Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем

Системы интегро-дифференциальных уравнений ++ ?К (?, т, х (т))<1т = дУ)1 г Е [0,1], о где <р: А -> ?>2, А С Яп+1, ?)2 С Л", А": ?>3 А, А С С Л", находят широкое применение в приложениях.

Такие системы называют системами разрешенными относительно производной.

Однако, часто постановка задач описывается взаимосвязанными системами, которые имеют вид АпМ Ап (г) (х{ь) (пЫЪъШ) ,.

V 0 о Д х’м) +).

I к2{1,т, х1{т), х2{г)) где А2 — (к х к) и (к х (п — к)) — матрицы, (рх: ?>2, <^2: з А, А С ?>2 С Л*, £>з С ?>4 С: ?>5 ?)6,.

8, Д, С Яп+2, С Л*, ?>7 С Я" +2, ?)8 С Д" -*.

Данные уравнения можно записать в виде системы интегро-дифференциальных уравнений г.

А{1)х{) + + ?К{г, т, х (т))йт=д{г), г е [0,1], (0.0.1) о с вырожденной матрицей.

Ь= Й) л (г) = (ЛМ | перед производной.

0.0.2).

Системы общего вида (0.0.1), у которых det A{t) = 0, в отличие от систем разрешенных относительно производной, имеют ряд характерных особенностей, которые подчеркнуты по ходу изложения материала.

Отметим, что системы вида (0.0.1), с заданным начальным условием ж (0) = а, (0.0.3) мало исследованы на предмет существования и единственности непрерывно-дифференцируемого решения.

Теория построения численных методов решения задачи (0.0.1), (0.0.3), так же далека от завершения.

Данная работа посвящена построению численных методов решения задач (0.0.1), (0.0.3) с условием det A (t) = 0, а так же вопросам существования и единственности их решения.

Затронуты также некоторые аспекты исследования и для общей вырожденной задачи, которая имеет вид: t x{r)dr) = 0, о te [o, i], с заданными начальными условиями:

ФСж^-^СО), Я? С0)) = о.

Здесь Ф: Di D2, Dx С ?>2 с Rn, x (t) — пмерная искомая вектор-функция.

Вырожденность понимается в том смысле, что det^(.)/&c (4) = 0.

Сразу оговоримся, что под решением общей вырожденной системы мы будем понимать любую вектор-функцию x (t) Е Ск, которая обращает исходное уравнение в тождество.

Отметим, что частным видом рассматриваемых задач являются системы: iP (xW (t), x (k-lt),., x'(t), x (t), t)= о, t е [0,1], которые легко сводятся путем замены переменной к системам первого порядка f (x'(t), x (t), t) = 0, t € [0,1]. (0.0.4).

Частными случаями систем (0.0.4) являются следующие:

Ax (t) + Bx{t) = f (t), t G [0,1], (0.0.5) где А, В— постоянные (n х п) матрицы ;

A (t)x (t) + B (t)x (t) = f (t), t G [0,1], (0.0.6) где A (t), B (t) — переменные (n x n) матрицы ;

A (t, x (t))x'(t) = f (t, x (t)), t G [0,1], (0.0.7) где A (t, x (t)) — переменная (n x n) матрица, с условиями det A = 0, det A (t) = 0, det A (t, x (t)) = 0, (0.0.8) для систем (0.0.5), (0.0.6), (0.0.7) соответственно.

Скажем несколько слов о терминологии. Для систем (0.0.5)-(0.0.7) с условием (0.0.8) употреблялись термины: «неявные системы дифференциальных уравнений», [17],[115],[145], «вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений», [11], [20], «сингулярные системы дифференциальных уравнений», [10], [87], [113], [114], [118], «алгебро-дифференциальные уравнения», [15], [88], [90], «системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенные относительно производной» [58].

К настоящему времени устоялся термин «дифференциально-алгебраические уравнения» [122] («дифференциально-алгебраические системы» ДАС), которого мы будем придерживаться в дальнейшем. Данный термин появился в связи с тем, что в первой статье [122], положившей систематическое исследование таких систем за рубежем, были рассмотрены системы с матрицей типа (0.0.2), а именно.

Приведем краткий обзор литературы по данной теме.

Начало развития теории ДАС относится к началу-середине 70-х годов [12], [13], [122]. Из более ранних работ отметим следующие: [60], [41]. В первой из этих работ были рассмотрены линейные системы высокого порядка с постоянными коэффициентами, а во второй было предложено использовать теорию матричных пучков при изучении систем вида (0.0.5). Первые работы, положившие начало систематическому изучению ДАС были [12], [122]. В конце 70-х — начале 80-х годов сложились математические школы в СССР (Бояринцев Ю.Е.), ГДР (Maerz R.), США (Gear С. W.), специализирующиеся на изучении свойств ДАС и построении численных алгоритмов для них. Несколько позднее появился круг специалистов и в других странах: Канада (Ascher U.), Венесуэла (Aravelo С.), Швеция (Lotsted Р.), Швейцария (Hairer Е., Lubich С.) и др.

Ниже приведен краткий обзор литературы по теории и численным методам решения рассматриваемых задач.

К настоящему времени вышло и продолжает выходить большое число работ, затрагивающих те или иные аспекты теории ДАС. Отметим, что даже для перечисления этих работ потребовалось бы несколько десятков страниц. Например, вышедшая в 1996 г. монография [149] насчитывает свыше четырехсот источников литературы практически без учета работ советских (российских) математиков. Ниже приведена схематическая таблица, которая, на взгляд автора, наиболее полно отражает направления в тематике ДАС.

0 (x (t) 0) x'2(t).

Pi (xi (t), x2(i), t).

1) Редукция ДАС к «более легким задачам»: а) методы возмущенияб) редукция к ОДУв) редукция к системам интегральных уравненийг) вывод явного вида решения ДАС через различные обобщенные обратные матрицы.

2) Исследование расширенных систем для: а) построение эрмитово-коллакационных разностных схемб) «разрешения» исходной системы относительно х (t).

3) Построение численных алгоритмов, учитывающих специфику исходной задачи: а) многошаговые методыб) методы Рунге-Куттав) методы типа коллокационных.

4) Применение теории ДАС в других областях математики.

Вкратце остановимся на каждом из этих пунктов.

1 а. Методы возмущения ДАС заключаются в следующем: от исходных систем (0.0.5),(0.0.6),(0.0.7) переходят к изучению систем вида:

A + eC) x'e (t) + (B + ?D)xe (t) = fc (t), te [0,1], (0.0.5а) где С, D — постоянные (n х п) матрицы ;

A (t) + eC (t))xe (t) + (B (t) + eD (t))xc (t) = f?(t), t e [0,1], (0.0.6a) где C (/), D (t) — переменные (n x ri) матрицы ;

A (t, xe (t)) + EG{t, xe{t)))x'?{t) = fe (t, x?{t)), t E [0,1], (0.0.7a) где G (t, xe (t)) — переменная (п х п) матрица, причем 0 < е «1 и выполнены условия: det (A + еС) ф 0- det (A (i) + eC{t)) [0,1]- det (A (i, ze) + eG (t, xe)) ф 0, Vf 6 [0,1] и на любом из решений (0.0.7а).

Матрицы C, C (t), G (t, xe) выбирают таким образом, чтобы выполнялось условие:

II x (t) — xe (t) ||= 0(e) Vf G (to, l], to = O (e).

В ряде случаев [10], [90] в качестве возмущающих матриц C, C (t), G (t, хе) выбирают Б, B (t), df (t, х)/дх соответственно. Такие возмущения охватывают весьма узкий класс задач: системы с постоянными коэффициентами, или ДАС индекса один, в исключительных случаях более высокого индекса. В работах [90], [121], [133] предложены методы возмущения для линейных ДАС (0.0.6) и некоторых квазилинейных систем вида (0.0.7), индекса выше единицы, которые сходятся к точному решению задач (0.0.б) и (0.0.7) соответственно при условии, что пучки матриц ЛA (t) + В (t) и ЛA (x, t) + df (x, t)/dx— регулярные.

Отметим еще две работы, близкие к данной тематике [75], [76].

1 б. Редукция к ОДУ.

Методы редукции к ОДУ заключаются в следующем. С использованием структуры исходных систем выписывается цепочка уравнений:

Aix (t) + BiX (t) = fi (t), t G [0,1], (0.0.56) где Ai, B{— постоянные (n x n) — матрицы ;

Ai (t)x'(t) + Bi (t)x (t) = fi (t), t e [0,1], (0.0.66) где Ai (t), Bi (t) — переменные (n x n) матрицы, для систем (0.0.5) и (0.0.6) соответственно.

Каждая последующая система (0.0.6Ь) в некотором смысле «лучше» предыдущей, поэтому через конечное число шагов г получим системы с невырожденной матрицей перед производной.

Другой подход связан с построением дифференциальных операторов Рг степени г вида.

Рг=?р&М<�Н) о о где р{(х (г х (г~1 ., х, ж, ?) и р^) — (п х п) — матрицы. В результате суперпозиции этих операторов на первоначальные системы (0.0.6) и (0.0.7) соответственно, получается система ОДУ, разрешенную относительно производной.

Способы построения таких операторов предложены также в работах автора [15], [17], [19].

1 в. Редукция к интегральным системам.

Данная редукция заключается в переходе от ДАС (0.0.6) к линейной системе интегральных уравнений вида г.

Л (/)я (*) + /В{т)х{т)Лт = /(*), * е [о, 1], (0.0.9) о где сЫА (г)^о, Уге [0,1].

Этот переход требует меньшего числа дифференцирования исходных данных, чем редукция к ОДУ.

1 г. Вывод явного вида решения ДАС через различные обобщенные обратные матрицы.

Этот подход был широко использован при исследовании линейных ДАС с постоянными коэффициентами (0.0.5) и регулярным пучком матриц ХА + В [10], [11], [113], [114]. Путем замены переменной у (¿-) = ехр (А?)х (?) система (0.0.5) сводилась к системе.

Hy'(t) + y (t) = f (t), f €[0,1], (0.0.10) где H = (XA + B)~lA.

Далее с использованием матрицы Дразина выписывалась явная формула решения системы (0.0.10). Попытки перенести эту технику на линейные ДАС с переменными коэффициентами закончились неудачей. Назовем основную из этих причин: если для ДАС (0.0.10) структура решения связана со структурой матрицы Н, а для ДАС (0.0.5) — с кро-некеровой структурой матричного пучка A—B, [10], [41], то для ДАС (0.0.6) за очень редким исключением такая связь отсутствует.

Более того, регулярность (сингулярность) пучка A (t) + B (t) для ДАС (0.0.6) не дает практически никакой информации о существовании и единственности решения (за исключением ДАС индекса один). В деталях данное направление представлено в работах [10], [11], [91].

2. Исследование расширенных систем.

Первые работы по исследованию расширенных систем для линейных ДАС (0.0.6) появились независимо друг от друга в СССР [30], [31], [44],[86] и США [115] в середине 80-х годов.

В данных работах предлагалось к исходной системе (0.0.6) присоединять к ее производных, где к— не превосходит max rank/t (?). Работы [30], [31], [33] посвящены построению разностных схем для начальной задачи системы (0.0.6). В статьях [86], [88], [89], [115] и монографиях [90], [91], [149] предложены методы «разрешения» исходной системы относительно x'(t).

3 а. Многошаговые методы.

Первые методы, основанные на формулах дифференцирования назад, для численного решения ДАС индекса один вида:

X = f (t, ж, у) g (t, x, y) = 0, были предложены в работах [13], [122].

В 1975 г. вышла статья [12], в которой был дан детальный анализ неявного метода Эйлера для численного решения линейных ДАС с постоянными коэффициентами (0.0.5):

А (х>+1 — Хг) + кВх{+1 = 1г/(и+1), (0.0.11) я0 = а-(0),? = 0,1,.,#-1, /г = 1/Ж.

В этой же работе доказана сходимость данного метода к точному решению исходной задачи с порядком О (к), К < /¿-о, начиная с г > г, где г— индекс пучка матриц ХА + В, т. е. минимальное целое неотрицательное число, при котором справедливо равенство гапк ((ЛЛ + В)~1А)Г+1 = гапк ((АА + В)~1А)Г.

Позже вышлел ряд статей [6], [43], [95], [126], [145] и монографий [127], [149], в которых проведен подробный анализ возможности применения линейных многошаговых методов вида р V о 3=0 рур + 1,., 7У-1, /г = 1/]У и р р р /(1//1? ? ]Г Р5*1+1-]) = 0,.

0 з=0 з=0 для численного решения (0.0.4), с условием.

0 ф 0 и р0 Ф 0. (0.0.14).

Все эти методы учитывают структуру пучка якобианов.

А<9/(у, ж, г)/ду + <�Э/(у, ж, г)/дх.

0.0.12).

0.0.13).

Методы (0.0.12), (0.0.13) обладают свойством устойчивости для ОДУ, т. е. все корни характеристического уравнения.

Е = о. о лежат в единичном круге и на границе круга нет кратных корней (см., напр. [7]).

Как будет показано в дальнейшем, для численного решения некоторых ДАС можно отказаться от условий (0.0.14) и устойчивости.

3 б. Методы Рунге-Кутта.

Для ДАС вида (0.0.4) с начальным условием ж (0) = а, М—стадийные методы Рунге-Кутта (РК) обычно записывают в виде [149, с.78]: м.

Х^х^х + Ь Е а, кХк, и~1 + = 0, 7 = 1,2, ., М, к=1 м + (0.0.15) 1 где к = и —.

Уже вышло и в настоящее время продолжает выходить большое количество статей, посвященных различным вопросам теории методов РК для ДАС. Достаточно полно теория этих методов разработана для:

1) линейных ДАС с постоянными коэффициентами (0.0.5) [129], [149];

2) ДАС индекса один [57], [97], [129],[130];

3) ДАС, имеющих форму Хессенберга индекса не выше трех [97],.

129], [130], [132], [149] .

Отметим, что первая работа по применению методов РК (коллока-ционным методам) к ДАС принадлежит автору 1. В монографях [129],.

130], [132], [149], проведен подробный анализ различных методов РК и дана обширная библиография по данному вопросу. булатов М. В. Применение коллокационных разностных схем для решения сингулярных линейных систем ОДУ. // Четвертая межвузовская конференция молодых ученых. 4.1: Тез. докл. — Иркутск: Иркут. ун-т, 1986, -4с.

3 в. Методы типа коллокационных.

Методам типа коллокационных в настоящей работе посвящен ряд параграфов. Приведем общий вид этих методов: т 1 Р 1.

1/^ ljxi+s-jltг+1) = 0).

0 -=о.

Ш 9 Р f (l/h 2) = о,.

7=0 ?=0 т р

1/Л? Цхц-в-, 1 Е ^.Ч-.—, ?+.) = 0, (0.0.16).

0 ?=0.

Здесь т Р.

1/^ XI Щхг+8~31² Цxi+s-j^>^i+q) = 0—.

7=0 7=0 аппроксимация исходной системы (0.0.4). Предполагается, что ?1, а?2, — заранее вычислены, жо = ж (0).

Из системы (0.0.16) находим а-г+1, атг+2,.

В ряде случаев некоторые из этих методов можно представить в виде методов РК, но это не всегда так. Забегая вперед, отметим, что в деталях данные методы разобраны в третьей главе.

4. Применение теории ДАС в других областях математики.

Исследования по применению теории ДАС в некоторых областях дифференциальной геометрии и по теории бифуркаций можно найти в работах [152], [153].

Различные постановки задач, связанные с теорией управляемости (оптимального управления) и наблюдаемости, опубликованы в монографиях [10], [149] и статье [158].

Отметим ряд монографий [10], [39], [90], [132], 149], в которых приведены ДАС, описывающие конкретные прикладные задачи.

В статьях [72], [73], [74] рассмотрены задачи более общего вида, чем ДАС. Форма их записи следующая:

A{t)x (t) + B{t)x{t) = f (t), t G [0,1], где A (t), B (t) — некоторые операторы, действующие из одного банахова пространства Н в другое банахово пространство Щ.

Здесь оператор A (t) не имеет обратного ограниченного оператора.

Отметим, что прямое перенесение техники, предложенной в этих работах для исследования ДАС, нецелесообразно из-за сложных выкладок.

Перейдем теперь к обзору литературы по тематике «вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений.» Под термином «вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений» в данной работе подразумевается системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед старшей производной. Частными случаями исходной системы являются:

1) линейные вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра: к 1.

IK (t, r) x®dr = /(«), t е [0,1], (0.0.17) t=0 б.

2) линейные вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений со слабой особенностью: /(< - т)-*к& r) x{r)dr = /(<), г=0 g i G [0,1], 0 < Of < 1, (0.0.18).

3) линейные вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма: к 1 i=0 0.

J K (t, T) x®dr = f (t), t е [0,1], (0.0.19) где Ai (t), i = 1,2,., K (t, т) — (n x n) матрицы с непрерывными элементами и во всех трех случаях Ao (i) 0, но det = 0.

4) линейные вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и ядром типа свертки: к 1 /- r) a-®dr = /(*), / G [0,1], (0.0.20) i=0 i где Ai, i = 1,2,к— постоянные (n х п) — матрицы, K (t — г) — (n х n) матрица и Aq ф 0, det Aq = 0.

Выделим из этого класса интегральные уравнения вида: t a{t, x (t)) + J b (t, т, х (т))с1т = /(f), < <= [0,1], (0.0.21) о где a (*, z (*)): DRn, D С #n+1- b{t, r, x®): ^ Д", С Яп+2, с условием detda (tyx)/dx = 0. (0.0.22).

Системы (0.0.22) будем называть системами интегральных уравнений Вольтерра четвертого рода. Попутно заметим, что для данных уравнений используется термин «интегро-алгебраические уравнения» [123]. О том, почему автор предпочитает именно название «системы интегральных уравнений Вольтерра четвертого рода», будет подробно изложено в главе, посвященной интегральным уравнениям.

Выпишем некоторые аналоги системы (0.0.21) с условием (0.0.22): t.

4(ф-(/) + J b{t, T, x{T))d.T = f (t), t e [0,1], (0.0.23).

0 4.

— квазилинейные системы интегральных уравнений Вольтерра четвертого родаt.

A (t)x (t) + J К (t, T) x®dT = /(*), te [0,1], (0.0.24) о.

— линейные системы интегральных уравнений Вольтерра четвертого родаt.

A (t)x (t)+J (t-T)-aK (t, T) x®dT = f (t), / G [0,1], 0 < а < 1, (0.0.25) о.

— линейные системы интегральных уравнений четвертого рода со слабой особенностью в ядреt.

Ax (t) + J K (t — T) x®dr = f (t), t E [0,1], (0.0.26) о.

— линейные системы интегральных уравнений четвертого рода с постоянными коэффициентами и ядром типа свертки.

Аналогичную классификацию можно провести для систем интегральных уравнений Фредгольма четвертого рода, меняя верхние пределы интегрирования в задачах (0.0.22) — (0.0.26) с t на 1.

Отметим, что во всех случаях, если не оговорено особо, будем считать п > 2, где п— размерность вектор-функции x{t).

Количество работ, посвященных системам интегральных уравнений Вольтерра (Фредгольма) четвертого рода и вырожденным системам интегро-дифференциальных уравнений, значительно уступает числу работ по тематике ДАС.

В статье [123] введено определение индекса задачи (0.0.22) через норму невязки в соответствующих пространствах. В работах [138], [139] предложены и обоснованы некоторые численные методы решения систем вида (0.0.23) индекса один, у которых матрица, А =.

Различные интегральные преобразования для задач (0.0.24), (0.0.26) предложены в статьях [8], [92].

В работах [73]. [74] рассмотрены вопросы существования решения в классах обобщенных функций задачи вида:

A (t)x (ij + J K (t-T)i (rjdT = f{iy, t G [0,1], ' r (0.0.27) о. — - .

K (t, r) — некоторые операторы, действующие из одного" банахова пространства Щ в другое банахово пространство причем оператор A (t) не имеет ограниченного обратного. Техника исследования, приведенная в этих статьях для задачи (0.0.27), достаточно слож rf —,: > - ¦ i I I — ') .' - :) — 'Vf' 4- /± s j Г •. f 1 ! ' на й поэтому ee применение дл! я }фг1ВненМ-(10'.'03.24)/(0.0−2б) rie' даёт должного эффекта при исследовании существования и единственности решения этих задач.

Частным видом систем (0.0.23) — (0.0.26) при п = 1 являются интегральные уравнения Вольтерра первого рода:

— ' -if t.

J К (t. т. х (т))(1т = /(*), t G [0,1], (0.0.28).

-,'•¦ - 0 ' :

— нелинейные с ядром Урысона- ^ .-t ¦

J K (t, T)2(T, x®)dT =j (t), t G [0,1],. (0.0.29) о.

— нелинейные с ядром Гаммерштейна- *. о.

— линеиныеli cvrr* : —: • - i'. ' ¦ г лу iUrfi' -н ъ ¦ .г: ?- v .^.^^.'Гн-'^-и'-.г^/ Ч «'¦ l T) xiT)dT ¦= Ьг°.-< а. (o, o:3Q о сх'.м &XLix.

J K{t — T) x®dT = f (t), t e [0,1], (0.0.32) 0.

-линейные с ядром типа свертки..

Отметим, что к настоящему времени вышло и продолжает выходить большое количество работ по численному решению интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Даже для их перечисления потребовалось бы слишком много места. Например, в монографии [107] библиография занимает 50 стр. Поэтому в кратком обзоре упомянем только первые работы, монографии и обзорные статьи..

Вначале остановимся на линейном уравнении (0.0.30). Хорошо известно, что данные уравнения относятся к классу некорректных задач. Одной из первых работ по таким задачам была статья А. Н. Тихонова [80]. Современное состояние теории некорректных задач отражено в монографиях [37], [51], [81], в которых дана исчерпывающая бибилио-графия по данной тематике..

Так как уравнения Вольтерра являются частным случаем уравнений Фредгольма, то регуляризирующие алгоритмы (РА), разработанные для уравнений Фредгольма, можно применять и для уравнений Вольтерра. Однако такой подход приводит к потери вольтерровости регуляризованного уравнения, в результате чего при дискретизации полученного уравнения нам придется решать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с полностью заполненной матрицей вместо нижне-треугольной..

Отметим, что все результаты, касающиеся численного решения (0.0.30), разработаны для случая.

K (t, t) ф О V/ G [0,1], /(0) = 0, (0.0.33) либо для случая.

А'(М) = 0, K’t{t, r) т=гф 0 Vi? [0,1], /(0) = /'(0) =0. (0.0.34).

Первые результаты по а—регуляризации уравнения (0.0.30) опубликованы в работах [48], [61], [71]..

Что же касается вопросов численного решения задачи (0.0.30), то отметим первые работы [4], [102], [135], [136], [142]..

В работе [4] впервые показано, что процедура дискретизации задачи (0.0.30) порождает РА, если для-численного решения данной задачи применять простейшие квадратурные формулы, где параметром регуляризации является шаг дискретизации..

В статьях [79], [142] и диссертации [78] обнаружен следующий интересный факт: некоторые численные методы решения задачи (0.0.30) с условием (0.0.33) являются неустойчивыми (например, метод, основанный на квадратурной формуле Симпсона), а при выполнении условия (0.0.34)-устойчивыми..

Построение многошаговых методов численного решения уравнений Вольтерра первого рода описано в [78], [79], [107]..

Теория методов РК и коллокационных методов для данных задач развита в работах [99], [101], [103], [135], [136]..

Исчерпывающую библиографию по данным вопросам можно найти в монографиях [107], [143], обзорных статьях [3], [79], [99], [100] и диссертациях [2], [78]..

Алгоритм для численного решения уравнения Абеля первого рода (0.0.34) с условием (0.0.33) впервые предложен в работе [160]..

Наиболее полные результаты по исследованию уравнений Абеля, вместе с обширнейшим списком работ по данной тематике представлен в капитальной монографии [70]..

Современное состояние численных методов решения уравнений (0.0.31), с условием (0.0.33) отражено в монографиях [107], [128] и обзорных статьях [104], [105], [120], [157]..

Интересные приложения уравнений с ядром типа свертки (0.0.32) отражены в работе [137]..

Перейдем теперь к описанию структуры диссертации. Она состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Для систем дифференциально-алгебраических уравнений и интегральных систем с вырожденной матрицей перед искомой вектор-функцией разработаны численные методы решения. Обоснована редукция таких задач к системам ОДУ и интегральным уравнениям второго рода. Основные результаты сформулируем следующим образом..

1. Доказан ряд з’тверждений о блочном представлении переменных матриц и матричных пучков..

2. Введено понятие А— матриц, обладающих доминантным признаком. Изучен ряд свойств таких матриц..

3. Выделены классы ДАС: линейные с вещественно-аналитическими коэффициентамиквазилинейные, удовлетворяющие критерию «ранг-степень» — нелинейные, имеющие Хессенбергову форму, для которых предложена редукция к системам ОДУ. Показано, что в некоторых случаях такое преобразование обладает свойством устойчивости по Ляпунов}^..

4. Для одного класса линейных ДАС предложены методы возмущения..

5. Описана редукция линейных ДАС к системам интегральных уравнений Вольтерра второго рода..

6. Выделены классы ДАС высокого индекса, для которых доказана сходимость блочных разностных схем. Получены оценки скорости сходимости данных алгоритмов. Доказано, что предложенные методы являются саморегуляризирующим оператором, т. е. параметром регуляризации является шаг дискретизации..

7. Построены устойчивые алгоритмы численного решения интегральных уравнений Вольтерра 1 рода (скалярный случай), которые имеют индекс некорректности больше единицы..

8. Приведены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения класса систем интегральных уравнений.

Вольтерра 1 рода, у которых Ф 0> det/i (i, t) = 0. Доказана сходимость и регуляризирующие свойства численного алгоритма, основанного на методе средних прямоугольников, для таких систем..

9. На основе А— матриц, обладающих доминантным свойством, сформулировано понятие индекса одного класса линейных интегро-дифференциальных систем к—го порядка с вырожденной матрицей перед старшей производной. Получены достаточные условия существования и единственности решения таких систем в классе Ск. Получена достатачно простая формула вычисления индекса данных задач и, как частный случай, приведена новая формула вычисления индекса матричного пучка..

10. Приведены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения класса систем интегральных уравнений Вольтерра с вырожденной матрицей перед искомой вектор-функцией и со слабой особенностью в ядре..

11. Выделено семейство нелинейных интегро-дифференциальных систем первого порядка с вырожденной матрицей перед производной, имеющих единственное непрерывно-дифференцируемое решение. Предложен численный метод решения таких задач..

12. Для одного класса интегральных уравнений предложен метод регуляризации..