Модели и алгоритмы анализа различных типов экспертных предпочтений на основе матриц парных сравнений

Актуальность проблемы. Любое принятие решения сводится к многокритериальному выбору альтернатив при поиске наилучших вариантов решения проблемы, либо лучших, средних и худших объектов при анализе итогов деятельности. Если подведение итогов деятельности осуществляется на основе известных. значений показателей, то стадия планирования характеризуется высокой степенью неопределенности. В условиях динамичных преобразований общества вызывает затруднения использование статистических данных на стадии планирования. В" качестве альтернативы использованию статистики выступают экспертные оценки проблем, как количественные, так и качественные.

Для*, решения проблемс высокой степенью-неопределенности Томас Саати предложил метод анализа иерархий (МАИ).- Он основан на применении матриц, парных сравнений (МПС). В отличие от абсолютных значений показателейприменяемых в задачах-оптимизациив. МПС используется шкала отношений. Метод анализа иерархий-характеризуется небольшим количеством альтернатив (как правило, не более десятка) и экспертным заданием предпочтений. Т. Саати ограничивается, применением, только целочисленной кратности-предпочтенийпревосходством одной сущности-над другой в 2, 3, ., в, 9 раз.

ИсследованияТ. Саати продолжили A.B. и О. Н. Андрейчиковы, В. Г. Тоценко, М. А. Плаксин, С: И: Колесникова и другие ученые. Метод-анализа иерархий получил большое распространение при решенииэкономических задач. Описание МАИ приводится в большом, числе работ различных авторов: А. Н. Павлов, Э. Н. Ожиганов, Hamdy A. Taha и др. Однако применение матриц парных сравнений не ограничивается методом анализа иерархий. Они получили и самостоятельное применение — при определении весовых коэффициентов критериев в системном анализе и методах скалярной оптимизации, при анализе результатов турниров, определении групповых предпочтений экспертов и пр. В этих задачах МПС не ограничиваются только кратностью предпочтений. Помимо нее при формировании МПС применяются порядковые и балльные предпочтения, интенсивности предпочтений, а также соотношения выигрышей и потерь. В определение свойств матриц этих типов внесли вклад Б. Г. Миркин, М. Кендэл, Е. Herrera-Viedma, F. Herrera, S. Alonso и другие ученые.

При экспертном заполнении матриц парных сравнений любого типа приходится решать две задачи: определять согласованность введенных предпочтений и доопределять частично заданные матрицы. Обе задачи связаны с размерностью матриц. Согласно пределам своей оперативной’памяти человек может безошибочно заполнить 7±2 клеток матрицы. Этому количеству клеток соответствует размерность симметричной5 матрицы от 4×4 до 5×5. А уже при сопоставлении десяти' альтернатив необходимо заполнять N (N — 1)/2 = 45 клеток, что практически невозможно выполнить без ошибок. Для определения процента ошибок эксперта-применяются4 коэффициенты согласованности, а в качестве меры борьбы с ошибками применяется частичное заполнение матриц. Остальная^ часть клеток доопределяется с использованием показателя: согласованности. Задачи определения согласованности и доопределения предпочтений ' решались различными методами' следующими1, учеными: В. Г. Тоценко? Р. Harker, К. Nishizawa, J. Barzilai, М: Fedrizzi, М. Bruneiii, S. Giove, Z. Xu и др.

Конечной задачей использования матриц парных сравнений является расчет приоритетов альтернатив. Эта задача решалась для разных типов предпочтений с учетом и без учета «сил сущностей» следующими учеными: B.F. Миркиным, Т. Саати, К.О. Coggerand, «P.L. Yu, R.E. Jensen, К. Sekitaniand, N. Yamaki, S. Bozoki и др.

Анализ исследований показал их различную степень полноты для матриц разных типова- исследователи ограничивались матрицами с определенным типом предпочтений. Для каждого из типов предпочтений получены некоторые частные: результаты в решении перечисленных задач. Однако на практике трудно* ограничиться каким-то одним типом предпочтений. В частности, такой тип, как кратность предпочтений, в литературе неоднократно подвергался критике. Каждый из типов. предпочтений имеет свои достоинства и недостатки. В связи с, этим актуальным, является анализ предпочтений на основе МПС с различными: типами предпочтений, включающийрасчет приоритетов* сущностей, исследование: согласованности матрицы, алгоритмы оптимального доопределения" не полностью заданных матриц. Наряду с удобством задания предпочтений, систематизация • и унификация решения всех задач на матрицах парных сравнений" дает, возможность сравнивать результаты, получаемые на матрицах различного типа, что представляет как научный, гак и практический: интерес: '•¦.'¦-" ¦¦-.. .

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются? свойства, матриц парных сравнений с, различными типами предпочтений-, предназначенных.' для вычисления приоритетов, сущностей: — Предметом исследованияявляются* методы заполненияи анализа: содержимого: матриц, их доопределения, и? расчета на основевведенных: предпочтений? приоритетовсущностей.. •. '. •:'•-'.

• Цельработы—Создание математического и алгоритмического: обеспечения* по анализу. содержимого МПС с различными типами предпочтений и расчету приоритетошсущностейт^задачах принятияфешений;

Для достижения: носташюнной цели необходимо решить следующие задачи:

1. проанализировать — состояние1 исследований — по изучению свойств1 матриц парных сравнений-, ^.

2. формализовать процедуры преобразования предпочтений;

3. разработать систему показателейхарактеризующих содержимое как экспертных, так и турнирных матриц с различными типами предпочтений;

4. разработать методы доопределения не полностью заданных матриц;

5. унифицировать методы вь1числения приоритетов сущностей.

На основе полученных математических моделей и алгоритмов ставится задача разработать систему вычисления приоритетов (СВП). Система вычисления приоритетов сущностей должна рассчитывать матрицы с любым типом предпочтений д источником’исходных данных, как экспертных, так и объективных.

В составе системы выбора, и ранжирования СВИРЬ-Р система вычисления приоритетов должна вычислять весовые коэффициенты критериев в методах скалярной оптимизации и реализовывать метод анализа иерархий (МАИ) с числом уровней не 'менее пяти. Принципиальной* особенностью реализации МАИ является использование любых типов предпочтений в каждой матрице иерархии. Матрицы могут заполняться как экспертами, так и итогами взаимодействия сущностей. Размерность матриц в принципе не ограничена (до десятков сопоставляемых сущностей). На приоритет сущностей должны оказывать влияние степень их взаимодействия, и различимость.

Методы, исследования. Для исследований в работе использовались методы системного анализа, теории множеств, теории графов, линейной алгебры и математической статистики.

Научной новизной обладают:

1. обобщенная модель парных сравнений, содержимое которой может отражать любые типы предпочтений;

2. введенные показатели согласованности предпочтений: коэффициент ¦ порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностейпоказатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности;

3. введенные показатели, характеризующие взаимодействие активных л сущностей (спортивных команд, экономических субъектов и т. п.):

— показатель устойчивости (стабильности) активной сущности;

— показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц;

4. методы доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений, основанные на решении оптимизационной' задачи по критерию согласованностипредпочтений. Они различаются целевыми функциями (максймальное собственное число и определитель матрицы) и способами (итерационный и аналитический) нахождения неизвестных элементов матрицы.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается экспериментальными. доказательствами основных положений работы и практической апробацией предложенных моделей и методов на реальных данных при решении практических задач на разработанной' автором системе вычисления приоритетов и инструментальной системе СВИРЬ-Р.

Практическая, значимость состоит в^ использовании, полученных результатов на-практике для оценки эффективности работы железных дорог, и в учебномпроцессе в курсе «Теория принятия решений», что подтверждено соответствующими документами о внедрении. Реализация и внедрение результатов работы:

1. программно-методический-комплекс «Система вычисления приоритетов» использован в рамках научно-исследовательской* работы «Оказание информационно-справочных услуг по1 организации взаимодействия обособленных региональных структур враках единого1 технологического процесса железнодорожных перевозок на территории Красноярской железной дороги» (акт внедрения от 13.10.2011);

2. используется в ПГУПС в составе инструментальной системы СВИРЬ для выполнения лабораторных работ вкурсах «Методы и алгортимы принятия решений», «Теория принятия решений» и «Методы принятия решений» (акт внедрения от 07.10.2011). На защиту выносятся: — ¦

1. обобщенная модельпарных сравнений, реализующая различные типы предпочтений;

2. показатели согласованности предпочтений:

— коэффициент порядковойг, согласованности, учитывающий равнозначность сущностей;

— показатель — количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности;

3. новые показатели, характеризующие взаимодействие активных сущностей:

— показатель' устойчивости (стабильности)" активных сущностей, отражающий число циклов, проходящих через вершины графа, соответствующие этим сущностям;

— показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц;

4. методы доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений;

5. разработанная 'программная система вычисления приоритетов. Апробация работы. Результаты исследований докладывались на студенческих конференциях «Неделя науки» (ПРУПС, 2005, 2006, 2007 гг.), международных конференциях «Мягкие вычислениями измерения (SCM)» (2005 и 2006 года), Х-й СПб. конференции «Региональная информатика-2006″, конференции IEEE AIS'07 и> CAD-2007, IV-й научно-практической конференции ИММОД-2009, 8-й Российской конференции „Новые информационные технологии в исследовании сложных структур“ (ICAM)» (2010 год). «.

Публикации. По материалам диссертационной работы имеется — 10 публикаций, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 5-ти глав с краткими выводами, заключения, приложения и списка.

5.7. Выводы по пятой главе 1. Поскольку СВП ориентирована на обработку матриц с любыми типами предпочтений, эта система пригодна для решения всех типовых задач на матрицах парных сравнений. К ним относятся задачи выбора наилучшей альтернативы на стадии планирования, распределения ресурсов (пропорционально полученным приоритетам), групповой экспертизы [3], определения мест по результатам противоборств и т. д.

Реализация в системе разработанных в диссертации методов доопределения частично заданных матриц и новых показателей позволило решить ряд новых задач.

2. Возможность доопределения частично заданных матриц с нестрогими предпочтениями позволила решить задачу выявления ошибок экспертов в задаче вербального анализа решений.

3.

Введение

новых показателей и средств когнитивной графики дало возможность выполнять исчерпывающий анализ результатов турнира. В качестве примера проанализированы результаты футбольного чемпионата.

России за 2009;й год.

4. Благодаря объединению функциональных возможностей систем СВП и СВИРЬ-Р оказалось возможным в методе МАИ реализовать режим автоматического заполнения матриц с любым типом предпочтений на основе значений показателей, принятых за критерии оценивания сущностей.

5. Функциональные возможности СВП, ее связь с системами СВИРЬ-Р и MS Excel были использованы для организации лабораторной работы, предназначенной для изучения свойств матриц парных сравнений и решения с их помощью задач принятия решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Анализ существующего состояния в области применения матриц парных сравнений на практике показал с одной стороны их большую востребованность, а с другой стороны— частный характер исследований по типам используемых в них предпочтений.

В процессе диссертационных исследований были получены следующие основные результаты.

1. Выполнен анализ исследований в области формирования, анализа и обработки матриц парных сравнений.

2. Разработаны правила преобразования предпочтений и на их основе предложена обобщенная модель парных сравнений, содержимое которой может отражать любые типы предцочтений.

3. Усовершенствованыпоказатёли согласованности предпочтений:

— коэффициент. порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностейпоказатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности.

4. Предложены .'- новые показатели, характеризующие взаимодействие активных сущностей:

— показатель устойчивости (стабильности) активных ' сущностей, отражающий число циклов,. проходящих через вершины графа, соотве тствующие этим сущностямпоказатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц.

5. Доказана возможность использования определителя матрицы парных сравнений для оценки согласованности содержащихся в ней предпочтений.

6. Разработано три метода доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений, основанные на решении оптимизационной задачи по критерию согласованности предпочтений. Они различаются целевыми функциями (максимальное собственное число и определитель матрицы) и способами (итерационный и аналитический) нахождения неизвестных элементов матрицы.

7. Выполнено экспериментальное исследование в среде МАТЪАВ с целью сопоставления результатов. доопределения матрицы с максимальным собственным числом и определителем в качестве сцелевых функций. Эксперимент показал возможность применения определителя в качестве с целевой функции и невзамозаменяемость определителя и собственного числа. ,.

8. Разработана система вычисления приоритетов, универсальная по отношению к типам предпочтений и реализованная в виде динамической библиотеки системы выбора и ранжирования СВИРЬ-Р.

9. С применением системы вычисления приоритетов выполнены эксперименты по определению ¡-свойств МПС с различными типами предпочтений. :

10. С помощью системы вычисления приоритетов решен ряд новых задач в области принятия решений. .

11. Система вычисления приоритетовбыла использована для выполнениянаучных работ в области, железнодорожного транспорта и внедрена в учебном лроцессе по дисциплине <<�Тёория принятия решений".