О спектральных характеристиках задач типа Штурма-Лиувилля с сильно сингулярными потенциалами

Важную роль в математическом моделировании природных явлений играют решаемые модели. Они дают возможность понять основные черты явления. Это, в частности, модели, описывающие движение частиц в поле потенциала, сосредоточенного на некотором дискретном (конечном или бесконечном) множестве точек — месте расположения «точечных источников».

В этих моделях можно явным образом определить резольвенты и такие связанные с ними математические и физические характеристики, как спектр, собственные функции, их асимптотическое поведение и разложение произвольных функций из Ь2 по спектру исследуемой задачи.

В зависимости от характера изучаемых взаимодействий для этих моделей используются самые разные названия (смотри библиографию в [8]), включающие такие термины, как «точечные взаимодействия», «потенциалы нулевого радиуса», «сильно сингулярные потенциалы», «дельта-взаимодействия», «псевдопотенциалы Ферми».

Наиболее важные применения эти модели находят в физике твердого тела, например, модель Кронига-Пенни, в атомной и ядерной физике — описание коротко действующих ядерных сил, низкоэнергетических эффектов.

Основные квантово-механические системы, подходящие под указанные выше модели, на физическом уровне строгости в одномерном случае задаются одночастичным многоцентровым гамильтонианом вида -/'(*)+ *(*)/(*)+ Та Ах — *,)/(*), (ОЛ) бУ где через (-/'(¦х) + ц (х)/) обозначен самосопряженный одномерный лапласиан в Ь2(К+) с областью определения Н2,2(Я+), 3 дискретное (конечное или счетное) подмножество в а1 — константа связи, приписанная точечному источнику, находящемуся в точке х,, а д (х — хг) — функция Дирака в точке х&bdquoт.е., единичная мера, сосредоточенная в хг. Более того, в одномерном случае, в отличие от двумерного, оператор (- /" + <2/~)|с°°(л+и}> обладая четырехпараметрическим семейством самосопряженных расширений в пространстве Ь2(1?), имеет дополнительные типы точечных взаимодействий, так называемые 5'-взаимодействия, которые будут описаны ниже.

Пусть q (x), р (х) — вещественные функции, определенные на интервале ОаЪ), р (х) > 0 (-оо <�а<�Ъ< +оо).

Рассмотрим спектральную задачу Штурма-Лиувилля для уравнения /[у] = -у" (х) + q (x)y (x) = Лр (х)у (х) (а<�х< Ъ). (0.2).

Регулярный случай спектральной задачи Штурма-Лиувилля для уравнения (0.2), соответствующий q (x) е C (R), р (х) е С (R), изучен сравнительно давно и подробно изложен в монографиях [10], [11], [14], [30], [53], [56]. В то же время теоретической основой как регулярной, так и сингулярной спектральной задачи для уравнений (0.2) и уравнения Afl (xy, (0.3) где Н/ задается формулой (0.1), является общая спектральная теория симметрических и самосопряженных расширений операторов в гильбертовом пространстве.

Но далеко не всегда эта теория позволяет дать ответ на ряд вопросов, касающихся спектральных характеристик. К ним в наибольшей степени относятся вопросы, связанные с исследованием спектра с сильно сингулярным потенциалом (т.е. в том случае, когда коэффициенты являются обобщенными функциями), исследованием асимптотики собственных функций, соответствующих дискретному спектру, а также с разложением произвольных функций из L2® по спектру исследуемого оператора.

В отечественной литературе вопросам спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов второго порядка посвящена монография Б. М. Левитана [34], где изложен иной метод обоснования теории, суть которого сводится к тому, что основные спектральные соотношения для сингулярного случая получены предельным переходом соответствующих соотношений для регулярного случая.

Вопросам исследования спектра в сингулярном случае посвящены работы многих отечественных и зарубежных математиков [7], [10], [15], [21], [26], [27], [29], [35], [40] (смотри также библиографию в [8]). В некоторых из них изучены также вопросы разложения произвольных функций из Ь2(К) по спектру исследуемого оператора. Вопросам же асимптотического поведения собственных функций, соответствующих дискретному спектру, посвящены работы, в которых коэффициентами в уравнении являются обычные функции из различных классов.

Литература

по этим вопросам обширна. Отметим прежде всего классические работы Штурма [65] и Лиувилля [63], а также работу В. А. Стеклова [51].

Во всех этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнений (0.2) и (0.3) и при выполнении условия было установлено:

1. Существует счетное множество собственных чисел Хп спектральной задачи.

0 < т < р (х) < М.

0.4) у] = -у" + д (х)у = Яр (х)у, а<�х<�Ь у{а) = у (Ь)= 0.

0.5) ъ.

§-у2 (х)р{х)с1х = 1 а с единственной предельной точкой на +со.

2. Все собственные числа вещественны и при п —" оо.

0.6) ь, а У.

3. Совокупность всех нормированных собственных функций равномерно по х и п ограничена, то есть sup шах уп (х, рJ < С0 < со. (0.7) п а<�х<�Ь.

В.А.Ильин и Н. Йо [25] показали, что если р (х) = 1, q{x) е L (a, b), то для нормированных в L2(a, b) собственных функций любого самосопряженного расширения минимального оператора, порожденного дифференциальным выражением /[у], справедлива оценка (0.7).

В 1983 году М. М. Гехтманом, В. Я. Якубовым, Ю. Загировым [22] было установлено, что уже в классе непрерывных весовых функций формула (0.7) неверна, а имеет место неулучшаемая оценка тахуп{х, р)<�С0-ЛпК (0.8) а<�х<�Ь.

Затем было выяснено [20], что оценку (0.8), вообще говоря, нельзя улучшить даже на произвольном компакте [aJ3] с (аЬ), и что существует всюду плотное в С[аь множество весовых функций р (х), ассоциированные с которыми собственные функции уп (х, р) спектральной задачи (0.5) качественно отличаются от собственных функций, соответствующих гладким весовым функциям.

Отметим полученные в последнее время результаты В. Я. Якубова [61], Г. А. Айгунова [2]-[6], Я. Г. Бучаева [16], в которых получены оценки собственных функций в соответствующих классах, значительно ослабляющие условия на весовую функцию. Следует также отметить работу А. Д. Назарова [37], в которой весовая функция р (х) является уже обобщенной функцией, что обобщает результаты, полученные авторами ранее.

Настоящая диссертационная работа примыкает к указанному кругу вопросов.

Приступим к подробному изложению содержания диссертации, состоящей из введения и четырех глав.

Пусть кктфиксированные целые неотрицательные числа, к + т = п, а, а% - вещественные не равные нулю числа,.

О < х < х2 <. < хк < оо и 0 < Ti < т2 <. < тт < оодва непересекающихся набора фиксированных чисел, q (x) > 0 — непрерывная на полуоси х > 0 функция, удовлетворяющая условию x% + x2) dx"n. (0.9) о.

Положим Х = (хь х2, ., хк), Х2 = (л:ь х2, ., хт), X = Х и Х2. Перенумеруем точки множества X в порядке возрастания и будем обозначать их в дальнейшем x?, i=l, 2, ., п.

В гильбертовом пространстве Z2(0, оо) определим множество D (n-q) условием:

D{nq) = :У еН2,2(К+Х Х = 0 «/ + Я (х)у е Ь2 (0,а>), j = xs, x? е Xi, x? = Ху, x? е Х2.

В соотношении (0.10) под xs и понимаются точки, для которых выполняются, соответственно, условия: y'{xi + О) — y'(x? — О) = a? y (xi)' xs, def y'(xi+0) = y'(x? -0) = /(*,-) (0 щ.

На множестве функций ?>(и-д)в пространстве Ь2(0, оо) посредством дифференциального выражения 1{у из (0.2) определим оператор Н{п формулой Н{П-д)/{х) = 1[/ /еВ (щЧ). (0.13).

В первой главе диссертационной работы получено уравнение для определения собственных значений оператора Н (п-д) и в этом направлении доказана следующая.

Теорема 1.2.1. Собственными числами оператора Н (п-д), определенного соотношением (0.13), являются отрицательные корни уравнения Л"(Л) = 0, где функция А"(Л) определена формулой (1.2.6).

Построена резольвента оператора Н (к, т-д), определенного в гильбертовом пространстве Ь2(0,ю) на множестве функций у 6 я2'2 (г х Яо) = о, 1[у] € Ь2 (0,+оо) у{х] + °) = у{х] -°):= Я*/=.

0(к, т, д) = + о) — у'(х} - о) = а ]у (х]), у = 1, к М у'{Х] + о) = у'{х] - о) = у (ху } У = к +1, к + т.

0.14) у (ху + о) — у (ху — о) = а, у (ху)у = к + 1, к + т Показано, что оператор Н (к, тд) самосопряжен и доказана следующая.

Теорема 1.4.1. Спектр оператора Н{к, тд) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с множеством [0, оо), и не более чем к+т отрицательных собственных чисел.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрен другой подход к построению резольвенты оператора Н (к, т-д), основанный на методе, разработанном Вейлем, для чего построена функция Вейля, с помощью которой получены два линеино независимых решения задачи и Ф (хД), где.

Л) е Ь2 (0, оо), ф (0, Л,) = 0, ф (0, х)? Ь2 (0-+оо). С помощью полученных решений построена резольвента оператора Н (к, т-д).

В этом направлении доказана следующая.

Теорема 2.1.1. Резольвента оператора Й (к, тд) имеет вид 1.

V =.

0.15) где Д/1) е Ь2(0, оо), а функция (7(х, X) определена соотношением Х) ф (х, А),? > х. в (х, Г, А) =.

0.16).

Построено спектральное семейство операторов Е (А) и доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть к + т = п, ^х)? С0(-оо- +оо), тогда справедлива формула.

А)/,/) =.

0, о е, А п (- оо- 0), Я Ф.

20(сг) — +со~ / ф (х, сг) ГФ (/, а е, А п [0- + оо) А (о-) о где 4, с к, Г, А, <2(сг), А (сг) определены в главе 2.

2.2.32).

Теорема 2.2.2. Спектр оператора Н{к, тц) (к + т = п) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, совпадающей с полуосью [0- +оо), причем кратность спектра равна единице, и дискретной компоненты, которая содержит разве лишь конечное множество отрицательных чисел 4 е Гпри этом оператор Й (к, т-д) полу ограничен снизу.

Теорема 2.3.2. Пусть /(х) е /, 2(0- +оо). Тогда справедливо равенство Парсева-ля-Стеклова: и/И2= I / (°-18> еДпГ Ядп[0-+°о) ?4°").

В третьей главе диссертационной работы подробно исследована дискретная компонента спектра оператора Й{к, т-0) в случае к + т — 2, причем показано, что спектр локализован, и исследована локализация спектра в зависимости от х, и а ((/ = 1,2).

Пусть к = 2, т — 0, то есть, рассмотрим оператор (а13(х — х1) + а23(х — х2))у, у (о) = 0. В этом случае уравнение для определения собственных чисел принимает вид.

2,0 4¹' «^2) =.

0.19) (№ + ах (рх }р2 (хх)) ¦¦ ??V + а2<�рх (х2)ср2 (х2)) — ах (р) • а2(р2 (х2) = 0, где <�рх (х, Л)= <�р2(х, Л)=-^=$тт[Лх. (0.20).

Подставляя эти выражения в (0.20), после несложных преобразований и подстановки.

4л = ¿-у, 5 > 0 получим уравнение для определения собственных чисел:

452 +2+а0) + а, а0 =.

412/12, (0.21) = ахе~1ях' (25 + а2) + а2е~Ъх2 (28-а^ + а^е'2²'^.

Справедлива следующая.

Теорема 3.2.1. Спектр оператора Й (2,0−0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, со), и не более, чем двух отрицательных собственных чисел А, и Л2. Если выполнены условия.

1) ах < 0, а2 < 0;

2) Ы < 1 а,.

X1 X 1.

4'.

J 1? то собственных чисел ровно два и они находятся в интервалах а. а.+а,)2] { (ах+а2) и.

16 у v.

2. 4 если I «11 < | а21 или в интервалах.

С 2 а. а1 + а2).

4 16 если | а | > | а2 и.

1 +^2)2 16 а.

Если выполнены условия.

4) аха2 <0;

5)-х (Хх2а2> 1- то собственное число одно.

Рассмотрим оператор

1,1−0)>> = -у" + ахд (хх1)у + аг8'(х — х2)>>, у (о) = 0. Уравнение для определения собственных чисел имеет вид (л/Я = ¡-я, я > 0):

2а, т! (.

Б + 5 + —.

V 2) V а2) ахе~гщ (а^ + 2) + а^е-2**2 (а, — 2 Справедлива следующая.

0.22) v.

Теорема 3.3.1. Спектр оператора #(1,1−0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, оо), и не более, чем двух отрицательных собственных чисел Яи Я2.

Если выполнены условия:

1) ах <0,а2< 0;

2) х I, а I > 1;

3) аха2< 4, то собственных чисел ровно 2. Если выполнены условия.

4) ах > 0, а2 < 0;

5) аха2 <4, то собственное число одно.

Рассмотрим оператор

Й (0,2−0)у = -у" + ~х1)у + а2д'(х — х2) у, у (о) = 0. Как и выше, уравнение для определения собственных чисел приводится к виду (-ч/Я = /5,5 > 0): аха2 2¹ с 21.

5 ± 5 + —.

V а) v а2).

0.23) -а^е'2щ + 2) + а^е1™2 (а^ - 2) + а^ Справедлива следующая.

Теорема 3.4.1. Спектр оператора Й (0,2−0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, <х>) и не более, чем двух отрицательных собственных чисел. Если выполнено условие.

1)"1<0, а2<0, то собственных чисел ровно два. Если выполнены условия.

2) ах > 0, а2 < 0,.

3) > сс2, то собственное число ровно одно. Рассмотрим оператор l, l-0) = -у" + cz? Sr (x — хх) у + а2д (х — х2) у.

Как и выше, получим следующее уравнение для определения собственных чисел оператора 7/'(l, l-0) (л/Х = is, s > 0): I2 + a, sls + а0) =.

0 24) -axselsXx (2s + a2)+ a2elsXl (2 — a^) — axa2sels{x2~xx Справедлива следующая.

Теорема 3.5.1. Спектр оператора Я'(1,1−0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, <х>) и не более чем двух отрицательных собственных чисел Х и Л2. Если выполнены условия.

1) ах < 0, а2 < 0;

2) а2(а +х2) <-1, то собственных чисел ровно два. Если выполнены условия.

3) ах > 0, а2 < 0,.

4) | а2 | («i + х2) > 1,.

5) ах | а2 | > 4, то собственное число ровно одно.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена вопросу асимптотического поведения собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов обобщенных весовых функций.

Обозначим через С+[о-1] множество функций р (х), непрерывных на [0−1] и удовлетворяющих условию (0.4), а через УНа — множество функций из С+[0−1], пред ставимых в виде х) = /г (х) + у (х), (0.25) где к (х) € На, Накласс Гельдера, у (х) е V, Vкласс функций ограниченной вариации:

Ша={/(х]/(х) = к (х) + ^хНеНа^еУ (0.26).

Рассмотрим краевую задачу.

— у" (х) = Л р

Я4 0 < х < 1, (0.27) 1.

3<0)=J<1) = 0, (0.28) jp (x)y2(x)^ = l. (0.29) о.

В соотношениях (0.27)-(0.29) <5(х) — функция Дирака, Д — произвольные вещественные числа, 0 = х0 < X! <. < хр < Xp+i = 1.

Для решения спектральной задачи (0.27)-(0.29) справедлива.

Теорема 4.1.2. Пусть Дх) е VHa, ДА) -> оо при Я -> оо, тогда.

1. iimMi4=0 равномерно пох е [0- 1]- 2. для любого шара S (pо, ?) {е > 0) из существует весовая функция Дх, ро, s) е Н{а, A) nS (p0, s) такая, что lim——— > Ап.

1 -a U к~*° Я ~.

На защиту выносятся следующие научные положения. Изучены спектральные характеристики одного класса дифференциальных уравнений Штурма-Лиувилля, коэффициентами которых являются обобщенные функции и в этом направлении.

1. Доказано, что оператор Й (к, т-д) самосопряжен. Построена резольвента и показано, что оператор Й (к, т-д) ограничен снизу.

2. Проведено качественное исследование природы спектра оператора Й{к, тд). В частности доказано, что спектр оператора состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью X > 0, и не более чем п отрицательных собственных чисел (к + т = п).

3. В случае к + т = 2и^ = 0 спектр оператора Й (к, тд) локализован в зависимости от чисел аь х, (/ = 1,2).

4. Получены разложения произвольной функции из Ь2(0-+оо) по спектру исследуемого оператора.

5. Исследовано асимптотическое поведение собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов обобщенных весовых функций.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по спектральной теории в МГУ им. М. В. Ломоносова, ДГУ, докладывались на двух научных конференциях и опубликованы в работах [44]-[50].

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.

2. Айгунов Г. А. К вопросу об асимптотике нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // УМН. -1997. Т. 52, № 6. — С.147−148.

3. Айгунов Г. А. О максимальной возможной скорости роста решений задачи Коши и нормированных собственных функций для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля // Вестник ДГУ. Естеств. науки Махачкала. -1997.-Вып. 1.-С. 143−146.

4. Айгунов Г. А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса операторов Штурма-Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке // УМН. 1996. — Т. 51, вып. 2.-С. 143−144.

5. Айгунов Г. А. Об одном критерии равномерной ограниченности нормированных собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке // УМН. 1997. — Т. 52, № 2(314). -С. 149−150.

6. Алхасова С. С. Построение резольвенты обобщенной задачи Кронига-Пенни на полуоси // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Межвузовский сборник. Вып. 4. — Махачкала, 1979. — С. 28−38.

7. Альбеверио М., Гестези Ф., Хёг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир. — 1991.

8. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом//ДАН СССР.-1961.-Т. 137, № 5.-С. 1011−1014.

9. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // М.: ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Математический анализ. 1977. — Т. 14.-С. 5−58.

10. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. (Учебное пособие). Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

11. Бродский A.M., Урбах М. И. О спектре поверхностных состояний кристаллов // В сб.: Задачи механики и математической физики. М.: Наука, 1976. -С. 43−52.

12. Ву Куок Тхань. Обобщение теоремы М. М. Гехтмана для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля // Вестник МГУ. Сер. I. Математика и механика. — 1990. — № 3. — С. 89−92.

13. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М., 1963.

14. Геронимус Я.JI. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. -М.: Физматгиз, 1958.

15. Гехтман М. М. Об асимптотическом поведении нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке//Матем. сб.-1987.-Т. 133(175), № 2.-С. 184−199.

16. Гехтман М. М., Станкевич Н. В. Спектральная теория некоторых неклассических дифференциальных операторов. (Учебное пособие). Махачкала, 1985.

17. Гехтман М. М., Загаров Ю. М., Якубов В. Я. Об асимптотическом поведении собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля // Функциональный анализ и его приложения. Махачкала. — 1983. — Т. 17, вып. 3.-С. 71−72.

18. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. О некоторых оценках собственных функций эллиптического оператора // Вестник МГУ. 1985. — Сер. 1: Математика и механика. — № 4.

19. Ильин В. А., Шишмарев И. А. Равномерные в замкнутой обладай оценки для собственных функций эллиптического оператора и их производных // Изв. АН СССР. Матем. — Т. 24, № 6. — С. 883−896.

20. Ио И., Ильин В. А. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса ДО,/) // Дифф. уравнения. 1979. — Т. 15, № 7. — С. 1164−1174.

21. Кадиев Р. И. О собственных функциях и о собственных значениях одного класса операторов Шредингера с возмущениями нулевого радиуса. Махачкала, 1995. — Деп. в ВИНИТИ 21.08.95, № 2475-В95.

22. Кадиев Р. И. О спектре одного класса операторов Шредингера с конечным числом точечных взаимодействий. Махачкала, 1995. — Деп. в ВИНИТИ 14.02.95, № 436-В95.

23. Като Т. теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

24. Китинявонг Тхепсаван. Авторская диссертация на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. 1993.

25. Костюченко, А .Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений. -М.: Наука, 1979.

26. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т 1. М.: Гос-техиздат, 1951.

27. Ладыженская O.A. О принципе предельной амплитуды // УМН. 1957. -Вып. 3.-С. 161−164.

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

29. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. — М.: Изд-во технической литературы, 1950.

30. Назаров А. Д. Авторская диссертация на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. 1982.

31. Назаров А. Д. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным сингулярным потенциалом на конечном промежутке // Тез. докладов науч. конф., поев. 50-летию ДНЦ РАН. 1999. — Махачкала.

32. Назаров А. Д. О спектре задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на всей оси // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский сборник. Махачкала. — 1997. — С. 146 155.

33. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

34. Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.

35. Пхомассон С. Авторская диссертация на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. 1989.

36. Рахманов Е. А. О гипотезе В. А. Стеклова // Мат. сб. 1981. — Т. 114, № 2. -С. 269−298.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т 2. -М.: Мир, 1978.

38. Рофе-Бекетов Ф. С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций. ДАН СССР, 1969. Т. 184. № 5. С. 1034−1037.

39. Савина Е. В. Резольвента и спектр оператора Шредингера с точечными взаимодействиями // Вестник ДГУ. Естественно-технические науки. Махачкала. — 1995. — С. 42−46.

40. Савина Е. В. О природе спектра одного класса операторов типа Шредингера с потенциалом нулевого радиуса. Махачкала, 1996. — Деп. в ВИНИТИ 29.11.96 № 3462-В96. — 16 с.

41. Савина Е. В. Дискретный спектр одного класса операторов типа Шредингера с точечными взаимодействиями. Махачкала, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 16.03.98 № 750-В98. — 17 с.

42. Савина Е. В. Асимптотическое поведение собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке для некоторых классов весовых функций // Вестник ДГУ. Естеств. науки. Махачкала: ИПЦ ДГУ. — 1998. — Вып. 4.

43. Савина Е. В. Асимптотическое поведение собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов весовых функций. Махачкала, 1999. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.99 № 450-В99. — 20 с.

44. Савина E.B. О скорости роста нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на конечном промежутке с обобщенной весовой функцией // Тез. докладов науч. конф., поев. 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала. -1999.

45. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983.

46. Суетин П. К. Проблема В.А.Стеклова в теории ортогональных многочленов // ВИНИТИ, Математический анализ. 1977. — Т. 15.

47. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

48. Тамм И. Е. О возможности связи электронов на поверхности кристалла // Phys. 2, Soviet Union. 1932. — Т. 1, № 5.

49. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2. М.: ИЛ, 1961.

50. Титчмарш Э. Ч. Теория функций. М.: Гостехиздат, 1951.

51. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962.

52. Якубов В. Я. Различные порядки роста нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с непрерывным весом // Дифф. уравнения. 1993. — Т. 29, № 6. — С. 982−989.

53. Elbert A. Qualitative theory of differential equations // Amsterdam. 1981. -V. 30.-P. 153−180.

54. Weyl H. Uber gewohnliche Differential-gleichungen mit Singularen Stellen und ihre Eigenfunchkionen // Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math. Phys. Kl.1909. S. 37−64.

55. Weyl H. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die zugehorigen Entwiclungenwillkurlichen Funktionen // Math. Ann. 1910. -Bd. 68. — S. 220−269.

56. Weyl H. Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularen Stellen und ihre Eigenfunchkionen // Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math. Phys. Kl.1910.-S. 442−467.