Построение условно-периодических решений в задаче двух твердых тел

В последнее десятилетие в связи со значительным прогрессом в астрометрии и повышением точности наблюдений небесных тел на повестку дня встает вопрос создания адекватных по точности аналитических теорий движения. Особенно актуальным является более строгий учет взаимного влияния поступательного и вращательного движения твердых тел Солнечной системы.

Начало систематическому изучению поступательно-вращательного движения небесных тел было положено прежде всего пионерскими работами В. Т. Кондураря [43] - [48] и фундаментальными работами Г. Н.Ду-бошина [29] - [32]. Постановка задачи, вывод дифференциальных уравнений, описывающих совместное поступательно-вращательное движение абсолютно твердых тел, были даны в 1958 г. Г. Н. Дубошиным [29]. Эта работа фактически положила начало активного исследования поступательно-вращательного движения твердых тел в достаточно общем виде.

На очереди стоит построение общей теории поступательно-вращательного движения тел .- так охарактеризовал состояние дела по этому вопросу Г. Н. Дубошин [33]. «Было бы уместно, — продолжает он далее, — строить новую теорию движения планет, исходя из общей теории поступательно-вращательного движения тел, рассматриваемых хотя бы как абсолютно твердые» .

Дальнейшее развитие и исследование поступательно-вращательного движения в различных задачах небесной механики осуществляли многочисленные последователи и ученики Г. Н. Дубошина и В. Т. Кондураря — (цитируются в алфавитном порядке) Баркин Ю. В., Видякин В. В., Гамарник Н. И., Демин В. Г., Журавлев С. Г., Маркеев А. П., Хорсева Л. Ю. и многие другие.

С учетом вышесказанного ясно, что задачи поступательно-вращательного движения небесных тел являются относительно «молодыми» (прошло чуть более 40 лет со времени появления основополагающих работ Г. Н. Дубошина, В. Т. Кондураря, В.В.Белецкого).

В зарубежной литературе работы по данной тематике начали появляться несколько позже. Прежде всего можно отметить работы H. Kino-shita [64], M. Pascal [66] - [67], M. Sidlichovsky [69] - [74].

He смотря на то, что основная масса исследователей занималась изучением поступательного (см. обзор [8]) и вращательного [9, 57, 58] движения, тем не менее к настоящему времени количество публикаций, посвященных исследованию поступательно-вращательного движения, значительно выросло и уже написано несколько обзоров по данной тематике [8, 13, 38, 39].

Своеобразным математическим фундаментом небесной механики является задача о поступательно-вращательном движении двух твердых тел, произвольная внешняя форма и внутреннее строение которых не меняется во все время движения. Решение неограниченной задачи двух твердых тел представляет собой известную математическую сложность, поэтому во многих работах, посвященных данной проблеме, изучаются ее частные решения.

При различного рода ограничениях на динамическое строение тел и на характер их движения отыскивались стационарные [10,11,14,15,16, 27, 30, 31, 32, 43, 44, 45, 46, 47] и периодические решения [7, 18, 28, 46] в задаче двух твердых тел. Движение же реальных небесных тел чаще всего носит условно-периодический характер. Поэтому важное значение для практического применения имеет построение именно условнопериодических решений в задаче двух (а затем и трех) абсолютно твердых тел. В настоящее время имеется ряд исследований, посвященных построению условно-периодических решений в задаче двух и трех твердых тел [34, 36, 38, 41]. Однако эти исследования содержат разного рода ограничения, такие как.

• ограничения на форму рассматриваемых тел (например, осесим-метричное);

• ограничения на массу исследуемых тел — так называемые спутниковые задачи, где пренебрегается влиянием одного из тел на движение другого;

• задание орбиты одного из тел;

• учет в разложении силовой функции лишь гармоник до второго (четвертого) порядка.

В работах, посвященных построению условно-периодических решений в качестве малого параметра, как правило, выбиралась следующая величина [34]: где Сго — стоксова постоянная планетыго — экваториальный радиус планетыр — фокальный параметр орбиты. При этом, естественно, предполагалось, что тела мало отличаются от сфер и расстояние между ними много больше их линейных размеров. Однако данное предположение остается справедливым не для всех тел Солнечной системы. Известно, что размеры тел системы Земля-Луна, системы Плутон-Харон, некоторых двойных астероидов сравнимы с расстоянием между ними. Кроме того неправильные формы астероидов указывают на то, что их стоксовы постоянные далеки от нулевых значений. Для таких систем выбор малого параметра по формуле (0.1) является малоэффективным.

0.1).

Поэтому необходимо разработать новую методику выбора малого параметра, которая бы позволила исследовать новые классы задач и получать более точные решения ранее исследованных задач.

Настоящая диссертация посвящена построению условно-периодических решений в общей задаче поступательно-вращательного движения двух абсолютно твердых тел.

Под общей задачей поступательно-вращательного движения двух твердых тел понимается задача, в которой не требуется чтобы:

• исследуемые твердые тела по своему динамическому строению были близки к сферическим (т.е. все постоянные Стокса были близки к нулю);

• расстояние между центрами инерции исследуемых твердых тел было достаточно велико по сравнению с их линейными размерами.

Основной целью диссертации является разработка методики построения стационарных и условно-периодических решений в общей задаче двух абсолютно твердых тел, а также апробация данной методики на примере конкретной системы двух твердых тел.

Научная новизна работы заключается в новом подходе к выбору малого параметра, в качестве которого выбирается величина, характеризующая отличие исследуемых твердых тел от твердых тел, центры инерции которых двигаются по кеплеровской орбите. При этом не требуется, чтобы тела были близки к сферам, и чтобы расстояние между телами было много больше их линейных размеров, как это было в работах других авторов, посвященных построению стационарных и условно-периодических решений твердых тел. Также новизна работы заключается в использовании, при построении условно-периодических решений задачи, разложения силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел в виде общего ряда, не ограничиваясь заранее числом учитываемых гармоник разложения. Это позволяет получать решения с любой необходимой точностью.

Работа представляет практическую значимость, поскольку разработанная в ней методика построения условно-периодических решений в общей задаче двух твердых тел может быть применима для решения нового круга задач, связанных с исследованием поступательно-вращательного движения двойных объектов Солнечной системы (Плу-тон-Харон, Сатурн-Атлас, Сатурн-Телесто, двойные астероиды).

В диссертационной работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту.

1. Разложение силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел произвольной формы в ряд по стоксовым постоянным одного из тел и моментам инерции другого тела.

2. Условия существования кеплеровских движений в случае Дубоши-на.

3. Новый подход к выбору малого параметра.

4. Формулы условно-периодических решений общей задачи о поступательно-вращательном движении двух твердых тел.

5. Методика численного интегрирования точных уравнений поступательно-вращательного движения двух твердых тел.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и двух приложений.

Заключение

.

Основным результатом диссертации является разработка методики построения стационарных и условно-периодических решений в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух абсолютно твердых тел, а также апробация данной методики на примере конкретной системы двух твердых тел.

При разработке этой методики получены следующие результаты:

1. Получено разложение силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел произвольной формы в ряд по стоксовым постоянным одного из тел и моментам инерции другого тела.

2. Найдены условия существования кеплеровских движений в случае Дубошина.

3. Разработан новый подход к выбору малого параметра, позволяющий решать новый класс задач поступательно-вращательного движения двух твердых тел. В качестве малого параметра выбирается величина, характеризующая отличие исследуемых тел от твердых тел, центры инерции которых двигаются по кеплеровской орбите. При этом не требуется, чтобы тела по своему динамическому строению были близки к сферическим, и расстояние между ними было много больше линейных размеров тел.

4. В окрестности найденных стационарных решений построены условно-периодические решения в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел. При построении указанных решений использовалось представление силовой функции взаимного притяжения двух твердых тел в виде общего ряда (заранее не вводилось ограничение на число используемых гармоник разложения).

5. Осуществлено численное интегрирование точных уравнений поступательно-вращательного движения двух твердых тел и проведено сравнение найденных аналитически условно-периодических решений с результатами численного интегрирования. Практически полное совпадение аналитических кривых и кривых численного интегрирования указывает на эффективность использования метода построения условно-периодических решений в общей задаче о поступательно-вращательном движении двух твердых тел.

Разработанная методика построения условно-периодических решений в общей задаче двух абсолютно твердых тел представляет известную практическую значимость, поскольку может быть применима для решения круга задач, связанных с исследованием поступательно-вращательного движения двойных объектов Солнечной системы (Плутон-Харон, Сатурн-Атлас, Сатурн-Телесто, двойные астероиды).

В заключение выражаю искреннюю признательность профессору В. В. Видякину за научное руководство работой, за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе.