Модифицированные характеристики структурных свойств функций и точность аппроксимации

В теории приближения часто рассматриваются оценки значений полунорм (которые так или иначе характеризуют точность приближения) через ту или иную характеристикуктурных свойств функций. В частности, классической является задача об оценках отклонений различных методов приближений, при этом в качестве характеристикиктурных свойств функции, как правило, рассматриваются их модули непрерывности. В настоящее время получено большое количество результатов, относящихся к этой тематике, которым посвящена обширная литература (см., например, [9, 23]). Однако в некоторых других естественно возникающих ситуациях вопрос о связи между значениями полунорм, заданных на некотором классе функций, иктурными свойствами функций остается еще недостаточно исследованным. Это, в частности, относится к непосредственному сравнению методов приближения между собой. При этом оказывается, что в качестве характеристикиктурных свойств можно взять модуль непрерывности не самой функции, а ее первообразной. Последнее позволяет рассматривать более широкие классы функций, причем полученные оценки оказываются более тонкими, чем традиционные оценки через модули непрерывности самой функции. Рассматривая другие модификации модулей непрерывности удается в ряде случаев получить двусторонние оценки, точные (если не обращать внимания на константы) для каждой индивидуальной функции. При этом оценки сверху через модули непрерывности первообразной получаются как следствие.

Изучению этого круга вопросов посвящена глава I. Сделаем краткий обзор полученных здесь результатов. Пусть / принадлежит Ь1 (Т) — пространству 27г-периодических суммируемых на [—тг, 7г] функций, с нормой ||/||i = |/(i)| dt, + y^(afe (/) cos кх + bk (f) sin кх) (1) fc=i ее тригонометрический ряд Фурье, оо sin кх — bk (f) cos кх) (2) fc=i ряд, сопряженный с рядом (1), 5"(/, х) и 5"(/, х) — п-е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно, г Пх + г) -И'-*) гдел >

Jh 27 Г V2 ж) — функция Стеклова второго порядка функции /.

В § 1 главы I устанавливаются оценки сверху для величин типа.

М/, я) = |?п (/, я) — /(я, 7г/п)|.

Как известно, сопряженная функция /(•) = Нт^о /(•, Ь) является «естественной» суммой ряда (2). В случае если /(х) существует, то /(ж, 7г/п) будет сходится к /(ж) и из признака сходимости для 0П (/, ж) получается признак сходимости для сопряженного ряда. Соответственно, представляют интерес оценки величины 0П (/, х) через различные характеристики структурных свойств функции /. В частности, отталкиваясь от классического признака Юнга сходимости сопряженного ряда, Ф. Морицем [25] были получены оценки с>п (/, х) для ограниченной / 6 Хх (Т) в терминах колебаний функции /(жМ) — f (x — ?) на подходящих подинтервалах, а также в терминах вариаций функции f (x-{-t) — f{x — t) в случае, если / имеет ограниченную вариацию. Нашей основной задачей было получение соответствующих оценок в терминах модулей непрерывности первообразной функции /, а также модифицированных вариаций, определяемых через первообразную.

Такая проблематика подсказана результатами В. В. Жука [10]. С другой стороны, в работах Ф. Морица [25] и Ф. Морица и А. Сиддики [26] содержатся оценки в метрике Ь1(Т) величин.

— 5п (/)||1, \Snif) ~ /(-, тг/гг) аналогичные описанным выше. Объединяя оба подхода, нам удалось получить две теоремы, приведенные в § 2, где величины.

НЗД, •) — 5(5ап/2,2(/, • + а&bdquo-/2) + 5вп/2,2(/, • - ап/2))||ь п (/г)-/Ып)||ъ оцениваются сверху через интегральные модули непрерывности первообразной функции /.

Центральное место в главе I занимают параграфы 3 и 4. Пусть С (Т) — пространство 2тг-периодических непрерывных на К функций с нормой ||/|| = тах|/(£)|, Р — полунорt ма в С (Т) инвариантная относительно сдвига и мажорируемая нормой ||о>г (/, К) — модуль непрерывности порядка г в пространствах С (Т) относительно полунормы Р. Если, а > 0, п 6 М, / Е ЬХ (Т), то.

3>в (/>Я:) = 5>-в ]к]ск (/)егкх, кеж.

Тп-1&х)=? (1 ~Щск (№к* суммы Абеля—Пуассона и Фейера функции /.

Известно [9, с. 262], что для f Е С (Т) отклонения сумм Фейера Р^ — <тп1(/)) оцениваются сверху и снизу через величину где — функция, сопряженная к.

Аналогичные оценки получены и для сумм Абеля—Пуассона ?а (/) функции / е С (Т) [9, с.277].

С другой стороны было установлено [9, с.283], что если / € С (Т), а? (О, Г], то имеет место оценка р (/ - ?"(/) — «(Й+1) — ^Са-2(/'.

В § 3 устанавливаются две теоремы, содержащие двусторонние оценки величины.

Р (ЭМ/)-<�Гп !(/))• п.

В первой теореме оценки получены посредством модуля непрерывности третьего порядка первообразной функции /, во второй — посредством модуля непрерывности второго порядка суммы Абеля—Пуассона.

2 (ом/),-). п/.

В первой теореме оценки сверху и снизу совпадают (с точностью до постоянных) для функций принадлежащих наиболее важным классам функций, а во второй — для каждой индивидуальной функции.

В § 4 рассматривается задача по определению главного члена уклонения функции Стек лова первого порядка от сумм Фейера и Абеля—Пуассона функции /.

Задача найти главный член уклонения функции / от метода приближения 11п (/) впервые была решена Е. В. Воронов-ской [5] для приближения дважды дифференцируемых функций полиномами Бернштейна.

Для периодических функций таких, что сс"2(/, /г) ^ СН, М. Заманский (см. [29, 8]) показал, что отклонение функции / от ее сумм Фейера можно представить в виде.

А. В. Ефимов [8] обобщил этот результат, показав, что.

В § 4 получено ряд результатов такого типа для отклонений функций Стеклова первого порядка от сумм Абеля— Пуассона и Фейера, причем оценки ведутся в терминах модулей непрерывности первообразных или модулей непрерывности функций Стеклова первого порядка. Во втором случае удается получить двустороннюю оценку, причем оценки сверху и снизу совпадают с точностью до постоянных.

В главе I рассматривались некоторые обобщения модулей непрерывности функции /: модули непрерывности первообразной функции Стеклова первого порядка 5/гд (/), суммы Абеля—Пуассона У ± (/). Эти модификации получают.

71 ся как композиция обычных модулей непрерывности и соответствующих аппаратов приближения.

В главе II изучаются модификации модулей непрерывности, основанные на суммах довольно общего вида (модифицированных разностях).

Такая проблематика восходит к работе С. Н. Бернштейна [2], где рассматривается обобщение класса Липшица: специальный однородный класс 5д (р, а) порядка д — множество функций /: К. —> К удовлетворяющих при любом к и некотором М > О условию к г— 1 где к а1 = 1 < а2 < ''' < г=1.

С. Н. Бернштейном были установлены прямые и обратные теоремы для приближения функций / € 8ч (р, а) целыми функциями конечной степени. Также рассматривался вопрос об эквивалентности между собой двух различных специальных классов одного порядка. При этом была введена характеристика класса 59(р, а), определяемая как минимальное т? N такое, что к о. г=1.

Оказалось, что все специальные классы порядка q, имеющие одну и ту же характеристику т, эквивалентны между собой. Если, кроме того </^т<�д-|-1,то все эти специальные классы эквивалентны классу Липшица Ыр (к, а), где к = т — 1, 0 < а = д — & = + 1 — га ^ 1.

В главе II изучаются модифицированные разности довольно общего вида, аналогичные тем, которые определяли специальный однородный класс, и соответствующие модули непрерывности. В качестве модельного примера рассмотрим обобщенные модули непрерывности, основанные на формулах численного дифференцирования.

Пусть ж 6 1, к > О, т, п € М, т ^ п, положим.

IV к=гп.

Если / € С (Т), то модули непрерывности, соответствующие введенным обобщенным разностям, определим равенством вир Р (^т'п)(/)).

Как известно, имеют место следующие формулы численного дифференцирования (см., например, [14, с. 150−156]).

Здесь п.

Р&bdquo-(/, ®-о, = Р&bdquo-(/, ®0, «о = С? А ®-о) к—О интерполяционный многочлен Ньютона. В качестве модифицированных разностей ж о) взяты величины Ясно, что ее о) имеют вид т с1гпРп (/, хо, Х п ¿-хт.

Х = Х0 при этом этом легко видеть, что выполнены условия ^ака>1= 0 при р = 0,., т-1, УФ 0.

Оказывается, что для модулей непрерывности, основанных на формулах численного дифференцирования, выполнены двусторонние оценки, которые получаются как следствие более общей теоремы, являющейся основным результатом главы II,.

Таким образом, если не принимать во внимание постоянные, то классы функций, определяемые модифицированными модулями непрерывности, совпадают с классами функций, определяемые обычными модулями непрерывности.

В главе III изучается связь между структурными свойствами функций и скоростью убывания их коэффициентов Фурье: рассматриваются оценки сверху значений полунорм, определенных через коэффициенты Фурье, в метрике Х1(Т). Этой тематике посвящен ряд работ (см., например, [22]).

В. Э. Гейт [6] показал, что для каждой функции / € Ь1(Т) выполнена оценка наилучшего приближения к=п+1.

Усилив ряд предшествующих результатов, С. А. Теляков-ский [21] установил следующую оценку снизу модуля непрерывности о-г (/, Н)1 через коэффициенты Фурье а/с (/) и Ьк (/). Пусть в, если з нечетно, Г з + 1, если в нечетно, 1 в2 = 3 + 1, если в четно, ^ з, если в четно.

Тогда для произвольной / € ¿-1(Т) имеет место неравенство.

В § 1 установлены оценки, из которых приведенные выше результаты получаются как следствие. В § 2 установлены многомерные аналоги полученных неравенств.

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

В работе мы будем использовать следующие обозначения. Как обычно, R, М+, Z, Z+, М суть соответственно множества вещественных, вещественных неотрицательных, целых, целых неотрицательных, натуральных чисел. Через С (Т) будем обозначать пространство 27г-периодических непрерывных на R функций с нормой ||/|| = max|/(i)|, L1(T) — простран.

1R ство 27г-периодических функций /, суммируемых на [—7г, 7г] с нормой \f\i = |/(i)l dt, L°°(T) — пространство почти всюду ограниченных 27г-периодических функций, И^(Т) — множество функций / € С (Т) таких, что абсолютно непрерывна, a € L°°(Т). Если Р — полунорма в С (Т), то будем говорить, что Р принадлежит классу А, если выполнены следующие условия: 1) существует постоянная М > О, не зависящая от /, такая, что P (f) ^ -&f||/||- 2) полунорма Р инвариантна относительно сдвига. Пусть г Е Z+, i 6 R, положим г.

Art (f, x) = (-1 r+rC™f (x + mt), х) = &Th (f, x-rh/2). тп—О.

Для последовательности Л = {Л/.}, как обычно, вместо Aj (A, к) пишем ДГАfc. Если / € С (Т), Р € А, то модуль непрерывности порядка г с шагом h определяется равенством ur (f, h)= sup Р (Д?(/)).

Пусть г G N, a G (0,г], тогда Lip (r, «) = {/€ С (Т): ыг (/, /г) ^ Mha при некотором М > 0}. Если / е ^(Т), то wr (/, h) i= sup ||W,-)||i 0 О, тогда m (/, z) = - / /(яг-ht) А, п J-h/2.

ShM>*) = 5 м (5м (/),®) = ~ У* /(* + «) (l — Л функции Стеклова с шагом h первого и второго порядка, соответственно.

Пусть / 6 -^(Т), тогда coskx + bk (f) sin кх) = ^ Afc (/, z) /с=1 fc=o (i) fcez тригонометрический ряд Фурье функции /, соответственно, в вещественной и комплексной форме, оо sin/гж — bk (f) cos кх) (2) к~1 ряд, сопряженный с рядом (1), ?п (/, х) и Sn (f, x) — п-е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Через / или 5(/) обозначаем функцию, сопряженную к /. Как обычно п.

ТЛ / ч 1 1 v^, sin n+ ½)? Dn (t) = — + - > cos fct = —-— nW 2тг 27 Г sin i/2 '.

А/Ч n. , cos i/2 — cos (nf l/2)i.

Dn (t) = -> sinAi =-Ц-—Г-Ц-——, w 27 Г sin i/2 суть ядро Дирихле и сопряженное ядро Дирихле.

Если / е Ь1(Т), к 6 N то /(~к) — к-я периодическая первообразная функции / — со (/), такая, что = 0.

Пусть п € Z+, тогда Нп— множество тригонометрических полиномов порядка не выше гг, Н — множество всех тригонометрических полиномов. Если / € С (Т), то Еп (/) = ЫТ? Нп Р (/-Г), если/ Е ^т.тоЕпС/)! =т?Т€я. Ц/-ТЦ1. Если, а > 0, п Е М, / е Ь1{Т), то fcez к= — п суммы Абеля—Пуассона и Фейера функции /. Пусть, а = х0 < хх < • • • < хп = Ь (3) разбиение отрезка К — [а, Ь], Кг = [а^, ??+1]. Полагаем.

71 — 1 г=0 где верхняя грань берется по всем разбиениям вида (3). Величина У^, К) — вариация функции / на К. Обозначим через У (Т) множество 27г-периодических функций /: М —> Е, таких, ЧТО [—7Г, 7г]) < 00.

Будем обозначать абсолютные положительные постоянные через С, положительные величины, которые могут зависеть только от 5 — через С (в). При этом в разных случаях значения С и С (в) могут быть различны. Если различные постоянные будут встречаться в одной формуле, то мы будем их снабжать индексами, например, Сг (з), (^2(5).

1. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М., 1961.

2. Бернштейн С. Н. О свойствах однородных функциональных классов. Собр. соч. в 4-х т. Т. 2. М., 1954, с.421−432.

3. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная теория. М., 1965.

4. Виноградов О. Л, ЗКук В. В. О точности представления средних В. А. Стеклова функций двух переменных обобщенной ограниченной вариации сингулярными интегралами //Вестник С.-Петербургского университета. Сер. I. 1999. Вып. 4 (№ 22). С. 13−21.

5. Вороновская Е. В. Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С. Н. Бернштейна// Докл. АН СССР. 1932. С. 79−85.

6. Гейт В. Э. О структурных и конструктивных свойствах синуси косинус-рядов с монотонной последовательностью коэффициентов Фурье // Изв. вузов. Математика. 1969. № 7. С. 39−47.

7. Дзядык И. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

8. Ефимов А. В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера //Изв. АН СССР. Сер. матем., 1958. Т. 22, № 1. С. 81−116.

9. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л., 1982.

10. Жук В. В.

Введение

в теорию приближения функций вещественной переменной. СПб., 1993.

11. Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб., 1995.

12. Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л., 1983.

13. Жук В. В., Натансон Г. И. Свойства функций и рост производных приближающих полиномов. //Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, № 1. С. 19−22.

14. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений. М., 1962.

15. Пуеров Г. Ю. О скорости сходимости тригонометрических рядов Фурье и рядов, сопряженных с ними //Сборник научных трудов «Методология и история математики». Том И. Под ред. Н. М. Матвеева. С.-Пб. 2000. С. 132−143.

16. Пуеров Г. Ю. Модули непрерывности, основанные на формулах численного дифференцирования. V Царскосельские чтения. Том VIII. Материалы конференции. Под ред. В. Н. Скворцова. С.-Пб. 2001. С. 58−61.

17. Пуеров Г. Ю. Оценки полунорм разности сумм Фейера и Абеля—Пуассона периодических суммируемых функций //Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. I. 2002, вып. 2 (№ 9). С. 32−38.

18. Пуеров Г. Ю. О приближении функций Стек лова периодических суммируемых функций суммами Абеля—Пуассона и Фейера //Методика преподавания математики в высших и средних учебных заведениях. Сборник научных трудов. С.-Пб. 2002. С. 135−141.

19. Пуеров Г. Ю. Оценки снизу наилучших приближений и модулей непрерывности суммируемых функций через их коэффициенты Фурье. С.-Пб. Деп. в ВИНИТИ № 596 В2003 от 02.04.2003. 14 с.

20. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М., Л. 1964.

21. Теляковский С. А. Оценки снизу интегрального модуля непрерывности функции через ее коэффициенты Фурье //Мат. заметки. 1992. Т. 52. № 5 С. 107−112.

22. Теляковский С. А. Оценки модуля непрерывности в метрике L функции одной переменной через коэффициенты Фурье// Укр. мат. журнал. 1994. Т. 46. № 5. С. 626−632.

23. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М. 1960.

24. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М., 1962.

25. Moricz F. A quantitative version of the Yong test for the Convergence of conjugate series / / Journal of Approximation Theory 81, 207−216 (1995).

26. Moricz F., Siddiqi A. H. A quantitative version of the Dirichlet-Jordan test in L1-norm. //Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 1996. Serie II. Tomo XLV. P. 19−24.

27. Salem R. New teorems on the convergence of Fourier series. //Ргос. Koninklijke Nederlanse Akademie van Wetenschappen, Indag. Math. 16. 1954. P. 550−555.

28. Taberski R. Differenses, moduli, and derivations of fractional orders // Ann. Soc. Math. 1977. Ser. I: Comn. Math. XIX. P. 389−400.

29. Zamansky M. Classes de saturation de certains procedes d’appromaxion des series de Fourier des fonctions continues et applications a quelques problemes d’appromaxion// Ann. Sei. Ecole norm, sup., 66. 1949. P. 19−93.