Прямые теоремы теории приближения в L2 и родственные экстремальные задачи для положительно определенных функций

Общая характеристика работы.

В диссертационной работе изучаются два взаимосвязанных круга экстремальных задач: вычисление и исследование точных констант в прямых теоремах теории приближения функций в пространстве Ь2 и задача Дель-сарта для положительно определенных функций, связанная со сферическими кодами.

Актуальность темы

.

Важной экстремальной задачей теории приближений является задача о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина в пространствах функций, заданных на множествах, обладающих алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на этих множествах (см. [77,80]). Неравенством Джексона-Стечкина принято называть неравенство, в котором величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством в той или иной метрике оценивается сверху через ее модуль непрерывности положительного порядкав случае первого модуля непрерывности, такое неравенство называется неравенством Джексона. Впервые указанное неравенство для наилучших приближений непрерывных периодических функций пространством тригонометрических полиномов в равномерной метрике изучал Д. Джексон [221].

Несмотря на то, что величина наилучшего приближения функции в пространстве Ь2 конечномерным подпространством и ближайший элемент подпространства находятся достаточно просто, задача оценки указанной величины через модуль непрерывности функции с наименьшей возможной (независящей от функции) константой оказалась нетривиальной.

Задачи о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина для наилучших приближений функций полиномами в L2 -пространствах сводятся к экстремальным задачам для непрерывных функций с ограничениями на их значения и коэффициенты Фурье. Такого рода задачи возникают и в других областях математики, например, при исследовании границ упаковок некоторых метрических пространств по схеме Дельсарта (см. [73,84,105,245], [92, гл. 9,13, 14], [79]), оценок снизу мощности дизайнов (см. [18G]), а также в теории чисел (см. [5,147]).

Первый точный результат в прямых теоремах теории приближения в пространстве С (Т) установил Н. П. Корнейчук [94]. Его методы развили и дополнили многие математики и, в частности, его ученики В. Ф. Бабенко,.

A.А.Лигун.

Имеется ряд результатов, относящихся к поведению точной константы в неравенстве между величиной приближения непрерывной функции заданным линейным методом и модулем непрерывности функции. В случае приближения некоторыми классическими линейными методами было найдено наименьшее значение аргумента модуля непрерывности при котором соответствующая точная константа (как функция указанного аргумента) выходит на свой глобальный минимум. Это наименьшее значение аргумента модуля непрерывности называется оптимальной точкой соответствующего неравенства. В частности, для приближения методом Фавара оптимальную точку нашли С. Б. Стечкин [148] (оценка сверху) и В. Т. Гаврилюк (оценка снизу, см. [149,150]).

Н.И.Черных [166,167] в одномерном случае разработал методику получения точных неравенств Джексона-Стечкина в пространстве L2(T) для наилучших приближений функций тригонометрическими полиномамив частности, он [195] нашел оптимальную точку неравенства Джексона.

B.А.Юдин [178] получил в этой тематике первые принципиальные результаты в многомерном случае.

Н.И.Черных [168] предложил метод получения точных^{-неравенств} Джексона при 1 < р < 2 из аналогичных L2 -неравенств, основанный на глубоких результатах В. И. Бердышева [40] и С. В. Конягипа [85]. Подобный метод использовал О. Л. Виноградов [56]. Иной метод исследования точных /^-неравенств Джексона при 1 < р < 2 был предложен в работах В. И. Иванова [77], A.B.Московского [114] и Д. В. Горбачева [65].

Некоторые задачи в L2 сложнее своих аналогов в других пространствах. Например, до сих пор не получен аналог в L2(T) результата Н. П. Корнейчука [96] (см. равенство (0.0.6) ниже) о точном неравенстве Джексона в С = С (Т) для малых значений аргумента модуля непрерывностихотя известна [189] соответствующая предельная задача.

Взаимосвязь задач теории приближения с задачами теории кодирования ио существу содержится в работах А. Н. Колмогорова, В. М. Тихомирова [90,156] и Г. Г. Лоренца [238]. Задача об оценке сверху мощности 5-кода (gr-различимого множества) из компактного метрического пространства X оказалась связанной (см. [180]) с задачей нахождения минимальной (относительно приближающих подпространств заданной размерности) константы в неравенстве Джексона в пространстве С (Х) функций, непрерывных на X. На сегодня остается открытым вопрос о точном значении минимальной константы Джексона пространства С (Х) для следующих важных случаев: X = Т", X = §-т, те N. В 1967 г. была найдена минимальная (в указанном выше смысле) константа Джексона пространства L2(Т), а позднее — и пространства при 1 < р < 2. Н. И. Черных [167,168] получил соответствующие оценки сверху, а В. И. Бердышев — оценки снизу [41, теорема 5', с. 60] (см. также [42]). Принципиальные результаты в этой тематике принадлежат Н. П. Корнейчуку [97, § 6.3], [98, § 8.3]. А. А. Лигун (см. [236, оценки (4), (5)]) локализовал оптимальную точку минимальной константы в неравенстве Джексона в пространстве СГ (Т), г 6 N, г раз непрерывно дифференцируемых функций с применением модуля непрерывности г-й производной функции.

Впервые методы, разработанные для исследования точных неравенств Джексона в ¿-^-пространствах, успешно применил В. А. Юдин в [179,180, 182−185] к изучению аналитических задач теории кодирования. Этот иод-ход был развит В. И. Ивановым, О. И. Смирновым и Д. В. Горбачевым [64,67, 68,71,80].

Для исследования задач оптимального в определенном смысле расположения конечного множества точек на сфере (или на другом многообразии, обладающем алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на мпогобразии) используются экстремальные свойства положительно определенных непрерывных функций. Критерии свойства положительной определенности для непрерывных зональных функций в терминах соответствующих коэффициентов (преобразования) Фурье этих функций хорошо известны (см. [48,100,101,205,206,241,253,254]). Доказательства существенных свойств класса положительно определенных непрерывных функций во многом опираются на предшествующие результаты для положительно определенных квадратичных форм. В частности, из результата И. Шура [251] (см. [123, отдел 7, § 3, задача 35, с. 119]) следует, что указанный класс функций замкнут относительно операции произведения.

В теории кодирования идея применения свойства положительной определенности и постановка соответствующей экстремальной задачи с целью получения оценки сверху мощности кода (без ограничений на структуру кода) в конкретном метрическом пространстве, принадлежит Ф. Дельсарту [73,217]. Г. А. Кабатянский и В. И. Левенштейн [84], Э. Одлыжко и Н. Слоэн [245],. В. И. Левенштейн [104,105], В. М. Сндельников [140] развили метод Ф. Дельсарта и успешно применили его, в частности, к сферическим кодам. Хорошо известна универсальная оценка Левенштейна [104,105] для значения задачи Дельсарта, полученная на основе теории ортогональных многчленов. В некоторых случаях эта оценка совпала с известными оценками снизу. Э. Одлыжко и Н. Слоэн применяли компьютерный вариант поиска допустимых полиномов в задаче Дельсарта, и на этом пути им удалось улучшить оценку Левенштейна в некоторых конкретных случаях. Эту методику успешно развил и получил несколько новых результатов П. Бойваленков [207−209]. Имеется большое количество и других работ, посвященных данной тематике. Обзор соответствующих результатов приведен в [92,230,231]. О некоторых последних достижениях в этой области будет сказано ниже.

Определение понятия положительно определенной функции на прямой восходит к работе М. Матиас [241] 1923 года. Балле Пуссен (1898) был, по-видимому, первым, кто, но существу применил конкретную положительно определенную функцию, при изучении расположения нулей дзетта-функции Римана и в задаче распределения простых чисел. Этот подход развивали и успешно применяли Э. Ландау, Л. Чакалов, Л.Б.Ван-дер-Варден, С. Френч, С. Б. Стечкин, В. П. Кондратьев, А. В. Резцов, В. В. Арестов и другие математики (см. [5,147] и приведенную там библиографию).

Цель работы: изучение точных констант в прямых теоремах теории приближения в Ь2 -пространствах функций одного и нескольких переменных в терминах модуля непрерывности положительного порядкаразработка единого подхода к решению этого круга задачизучение свойств точных констант как функций аргумента модуля непрерывностиисследование неравенств типа Джексона-Стечкина в пространстве Ь2(Т) на торе с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами и, в частности, с тригонометрическим модулем непрерывностиисследование возможностей классической схемы Дельсарта в задаче о максимизации минимального попарного углового расстояния сферического кода с фиксированным числом элементовнахождение новых взаимосвязей задач о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина в Ь2 с экстремальными задачами теории функций, возникающими в теории кодирования.

Методика исследований.

Исследование неравенства Джексона для наилучших среднеквадратиче-ских приближений функций полиномами и целыми функциями сводится к экстремальной задаче для положительно определенных функций. Подобной же задачей является задача Дельсарта, возникшая в геометрических задачах о сферических кодах, в частности, о контактных числах евклидовых пространств. Ключевыми методами исследования указанных задач являются методы выпуклого анализа, в том числе, двойственность как в обычном, так и в обобщенном смыслах. Одновременное изучение пары двойственных задач является удобным и результативным методом исследования. Анализ условий экстремальности пары допустимых элементов двойственных задач приводит (как правило) к нелинейным уравнениям. Важная роль при этом отводится предварительным численным экспериментам, которые помогают выяснить ключевые свойства экстремальных элементов и значительно ускорить процесс выработки правильной гипотезы. В диссертационной работе применяются также методы из различных разделов математики: теории функций, теории аппроксимации, теории ортогональных многочленов, гармонического и функционального анализа, бесконечномерного линейного программирования. Новизна методов нахождения точных констант в^{-неравенствах} Джексона-Стечкина состоит в способах построения экстремальных весов (решений двойственных задач), основанных на формулах умножения классических ортогональных многочленов, на самосопряженности операторов обобщенного сдвига, а также на использовании свойств решений дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют указанные многочлены. Метод, применяемый для решения задачи Дельсарта, состоит в построении квадратурных формул, использующих не только значения функций, но и их коэффициенты Фурье-Гегенбауэра, а также применение элементарных симметрических многочленов, что существенно упрощает возникающую систему нелинейных уравнений.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: получены новые точные неравенства Джексона-Стечкина с модулем непрерывности порядка > 1 в /^-пространствах на отрезке и на полуоси с классическими весами для наилучших приближений функций полиномами и целыми функциямив этих неравенствах изучены свойства точных констант как функций аргумента модуля непрерывности, а именно, доказана их непрерывность, локализованы их оптимальные точкианалогичные результаты установлены для неравенств Джексона-Стечкина в /^-пространствах функций нескольких неременных на следующих многообразиях: сфера §-т1, проективные пространства Рт-1(Е), Г" «1 © и евклидовы пространства Мшв К4 исследованы возможности применения классической схемы Дельсарта в задаче о максимизации минимального попарного углового расстояния сферического кода с конкретным числом элементовкроме того, установлена явная взаимосвязь задачи о точной константе в неравенстве Джексона-Стечкина в Ь2 с задачей Дельсарта специального вида.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Разработан единый подход к решению задач о точных константах в прямых теоремах теории приближения в^{-пространствах} функций одного и нескольких переменных в терминах модуля непрерывности порядка > 1. Развита методика решения обратной задачи Дельсарта для сферических кодов, основанная на применении специальных квадратурных формул, использующих не только значения функций, но и коэффициенты Фурье-Гегенбауэра этих функций.

Полученные результаты могут быть использованы для поиска новых точных констант в прямых теоремах теории приближения в других пространствах функций, в частности в .¿-/-пространствахдля дальнейшего исследования неравенств Джексона-Стечкина с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами, в частности с модулями непрерывности, аннулирующими ядра дифференциальных операторова также для решения экстремальных задач на классах положительно определенных функций, возникающих в комбинаторной геометрии и теории чисел.

Публикации.

Основные результаты опубликованы в центральной печати [11, 21, 25, 198], а также в трудах и материалах международных конференций [22,26, 27]. Из совместной работы [11] в диссертацию включены только результаты автора, за исключением леммы 1.3 (в диссертации это лемма 5.2.3), принадлежащей В. В. Арестову. Ему также принадлежит лемма 1.1.1, которая изложена в пункте 1.1.1 главы 1. Результаты § 5.1 получены совместно В. В. Арестовым и автором [6]- они включены в диссертацию для полноты изложения и не выносятся па защиту.

Апробация.

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

Международная конференция <Теория приближения функций и операторов-^ посвященная 80-летию С. Б. Стечкина (2000);

Саратовские зимние математические школы по теории функций (1994, 1998, 2000, 2002);

Воронежские зимние математические школы (2001, 2003) — Всероссийская научная конференция <Алгоритмический и численный анализ некорректных задач>, Екатеринбург (1995);

Всероссийская научная конференция <Алгоритмический анализ некорректных задач >, Екатеринбург (1998);

Всероссийские научные конференции <Алгоритмический анализ неустойчивых задач>, Екатеринбург (2001, 2004);

Международный семинар <Аппроксимация и сложность> в Международном математическом центре им. С. Банаха, Варшава, Польша (1995) — Международная конференция и Чебышевские чтения, посвященные 175-летию со дня рождения П. Л. Чебышева, Москва (1996) — Пятая объединенная конференция университетов Сарагосы и По <Прикладная математика и статистика>, Хака, Испания (1997) — Международная конференция сТеория приближений и гармонический анализ>, Тула (1998);

Международная конференция <Геометрические аспекты анализа Фурье и функционального анализа>, Киль, Германия (1998);

Всероссийская научная конференция <Математическое программирование и приложения>, Екатеринбург (1999);

Международная конференция сСовременное состояние и перспективы развития математики в рамках программы «Казахстан в третьем тысячелетии» >, Алматы (2000);

Международная конференция <Функциональные методы в теории приближений, теории операторов, стохастическом анализе и статистике>, Киев (2001) — на научных семинарах: под руководством профессора А. Гессаба в Университете По, Франция (1997) — под руководством член-корреспондента HAH PK А. А. Женсыкбаева в Институте математики МОиН PK, Алматы (2000) — под руководством профессора С. А. Теляковского в МИРАНе (2001) — на Межвузовском семинаре по теории функций при Днепропетровском национальном университете (руководители член-корреспондент HAH Украины В. П. Моторный и профессор В.Ф.Бабенко) (2003) — под руководством профессора Ван Куньяна в Пекинском нормальном университете (2004) — а также — на Международных летних научных школах С. Б. Стечкина по теории функций (начиная с 1993 года).

Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [7−10,19,22,26−29,190,191,196,197].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений.

1. Авилов, В. А, Приближение функций суммами Фурье—Лагерра / В. А. Абилов // Мат. заметки. 1995. Т. 57, вып. 2. С. 163−170.

2. Андреев, H.H. Расположение точек на сфере с минимальной энергией / H.H. Андреев // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1997. Т. 219. С. 27−31.

3. Андреев, H.H. Один сферический код / H.H. Андреев // Успехи мат. наук. 1999. Т. 54, вып. 1. С. 255−256.

4. Андреев, H.H. Приближение с ограничениями индивидуальных функций и экстремальные задачи расположения точек на сфере: Дис. .канд. физ.-мат. наук / H.H. АндреевМГУ. Москва, 2000. 41 с.

5. Арестов, В. В. Об экстремальных свойствах неотрицательных тригонометрических полиномов / В. В. Арестов // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Т.1. С. 50−70.

6. Арестов, В.В. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел / В. В. Арестов, А. Г. Бабенко // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1997. Т. 219. С. 44−73.

7. Арестов, В. В. Решение одной обратной задачи Дельсарта / В. В. Арестов, А. Г. Бабенко // Информ. бюл. / Ассоц. мат. программирования: науч. изд. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. N 8. С. 25−26.

8. Арестов, В.В. О минимальных расстояниях сферических кодов мощности 24 и 25 в R4 / В. В. Арестов, А. Г. Бабенко // Соврем, методы теории функций и смеж. проблемы: тез. докл. Воронеж: ВГУ, 1999. С. 18.

9. Арестов, В. В. Оценки максимального значения углового кодового расстояния для 24 и 25 точек на единичной сфере в A4 / В. В. Арестов, А. Г. Бабенко // Мат. заметки. 2000. Т. 68, вып. 4. С. 483−503.

10. Арестов, В. В. Неравенство Джексона на сфере Li / В. В. Арестов, В. Ю. Попов // Теория приближения и задачи вычисл. математики: тез. докл. междунар. конф. (1993; Днепропетровск) / ДЦУ. Днепропетровск, 1993, С. 8.

11. Арестов, В. В. Неравенство Джексона на сфере в ?2 / В. В. Арестов, В. Ю. Попов // Изв. вузов. Математика. 1995. N 8. С. 13−20.

12. Арнольд, В. И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук / В. И. Арнольд. М.: Наука, 1989. 96 с.

13. Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. М.: Гостехиздат, 1947. 323 с.

14. Бабенко, А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 / А. Г. Бабенко // Мат. заметки. 1986. Т. 39, вып. 5. С. 651−664.

15. Бабенко, А.Г. О неравенстве Джексона в пространстве L2 / А. Г. Бабенко // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах: сб. науч. тр. / УНЦ АН СССР. Свердловск: 1987. С. 4−14.

16. Бабенко, А. Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере / А. Г. Бабенко // Мат. заметки. 1996. Т.60, вып. 3. С. 333−355.

17. Бабенко, А. Г. Точное неравенство Джексона в пространстве ?2 с весом Якоби / А. Г. Бабенко // Материалы междунар. конф. и Чебышевских чтений, посвящ. 175-летию со дня рождения П. Л. Чебышева. T.l. М.: Изд-во МГУ, 1996. С. 40−43.

18. Бабенко, А. Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина в пространстве L2{Rm) / А. Г. Бабенко // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1998. Т. 5. С. 183−198.

19. Бабенко, А. Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина в L2(Rm) со сферическим модулем непрерывности / А. Г. Бабенко // Теория приближений и гармонич. анализ: тез. докл. междунар. конф. Тула: ТулГУ, 1998. С. 26−28.

20. Бабенко, А. Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина для L2 -приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах / А. Г. Бабенко // Изв. РАН. Сер. мат. 1998. Т. 62, N 6. С. 27−52.

21. Бабенко, А. Г. Тэчное неравенство Джексона—Стечкина для L2 -приближений на полупрямой с весом Лагерра / А. Г. Бабенко // Тр. междунар. шк. С. Б. Стечкина по теории функций (1998; Миасс Челяб. обл., Россия). Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 38−63.

22. Бабенко, А. Г. Минимальная константа Джексона—Стечкина в L2 // Соврем, состояние и перспективы развития математики в рамках программы «Казахстан в третьем тысячелетии» (2000; Алматы): Труды. Алматы: Ин-т математики МОиН РК, 2001. С. 72−76.

23. Бабенко, А.Г. О промежутке постоянства минимальной константы Джексона—Стечкина в L2 / А. Г. Бабенко // Соврем, методы теории функций и смеж. проблемы: тез. докл. Воронеж: ВГУ, 2001. С. 23−24.

24. Бабенко, А. Г. Оценки оптимальной точки для минимальной константы Джексона в пространстве Lp при1 ^ Р < 2 / А. Г. Бабенко // Алгоритмич. анализ неустойч. задач: тез. докл. Всерос. конф. (2001; Екатеринбург). Екатеринбург: УрГУ, 2001. С. 12−13.

25. Бабенко, А. Г. Пространство L2 на отрезке с весом Якоби, непрерывная зависимость константы Джексона от аргумента модуля непрерывности / А. Г. Бабенко // Приближение функций. Теорет. и прикл. аспекты: сб. ст. М.: МИЭТ, 2003. С. 58−68.

26. Бабенко, А. Г. Взаимосвязь точного неравенства Джексона в L2 с задачей Дельсарта / А. Г. Бабенко // Алгоритмич. анализ неустойч. задач: тез. докл. Всерос. конф., Екатеринбург, 2004. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. С. 12−13.

27. Бабенко, А. Г. Неравенство Джексона—Стечкина в L2 с тригонометрическим модулем непрерывности /A.Г. Бабенко, Н. И. Черных, В. Т. Шевалдин // Мат. заметки. 1999. Т. 65, вып. 6. С. 928−932.

28. Бабенко, В. Ф. Развитие исследований по точному решению экстремальных задач теории наилучшего приближения / В. Ф. Бабенко, Л. А. Лигун // Укр. мат. жури. 1990. Т.42, N 1. С. 4−17.

29. Бадков, В. М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье—Якоби / В. М. Бадков // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, N 6. С. 1263−1283.

30. Бадков, В. М. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по обощенным многочленам Якоби / В. М. Бадков // Мат. заметки. 19С8. Т. 3, выи. 3. С. 671−682.

31. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя / Г. Бейтмен, А. И. Эрдейи. М.: Наука, 1966. 295 с.

32. Бердышев, В.И. О теореме Джексона в Lp / В. И. Бердышев // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 3−16.

33. Бердышев, В. И. Приближение периодических функций в среднем: Дис. канд. физ.-мат. наук / В. И. Бердышев — АН СССР, СОМИ. Свердловск, 1967. 83 с.

34. Бердышев, В. И. Наилучшее приближение в Lp классом функций ограниченной вариации / В. И. Бердышев // Приближение функций полиномами и сплайнами: сб. ст. / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. С. 72−82.

35. Бердышева, Е. Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных / Е. Е. Бердышева // Мат. заметки. 1999. Т. 66, вып. 3. С. 336−350.

36. Бердышева, Е. Е. Связь одного результата В. А. Юдина и свойств константы Джексона в Ь2—тг, ж] / Е. Е. Бердышева // Информ. бюл. / Ассоц. мат. программирования. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. N 10. С. 43−44.

37. Бердышева, Е. Е. Оптимальное множество модуля непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве Ь2 / Е. Е. Бердышева // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 5. С. 666−674.

38. Бернштейн, С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени / С. Н. Бернштейн // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. 1912. Т. 2, N 13. С. 49−144.

39. Бернштейн, С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке / С. Н. Бернштейн // Собр. соч. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 7−106.

40. Бохнер, С. Лекции об интегралах Фурье. С добавлением автора о монотонных функциях, интегралах Стилтьеса и гармоническом анализе / С. Бохнер. М.: Физматгиз, 1962. 360 с.

41. Бугров, Я. С. Дробные разностные операторы и классы функций / Я. С. Бугров // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1985. Т. 172. С. 60−70.

42. Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства / H. Бурбаки. М.: ИЛ, 1959. 410 с.

43. Васильев, С. Н. Точное неравенство Джексона—Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами / С. Н. Васильев // Докл. РАН. 2002. Т. 385, N 1. С. 11−14.

44. Васильев, С. Н. Точное неравенство Джексона—Стечкина в L2 для наилучших приближений тригонометрическими полиномами / С. Н. Васильев // Электрон, журн. «Исследовало в России». 2002. 140. С. 1577−1586. http://zhurnal.ape.relan.ru/articles/2002/140.pdf.

45. Вебстер, А. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики / А. Вебстер, Г. Сеге. М. — Л.: ОНТИ ГТТИ, 1934. 320 с.

46. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций. 4.1 / Г. Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949. 798 с.

47. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столития / Г. Вилейтнер. М.: Наука, 1966. 508 с.

48. Виноградов, О. Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства Lp (—оо, +оо) / О. Л. Виноградов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1Э94. Вып. 3. С. 15−22.

49. Галиев, Ш. И. Многократные упаковки и покрытия сферы / Ш. И. Галиев // Дискрет, математика. 1996. Т. 8, вып. 3. С. 148−160.

50. Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. 3 изд. М.: Наука, 1967. 376 с.

51. Гольштейн, Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения / Е. Г. Гольштейн. М.: Наука, 1971. 351 с.

52. Голубов, Б.И. О рядах Фурье непрерывных функций по системе Хаара / В. И. Голубов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28, N 6. С. 1271−1296.

53. Голубов, Б. И. Ряды по системе Хаара / В. И. Голубов // Итоги науки и техники. Мат. анализ. 1970 / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. С. 109−146.

54. Горбачев, Д. В. Точные константы Джексона на группе 51/(2) / Д, В. Горбачев // Алгебра и анализ: тез. докл. шк.-конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, (1997; Казань). Казань: Изд-во Казан, мат. об-ва, 1997. С. 61−63.

55. Горбачев, Д. В. Точные константы Джексона на группе St/(2) / Д. В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 15−27.

56. Горбачев, Д. В. Две экстремальные задачи для целых функций экспонециального сферического типа / Д. В. Горбачев // Тр. Междунар. шк. С. Б. Стечкина по теории функций (1998; Миасс Челяб. обл., Россия). Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 77−93.

57. Горбачев, Д. В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере / Д. В. Горбачев // Мат. заметки. 1999. Т. 66, вып. 1. С. 50−62.

58. Горбачев, Д. В. Приближение в L2 частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора ШтурмаЛ иувилля / Д. В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5, вып. 1. С.38−50.

59. Горбачев, Д. В. Об оценках снизу мощностей дизайнов на проективных пространствам / Д. В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5, вып. 3. C.33−37.

60. Горбачев, Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа / Д. В. Горбачев // Мат. заметки. 2000. Т. 68, вып. 2. С. 179−187.

61. Горбачев, Д. В. Модули непрерывности в пространстве Li{S2) / Д. В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7, вып. 1. С. 72−76.

62. Горбачев, Д. В. Неравенство Джексона с константой 1 в пространстве непрерывных функций / Д. В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7, вып. 1. С. 77−81.

63. Горбачев, Д. В. Одна экстремальная задача для многочленов, связанная с кодами и дизайнами / Д. В. Горбачев, В. И. Иванов // Мат. заметки. 2000. Т. 67, вып. 4. С. 508−513.

64. Григорян, Ю. К. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах / Ю. К. Григорян // Мат. заметки. 1973. Т. 13, вып. 5. С. 637−646.

65. Дельсарт, Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования / Ф. Дельсарт. М.: Мир, 1976. 134 с.

66. Дзядык, В.К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами / В. К. Дзядык. М.: Наука, 1977. 512 с.

67. Ибрагимов, И. И. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени / И. И. Ибрагимов, Ф. Г. Насибов // Докл. АН СССР. 1970. Т. 194, N 5. С. 1013— 1016.

68. Иванов, В. А. К вопросу о свойствах модулей непрерывности для функций на сфере / В. А. Иванов // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 3. С. 481−487.

69. Иванов, В.И. О приближении функций в пространствах Lp / В. И. Иванов // Мат. заметки. 1994. Т. 56, вып. 2. С. 15−40.

70. Иванов, В.И.

Введение

в теорию приближений / В. И. Иванов. Тула: ТулГУ, 1996.

71. Иванов, В.И. О теореме Джексона в пространстве hiZlj) / В. И. Иванов, О. И. Смирнов // Мат. заметки. 1996. Т. 60, N 3. С. 390−405.

72. Иванов, В. И. Константы Джексона в пространствах Li на метрических компактах / В. И. Иванов, О. И. Смирнов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 93−118.

73. Иванов, В. И. Константы Джексона в пространствах Lp на метрических компактах / В. И. Иванов // Алгебра и анализ: тез. докл. шк.-конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, (1997; Казнь). Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 1997. С. 98−101.

74. Ион, Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными / Ф. Йон. М.: ИЛ, 1958. 158 с.

75. Жук, В. В. Аппроксимация периодических функций / В. В. Жук. Л.: ЛГУ, 1982. 366 с.

76. Кабатянский, Г. А. О границах для упаковок на сфере и в пространстве / Г. А. Кабатянский, В. И. Левенштейн // Пробл. передачи информ. 1978. Т. 14, вып. 1. С. 3−25.

77. Конягин, C.B. О модулях непрерывности функций / C.B. Конягин // Тез. докл. Всесоюзной шк. по теории функций, посвящ. 100-летию со дня рождения акад. Н. Н. Лузина (1983; Кемерово). Кемерово, 1983. С. 59.

78. Козко, А.И. О неравенстве Джексона в Li с обобщенным модулем непрерывности / А. И. Козко, A.B. Рождественский // Мат. заметки. 2003. Т. 73, вып. 5. С. 783−788.

79. Козко, А.И. О неравенстве Джексона в Li с обобщенным модулем непрерывности / А. И. Козко, A.B. Рождественский // Мат. сб. 2004. Т. 195, N 8. С. 3−46.

80. Колмогоров, A.H. Избранные труды. Математика и механика / А. Н. Колмогоров. М.: Наука, 1985.

81. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, А. Г. Фомин. М.: Паука, 1968. 496 с.

82. Колмогоров, А.II. еэнтропия и? емкость множеств в функциональных пространствах / А. Н. Колмогоров, В. М. Тихомиров // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, вып. 2. С. 3−86.

83. Колушов, A.B. О конструкции Коркина-Золотарева / A.B. Колушов, В. А. Юдин // Дискрет, математика. 1994. Т. 6, вып. 1. С. 155−157.

84. Конввй, Дж. Упаковки шаров, решетки и группы Т.1, 2 / Дж. Конвей, Н. Слоэн. М.: Мир, 1990. 791 с.

85. Кокстер, Г. С.М.

Введение

в геометрию / Г. С. М. Кокстер. М.: Наука, 1966. 648 с.

86. Корнейчук, Н. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций / Н. П. Корнейчук // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, N 3. С. 514−515.

87. Корнейчук, Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н. П. Корнейчук. М.: Наука, 1976. 320 с.

88. Корнейчук, Н.П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций /. Н. П. Корнейчук // Мат. заметки. 1982. Т. 32, вып. 3. С. 669−674.

89. Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук. М.: Наука, 1984. 352 с.

90. Корнейчук, Н. П. Точные константы в теории приближения / Н. П. Корнейчук. М.: Наука, 1987. 424 с.

91. Корнейчук, Н. П. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / Н. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, A.A. Лигун. Киев: Наук, думка, 1992. 304 с.

92. Крейн, М.Г. Эрмитово-положительные ядра на однородных пространствах (I часть) / М. Г. Крейн // Укр. мат. журн. 1949. Т. 1, N 4. С. 64−98.

93. Крейн, М.Г. Эрмитово-положительные ядра на однородных пространствах (I часть) / М. Г. Крейн // Укр. мат. журн. 1950. Т. 2, N 1. С. 10−59.

94. Кушниренко, Г. Г. О приближении функций, заданных на единичной сфере, конечными сферическими суммами / Г. Г. Кушниренко // Науч. докл. высш. шк. Физ.-мат. науки. 1958. Т. 3, N 4. С. 47−53.

95. Кушниренко, Г. Г. Некоторые вопросы приближения непрерывных функций на единичной сфере конечными сферическими суммами / Г. Г. Кушниренко // Тр. Харьк. политехи, ин-та. Сер. инж.-физ. 1959. Т. 25, вып. 3. С. 3−22.

96. Левенштейн, В.И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве / В. И. Левенштейн // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 6. С. 1299−1303.

97. Левенштейн, В. И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения / В. И. Левенштейн // Пробл. кибернетики. 1983. Т. 40. С. 44−110.

98. Левитан, Б. М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. М. Левитан // Успехи мат. наук. 1951. Т. 6, вып. 2. С. 102−143.

99. Левитан, Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига / Б. М. Левитан. М.: Наука, 1973. 312 с.

100. Летников, A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем / A.B. Летников // Мат. сб. 1868. Т. 3, № 1. С. 1−68.

101. Лигун, A.A. О константах в теореме Джексона / A.A. Лигун // Мат. заметки. 1985. Т. 37, вып. 3. С. 326−336.

102. Лигун, A.A. О точных константах в неравенствах типа Джексона / A.A. Лигун // Мат. заметки. 1985. Т. 38, вып. 2. С. 248−256.

103. Лизоркин, П.И. О приближении функций на сфере <т. О пространствах Bp.

104. Марков, А. Исчисление конечных разностей. Отдел второй. Уравнения в конечных разностях и суммирование / А. Марков. СПб.: Тип. Император, акад. наук, 1891. 124 с..

105. Марченко, В. А. Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи / В. Л. Марченко // Мат. события XX века. М.: ФАЗИС, 2003. С. 209−226..

106. Московский, A.B. Теоремы Джексона в пространствах Lp (Rn) и LPjx (R+) / A.B. Московский//Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 44−70..

107. Мусин, O.P. Проблема 25 сфер / O.P. Мусин // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58, вып. 4. С. 153−154..

108. Никольский, C.M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. M.: Наука, 1969. 480 с..

109. Никольский, С. М. Приближение сферическими полиномами / С. М. Никольский, П. И. Лизоркин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1984. Т. 166. С. 186−200..

110. Никольский, С. М. Аппроксимация функций на сфере / С. М. Никольский, П. И. Лизоркин // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т. 51, N 3. С. 635−651..

111. Newton, I. Исаак Ньютон. Математические работы / I. Newton — Пер. с латин., ввод. ст. и коммент. Д.Д. Мордухай-Болтовского. М. — Л.: ОНТИ, 1937. 452 с..

112. Пашковский, С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева / С. Пашковский. М.: Наука, 1383. 384 с..

113. Платонов, С. С. Приближения на компактных симметрических пространствах ранга 1 / С. С. Платонов // Докл. РАН. 1997. Т. 353, N 4. С. 445−448..

114. Платонов, С.С. О теоремах джексоновского типа на компактном симметрическом пространстве ранга 1 / С. С. Платонов // Мат. сб. 1997. Т. 188, N 5. С. 113−130..

115. Иолиа, Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 1,2 / Г. Полна, Г. Сеге. 3 изд. М.: Наука, 1978. 4.1. 392 с. 4.2. 432 с..

116. Попов, В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа / В. Ю. Попов // Изв. вузов. Математика. 1972. N 6. С. 65−73..

117. Попов, В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях функций m переменных / В. Ю. Попов // Мат. заметки. 1973. Т. 14, вып. 6. С. 913−924..

118. Попов, В.Ю. О точных константах в неравенствах Джексона для наилучших сферических среднеквадратичных приближений / В. Ю. Попов // Изв. вузов. Математика. 1981. N 12. С. 67−78..

119. Попов, В. Ю. Среднеквадратичные приближения дифференцируемых функций многих переменных / В. Ю. Попов // Исслед. по функц. анализу и его прил.: сб. науч. тр. Свердловск: Изд-во Урал. гос. ун-та, 1985. С. 92−102..

120. Попов, В. Ю. Многомерные приближения в Ь2(Тт) / В. Ю. Попов // Теория функций и приближений: тр. 3-й Сарат. зим. шк. (1986; Саратов): межвуз. науч. сб. Ч. 3. Саратов: Сарат. ун-т, 1988. С. 22 25..

121. Попов, В. Ю. Приближение на сфере в Li / В. Ю. Попов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301, N 4. С. 793−797..

122. Попов, В. Ю. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 на гиперболоиде / В. Ю. Попов // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1998. Т. 5. С. 254−266..

123. Потапов, М.К. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения / М. К. Потапов // Тр. МИ АН СССР. 1975. Т. 134. С. 260−277..

124. Потапов, М.К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби / М. К. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1983. N 4. С. 43−52..

125. Ржавинская, E.B. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Лагерра / Е. В. Ржавинская // Изв. вузов. Математика. 1979. Jv" ' 11. С. 87−93..

126. Робертсон, А. Топологические векторные пространства / А, Робертсон, В. Робертсон. М.: Наука, 1967. 258 с..

127. Ронкин, Л.И.

Введение

в теорию целых функций многих переменных / ЛИ. Ронкин. М.: Наука, 1971. 430 с..

128. Рустамов, Х.П. О приближении функций на сфере / X.II. Рустамов // Изв. РАН. Сер. мат. 1993. Т. 57, N 5. С. 127−148..

129. Рустамов, Х. П. Модули гладкости высших порядков, связанные с разложением Фурье Якоби, и приближение функций алгебраическими многочленами / Х. П. Рустамов // Докл. РАН. 1995. Т. 344, N 5. С. 593−596..

130. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, A.A. Килбас, О. И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с..

131. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Cere. М.: Физматгиз, 1962. 500 с..

132. Сидельников, В. М. Об экстремальных многочленах, используемых при оценках мощности кода / В.М. Сидель-ников // Пробл. передачи информ. 1980. Т. 16, вып. 3. С. 17−30..

133. Смирнов, О.И. О константах Джексона в пространстве ?2) / О. И. Смирнов // Алгебра и анализ: тез. докл. шк.-конф., посвящ. 100-летию со дня рождения В. М. Гагаева, (1997; Казнь). Казань: Изд-во Казан, мат. об-ва, 1997.С. 199−200..

134. Сонин, Н. Я. Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах / Н. Я. Сонин. М.: Гостехиздат, 1954. 244 с..

135. Стейн, И.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. М.: Мир, 1974. 336 с..

136. Стечкин, С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций / C.B. Стечкин // Докл. АН СССР. 1949. Т. 65, Л" 2. С. 135−137..

137. Стечкин, С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций / С. Б. Стечкин // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15, № 3. С. 219−242..

138. Стечкин, С. Б. Замечание к теореме Джексона / С. Б. Стечкин // Тр. МИ АН СССР. 1967. Т. 88. С. 17−19..

139. Стечкин, С.Б. О нулях дзета-функции Римана / С. Б. Стечкин // Мат. заметки. 1970. Т. 8, вып. 4. С. 419−429..

140. Стечкин, С.Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара / С. Б. Стечкин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1971. Т. 109. С. 26−34..

141. Стечкин, С. Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье / С. Б. Стечкин, В.Т. Гаври-люк // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241, JV> 3. С. 525−527..

142. Стечкин, С. Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье / С. Б. Стечкин, В.Т. Гаври-люк // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1985. Т. 172. С. 107−127..

143. Тайков, Л. В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрервности в ?2 / Л. В. Тайков // Мат. заметки. 1976. Т. 20, вып. 3. С. 433−438..

144. Танкаева, С. О теоремах Джексона на отрезке —1,1] и полуоси [0, оо] / С. Танкаева // Изв. АН Респ. Казахстан. Сер. физ.-мат. 1992. N 5. С. 45−49..

145. Тептин, А. Л. Теоремы о разностных неравенствах для n-точечных разностных краевых задач / А.Л. Тептин// Мат. сб. 1963. Т. 62, N 2. С. 345−370..

146. Тептин, А. Л. Об оценке промежутка неосцилляции разностного уравнения и разностных краевых задач / А .Л. Тептин // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, N 11. С. 1449−1468..

147. Тимман, А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А. Ф. Тимман. М.: Физматгиз, 1960. 624 с..

148. Тихомиров, В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений / В. М. Тихомиров // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, вып. 3. С. 81−120..

149. Тихомиров, В. М. Некоторые вопросы теории приближений / В. М. Тихомиров. М.: Изд-во МГУ, 1976. 304 с.158J Тот, Л. Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве / Л. Ф. Тот. М.: ГИФМЛ, 1958. 363 с..

150. Уиттекер, Э. Математическая обработка результатов наблюдений / Э. Уиттекер, Г. Робинсон. Л. — М.: ОНТИ, 1935. 364 с..

151. Федоров, В.М. О приближении с весом Лагерра / В. М. Федоров // Некоторые вопросы математики и механики / Под ред. А. Н. Колмогорова. М., 1979. С. 46−47..

152. Федоров, В. М. Аппроксимация многочленами на полуоси / В. М. Федоров // Конструктивная теория функций -81. София: ВАН, 1983. С. 181−184..

153. Федоров, В. М. Приближение функций на сфере / В. М. Федоров // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. Механика. 1990. N 1. С. 15−23..

154. Хелгасон, С. Группы и геометрический анализ / С. Хелгасон. М.: Мир, 1987. 735 с..

155. Хорошко, Н. П. Про piBHOMipHe наближення непрервних функцШ полшомами за системою Хаара / II.П. Хорошко // Доповиди АН УРСР. А. 1968. N 6. С. 531−535..

156. Хорошко, Н.П. О наилучшем приближении в метрике L некоторых классов функций полиномами по системе Хаара / Н. П. Хорошко // Мат. заметки. 1969. Т. 6, вып. 1. С. 47−54..

157. Черных, Н.И. О неравенстве Джексона в l2 / Н. И. Черных // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1967. Т. 88. С. 71−74..

158. Черных, Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 / Н. И. Черных // Мат. заметки. 1967. Т. 2, вып. 5. С. 513−522..

159. Черных, Н. И. Неравенство Джексона в Lp (0,2ir) (1 < р < 2) с точной константой / Н. И. Черных // Тр. Мат. ин-та РАН. 1992. Т. 198. С. 232−241..

160. Шалаев, В.В. О поперечниках в Ь2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков / В. В. Шалаев // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, N 1. С. 125−129..

161. Шалаев, В. В. Точные оценки приближения непрерывных на сфере функций линейными операторами типа свертки / В. В. Шалаев // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, N 4. С. 565−567..

162. Шапиро, Р. Л. Специальные функции, связанные с представлением группы SU (n) класса I относительно SU (n 1) ((п — 1) > 3) / Р. Л. Шапиро // Изв. вузов. Математика. 1968. N 4. С. 97−107..

163. Шарма, А. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности / А. Шарма, И. Цимба-ларио // Мат. заметки. 1977. Т. 21, вып. 2. С. 161−172..

164. Шевалдин, В. Т. Об одной задаче экстремальной интерполяции / В. Т. Шевалдин // Мат. заметки. 1981. Т. 29, вып. 4. С. 603−622..

165. Шилов, Г. Е. Математический анализ. Специальный курс / Г. Е. Шилов. М.: Гос. изд-во Физ.-мат. лит., 1960. 388 с..

166. Штром, Д. В. Метод Дельсарта в задаче об антиподальных контактных числах евклидовых пространств больших размерностей / Д. В. Штром // Изв. Урал. гос. ун-та. 2004. N 30. С.154−182. (Сер. Математика и механика — вып.6)..

167. Эйлер, Леонард. Дифференциальное исчисление. Перевод с латинского, вводная статья и примечания М. Я. Выгодского / Леонард Эйлер. М. — Л.: ГИТ-ТЛ, 1949. 580 с..

168. Юдин, В. А. Многомерная теорема Джексона в ?2 / В. А. Юдин // Мат. заметки. 1981. Т. 29, вып. 2. С. 309−315..

169. Юдин, В. А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов / В. А. Юдин // Дискрет, математика. 1989. Т. 1, вып. 2. С. 155−158..

170. Юдин, В. А. Кратные ряды Фурье и их приложения: Дис. .докт. физ.-мат. наук. / В.А. ЮдинМЭИ. Москва, 1990. 188 с..

171. Юдин, В. А. Минимум потенциальной энергии точечной системы зарядов / В. А. Юдин // Дискрет, математика. 1992. Т. 4, вып. 2. С. 115−121..

172. Юдин, В. А. Две экстремальные задачи для тригонометрических полиномов / В. А. Юдин // Мат. сб. 1996. Т. 187, N 11. С. 145−160..

173. Юдин, В. А. Экстремальные свойства функций и дизайны на торе / В. А. Юдин // Мат. заметки. 1997. Т. 61, вып. 4. С. 637−640..

174. Юдин, В. А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов / В. А. Юдин // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1997. Т. 219. С. 453−463. ..

175. Юдин, В. А. Код и дизайн / В. А. Юдин // Дискрет, математика. 1997. Т. 9, вып. 2. С. 3−11..

176. Юдин, В. А. Нижние оценки для сферических дизайнов / В. А. Юдин // Изв. РАН. Сер. мат. 1997. Т. 61, N 3. С. 213−223..

177. Юдин, В. А. Одна экстремальная задача для функций распределения / В. А. Юдин // Мат. заметки. 1998. Т. 63, вып. 2. С. 316−320.о.

178. Andreev, N.N. Problems of Approximation Theory in Discrete Geometry / N.N. Andreev, V.A. Yudin // Math. Res. 1999. V. 107. P. 19−32. (Adv. in Multivariate Approx.)..

179. Arestov, V.V. Properties of solutions of Delsarte type problem and its dual problem / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Geometric Aspects of Fourier and Funct. Anal.: Math. Seminar Christian-Albrechts-Univ. Kiel, 1998. P. 1..

180. Arestov, V.V. On kissing number in four dimensions / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Res. Communicat. conf., Budapest, Hungary, 1999. Budapest: Janos Bolyai Math. Soc., 1999. P. 10−14..

181. Arestov, V.V. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with respect to Argument of Modulus of Continuity / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Approx. Theory: A vol. dedic. B. Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P. 13−23..

182. Arestov, V.V. On the optimal point in Jackson’s inequality in L2(—00,00) with the second modulus of continuity / V.V. Arestov, A.G. Babenko // East J. Approx. 2004. V.10, N 1−2. P. 201−214..

183. Arestov, V.V. Delsarte problem connected with spherical 1/3-code / V.V. Arestov, A.G. Babenko, M.V. Deikalova // Теория наближения функцШ та i" i застосування / Ilpai-i 1н-ту математики HAH УкраТни. 2000. Т. 31. С, 33−48..

184. Arestov, V.V. On the L2 -approximation of periodic functions by trigonometric polynomials / V.V. Arestov, N.I. Chernykh // Approximation and functions spaces: proc. intern, conf., Gdan ' sk, 1979. Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25−43..

185. Babenko, A.G. Jackson Stechkin constant in L3 on the segment with Jacobi weight, on the sphere and projective spaces / A.G. Babenko //5 Jornadas Zaragoza-Pau Mat. Apl. у F.st.adistica, JACA, 1997: conf. Zaragoza-Pau, 1997. P. 14..

186. Babenko, A.G. On the Jackson-Stechkin inequality for the best L2 -approximations of functions by trigonometric polynomials / A.G. Babenko // Proc. Steklov Inst.'Math. 2001. Suppl. 1. P. S30-S47..

187. Bannai, E. Uniqueness of certain spherical codes / E. Bannai, N.J.A. Sloane // Canad. J. Math. 1981. V. 33. P. 437−449..

188. Baraboshkina, N.A. The Jackson-Stechkin Inequality with a Nonclassic Modulus of Continuity / N.A. Baraboshkina // Proc. Steklov Inst. Math. 2001. Suppl. 1. P. S65-S70..

189. Baraboshkina, N.A. The Least Constant in Jackson’s Inequality for Best Approximations of Functions in I2 by Finite-Dimensional Subspaces / N.A. Baraboshkina // Proc. Steklov Inst. Math. 2004. Suppl. 1. P. S128-S136..

190. Berdysheva, E.E. An extremal problem for entire functions of exponential type with non-negative mean value /E.E. Berdysheva // East J. Approx. 1997. V. 3, N 4. P. 393−401.v.

191. Berdysheva, E.E. Several related extremal problems for multivariate entire functions of exponential type / E.E. Berdysheva // East J. Approx. 2000. V. 6, N 2. P. 241−260..

192. Berens, H. Limitierungsverfahren von Reihen mehrdimensionaver Kugelfunktionen und deren Saturationsverhalten / II. Berens, P.L. Butzer, S. Pawelke // Publ. Res. Inst. Math. Sci. (Kyoto). Ser. A. 1968. 4. P. 202−268..

193. Bochner, S. Hilbert distances and positive definite functions / S. Bochner // Ann. Math. 1941. V. 42. P. 647−656..

194. Bochner, S. Positive zonal functions on spheres / S. Bochner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1954. 40. P. 1141−1147..

195. Boyvalenkov, P. On the upper bounds for the kissing numbers / P. Boyvalenkov // Serdica. 1992. V 18. P. 278−285..

196. Boyvalenkov, P. On the extremality of the polynomials used for obtaining the best known upper bouds for the kissing numbers / P. Boyvalenkov // J. Geometry. 1994. V. 49. P. 67−71..

197. Boyvalenkov, P. Extremal polynomials for obtaining bounds for spherical codes and designs / P. Boyvalenkov // Discrete Comput. Geom. 1995. V. 14. P. 167−183..

198. Boyvalenkov, P.G. Upper bounds on the minimum distance of spherical codes / P.G. Boyvalenkov, D.P. Danev, S.P. Bumova // IEEE Trans. Inform. Theory. 1996. V. 42, N 5. P. 1576−1581..

199. Butzer, P.L. Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and Lipschitz classes / P.L. Butzer, H. Dyckhoff, E. Gorlich, R.L. Stens // Canad. J. Math. 1977. V. 29, N 4. P. 781−793..

200. Butzer, P.L. An access to fractional differentiation via fractional difference quotients, in Fractional Calculus and its Applications / P.L. Butzer, U. Wesphal // Lect. Notes in Math. Berlin: Springer, 1975. V. 457. P. 116−145..

201. Chambers, Ll.G. An upper bound for the first zero of Bossel functions / Ll.G. Chambers // Math. Computation. 1982. V. 38, N 158. P. 589−591..

202. Delsarte, J. Sur une extension de la formule de Taylor / J. Delsarte // J. Math. Pures et Appl. 1938. T. 17, N 3. P. 213−231..

203. Delsarte, J. Une extension nouvelle de la theorie des fonctions presque-periodiques de Bohr / J. Delsarte // Acta Math. 1938. 69. P. 259−317..

204. Delsarte, Ph. Bounds for unrestricted codes, by linear programming / Ph. Delsarte // Philips Res. Rep. 1972. V. 27. P. 272−289..

205. Delsarte, P. Spherical codes and designs / P. Delsarte, J.M. Goethalts, J.J. Seidel // Geom. Dedic. 1977. 6. P. 363−388..

206. Ditzian, Z. A modulus of smoothness on the unit sphere / Z. Ditzian // J. Anal. Math. 1999. V. 79. P. 189−200..

207. Eulero, L. Institutiones calculi differentialis cum eius vsu in analysi finitorum ac doctrina serierum / L. Eulero. Petropoli-tanae: Acad. Imper. Sei., 1755..

208. Jackson, D. Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung: Diss. / D. Jackson. Gottingen, 1911..

209. Gasper, G. Linearization of the product of Jacobi polynomials. I / G. Gasper // Canad. J. Math. 1970. V. 22, N 1. P. 171−175..

210. Gasper, G. Positivity and the convolution structure for Jacobi series / G. Gasper // Ann. Math. 1971. V. 93. P. 112−118..

211. Gasper, G. Banach algebras for Jacobi series and positivity of a kernel / G. Gasper // Ann. Math. 1972. V. 95. P. 261−280..

212. Gasper, G. Multiplier criteria of Marcinkiewicz type for Jacobi expansions / G. Gasper, W. Trebels // Trans. Arner. Math. Soc. 1977. V. 231, N 1. P. 117−132..

213. Gronwall, Т.Н. On the degree of convergence of Laplace’s series / T.II. Gronwall // Trans. Amer. Math. Soc. 1914. V. 15. P. 1−30..

214. Grunwald, A.K. Uber «begrenzte» Derivationen und deren Anwendung / A.K. Grunwald // Z. angew. Math, und Phys. 1867. Bd. 12. S. 441−480..

215. Hardin, R.H. Spherical Codes / R.H. Hardin, N.J.A. Sloane, W.D. Smith // http://www.reseajch.att.com/ ~ njas/packings/index.html.

216. Kolmogoroff, A. Uber die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse / A. Kolmogoroff // Ann. Math. 1936. V. 37, N 1. P. 107−110..

217. Conway, J.H. Sphere Packings, Lattices and Groups / J.H. Conway, N.J.A. Sloane. 2nd ed. NY: Springer-Verlag, 1993. 679 p..

218. Conway, J.H. Sphere Packings, Lattices and Groups / J.H. Conway, N.J.A. Sloane. 3rd ed. NY: Springer-Verlag, 1998, lxxiv+703 p..

219. Koornwinder, T. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics / T. Koornwinder // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 25, N 2. P. 236−246..

220. Koornwinder, T. Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product formula / T. Koornwinder // SIAM J. Math. Anal. 1974. V. 5, N 1. P. 125−137..

221. Koornwinder, T. Positivity proofs for linearization and connection coefficients of orthogonal polynomials satisfying an addition formula / T. Koornwinder // J. London Math. Soc. 2 Ser. 1978. V. 18, Pt 1. P. 101−114..

222. Le Gendre, A.M. Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. T.2 /A.M. Le Gendre. Paris, 1817..

223. Ligun, A.A. Jackson’s type inequalities / A.A. Ligun // East J. Approx. 1996. V. 2, N 2. P. 235−244..

224. Logan, B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions /B.F. Logan // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14, N 2. P. 253−257..

225. Lorentz, G.G. Lower bounds for the degree of approximation / G.G. Lorentz // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. V. 97.P. 25−34..

226. Lofstrem, J. Approximation Theorems Connected with Generalized Translations / J. Lofstrem, J. Peetre // Math. Ann. 1969. V. 181. P. 255−268..

227. Mackay, A.L. The packing of three-dimensional spheres on surface of a four-dimensional hyperspheres / A.L. Mackay // J. Phis. A. 1980. 13. P. 3373−3379..

228. Mathias, M. Uber positive Fourier-Integrale / M. Mathias // Math. Z. 1923. Bd 16. P. 103−125..

229. Micchelli, Cii.A. On an extremal problem of Subbotin concerning finite differences and detrivatives / Ch.A. Micchelli // J. Approx. Theory. 1979. V. 26. P. 119−123..

230. Musin, O.R. The kissing number in four dimensions / O.K. Musin // Preprint, arXiv.math.MG/309 430 vl, September 2003. 22 p. http://lanl.arxiv.org/PScache/math/pdf/0309/309 430.pdf.

231. Norlund, N.E. Vorlesungen uber Differenzenrechnung / N.E. Norlund. Berlin: Springer, 1924. 554 p..

232. Odlyzko, A.M. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions / A.M. Odlyzko, N. J .A. Sloane // J. Combinator. Theory. Ser. A 26. 1979. P. 210−214..

233. Pawelke, S. Ein Satz vom Jacksonschen Typ fur algebraische Polynome / S. Pawelke // Acta Sei. Math. 1972. 33. P. 323−336..

234. Popoviciu, T. Sur le reste dans certaines formules lineaires d’approximation de l’analyse / T. Popoviciu // Mathematica (Cluj). 1959. V. 1 (24), N 1. P. 95−142..

235. Potapov, M.K. On approximation of functions on the half-line by algebraic polynomials / M.K. Potapov, S.K. Tankaeva // Anal. Math. 1994. T. 20. F. 2. P. 107−115..

236. Ragozin, D.L. Constructive polynomial approximation on spheres and projective spaces / D.L. Ragozin // TYans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 162. P. 157−170..

237. Rankin, R.A. The closest packing of spherical caps in n dimensions / R.A. Rankin // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1955. V. 2. P. 139−144..

238. Schur, I. Bemerkungen zur Theorie der beschrankten Bilinearformen mit unendlichvielen Veranderlichen / I. Schur // Journ. fur Math. 1911. 140. P. 1−28..

239. Shevaldin, V.T. Jackson-Stechkin Inequality in С with a Trigonometric Modulus of Continuity Which Annuls First Harmonics / V.T. Shevaldin // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 1. 2001. P. S206-S213..

240. Shoenberg, I.J. Mertic spaces and completely monotone functions / I.J. Shoenberg // Ann. Math. 1938. V 39. P. 811— 841..

241. Shoenberg, I.J. Positive definite function on spheres / I.J. Shoenberg // Duke Math. J. 1942. V. 9. P. 96−107..

242. Shtrom, D.V. The Delsarte Method in the Problem of the Contact Numbers of Euclidean Spaces of High Dimensions / D.V. Shtrom // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2. 2002. P. 162−189..

243. Taberski, R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders / R. Taberski // Ann. Soc. Math. Polonae. Ser. I: Comments Math. 1977. T. 19. P. 389−400..

244. Taylor, B. Methodus incrementorum directa et inversa / B. Taylor. London, 1715..

245. Toader, Gh. Generalized finite differences / Gh. Toader, S. Toader // Mathematica. 1985. T. 27(50), N 1. P. 53−57..

246. Vasil’ev, S.N. Jackson-Stechkin Inequality in L2-n, тг] / S.N. Vasil’ev // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 1. 2001. P. S243-S253..

247. Watson, G.N. Another note in Laguerre polynomials / G.N. Watson // J. London Math. Soc. 1939. V. 14. P. 19−22..

248. Wronicz, Z. Moduli of smoothness associated with Chebyshev systems and approximation by Lsplines / Z. Wronicz // Конструктивная теория функций'84: Тр. Междунар. конф. по конструкт, теории функций (1984; Варна). София: Изд-во ВАН, 1984. С. 906−916..

249. Wronicz, Z. Chebyshevian splines / Z. Wronicz // Diss. Mat, 1990. CCCV. 100 p..