Формы и представления колец Ли

Описание простых конечномерных алгебр Ли над полем всех комплексных чисел было начато в работах С. Ли и завершено В. Киллингом. Переход к описанию простых алгебр Ли над полем вещественных чисел (т.е. описание вещественных форм простых алгебр Ли) — очень старая проблема, полное её решение было дано Э. Картаном в 1914 г. Описание форм простых алгебр Ли над произвольным полем F как правило очень трудная задача, а ее решение использует свойства конкретного поля F (см. [1]).

А.Н. Гришков [4] поставил задачи описания представлений кольца Ли sl2 (Z) и Z-форм алгебры Ли sfa (Q). Но изучение Z-форм естественно начать в локальном случае, то есть с описания Zp-форм алгебры Ли s^Qp).

Подобная тематика изучается сравнительно редко в силу трудности задачи: в качестве примера назовем работу А. Н. Рудакова и И. Р. Шафаревича [5] где представления алгебры Ли sl2(?) (F — конечное поле) изучаются методами алгебраической геометрии, и работу А. Н. Гришкова [3] в которой строится теория соответствия между матричными треугольными алгебрами Ли с коэффициентами из кольца степенных рядов и группами треугольных матриц, которая затем применяется в теории альтернативных луп.

Таким образом, проблема описания форм и представлений кольца sl2(.

Поскольку в классической теории модули над sl2{C) играют важную роль при построении теории полупростых простых алгебр Ли (см. [1]), то решение поставленных А. Н. Гришковым задач должно стать шагом к описанию форм простых алгебр Ли над кольцами Z и Zp.

Целью работы является описание форм и представлений трехмерной простой расщепляемой алгебры Ли sIq, над кольцами Z и Zp.

Основные задачи, решенные в работе:

— Исследование диагональных s^C^) — и sh (Zp)-moдулей;

— решение задачи о конечности или бесконечности 5/2 (Z)—модулей в каждой размерности;

— формулировка и доказательство локально-глобального принципа для неприводимых дулей;

— изучение структуры произвольной Zp-формы алгебры Ли sl2 (Qp);

— поиск достаточных признаков диагонально сти.

Zp-форм алгебры Ли 5/2 (Qp) и описание диагональных идеалов.

В основе методики исследования лежат классические работы по теории алгебр Ли и развитые методы теории чисел.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Они могут быть использованы в дальнейшем при описании форм и представлений произвольных полупростых конечномерных алгебр Ли над Z и Zp.

Результаты диссертации докладывались на Алгебраическом семинаре Омского госуниверситета и Омского филиала Института математики СО РАН, на семинаре «Алгебра и логика» Новосибирского госуниверситета и Института математики СО РАН.

По теме диссертации опубликовано 4 работы, а 1 работа сдана в печать. Все основные результаты работы опубликованы в статьях [6], [7], [8] и препринте [9].

Изложим кратко содержание диссертации по главам.

1. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

2. Боревич З. И. Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

3. Гришков А. Н. Разрегиимые группы и алгебры Ли над кольцами.

4. В сб. «Проблемы взаимосвязи абстр. и прикладной алгебры», ВЦ

5. СО АН СССР, Новосибирск, 1985, с. 3−34.

6. Гришков А. Н. Неприводимые предст, авления алгебр Ли над кольцами / /Сиб. мат. журнал т. 41 (2000).

7. Рудаков А. Н. Шафаревич И.Р. Неприводимые представленияпростой трехмерной алгебры Ли над полем конечной характеристпики / / М, а т. заметки, 2 (1967), с. 439−454.

8. Р, А Б О Т Ы АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

9. Ющенко А. В. Ър-формы алгебры Ли sl2{Qp) / /Вестник Омскогоуниверситета Вып. 1 (1999), с. 19−21.

10. Ющенко А. В. Ст, роение Ър-форм алгебры Ли s/2(Qp) / /Вестник.

11. Омского университета Вып. 1 (2000).

12. Ющенко А. В. Предст. авления кольца Ли s/2(Z) / /Вестник Омского университета Вып. 2 (2000).

13. Ющенко А. В. Формы и представления колец Ли. Препринт J^ O^O01, Омск: ОмГУ. 2000. 18 с.