О разрушении решений нелинейных сингулярных уравнений в частных производных

Настоящая диссертация посвящена проблеме существования и отсутствия положительных решений нелинейных дифференциальных задач различных типов.

Типичную проблему из этого класса можно сформулировать так. «Пусть, А — дифференциальный оператор в частных производных, а /: О х Н+ —> И+ сП С — заданная функция. Каковы достаточные условия для отсутствия положительных решений задачи.

А (и)>/(х, и) в О, (1.0.1) где и? Б, а 5 — соответствующий функциональный класс, зависящий от А, / и О?" .

Проблемы такого рода представляют не только теоретический, но и практический интерес, так как возникают во многих областях физики и техники (прогноз техногенных катастроф, теория горения, эволюции звезд, рассеяния электромагнитного излучения, нелинейной диффузии и т. д.) Обзор некоторых приложений можно найти в [22]—[24], [105], [106] (см. также библиографию там).

В случае, когда, А — обычный оператор Лапласа в эти исследования восходят к классическим результатам Коши и Лиувилля об отсутствии нетривиальных целых ограниченных функций (см. исторический обзор и ряд важных оригинальных результатов в [101]). Позднее необходимые условия существования решений уравнений и неравенств различных типов в частных производных, в том числе квазилинейных и высшего порядка, рассматривались во многих работах. В частности, для О, = некоторые нелинейные версии этой проблемы исследовались многими авторами в связи с соответствующими задачами Дирихле в ограниченных областях (см. [30] и ссылки там). Большая часть результатов в этом направлении относится к классу радиальных функций или решений, убывающих на бесконечности с определенной скоростью (см. [89], [92]). Однако метод, разработанный Б. Гидасом и Дж. Спруком для уравнения Лане-Эмдена с оператором Лапласа [76], свободен от этих ограничений. Их центральный результат можно сформулировать так:

Теорема 1.1. (С1с1а5, Эргиск, 1981.) Пусть N > 3. Тогда задача.

— Аи = и" в.

1.0.2) и > 0 вЕ^ не имеет решений и 6 С2(ИАГ) при 1 < д < дс := Простой контрпример и{х) = к{ 1 + И2)2^ (1.0.3) с подходящей константой нормировки к > 0 показывает, что при д > дс решения этой задачи существуют. Величину (¡-с называют критическим показателем нелинейности.

Аналогичные показатели для других классов нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств были найдены X. Фуджитой [58], [59] (нелинейное уравнение теплопроводностисм. также классическую монографию [14]), Т. Като [81] (нелинейное волновое уравнение), Ф. Джоном [79] (нелинейное волновое уравнение с начальными данными, имеющими компактный носитель), Б. Гидасом, В.-М. Ни и Л. Ниренбергом [75] (эллиптические уравнения), И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурией [12] (обыкновенные дифференциальные уравнения), Дж. Серрином и его соавторами [92], [101] (эллиптические неравенства), X. Брезисом и соавторами [31], [35] (эллиптические и параболические задачи, включая сингулярные), М. Эскобедо и М. Эрреро [56], а также В. А. Галактионовым и X. Левином [66] (параболические системы), А. Гарсиа, И. Пералем и Ж. Пюэлем [69], [70] (сингулярные параболические задачи) и другими математиками (см., в частности, [29], [88], [89], а также обзоры [50] и [85] и библиографию там). Проблемы режимов с обострением (отсутствия глобальных решений в некоторых классах гладкости), возникающие во многих приложениях, рассматривались в отечественной монографии [24]. Задачи с градиентной нелинейностью исследовались в [38], [96], [97] и в других работах (см. обзор [104]). В последнее время важные результаты об условиях существования и отсутствия глобальной разрешимости эллиптических уравнений были получены В. А. Кондратьевым, В. Лискевичем и их соавторами [83], [84]. Ряд физических и технических приложений, в которых возникают проблемы критических показателей, можно найти в [105]—[107].

Методы перечисленных авторов основывались на применении принципа сравнения и техники автомодельных решении. В силу этого их основные результаты относились к операторам, для которых справедливы различные версии принципа максимума. Ясно, что такие методы неприменимы для определения критического показателя нелинейности эллиптических дифференциальных неравенств высокого порядка.

А)ки > и4 (гггеН^) или общих гиперболических задач второго порядка с переменными коэффициентами ау.

—? > и? ((х, 1) е НЛГ х И+),.

К и{х, 0)=щ{х) (жем^), к щ (х, 0) = щ{х) (хеш*).

Эффективный подход, позволивший решить эти проблемы, был предложен С. И. Похожаевым в [21] и развит в других работах того же автора, в том числе совместных с Л. Вероном, В. А. Галактионовым, Ю. В. Егоровым, В. А. Кондратьевым, Э. Митидиери, А. Тезеи: [1], [15]—[18], [22] - [23], [55], [67], [68], [93]—[95], [109] и особенно в монографии [19]. Этими авторами был разработан метод «нелинейной емкости», позволяющий получать точные результаты об отсутствии решений без предположений об их возможном поведении, а также априорные оценки для широкого класса квазилинейных неравенств. Метод основан на специальном выборе пробных функций в слабой формулировке задачи. Этот выбор зависит не только от структуры рассматриваемого оператора и нелинейности, но и от функционального класса, в котором ищется решение.

Точнее, в качестве типичного семейства пробных функций для квазилинейного стационарного дифференциального неравенства можно выбрать х{х) — <�рц (х)и7(х), где и — предполагаемое решение задачи, срл — стандартная сглаженная характеристическая функция некоторого множества, диаметр которого определяется параметром И > 0, и 7 < 0 (для коэрцитивных задач знак обратный). Если главная часть дифференциального неравенства линейна, допустйм выбор 7 = 0. Преобразования интегрального неравенства, вытекающего из слабой формулировки задачи с указанным выбором пробных функций, приводят к априорным оценкам решения, зависящим от Я. Устремляя этот параметр к бесконечности (в случае неограниченных областей) или к нулю (в ограниченных), можно прийти к противоречию с предполагаемыми свойствами решения при определенных значениях параметров задачи. В эволюционных задачах пробные функции зависят также от временной переменной, но общая структура рассуждений аналогична. Ниже метод будет изложен подробнее.

Этот подход имеет следующие преимущества.

1. Простота. Как только выбор пробных функций сделан, все вычисления достаточно просты и очевидны. Фактически исследование задачи сводится к анализу соответствующих алгебраических неравенств.

2. Общность. В большинстве случаев этот подход не требует использования принципов максимума или сравнения для рассматриваемых операторов, что позволяет применять его к нелинейным гиперболическим неравенствам, неравенствам высокого порядка по времени и другим задачам, к которым неприменимы стандартные методы.

3. Точность. Многочисленные контрпримеры показывают, что условия на параметры, гарантирующие отсутствие нетривиальных решений, обычно неулучшаемы в рассматриваемых функциональных классах (хотя они могут меняться в зависимости от класса).

Сформулируем один из этих результатов для оператора р-Лапласа.

Ари := сНу (Оир-2Пи), совпадающего с обычным лапласианом при р = 2. (Это частный случай теоремы 12.2 из [19].).

Теорема 1.2. (Митидиери, Похожаев, 1999.) Пусть N > р > 1. Тогда задача.

Р ~ 1 (1.0.4) и > 0, и ф 0 не имеет решений и 6 И^'^Ш,^) при р — 1 < q < ^ ^ ^——.

В частности, для случая р = 2 отсюда получаем интервал отсутствия решений 1 < д < т. е. для неравенства он уже, чем для уравнения (см. теорему 1.1). Тем не менее, контрпримеры наподобие (1.0.3) показывают, что этот результат точен.

Так как метод не требует применения принципа сравнения, имеет смысл исследовать с его помощью и дифференциальные операторы высокого порядка. Так, в [15] (теорема 5.2) было показано, что неравенство.

А)ки > х~аи9 в (1−0-5) с к > 1 и, а < 2к не имеет слабых положительных решений в точности Nа при 1 < д < ———. Дальнейшие ссылки можно найти в монографии [19] и обзорной статье [67]. В последние годы С. И. Похожаевым с помощью метода нелинейной емкости был получен ряд принципиально новых результатов для многих задач, имеющих большое прикладное значение, в частности, для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений ([20], совместно с.

Э. Митидиери), уравнения Курамото-Сивашинского в многомерном случае [22], уравнения Гамильтона-Якоби [23] и т. д.

Случай ограниченных областей Q, исследован намного меньше. Насколько нам известно, большая часть результатов в этой области относится либо к радиальным решениям (см. [33], [34] и ссылки там), либо к краевым задачам для эллиптических уравнений с регулярной нелинейностью (типа a (x)uq, где a G L°°(f2)). Тем не менее, есть и отдельные работы по сингулярным дифференциальным уравнениям и неравенствам в ограниченных областях. Один из самых известных результатов в этом направлении — точная теорема об отсутствии решений для оператора Лапласа в ограниченных областях с сингулярным коэффициентом / в нуле, принадлежащий X. Брезису и X. Кабре ([35], теорема 2.1).

Теорема 1.3. (Brezis, Cabre, 1998.) Задача не имеет нетривиальных неотрицательных решений и Е 1^(0) в смысле распределений.

Методы работы [35] основывались на подходящем преобразовании переменных и применении принципов сравнения, не имеющих места для задач высокого порядка. Поэтому потребовался метод нелинейной емкости, чтобы установить необходимое условие существования положительных решений задачи и некоторых ее дальнейших обобщений в ограниченной области Г2 (при д > 1 это условие имеет вид, а < 2к и оказывается также достаточным, по крайней.

А и > х~2и2 в Q.

1.0.6).

— А) ки > x-aui в Q.

1.0.7) мере для шарообразной области О) в случае к = 1 или 2 (см. [19], раздел 7 и ссылки там, а также [13]).

Отметим, что процитированные примеры показывают, что в рассматриваемом случае определяющее значение приобретает критический показатель сингулярности, не зависящий от размерности пространства. Мы установим, что это же явление имеет место для / с сингулярностями в окрестности множеств большей размерности.

Возможный способ обобщения результатов об отсутствии решений на квазилинейные эллиптические неравенства вида.

— Ари > х~аи11 в П.

1.0.8) и их системы.

— Ари > х~аиауъ в П, —Аду > х~рисуа в О, и, у > 0 в О.

1.0.9) с р, д > 1 и соответствующими условиями на а, Ь, с,<1,а и (3 представляет собой обобщение метода Брезиса и Кабре. Однако этот подход требует однородности операторов, а также применимости принципов сравнения, что может не иметь места, например, для задач с оператором средней кривизны сИу (, Ви) и его более общим аналогом сИу (Пи).

Это мотивирует использование техники нелинейной емкости, как в [33], где отсутствие положительных решений таких задач, как (1.0.8), (1.0.9) и их неоднородные обобщения, было доказано при предположении, а > р или соответственно max{7, ?} > 0, где p-a){q-l-d) + {q-?3)b.

7 = ?

Ч ~ Р){Р — 1 -a) + {p-cx)c.

Ъс — {р — 1 — a) {q — 1 — d) s Ъс — (р — 1 — a){q — 1 — d) Интересная версия (1.0.1) возникает в связи с проблемой существования положительных слабых (или классических) решений квазилинейных эллиптических уравнений с граничными условиями Дирихле, т. е.

— Ари — А|ир~2и = K (x)uip-a (x) (х е fi), < и{х) >0 {хе П), (1.0.10) k и (х) = 0 {хе дй) с р{х) := dist (a-, 0O).

При, а < 0 эта задача принадлежит к классу, подробно изученному, в частности, с помощью вариационного метода расслоения в [53]. Случай, а > 0 представляет дополнительные трудности, так как эта гипотеза означает, что коэффициент нелинейности сингулярен на границе. Тем не менее в случае полулинейного оператора (р = 2) с, А = 0 в шаровой области Q — В = Bi (0) — {х 6 IR^: |.т| < 1}, в котором все положительные решения при радиальном К сами радиально симметричны, эта задача также рассматривалась рядом авторов, применявших методы ОДУ и вариационного исчисления [100], [78], [77]. При их предположениях задача (1.0.10) принимает вид.

— Аи =, v / |Ч (х е В), (1 — х)° 4 ' и (х) >о {хе В), и{х) = 0 (х е дВ).

В частности, статья [78] содержит следующие результаты.

1.0.11).

Теорема 1.4. (Hashimoto, Otani, 1999.) Пусть функция К е Ь°°{В) радиально симметрична (зависит только от х). Пусть 0 < а < q + 3 и.

N + 2.

1 < q < ——-. Тогда задача (1.0.11) имеет по крайней мере одно (радиаль-1 "? по симметричное) положительное решение и? С2(В) П С1{В).

6 + 3.

Теорема 1.5. (Hashimoto, Otani, 1999.) Пусть К = 1, а > —-— и N + 2.

1 < (3 < ——-. Тогда задача (1.0.11) не имеет нетривиальных региений и G С2(В) П С1{В).

В [77] те же авторы утверждают, что ими был получен результат об отсутствии решений в промежуточном случае ^^ < а < q + 1 (с субкритическим q), хотя подробное доказательство этого результата нам неизвестно. Критерий разрешимости для особенно сложного «дважды критического» случая (о- = q + 1 = р) в терминах спектрального параметра Л и наилучшей константы в соответствующем неравенстве Харди был получен в [87]. С другой стороны, А. В. Демьянову и А. И. Назарову [48] принадлежат результаты о достаточных условиях существования решении эллиптических задач с сингулярностью на границе области. Однородные задачи такого типа рассматривались также И. Комбом (см., например, [82]), а обыкновенные дифференциальные уравнения с точечными сингулярностями — Дж. Хеем [25], [26].

В отличие от перечисленных работ, мы предлагаем общий подход, позволяющий получать необходимые и достаточные условия существования решений эллиптических неравенств и систем с сингулярными нелинейностями различных типов (на внутренних множествах различной размерности, в отдельных граничных точках или на всей границе) на основе метода нелинейной емкости.

Актуальной является также проблема нахождения критического показателя для квазилинеиных эллиптических задач в полупространстве, таких какАи = и* (х = (х', хАЛ е = Ш^-1 х Н+),.

V V + (1.0.12).

0,0 = 0 (х'ешм~1), представляющая большую сложность по сравнению со случаем всего пространства вследствие нарушения симметрии по переменной: гдтТеорема отсутствия решений для задачи (1.0.12) при 1 < q < q* = ^ ^ была доказана Э. Дансером [48] в 1995 г. как следствие результата о монотонности решений более общей задачиАи = /(и) (х Е Н^),.

1.0.13) и (0,а/)=0 (^К¹), с гладкой неотрицательной монотонной функцией /. Для этого использовался метод движущихся плоскостей, опирающийся на принцип сравнения решений и их отражений относительно плоскости в областях малого диаметра по переменной х^. При других условиях на данные задачи (в частности, при N = 2) аналогичные результаты были получены также А. Берестики, Л. Каффарелли и Л. Ниренбергом [30], [32].

Для квазилинейных операторов, таких как Ари := сНу (|.Ог/-|р21>и) с р >

1, критический показатель в Ш/^, равный q* = ^ ^—1, был найден Серрином и Зоу в [101]. Что касается квазилинейных задач в полупространстве, то применение к ним метода движущихся плоскостей требует обобщения классических принципов сравнения на рассматриваемый класс операторов. В ограниченных областях эта техника была разработана Л. Дамашелли [40] и развита им же в соавторстве с Ф. Пачеллой, Б. Шьюнци и другими (см. [42]- [46], а также [99] и ссылки там). Важные обобщения сильного принципа сравнения на квазилинейные операторы были предложены также X. Васкесом [109], М. Куэстой и П. Такачем [39]. В неограниченных областях различные версии принципа сравнения были получены Л. Д’Амброзио, Э. Ми-тидиери и С. И. Похожаевым [47], а также автором настоящей диссертации [5]. Следует отметить также теоремы монотонности и отсутствия решений для систем, доказанные, в частности, в [27], [28] и [44], а также результаты А. Фарины и других авторов о критическом показателе д > ц* для решений, удовлетворяющих дополнительным условиям устойчивости (включая решения с конечным индексом Морса) в неограниченных областях [41], [57].

Достаточные условия отсутствия глобальных решений для квазилинейных эллиптических неравенств в полупространстве удается получить с помощью техники масштабирования [86] или метода нелинейной емкости [33]. Мы также применим этот метод в сочетании с техникой Л. Дамашелли и Б. Шьюнци для доказательства слабого принципа сравнения для квазилинейных операторов в неограниченных цилиндрических областях, обеспечивающего применимость техники движущихся плоскостей к доказательству результатов о монотонности решений квазилинейного уравнения в полупространстве, из которых, в свою очередь, вытекают утверждения теорем типа Лиувилля.

С другой стороны, многие авторы уделяют большое внимание проблеме глобального существования или разрушения положительных решений нестационарных уравнений и неравенств в частных производных вида.

-^г — сНу (А (:е, и, Ви) Ви) > д{х)ич вПхК+ (1.0.14) с 2 € 14 и систем таких неравенств, например, / щ — с11у (А (ж, и, Пи) Ви) > ?{х)уд1 в О х < (1.0.15) 'щ — V, Оу) Ву) > д (х)иР2 в П х Ненаблюдаемый сейчас широкий интерес к разрушению решений таких неравенств восходит, в частности, к классическим результатам X. Фуджи-ты [58] о параболических задачах. За последние десятилетия благодаря как внутреннему развитию теории УЧП, так и многочисленным вновь обнаруженным приложениям к физике и биологии количество работ в этой области резко выросло, так что здесь невозможно перечислить даже основные достижения. Ряд важных ссылок можно найти в обзорах [50] и [85]. О связи разрушения решений с внешне противоположными, но фактически глубоко родственными явлениями, такими как их угасание (обращение в ноль) и возникновение «мертвых зон», можно прочесть в [80]. При этом нельзя не упомянуть еще раз результаты X. Брезиса и X. Кабре [35], получивших достаточные условия полного и мгновенного разрушения решений нелинейного уравнения теплопроводности в ограниченных областях с коэффициентом /, имеющим квадратичную сингулярность в начале координат: щ — Аи > х" V в П х (1.0.16).

Ими было показано, что эта проблема не имеет неотрицательных нетривиальных решений со сколь угодно малым временем жизни даже в очень слабом смысле при д > 1 п что соответствующий критический показатель, в отличие от случая регулярных нелинейностей при = 1КДГ, изученного Фуджитой и другими, не зависит от размерности пространства.

Позднее техника нелинейной емкости позволила обобщить эти результаты на другие нестационарные задачи (см. [33], [60] и особенно [19]). Приведем здесь такой результат для оператора р-Лапласа, хотя фактически эта техника применима к гораздо более общим операторам. Так, в [19] (теорема 47.1) было показано, что параболическое неравенство щ — Ари > х-агР в И7У (1.0.17) с 1 < р < N и неотрицательными начальными данными не имеет слабых положительных решений при тах{1,р — 1} < Ц < р — 1 +^, глобальных по времени (т.е. время жизни каждого решения конечно, если оно вообще существует локально). Аналогичные результаты были получены в [19] и для полулинейных операторов высокого порядка (теоремы 30.1−31.1) и для систем вида (1.0.15) (теоремы 38.1, 40.1). В [13] были доказаны теоремы об отсутствии решений для неравенств и^ + {-А)ки > х~аид в П х (1.0.18) с ограниченным О, и произвольным ] € ЕЧ, к — 1,2 (как обычно, а > 2к и д > 1). Было также показано, что в этом случае любое неотрицательное нетривиальное решение (1.0.18) с^ = 1ид-2 разрушается (перестает существовать) мгновенно и полностью. Мы рассматриваем случай более общих операторов и сингулярностей.

Особый интерес представляет проблема разрушения решений задачи Ко-ши для полулинейного волнового уравнения с неотрицательными начальными данными, имеющими компактный носитель: ии — Аи + У{х)и = £)МР вЕяхЕ+,.

1.0.19) ж, 0) = щ (х), щ (х, 0) = и (х) в ГО,, где.

W (x, t) > C{ 1 + |rc|)Q (l + tf (x G JRn) (1.0.20) с некоторыми С > 0 и a,/i G IR, а также для систем таких уравнений. Подобные задачи возникают в теории нелинейного рассеяния [106].

Чтобы сформулировать достаточные условия разрушения решений задачи (1.0.19) с произвольными начальными данными из рассматриваемого класса за конечное время, требуется ввести критический показатель pc{N, а, /3) задачи (1.0.19) как положительный корень квадратного уравнения.

N — 1) р2 — (iV + 1 + 2а + 2?3)p -2 = 0. (1.0.21).

В соответствии с так называемой гипотезой Штраусса [106] при, а — (3 = 0, ^Е0и1<�р<�рс все решения задачи (1.0.19) с неотрицательными начальными данными, имеющими компактный носитель, разрушаются за конечное время. С другой стороны, при р > рс и V = 0 для достаточно малых регулярных данных существуют глобальные решения.

Фактически результаты о разрушении решений при 1 < р < рс и об их существовании при р > рс (далее мы имеем в виду, что 7Е0иа = /? = 0, если не указано иное) были установлены Ф. Джоном [79] для N — 3 и Р. Т. Глэсси [73], [74] в случае N = 2. В [71] В. Георгиев, X. Линдблад и С.Д. Corre доказали существование глобальных решений для малых начальных данных при р > Pc (N) и N > 4. Соответствующие результаты о разрушении решений для 1 < р < pc (N) и N > 4 были получены Т. Сидерисом [103]. Критический случай с нулевым потенциалом рассмотрели Дж. Шеф-фер [98] при JV = 2,3 и Б. Йорданов и К. И. Чжан [110] при N > 4. В работе [111] те же авторы установили также результаты о разрушении решений для N > 3, 1 < р < Pc (N) и потенциалов V, удовлетворяющих естественным условиям убывания (см. (5.1.5) ниже). Мы обобщаем их результат на критический случай р = рс (№) с У ф 0 и, а Ф 0.

Для системы полулинейных волновых уравнений с начальными данными, имеющими компактный носитель: д2и. тЛГ ы2 дг2.

Аи + Уг{х)и = ?1(х, г) ур {{х, Ь) еЕлх (0, Г)),.

Ау + У2(х)у = уу2(х, г) ия ((ж, г) ек^х (о, т)).

1.0.22) и{х, 0) = Мх), ^(х, 0)=д1(х) (хешм), ь (х, 0) =/2(х), ~(х, 0)=д2(х) (хеШм). где а (1 + + ((я,*) еЕ^х (0,Т) — г = 1,2) (1.0.23) с некоторыми С, > 0 и е Е, а V- - неотрицательные потенциалы, удовлетворяющие естественным условиям убывания, важные теоремы об отсутствии глобальных решений были получены В. Георгиевым, Д. Дель Санто и Э. Митидиери [10], [49] в терминах параметров (р, д) при фиксированных значениях размерности N и = 1,2). Именно, при «- = Д = 0 и.

У{(х) = 0 (г = 1,2) ими было показано, что разрушение решений со сколь угодно малыми начальными данными происходит, если р, д > 1 и при этом точка (р, д) лежит ниже так называемой критической гиперболы тах.

I Р9−1 Р9−1 / 2 ^ ' включая саму гиперболу в случае N = 3), а при (р, д), лежащих выше этой гиперболы, для достаточно малых регулярных данных существуют глобальные решения. Вопрос о существовании решений для (р, д), удовлетворяющих (1.0.24) при N > 3, в [10], [49] был оставлен открытым. Отметим, что при Р — Я условие (1.0.24) переходит в (1.0.21). Мы получаем аналогичные результаты для более широкого класса а^Д? к которому техника [10], [49] напрямую неприменима.

Диссертация имеет следующую структуру.

В главе 2 рассматриваются стационарные неравенства и системы в ограниченных областях с сингулярными нелинейностями, которые могут возникать как внутри области, так и на ее границе. Типичными примерами таких задач являются, в частности, полулинейные эллиптические неравенства высокого порядка, а также задачи с нелинейной главной частью оператора, такой как р-лапласиан или обобщенный оператор средней кривизны.

Глава 3 посвящена применению метода нелинейной емкости и некоторых других к проблеме отсутствия ограниченных положительных решений квазилинейного эллиптического уравнения (1.0.13) в полупространстве.

В главе 4 методы главы 2 обобщаются на параболические и некоторые другие эволюционные неравенства с сингулярностями тех же типов как в нелинейной части оператора, так и в начальных функциях. Получены необходимые условия на соотношения между порядками роста этих сингулярно-стей, обеспечивающие мгновенное разрушение решений таких неравенств.

Проблема отсутствия глобальных решений для нелинейных гиперболических уравнений с компактным носителем начальных данных, критическим показателем нелинейности и ненулевым потенциалом рассмотрена в главе 5.

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в Москве в 2002, 2005 и 2008, памяти И. Г. Петровского в Москве в 2001 и 2007, в честь 75-летия профессора Дж. Серрина в Перудже (Италия) в 2002, по нелинейному анализу в Хассельте (Бельгия) в 2003, в честь 70-летия профессора Г. Аманна в Цюрихе (Швейцария) в 2004, по разрушению решений в Эскориале (Испания) в 2006, по теории функциональных пространств во Фрайбурге (Германия) в 2008, на семинарах В. А. Кондратьева и С. И. Похожаева (МИАН, Москва), Л. Д. Кудрявцева и С. М. Никольского (МИАН, Москва), В. А. Садовничего и А. И. Прилепко (МГУ, Москва), В. Бальзера (Ульмский университет, Германия), К. Бандль (Базельский университет, Швейцария), Х.-О. Вальтера (Гиссенский университет, Германия), П. Такача (Ростокский университет, Германия).

Автор благодарит научного консультанта члена-корреспондента РАН С. И. Похожаева за постоянное внимание к работе, а также Л. Верона (Турский университет им. Франсуа Рабле, Франция) и Э. Митидиери (Триестский университет, Италия) за постановку ряда задач.

Глава 2.

Нелинейные сингулярные стационарные задачи.

1. Галактионов В. А., Похоэюаев С. И. Уравнения нелинейной дисперсии третьего порядка: ударные волны, волны разрежения и разрушения // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2008. — Т. 48. — С. 1819−1846.

2. Галахов Е. И. Положительные решения некоторых полулинейных дифференциальных неравенств и систем // Дифф. уравнения. 2004. -Т. 40. — С. 662−672.

3. Галахов Е. И. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения // Дифф. уравнения. 2005. — Т. 41. — С. 661−669.

4. Галахов Е. И. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения // Матем. заметки. 2005. — Т. 78. — С. 202−211.

5. Галахов Е. И. О дифференциальных неравенствах с точечной особенностью на границе // Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2008. — Т. 260. — С. 119−129.

6. Галахов Е. И. Разрушение решений некоторых волновых уравнений // Дифф. уравнения. 2009. — Т. 45. — С. 59−68.

7. Галахов Е. И. Об эллиптических и параболических неравенствах с точечными особенностями на границе // Мат. сб. 2009. — Т. 200. — С. 326.

8. Галахов Е. И. Об отсутствии локальных решений некоторых эволюционных задач // Принято к печати в Мат. зам.

9. Галахов Е. И. О мгновенном разрушении решений некоторых эволюционных задач // Принято к печати в Дифф. ур.

10. Делъ Санто Д., Mumuduepu Э. Разрушение решений гиперболической системы: критический случай // Дифф. уравнения. 1998. — Т. 34. -N9. — С. 1157−1163.

11. Демьянов A.B., Назаров А. И. О разрешимости задачи Дирихле для полулинейного уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2006. — Т. 336. — С. 25−45.

12. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.

13. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств // Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2001. — Т. 232. — С. 1−13.

14. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных граничных задач. М.: Мир, 1970.

15. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств // Докл. Акад. наук. 1998. — Т. 57. — С. 250−253.

16. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие положительных решений для систем квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в КЛГ // Докл. РАН. 1999. — Т. 59. — С. 351−355.

17. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие положительных решений для квазилинеиных эллиптических задач в // Труды МИ АН им. В. А. Стеклова. 1999. — Т. 227.

18. Митидиери Э., Похожаев С. И. Теоремы типа Фуджиты для квазилинейных параболических неравенств с градиентными нелинейностями // Докл. РАН. 2002. — Т. 386. — С. 160−164.

19. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных, М.: Наука, 2001 (Труды МИАН им. В. А. Стеклова. Т. 234).

20. Митидиери Э., Похожаев С. И. Теоремы Лиувилля для некоторых классов нелинейных нелокальных задач// Труды МИАН им. В. А. Стеклова. 2005. — Т. 248. — С. 158−178.

21. Похожаев С. И. Существенно нелинейные емкости, порожденные дифференциальными операторами // Докл. РАН. 1997. — Т. 357. — С. 592 594.

22. Похожаев С. И. О разрушении решений уравнения Курамото-Сивашинского // Мат. сб. 2008. — Т. 199. — С. 97−106.

23. Похожаев С. И. Об отсутствии глобальных решений уравнения Гамильтона-Якоби// Дифф. уравн. 2008. — Т. 44. — С. 1405−1415.

24. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

25. Хей Дж. О необходимых условиях существования локальных решений сингулярных обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств высокого порядка // ДАН. 2003. — Т. 388, № 5. -С. 599−604.

26. Хей Дж. О необходимых условиях существования локальных решений сингулярных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств // Мат. заметки. 2002. — Т. 72, № 6. — С. 924−935.

27. Azizieh С. Symmetry and monotonicity results for positive solutions of p-Laplace systems // arXiv: math/10 8049vl fmath.APj.

28. Azizieh C., Clement Ph. A priori estimates and continuation methods for positive solutions of p-Laplace equations //J. Diff. Eq. 2002. — Vol.179. — P.213−245.

29. Bandle C., Levine H., Zhang Q. Critical exponents of Fujita type for inhomogeneous parabolic equations and systems// JMAA. 2000. -Vol. 251. — № 2. — P. 624−648.

30. Berestycki H., Caffarelli L.: Nirenberg L. Further qualitative properties for elliptic equations in unbounded domains // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, CI. Sci. Ser. 4. 1997. — Vol. 25. — P. 69−94.

31. Berestycki H., Capuzzo Dolcetta I., Nirenberg L. Superlinear indefinite elliptic problems and nonlinear Liouville theorems // Topol. Meth. in Nonl. Anal. 1995. — Vol. 4. — P. 59−78.

32. Berestycki H., Nirenberg L. On the method of moving planes and the sliding method, // Bol. Soc. Brasil. Mat. (N. S.) 1991. — Vol. 22. — P. 1−37.

33. Bidaut-Veron M. F., Pohozaev S. Nonexistence results and estimates for some nonlinear elliptic problems // Journ. Anal. Math. 2001. — Vol. 84. — P. 1−49.

34. Birindelli I., Mitidieri E. Liouville theorems for elliptic inequalities and applications // Proc. Royal Soc. Ed. 1998. — Vol. 128A. — P. 1217−1247.

35. Brezis H., Cabre X. Some simple nonlinear PDE’s without solutions // Boll. Unione Mat. Italiana, Sez. B, Artie. Ric. Mat. 1998. — Vol. 78/1. -№ 2. — P. 223−262.

36. Brezis H. et al. Blow up for ut — Au = g{u) revisited // Adv. Diff. Eq. -1996. Vol. 1. — № 1. — P. 73−90.

37. Caristi G., Mitidieri E. Existence and nonexistence of global solutions of higher-order parabolic problems with slow decay initial data // JMAA. -2003. Vol. 279. — P. 710−722.

38. Chipot M., Weissler F.B. Some blow up results for a nonlinear parabolic problem with a gradient nonlinearity // SIAM J. Math. Anal. 1989. -Vol. 20. — P. 886−907.

39. Cuesta M., Takac P. A strong comparison principle for positive solutions of degenerate integral equations // Diff. Int. Eq. 2000. — Vol. 13. — P. 721 746.

40. Damascelli L. Comparison theorems for some quasilinear degenerate elliptic operators and applications to symmetry and monotonicity results // Ann. Inst. H. Poincare. 1998. — Vol. 15. — P. 493−516.

41. Damascelli L. et al. Liouville results for? n-Laplace equation of Lane-Emden-Fowler type // Ann. Inst. H. Poincare. 2009. — Vol. 26. — P. logging.

42. Damascelli L., Pacella F. Monotonicity and symmetry of solutions of p-Laplace equations, 1 < p < 2, via the moving plane method // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa CI. Sci. Ser. 4. 1998. — Vol. 26. — P. 689−707.

43. Damascelli L., Sciunzi B. Regularity, monotonicity and symmetry of positive solutions of m-Laplace equations //J. Diff. Eq. 2004. — Vol. 206. — P. 483−515.

44. Damascelli L., Sciunzi B. Qualitative properties of solutions of m-Laplace systems // Advanced Nonlinear Studies. 2005. — Vol. 5. — P. 197−221.

45. Damascelli L., Sciunzi B. Harnack inequalities, maximum and comparison principles, and regularity of positive solutions of m-Laplace equations // Calc. Var. 2006. — Vol. 25. — P. 139−159.

46. Damascelli L., Sciunzi B. Monotonicity of the solutions of some quasilinear elliptic equations in the half-plane, and applications // 2009. To appear in J. Diff. Eq.

47. DAmbrosio L., Mitidiem E. Pohozaev S. Representation formulae and inequalities for solutions of a class of second order partial differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. — Vol. 358. — P. 893−910.

48. Dancer E. N. Some notes on the method of moving planes // Bull. Austral. Math. Soc. 1992. — Vol. 46. — P. 425−434.

49. Ding K., Levine H. The role of critical exponents in blow up theorems: the sequel // J. Math. Anal. Appl. 2000. — Vol. 243. — P. 85−126.

50. Dolbealt J., Felmer P., Monneau R. Symmetry and non-uniformly elliptic operators // Diff. Int. Eq. 2005. — Vol. 18. — P. 141−154.

51. Dong W. Symmetry for boundary blow up solutions of elliptic equations in a half-space // Nonl. Anal. 2004. — Vol. 58. — P. 159−173.

52. Drabek P., Pohozaev S. Positive solutions for the p-Laplacian: application of the fibering method // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1997. — Vol. 127A.- P. 703−726.

53. Du Y., Guo Z. Symmetry for elliptic equations in a half-space without strong maximum principle // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 2004. -Vol. 134A. — P. 259−269.

54. Egorov Yu., Galaktionov V., Kondratiev V., Pohozaev S. On the necessary-conditions of global existence to a quasilinear inequality in the half-space // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2000. — Vol. 330. — P. 93−98.

55. Escobedo M., Herrero M. Boundedness and blow up for a semilinear reaction-diffusion system// J. Diff. Eqns. 1991. -Vol. 89. -P. 176—202.

56. Farina A., SciunziB., Valdmoci E. Bernstein and De Giorgi type problems: new results via a geometric approach// Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa CI. Sci.- 2008. Vol. 7. — P. 741−791.

57. Fujita H. On some nonexistence and nonuniqueness theorems for nonlinear parabolic equations// Proc. Sympos. Pure Math. 1968. — Vol. 18/1. -P. 138−161.

58. Fujita H. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ut — Au + u1+a// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1966. — Vol. 13. — P. 109 123.

59. Galakhov E. Some nonexistence results for quasilinear elliptic problems// J. Math. Anal. Appl. 2000. — Vol. 252. — P. 256−277.

60. Galakhov E. On some elliptic and evolution equations with singularities at the boundary // Diff. Int. Eq. 2002. — Vol. 13. — P. 1137−1154.

61. Galakhov E. Some boundary value and mixed problems for quasilinear partial differential equations// Atti Sem. Univ. Modena. 2003. — Vol. 51. P. 295−313.

62. Galakhov E. Positive solutions of some quasilinear partial differential inequalities and systems// Math. Nachr. 2006. — Vol. 279. — P. 831−842.

63. Galakhov E. Some nonexistence results for quasilinear PDEs// Comm. Pure Appl. Anal. 2007. — Vol. 6. — P. 141−161.

64. Galakhov E. A comparison principle for quasilinear operators in unbounded domains// Nonl. Anal. 2009. — Vol. 70. — P. 4190−4194.

65. Galaktionov V., Levine H. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonl. Anal. 1998. — V. 34. — P. 1005−1027.

66. Galaktionov V., Mitidieri E., Pohozaev S. On global solutions and blow-up for Kuramoto-Sivashinsky-type models, and well-posed Burnett equations// Nonl. Anal. 2009. — Vol. 70. — P. 2930−2952- arXiv:0902.0257.

67. Galaktionov V.- Pohozaev S. Blow-up and critical exponents for nonlinear hyperbolic equations// Nonl. Anal. 2003. — Vol. 53. — P. 453−466.

68. Garcia Azorero J., Peral Alonso I. Hardy inequalities and some critical elliptic and parabolic problems// J. Diff. Eq. 1998. — Vol. 144. — P. 441 476.

69. Garcia Azorero J., Peral Alonso I., Puel J. P. Quasilinear problems with exponential growth in the reaction term// Nonl. Anal. 1994. — Vol. 22. -P. 481−498.

70. Georgiev V., Lindblad H. Sogge S.D. Weighted Strichartz estimates and global existence for semilinear wave equations// Amer. J. Math. 2007. -Vol. 119. — P. 1291−1319.

71. Georgiev V., Takamura H., Yi Z. The life span of solutions to nonlinear systems of high dimensional wave equations// Nonl. Anal. 2006. — Vol. 64. — P. 2215−2250.

72. Glassey R.T. Finite-time blow-up for solutions of nonlinear wave equations// Math. Z. 1981. — Vol. 177. — P. 323−340.

73. Glassey R.T. Existence in the large for Uu = F (u) in two space dimensions// Math. Z. 1981. — Vol. 178. — P. 233−261.

74. Gidas B., Ni W.-M., Nirenberg L. Symmetry and related properties via the maximum principle// Comm. Math. Phys. 1979. — Vol. 68. — P. 209−243.

75. Gidas B., Spruck J. Global and local behavior of positive solutions of quasilinear elliptic equations// Comm. Pure Appl. Math. 1981. — Vol. 35. — P. 525−598.

76. Hashimoto S. Elliptic equations in an exterior domain, in: Proceedings of IXth Conference on Free Boundary Problems, Gokkotosho, Tokyo, 2000.

77. Hashimoto S., Otani M. Elliptic equations with a singularity on the boundary// Diff. Int. Eq. 1999. — Vol. 12. — P. 339−349.

78. John F. Blow-up of solutions of nonlinear wave equations in three space dimensions// Manuscripta Math. 1979. — Vol. 28. — P. 235−268.

79. Kawohl B. Remarks on quenching, blow up and dead cores, in: Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States, Birkhauser, BostonBasel-Berlin, 1991.

80. Kato T. Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations// Comm. Pure Appl. Math. 1980. — Vol. 32. — P. 501−505.

81. Kombe I. Doubly nonlinear parabolic equations with singular lower order term// Nonl. Anal. 2004. — Vol. 56. — P. 185−199.

82. Kondratiev V., Liskevich V., Moroz V., Sobol Z. A critical phenomenon for sublinear elliptic equations in cone-like domains// Bull. London Math. Soc. 2005. — Vol. 37. — № 4. — P. 585−591.

83. Kondratiev V., Liskevich V., Sobol Z. Positive super-solutions to semilinear second-order non-divergence type elliptic equations in exterior domains// Trans. Arner. Math. Soc. 2009. — Vol. 361. — P. 697−713.

84. Levine H. The role of critical exponents in blow up theorems// SIAM Reviews. 1990. — Vol. 312. — P. 262−288.

85. Lorca S. Nonexistence of positive solution for quasilinear elliptic problems in the half-space// Journal of Inequalities and Applications. Vol. 2007. -Article ID 65 126. — 4 pages. — 2007. — doi:10.1155/2007/65 126.

86. Marcus M., Shafrir I. An eigenvalue problem related to Hardy’s LP inequality// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sc. 2000. — Vol. 29. -P. 581−604.

87. Mitidieri E.- Caristi G. Nonexistence of positive solutions of quasilinear equations// Adv. Diff. Eq. 1997. — Vol. 2. — P. 319−359.

88. Mitidieri E., Sweers G., van den Vorst R. Nonexistence theorems for systems of quasilinear partial differential equations// Diff. Int. Eq. 1995. Vol. 8. P. 1331−1354.

89. Montoro L., Sciunzi B., Squassina M. Symmetry results for non-variational quasi-linear elliptic systems // 2009. arXiv:0907.0160vl.

90. Ni W.-M. On a singular elliptic equation// Proc. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 88. P. 614−636.

91. Ni W.-M., Serrin J. Existence and nonexistence theorems for ground states of quasilinear partial differential equations: the anomalous case// Accad. Naz. dei Lincei. 1986. — Vol. 77. — P. 231−257.

92. Pohozaev S. The fibering method and its applications to nonlinear boundary value problems// Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste. 1999. -Vol. 31. — P. 235−305.

93. Pohozaev S., Tesei A. Blowup of nonnegative solutions to quasilinear parabolic inequalities// Rend. Mat. Acc. Lincei, S. 9. 2000. — Vol. 11. P. 99−109.

94. Pohozaev S. Tesei A. Non existence de solutions locales des inegalites semilineaires aux derivees partielles// Annales de l’Institut Henri Poincare © Analyse Non Lineaire. 2004. — Vol. 21. -P. 487−502.

95. Quittner P. On positive solutions of semilinear elliptic problems// Comment. Math. Univ. Carolinae. 1989. — Vol. 30. — P. 579−585.

96. Quittner P. On global existence and stationary solutions for two classes of semilinear paraboilic problems// Comm. Math. Univ. Carolinae. 1993. -Vol. 34. — P. 105−124.

97. Schaeffer J. The equation utt — ou = |w|p for the critical value of p// Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1985. — Vol. 101A. — P. 31−44.

98. Sciunzi B. Some results on the qualitiative properties of positive solutions of quasilinear elliptic equations// Nonl. Diff. Eq. Appl. 2007. — Vol. 14. P. 315−334.

99. Senba T., Ebihara Y., Furusho Y. Dirichlet problem for a semilinear equation with singular coefficients// Nonl. Anal. 1990. — Vol. 15. — P. 299 306.

100. Serrin J., Zou H. Existence and nonexistence for ground states of quasilinear elliptic equations// Arch. Rat. Mech. Anal. Vol. 121. — 1992. P. 101−130.

101. Serrin J., Zou H. Cauchy-Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities// Acta Math. 2002. -Vol. 189. — P. 79−142.

102. Sideris Th. Nonexistence of global solutions to semilinear wave equations// J. Diff. Eq. 1984. — V. 52. — № 3. — P. 378−406.

103. Souplet Ph. Recent results and open problems on parabolic equations with gradient nonlinearities // El. J. Diff. Eq. 2001. — № 20. — P. 1−19.

104. Straughan B. Explosive instabilities in mechanics. Berlin-Boston-Basel, Springer-Verlag, 1998.

105. Strauss W. A. Nonlinear scattering theory at low energy// J. Funct. Anal.- 1981. Vol. 41. — P. 110−133.

106. Strauss W. A. Nonlinear wave equations. Providence (RI), Amer. Math. Soc., 1991. (CBMS Reg. Conf. Ser. Math.- Vol. 73).

107. Trudinger N. S. On Harnack type inequalities and their applications to quasilinear elliptic equations// Comm. Pure Appl. Math. 1967. — Vol. 20. P. 721−747.

108. Vazquez J. A strong maximum principle for quasilinear elliptic operators// Appl. Math. Optim. 1984. — Vol. 12. — P. 191−202.

109. Yordanov B., Zhang Q.I. Finite time blow up for wave equations with a potential// SIAM J. Math. Anal. 2005. — Vol. 36. — № 5. — P. 1426−1433.

110. Yordanov B., Zhang Q.I. Finite time blow up for critical wave equations in high dimensions// J. Funct. Anal. 2006. — Vol. 231. — № 2. — P. 361−374.

111. Zou H. A priori estimates and existence for quasi-linear elliptic equations// Calc. Var. 2008. — Vol. 33. — P. 417−437.