сохранения и теории подобия. Достоверность подтверждается путем сравнения результатов диссертации с известными экспериментальными данными.

Научная новизна.

Впервые предложены комплексные математические модели, на основе которых проведена оптимизация процессов тепломассопереноса в электродуговой печи и банд-кристаллизаторе.

Создано математическое обеспечение блока корректировки оптимального режима электродуговой печи, позволяющее учитывать теплотехнические, производственные и технологические ограничения. Обобщено управление ЭДП по «векторной диаграмме» .

Теоретически обоснована и экспериментально проверена новая технология и конструкция установки для непрерывной фракционной кристаллизации * из расплава на банд-кристаллизаторе.

Разработаны алгоритмы решения двумерных и трехмерных задач лучистого и свободномолекулярного переноса. Для их решения разработан пакет программ.

Разработаны алгоритмы решения задач о нагреве и плавлении дисперсной среды под воздействием излучения.

Практическая ценность. Разработанные методы и алгоритмы позволяют эффективно решать двумерные и трехмерные стационарные задачи лучистого и свободномолекулярного переноса. Они были использованы АО «Вакууммаш» при оптимизации конструкции молекулярных ступеней серии насосов. Программы расчета тепломассопереноса включены в банк данных для проведения дальнейших НИР и ОКР (Акт внедрения).

Большинство из полученных в диссертации результатов имеют практическую направленность. Комплексные модели процессов в ЭДП и бандкристаллизаторе и предложенная методика позволили оптимизировать такие важные индустриальные процессы, как плавка стали в ЭДП и фракционная кристаллизация из расплава на банд-кристаллизаторе.

Алгоритмы оптимизации плавки стали в электродуговых печах были использованы в НПО «Волга» при проектировании блоков корректировки электрического и теплового режимов, а также при расчете рациональных профилей мощности для штатных ситуаций печей ПО «Абаканвагонмаш» («Стальзавод») и Челябинского тракторного завода (цех цветного литья) (Акт внедрения).

Оптимизация фракционной кристаллизации привела к созданию новой технологической схемы кристаллизации. Применение этой схемы позволяет существенно увеличить чистоту кристалла.

Значительная часть диссертационной работы выполнялась по хозяйственным договорам с промышленными, проектно-конструкторскими и научными учреждениями. В постановке задач принимали участие специалисты отдела математического моделирования тепловых процессов Всесоюзного научно-исследовательского института электротермического оборудования (Игнатьев И.И., Хаинсон A.B.), кафедры вакуумной техники Казанского химико-технологического института (Мухамедзянов Г. Х., Беляев JT.A., Бурмистров A.B.), отдела автоматических систем управления технологическими процессами казанского НПО «Волга» (Миннефаев И.Ш.), отдела автоматических систем управления литейного завода «КАМАЗ» (Абрамов А.И.), отдела «Verfahrenstechnik» швейцарской фирмы «Ciba-Geigy» (Schneeberger R., Jakobi О.).

Апробация. Результаты работы докладывались на ежегодных итоговых конференциях Казанского научного центра Российской академии наук, на городском технологическом семинаре (г. Казань, 1994, руководитель-профессор A.B. Костерин) — на рабочих семинарах во Всесоюзном научно-исследовательском институте электротермического оборудования (г. Москва, 1990, руководитель-доктор тех. наук И.И. Игнатов) — в Научно-производственном объединении «Волга» (г. Казань, 1991;1992, руководитель — канд. тех. наук И.Ш. Миннифаев) — на фирме «Ciba-Geigy» (г. Базель, 1995, руководитель — доктор технологических наук U. Buechel), в Институте механики и машиностроения КНЦ РАН (г. Казань, 1999, руководитель — д.ф.-м. наук Д.А. Губайдуллин), на семинарах Казанского Математического Общества (г. Казань, 1999, руководитель — профессор A.B. Лапин) и Казанского государственного технического университета (г. Казань, 1999, 2005, руководитель — профессор К.Г. Гараев).

Работы докладывались на Всесоюзной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития вакуумной техники» (Казань, 1991) — на 5-й международной конференции «Energex '93» (Южная Корея, Сеул, 18−22 окт. 1993) — на 52-й конференции «Electric furnace conference» (США, Теннеси, Не-швилл, 13−16 ноября 1994) — на 11-й конференции «Conference on High Vacuum, Interfaces and Thin Films-HVITF 94» (Германия, Дрезден, 10−16 марта 1994).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в двух монографиях, сборниках и журналах (12 статей), в трудах международных конференций (4). В работе [62] автору принадлежит идея доказательства существования и единственности задачи о лучистом теплообмене. В работах [63, 64] автор разработал модель плавления дисперсной среды под действием источника излучения и предложил переход к модели с сосредоточенными параметрами. В работе [65] автор сформулировал математическую постановку задачи. В монографии [53] автору принадлежит вторая глава, где изучена математическая модель диффузионного переноса с запаздыванием и исследована корректность постановок наиболее общих одномерных задачи. В работе [61] автор предложил использовать приближенные методы Шепери и Тер-Хаара в задачах идентификации моделей диффузии с запаздыванием. В работах [105, 110] автором создана математическая модель плавки и разработаны алгоритмы оптимального управления печами. В работах [8−11, 83, 112−113] автор разработал методы и алгоритмы расчета двумерных и трехмерных задач переноса с произвольными законами отражения.

Символ г ь ГЪМ ' ГЬМ Ч V т = 1.38−1023.

Р Т JNE (L).

00 дг иЦ-ЛУь) в{Ь, МУм) СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ Значение Единица радиус-вектор в пространстве радиусвектор точки Ь вектор между точками Ь, Ми его длина нормаль к площадке? А (Ь) скорость молекулы м/с функция распределения плотности вером" 3 (м/с)" 3 ятности масса молекулы кг постоянная Больцмана Дж/к давление газа Па абсолютная температура газа К угол между векторами гьм и пь рад л плотность потока молекул, падающих на 1/(см).

Ьплощадку л плотность потока молекул, излученных с 1/(см).

Х-площадки скорости молекулы до и после отражения м/с телесные углы с точки? наМиЛ^- плоср щадки.

•5 о функция распределения плотности вером" (м/с)" ятности для молекул, падающих на Ьплощадку со скоростями У^, направленными от N к Ь функция распределения плотности вером" 3 (м/с)" 3 ятности для молекул, отраженных от или излученных ?-площадкой, со скоростями Ум, направленными отЬкМ.

3 3 функция распределения плотности вером" (м/с)" ятности для молекул, излучаемых газом внутрь канала с открытых его концов Цгф^МУУм).

•с1(йМ'с1Ум у -./2-к-т т V т Ч КЪМ? ЦЛГ), АА[Ы].

ДмХ) су = 5. 67−10″ в Я вероятность отражения молекулы, имеющей скорость, от ?-площадки в сторону М-площадки в пределах телесного угла с1(йм со скоростью в пределах Ум и Ум+с/Ум средняя тепловая скорость молекулы скорость стенки, совпадающей с Ьплощадкой точки в середине поверхностей малых площадок или их индексы бесконечно-малая и малая 7У-площадки или их площади мощность лучистой энергии, излученной единицей Ь — площадки на единичную М-площадки вероятность того, что луч упавший в точку Ь со стороны точки ТУ, отразится в единичном телесном угле в направлении точки М степень черноты поверхности постоянная Стефана-Больцмана фиктивная поверхность, моделирующая газ поверхность, моделирующая стенки канала м/с м/с м Вт/(м2 К4).

Нижний индекс.

1,2,3,4 обозначают номера поверхностей.

• относится к отражению относится к падению Символ Значение Единица СУ, См=С, С5 теплоемкости футеровки, металла, шихты Дж/(кгК) Н скрытая теплота плавления Дж/кг Тм температура плавления К ТМР температура плавления футеровки К Е плотность мощности падающей энергии Вт/м2, Дж или энтальпия.

7 поток результирующей лучистой энергии Вт/м2 в масса завалки кг ар, ам, <35 температуропроводности футеровки, м2/с металла, шихты.

V скорость конвективного переноса или м/с движения фронта плавления Ь размер, толщина, длина м ЬА длина дуги м и&-А катодно-анодное напряжение (30−35 В) В и напряжение в электрической цепи печного В контура.

1]а напряжение дуги В РА мощность дуги Вт Рг лучистая мощность дуги Вт.

1 ток в цепи, А имЬ’Щ напряжение в цепи для ступени у ?/ В 1м[/1] ток в цепи для ступени // А Я активное сопротивление цепи Ом Ь реактивное сопротивление цепи Ом.

2 полное сопротивление цепи Ом /(м?) плотность мощности лучистой энергии в направлении от единичной Ь — площадки в Вт/м2 сторону единичной М — площадки 1?{М?№) вероятность того, что луч упавший в точку Ь со стороны точки Л^ отразится в единичном телесном угле в направлении точки М с1А (М) бесконечно-малая N — площадка или ее м2 площадь гьм вектор между точками Ь и Ми его модуль пь нормаль к площадке?? Л (Ь) Греческие символы Л, а коэффициент теплообмена Вт/(м К) РлР5, Ра/ плотности футеровки, шихты и металла кг/м3 теплопроводности футеровки, шихты и Вт/(мК) металла в степень черноты поверхности, а = 5.67-Ю-8 постоянная Стефана-Больцмана Вт/(м2К4).

5 толщина теплового пограничного слоя м ьм угол между векторами г1М и пь рад Нижний индекс.

5 Шихта футеровка или конечное значение величины М Металл БН Шлак Е Электрод О начальное значение п по направлению нормали Символ Значение Единица х координата вдоль банда м у координата поперек банда м г координата по ширине банда м длина кристаллизационной зоны м.

V средняя скорость стекания расплава м/с Ус (х) скорость роста кристалла м/с С теплоемкость расплава Дж/(кг'К) Сь начальное загрязнение в расплаве % Са (*) распределение концентрации примеси вдоль поверхности кристалла %.

Сс среднее загрязнение кристалла % к0 равновесный коэффициент распределения к эффективный коэффициент распределения Н скрытая теплота кристаллизации Дж/кг ив скорость банда м/с т1 массовый расход расплава кг/с Ь ширина банда м Л g ускорение свободного падения м/с Д/ динамический коэффициент диффузии кг/(м'с) Г^Иа/р кинематический коэффициент диффузии м/с р^ С-х число Прандтля К тс • ?л число Шмидта Лти — а • 5 число Нуссельта А" с г, Рс ' $ число Шервуда цг К е = V • 5 = число Рейнольдса V т, Ь ¦ р • V.

Ку коэффициент формы кристалла Греческие символы, а коэффициент теплообмена Вт/(м2 К) Р угол наклона кристаллизатора рад р плотность расплава кг/м3.

Ц динамическая вязкость кг/(м с).

V = ц/р кинематическая вязкость м2/с 8/57г толщина диффузионного слоя м.

8^ = Ъ/Ыи толщина термического слоя м.

5, 8с (-с), Ъв{х) толщины пленки, кристалла и банда м.

X, Хс, Хв теплопроводности расплава, кристалла и Вт/(м К) банда.

80,8со (х) невозмущенные значения толщины м расплава и кристалла возмущенные значения толщины м расплава и кристалла Нижний индекс с кристалл или примесь В банд Верхний индекс безразмерная величина ЗАКЛЮЧЕНИЕ Перечислим основные результаты работы:

1. Разработаны методы и алгоритмы решения двумерных и трехмерных задач свободномолекулярного переноса. Дано обобщение метода угловых коэффициентов на случай произвольного закона отражения молекулы. В целях ускорения счета предложены экспоненциальные аппроксимации потоков молекул, импульса и энергии. Детально изучены алгоритмы расчета двумерных и трехмерных задач с использованием этих аппроксимаций. Создан и внедрен пакет программ расчета основных характеристик вакуумных установок.

2. Разработаны методы и алгоритмы решения двумерных и трехмерных задач лучистого переноса. Дано обобщение метода угловых коэффициентов на случай произвольного закона отражения луча с учетом точечного источника. По аналогии со свободномолекулярным переносом при моделировании «полузеркального» отражения луча предложено использовать экспоненциальный закон. Создан пакет программ расчета лучистой нагрузки в электродуговой печи.

3. Разработана комплексная математическая модель плавки стали в электродуговой печи. Рассмотрены основные одномерные задачи теплопереноса, характеризующие плавку в электродуговой печи. Предложены' многофазные модели теплопереноса в шихте, использующие релаксационные уравнения. Разработаны алгоритмы решения сопряженной задачи нагрева и плавления шихты при излучении с помощью изоморфных подвижных сеток. На их основе проведено численное исследование динамики плавления шихты. Выделены сосредоточенные параметры, определяющие плавку.

Предложено рассматривать плавку как «движение» сосредоточенной системы в пространстве состояний. Строго сформулирована задача оптимального управления плавкой на стадии расплавления шихты. Записаны функциональные соотношения динамического программирования для решения дискретной задачи управления плавкой с учетом стоимости переключений напряжения трансформатора. Эти соотношения обобщают известное управление по «векторной диаграмме» на случай учета многочисленных ограничений.

4. Разработана комплексная математическая модель фракционной кристаллизации из расплава на банд-кристаллизаторе. Изучены характерные одномерные и двумерные задачи тепломассопереноса. Установлено существенное влияние профиля кристалла на его чистоту. Выделены сосредоточенные параметры, определяющие кристаллизацию. Предложено рассматривать фракционную кристаллизацию на банд-кристаллизаторе как «движение» сосредоточенной системы в пространстве состояний. Строго сформулирована задача оптимального управления кристаллизацией. Записаны функциональные соотношения динамического программирования для решения дискретной задачи с учетом стоимости термостатов. Предложена и экспериментально проверена новая технология и конструкция установки для непрерывной фракционной кристаллизации на банд-кристаллизаторе. Показано, что применение новой технологии позволяет значительно увеличить чистоту кристалла.

5. Разработаны алгоритмы и общая методика оптимизации тепломассо-переноса с фазовыми превращениями с учетом многочисленных ограничений. Основу этой методики составляет приближенный переход от распределенных параметров к небольшому числу сосредоточенных параметров с последующим использованием функциональных соотношений динамического программирования. Предложенные алгоритмы и методика оптимизации универсальны и эффективны. Они применимы при оптимизации процессов тепломассопереноса, в которых возможен переход к небольшому числу сосредоточенных параметров.

Автор выражает благодарность директору Института механики и машиностроения КНЦ РАН член-корр. Губайдуллину Дамиру Анваровичу, профессору Владимиру Леонидовичу Федяеву и профессору Александру Ивановичу Мали-кову за внимание и поддержку при работе над диссертацией. Автор признателен также коллегам, родственникам и друзьям, оказавшим содействие появлению этой работы.