О структуре стабильных множеств в дифференциальных играх

В диссертации рассматриваются задачи управления по принципу обратной связи, в которых требуется гарантировать приведение управляемой системы На заданное целевое мюжество при любых заранее неизвестных помехах. Эти задачи исследуются в рамках теории дифференциальных игр, и они представляют большой практический и теоретический интерес. Среди первых результатов, относящихся к теории дифференциальных игр, можно отметить работы зарубежных математиков Р. Айзекса и У.Флеминга. Фундаментальный вклад в теорию дифференциальных игр составили исследования советских математиков Н. Н. Красовского, Л. С. Понтрягина, Б. Н. Пшеничного и их сотрудников.

Объектом исследования в диссертационной работе являются и. -стабильные мосты. Согласш подходу, описанному в монэграфии [<2 9], (Лстабильный мост определяется как множество в пространстве позиций, соединяющее начальную позицию с целевым множеством и обладающее специальным свойством, которое позволяет определить позиционную стратегию, гарантирующую удержание движений на этом мосту вплоть до их встречи с целевым множеством. Ее ж (Мстабильный мост построен, то относительно просто можно определить стратегию, доставляющую решение задачи сближения. Этим обстоятельством объясняется важность изучения и. -стабильных мостов и разработка вычислительных методов для их построения. Вопросы, связанные с исследованием стабильных мостов, а также эквивалентных или близких к ним понятий и конструкций рассматривались многими авторами (см., например, работы ??>?9, 6Л, 66, 69]).

Как правило, в задачах, рассматриваемых в теории дифференциальных игр, возникают различного рода сингулярности функции цены и границы стабильных мостов не обладают гладкостью (диффе ревдируемостью), которая позволила бы ограничиться классическими методами. Поэтому представляет интерес попытка использовать некоторые подходы, развитые в последние годы при изучении задач недифференцируемой оптимизации. Как известно, в этих задачах ин-финитезимальный ашлиз опирается ш такие понятия как субдифференциал, обобщенная производная, конусы возможных или касательных направлений и т. д. (см., вапример, [ 6} 9> 1 В, 55, В работах [бо- 62] были рассмотрены ин$инитезимальные свойства локально-липшицевых функций цены диф-ференциальшй игры. Были получены неравенства для производных по направлению, которые выражают свойства стабильности функции цены, обобщают основное уравнение теории дифференциальных игр и единственным образом выделяют функцию цены. Данную работу можно рассматривать как продолжение упомянутых исследований. Основным результатом, представленным в диссертации является определение стабилыюго моста, базирующееся на понятии производной многозначного отображения, которое по своему содержанию близко к известному понятию конуса возможных направлений. В качестве следствия основного результата дано описание стабилыюго моста с кусочно-гладкой границей, рассмотрено конечное разбиение стабильного моста на замкнутые подмножества, приведен критерий стабильшсти множества программного поглощения в случае, когда это множество имеет непустую внутренность.

Диссертация состоит из семи параграфов. Для удобства ссылок в § I приведены некоторые общие определения и известные факты из теории дифференциальных игр. В § 2 дано определение производной многозначного отображения и рассмотрены некоторые свойства этой производшй. Приведенные в § 2 результаты можно разбить ва три группы. Первую группу составляют свойства, которые сразу следуют из определения производной. Ко второй группе относятся менее очевидные факты, в частности, здесь дано описание производных для множеств с кус очно-гладкой границей. В третью группу включены вспомогательные результаты, которые используются в § 3. Основной результат диссертации — теорема 3.1, доказанная в § 3. Эта теорема устанавливает эквивалентность исходного определения стабильного моста и двух новых определений, данных в § 3. В исходном определении свойство стабильности определяется с помощью известного оператора программного поглощения (см., например, [¿-в, 62]). новые определения представляют собой и^инитезимальную форму свойства стабильности. Отметим, что в определении 3.3 4 свойство стабильности определено в так называемой унифицированной форме, это определение опирается ш конструкции, предложенные в работах [26, 6 ?] .В§-4 рассматриваются множества с кусочно-гладкой границей. Указаны достаточные условия, при выполнении которых такие множества будут (Лстабильными мостами. Получены также необходимые условия, близкие к достаточным. Эти результаты являются следствием основных теорем, установленные в § 2 и § 3. Значительное место в § 4 занимает анализ соответствующего примера. В следующем параграфе рассмотрено разбиение стабильшго моста на конечное число замкнутых подмножеств. Показано, что такое разбиение индуцирует разбиение множества допустимых управлений второго игрока. Указанные разбиения согласованы таким образом, что каждая составляющая стабильного моста обладает свойством (Xстабильности относительно соответствующего подмножества управлений второго игрока. Результаты, представленные в § 6, дополняют исследования условий регулярности множеств программного поглощения [?3,29, 63, 7о]. Здесь рассмотрен неособый случай (множество программного поглощения с непустой внутренностью). Для этого случая установлен критерий стабильности программного поглощения. В отличие от известных ранее условий регулярности для проверки полученного критерия требуется рассматривать лишь точки, лежащие ш границе множества программного поглощения, В последшм параграфе исследуются линейная дифференциальная игра в случае, когда сечения стабильных мостов являются выпуклыми множествами. Указаны шобходимые, а также достаточные условия стабилъности в рассматриваемом случае. В этих условиях фигурируют верхние и нижние производные по времена опорной функции сечений исследуемых множеств.

В заключение диссертации приведена библиография.

В диссертации принята двойная нумерация теорем, утверждений и формул" Конец доказательства теоремы или утверждения обозначается символом О.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела «Дишмические системы» Инзтитута математики и механики УНЦ АН СССР, докладывались т концеренции Пермского политехнического инзтитута по функционально-дифференциальным уравнениям (Пермь, 1983 г.), на конференции молодых ученых Инзтитута математики и механики УЩ АН СССР (январь, 1984 г.) и опубликованы в работах.

В совместной работе [? AwH. Субботиным и В. Н. Ушаковым предложена постановка задачи и доказано утверждение 2.13, включенное в диссертации. Остальные результаты этой работы были получены автором диссертации.

Решение примера 4,1 из § 4 было проведено совместно с A.M. Тарас ьевым.

§ I, Некоторые сведения из теории позиционных дифференциальных игр.

В данном параграфе приведены некоторые определения и результаты из теории. Подробные мотивировки этих определений и доказательства результатов содержатся в работах р9> 62] .

Пусть движение конфликтно-управляемой системы описывается дифференциальным уравнением.

X = X, и, ?). (1.".

Здесь X — /2 -мерный фазовый вектор системы, (Л, хТвекторы управляющих воздействий соответственно первого и второго игроков, удовлетворяющие ограничениям СС & Р, д 6 О, где г с, Ос я* - компакты,? (г т^ /" *.,-е/. Символом < а, 4 > будем обозначать скалярное произведение векторов & и^, а символом // ОС Ц — евклидову норму вектора, а .

Будем предполагать, что функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на Г * Я х Р х О .

2) липшицева по X, то есть.

II {к, Xй! и, О) — № а, д)! 1 к (&) // у ю- /7/ (1.2) где & - любая ограниченная область в.

Г* Я.

— постоянное число;

3) удовлетворяет условию равномерной продолжимости решений.

Отметим, что последнее условие выполняется, в частности, если имеет место одно из следующих неравенств.

Х, f (*, X, Ut ^ с (IiкXII*) или с (LiКхн), где с — co/zs-6, X, U, $) t Тх R% Рх Q .

Наряду с этими условиями будем предполагать, что для любых S е R и /ч х)? т х R выполнено равекзтво (условие седловой точки в маленькой игре) min m<*x< г, ?(*>х, и, &)>- motxшп< sJ ?(*, х, и, Я) >. (1.3) ц&р JfQ Г OTfo U (rP r.

Приведем определения позиционных стратегий и движений, порождаемых этими стратегиями. Рассмотрим множество Ü-Jпоз, которое составляют всевозможные функции U «' Гх R Р. Элементы мюжества (?JnQj будем называть позиционными стратегиями.

Движения управляемой системы, порожденные позиционной стратегией Lt? 41 поз, определяется следующим образом.

Пусть (*0гХь)бгТхЯп, А — /f^r^J:? = оД.-некоторое разбиение полуинтервала [t0j ?) ,):[t0d]•—* Q измеримая функция. Определим пошаговое движение Х (*> ¿-о, Х0).

U., -Ol), А) как решение пошагового уравнения.

Х (Го) — Х9 } тс <5 t < z?+x, L — о. — -.,.

Затем пучок движений ЛУ Ц-) определяется как совокупность всех абсолютно-непрерывных функций ХО) = (Х (+)> ¦?0 <? ? &^, для каждой из которых существует равномерно сходящаяся к ней последовательность пошаговых движений хЛ, и, 0*(-), А<�К>} где сИапг —" о при к# Здесь сбсагп й — т&Х^ (1 — Гс-) при С — 0,1/ ., I. Известно (см, Например, [2 9]), что X (¿-*, Хо} (2) Ф 0 •.

Пусть заданы замкнутые множества Л/с 7~*/? и /Ч С Л/ Непрерывная функция Х (-) ' В]"—* удовлетворяет условию (М, М) -сближения, если существует момент времени г (г [+"> такой, что.

Т, Х (т)) 6 Л| и.

Ч & N при Ы* * т.

Задача — сближения формулируется следующим образом:

Для заданной точки Ко) (г Т х /? и заданных замкнутых множеств /V е 7~х Ка 9 Д| с А/ требуется определить стратегию У.? Ч/поз так, чтобы для любого движения Х (')? выполнялось условий.

— сближения.

Решение задачи сближения можно определить в рамках экстремальшй конструкции [2 9]. Важным элементом этой ковзтрукции является понятие (Лстабильного моста. Известно, что к задаче (М, М) -сближения можш свести решение многих типов игровых задач управления. Известно также (см. например, [2 3⁶²]), что построение стратегии, доставляющей решение задачи (Л1, Ы) -сближения, сводится к построению соответствующего (Лстабильного моста. Этим обстоятельством объясняется важность изучения стабильных мостов и методов их построения.

Стабильный мост моею определить различными эквивалентными способами. Ниже приведено исходное определение (см., например, [).

Пусть в пространстве позиций Тх R* выделено некоторое множество U/. Полагаем.

Wi = ?rft W. (1.4).

Введем также следующее обозначение.

Fit&o) — boffK^U.J): и (г Pj, (1.5) где символ Со? • j обозначает выпуклую оболочку.

Определение I.I. Множество fJC-T*R называется Uстабильным мостом в задаче сближения, если выполняются следующие условия:

Iu) V/clN, W9 <= Ме.

2и) (условие Uстабильности) каковы бы ни были£ 6 W, ti*? (t*> &!, тЭ* ?Q существует решение иУ (<) = (?(*)> ^ ^ i") дифференциального включения мт'^- ^ ^ J, «fcj=^ (1#6) удовлетворяющее условию: si’jnl (*') *0, й-?) где.

Г)= М и{(*, 0) б V/: (1.8).

Замечание. Пусть Х. р№ (Р) — множество вероятностных мер1 нормированных на компакте Р. Пусть • Г**, ?*] грпг (Р) — слабо измеримая функция (см., например [9,Л9]), Рассмотрим дифференциалы (c)е уравнение и5(4) = { и, х), (¿-и), иГ{*¥-)= и},. (1.9).

Известно (см., например, [9, /°]), что множество решений дифференциального включения (1.6) совпадает с пучком решений уравнения (1*9), который получается при переборе слабо измеримых 4 управлений-мер [и (•), Поэтому условие 1Лстабильности можно определить в следующей эквивалентной форме: каковы бы ни были (? г^) 6 V/, хГ* 6 <3, (¿-«¡-д] существует слабо измеримое уцравление-мера /^1): /» ?^ ?*] «1—* «ср/П (Р) такое, что решение иТ (') дифференциального уравнения (1.9) будет удовлетворять соотношению (1.7).

Замыкание и стабильного моста есть опять истабильный мост (см., например, [2 9, 62]). Поэтому в дальнейшем всегда будем предполагать, что истабильный мост — замкнутое множество в Гх /?Л .

Введем некоторые обозначения.

Через обозначим пучок решений Х (-):

К* дифференциального включения (1.6), удовлетворяющих начальному условию X (Ъ) — X 0 .

Известно (см., например, [&1]), что компакт в пространстве непрерывных функций Х (') > /?Л .

Как отмечалось выше, справедливо равенство.

ХК*-,*) — (1.10) н-" г/5 т (Р) слабо измеримо |, где Х (',)г д) — решение дифференциального уравнения (1.9) с начальным условием — Ха .

Приведем теперь некоторые факты, относящиеся к случаю, ког, а.

Здесь г I * - выпуклое и компактное множество в, в (') и.

С (•) — пх р ш П У ^ -мерные матрицы, элементами которых являются непрерывные функции. Можно рассматривать более общий случай, в котором и, = АМ ДГ * СМ *.

Однако известно, что такой случай всегда можно привести к случаю вида (1.11).

Обозначим через ЮТ и совокупность всех программных управлений и (•) и ¿-Г (-), то есть измеримых функций и (•) (- о®Руд (-): (- соответственно.

Определение 1.2. Множество всех позиций (-?о, Х0) X таких, что для любого гУ{) 6 выполняется следующее условие называется множеством программного поглощения.

Известю (см., например [Л3⁹]), что множество программного поглощения можно определить следующим образом:

ПР=1(ЪХ,)<:('^ д]хЯП: € 01*., х0)*о3 (1.12) где sti и (s*Rni IIS// = L /, a i.

Vfr s)~ rnin< &(T)u3s> + rnet*< C (T)?t 5 uep S (rQ p (s) — та* < s, rn >.

Из определения 1.2 или из соотношения (I.I2) следует, что п л ' множество w выпукло и компактно в К.

Приведем определение множества позиционного поглощения. Определение 1.3. Множеством позиционного поглощения называется совокупность позиций (¿-0}Хо) 6 &] X R11, обладающих следующим свойством: для любой стратегии второго игрока о.

V 6 Упоз. существует движение х (-) Ь Х (*., Х., V) такое, что справедливо X (&) € /А* .

Отметим, что множество позиционных стратегий и пучок движений X (Х0> V) порожденной стратегией V 6 V/?©! второго игрока, определяется аналогичным способом, как это определялось для первого игрока. Множество позиционного поглощения совпадает с максимальным истабильным мостом.

I. Для нелинейной задачи сближения даны определения стабиль- 96 ;

ного моста в ин^инитезимальной форме и доказана эквивалентность известного и новых определений.2, Рассмотрены свойства производной мюгозшчного отображе ния, которая фигурирует в новом определении свойства стабильнос ти, 3, Указаны условия стабильности множеств с кусочно-гладкой границей. Эти условия выражаются неравенствами, которые связыва ют правую часть управляемой системы и нормали к гладким участкам границы.4, В качестве следствия теоремы об эквивалентности, рассмот рены условия стабильности множества программного поглощения и описано конечное разбиение стабильного моста ш замкнутые подано жества.