Изогюйгенсовы деформации инвариантных дифференциальных операторов

Актуальность темы

Настоящая работа посвящена расширению класса инвариантных дифференциальных операторов, удовлетворяющих принципу Гюйгенса в известном, так называемом, узком смысле Адамара. Это расширение основано на совместном использовании метода Рисса [49], обобщающего технику интегралов Римана-Лиувилля, и относительно нового метода дифференциального исчисления сплетающих операторов со спектральными параметрами [4, 31].

Физический смысл узкого принципа Гюйгенса состоит в существовании заднего фронта волны, вызванной локализованным в пространстве и времени источником. Современное понимание математической природы этого принципа было фактически предложено Ж. Адамаром [1]: дифференциальный оператор удовлетворяет принципу Гюйгенса (усиленному принципу Гюйгенса), если носитель некоторого его фундаментального решения имеет коразмерность равную (большую) единице (ы).

Адамар исследовал задачу Коши для линейных гиперболических дифференциальных операторов второго порядка и показал, что принцип Гюйгенса может выполняеться только в случае четной размерности большей двух [1]. При этом была указана оригинальная конструкция фундаментального решения и в соответствующих терминах установлен критерий гюйгенсовости. (Более подробную информацию об анзатце Адамара и его приложениях, см., например, в работах [2, 15, 16]).

Он же поставил задачу описания всех линейных гиперболических дифференциальных операторов второго порядка, удовлетворяющих принципу Гюйгенса (проблема Адамара). Долгое время считалось, что принципу удовлетворяют только волновой оператор и ему эквивалентные (приводимые к волновому невырожденной заменой переменных или умножением оператора слева или справа на функцию). Последнее было отчасти продиктовано работами [30,47]. Однако, эта гипотеза была опровергнута контрпримерами Штельмахера [51, 52]. Чуть позже Штельмахер и Лагнезе [44, 45, 46], при помощи критерия Адамара, описали все гюйгенсовы операторы, получающиеся деформацией волнового оператора, зависящей только от одной переменной. Все такие деформации образуются из нулевой при помощи преобразований Дарбу и имеют дробно-рациональный вид (см., например, [33, 54]). Позднее этот метод был обобщен в [15].

В начале 90-х годов, Берест, Веселов и Молчанов [3, 4, 31, 53] предложили новый подход к деформации гюйгенсовых операторов. Этот подход основан на, так называемой, калибровочной эквивалентности деформированного и исходного дифференциальных операторов.

В отличие от уникальной конструкции Адамара (ее не удается распространить на сколь-нибудь общие дифференциальные операторы), метод работ [3, 31] применим к достаточно произвольным дифференциальным операторам. Поэтому в работе [32] была поставлена задача о применении указанного метода к операторам более высокого порядка и не обязательно гиперболическим. (Негиперболические дифференциальные операторы ранее исследовались на гюйгенсовость, например, в работах [9, 23]). Аналогичная задача об отыскании гюйгенсовых операторов была также поставлена в [8] в связи с работами [6, 11, 12, 18, 19, 40, 49]. При этом в термин «проблема Адамара» стал вкладываться более общий смысл описать произвольные гюйгснсовы дифференциальные операторы.

Все это и обуславливает актуальность темы диссертационного исследования, касающегося конкретных деформаций инвариантных дифференциальных операторов на некоторых пространствах.

Цель работы опираясь на теорию обобщенных функций, распространить метод ядер Рисса и метод сплетающих операторов со спектральными параметрами на изогюйгенсовы деформации инвариантных дифференциальных операторов произвольного порядка, связанных с некоторыми однородными конусами и с пространством прямоугольных матрицв частности, указать фундаментальные решения деформированных операторов и достаточные условия выполнения для них принципа Гюйгенса в обычной или в усиленной форме.

Научная новизна, работы состоит в следующем:

1. Введен специальный квадратичный дифференциальный оператор и установлена калибровочная эквивалентность с его деформациями при помощи потенциалов Лагнезе-Штельмахера.

2. Построены изогюйгенсовы деформации дифференциальных операторов Кэли-Гординга и Гиндикина, связанных с самосопряженными конусами вещественных симметрических матриц и со специальным несамосопряженным линейно однородным конусом ранга три обобщенных симметрических матриц.

3. На пространстве вещественных прямоугольных матриц исследован негиперболический дифференциальный оператор Кэли-Лапла-са и построены его изогюйгенсовы деформации.

4. В явном виде найдены фундаментальные решения деформированных операторов и их степеней.

5. Установлены достаточные условия гюйгенсовости рассматриваемых операторов.

Теоретическая ценность. Результаты диссертации дают существеннейрасширение класса гюйгенсовых дифференциальных операторов высоких порядков и могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений и теории однородных обобщенных функций.

Апробация. Результаты диссертационного исследования докладывались на конференции молодых ученых в МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва, 2000) — на международном симпозиуме по дифференциальным уравнениям, посвященном 150-и летию со дня рождения С. В. Ковалевской (С.-Петербург, 2000) — на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000).

Кроме того, результаты работы докладывались на семинаре под руководством проф. В. М. Бабича в С.-Пб. отд. МИАН им. В. А. Стеклова и на семинаре под руководством проф. В. А. Голубевой в Коломенском Государственном педагогическом институте.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в ее конце.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, которые разбиты на 18 параграфов. Каждая глава снабжена кратким введением, где дается сжатый обзор известных результатов, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов. В список литературы включено 54 названия.

1. Ж. Адамар, Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа, — М.:Наука, (1978).

2. В.М. бабич, Анзатц Адамара, его аналоги, обобщения, приложения, Алгебра и анализ, т. З, в.5, (1991), с. 1 37.

3. Ю. Ю. Берест, A.n.Веселов, Проблема Адамара и группы Кокстера: новые примеры гюйгенсовых уравнений, Функц. анал. и сто прил., т. 28, 1, (1994), с. 3 — 15.

4. Ю. Ю. Берест, А. П. Веселов, Принцип Гюйгенса и интегрируемость, УМН. т.49, 6(300), (1994), с.8−78.

5. И.Н. БерыштеЙН, Аналитическое продолжение обобщенных функций по параметру, Функц. аназиз и его прил., т.6(4), (1972), с. 26−40.

6. Б.Р.ВаЙНБЕРГ, С.Г.гиндикин, Об усиленном принципе Гюйгенса для одного класса дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, Труды Моск. матем. о-ва 16, (1967), с.151−180.

7. А. П. Веселов, K.JI. Стыркас, O.A. Чалых, Алгебраическая интегрируемость для уравнений Шредингера и группы, порожденные отражениями, ТМФ, т. 94, N 2, (1993), с. 253 275.

8. А. М. Габриелов, В. П. Паламодов, Принцип Гюйгенса и его обобщения. (В книге И. Г. Петровский, Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. Избранные труды.) М.:Наука, (1968), с.449−456.

9. С.А. гальперн, Лакуны негиперболических уравнений, -ДАН СССР, т. 132, N 5, (1960), с. 990 993.10. и.М.гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. Вып.1, М.: Физматгиз, (1985).

10. С. Г. Гиндикин, Анализ в однородных областях, УМН, т.19, 4(118), (1964), с.3−92.

11. С.г.гиндикин, Задача Коши для сильно однородных дифференциальных операторов, Труды Моск. матем. о-ва 16, (1967), с.181−208.

12. Е.Е.демидов, Иерархия Кадомцева-Петрашвили и проблема Шоттки. Специальный курс, М.: МК НМУ, (1995).

13. Ж. денеф, О локальной дзета-функции Игузы, (Труды семинара Н. Бурбаки за 1991 г.) М.:Мир, (1998), с.300−330.

14. Н. Х. Ибрагимов, А. О. Оганесян, Иерархия гюйгенсо-вых уравнений в пространствах с нетривиальной конформной группой, УМН, т.46, в.3(278), (1991), с. 111 146.

15. Н.Х. ИБРАГИМОВ, Группы преобразований в математической физике, М.:Наука, (1983).

16. Е.Е.петров, Преобразование Радона в пространстве матриц, — МГУ, Труды сем. по вект. и тенз. ан., 15, (1970), с.299−315.

17. И. Г. Петровский, О диффузии волн и лакунах для систем гиперболических уравнений, Матем. сб., т. 17, (1945), с. 289- 370.

18. И. Г. Петровский, Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. Избранные труды, -М.:Наука, (1968).

19. В.И.СемянистыЙ, О некоторых интегральных преобразованиях в евклидовом пространстве, ДАН, т.134, 3, (1960), с.530−539.

20. В.И.СЕМЯНИСТЫЙ, Некоторые интегральные преобразования и интегральная геометрия в эллиптическом пространстве, МГУ, Труды сем. по вект. и тенз. ан., 12, (1963), с.397−441.

21. В.И.СЕМЯНИСТЫЙ, Некоторые задачи интегральной геометрии в псевдоевклидовых и неевклидовых пространствах, -МГУ, Труды сем. по вект. и тенз. ан., 13, (1963), с.244−302.

22. В.Б. творогов, Резкий фронт и особенности решений одного класса негиперболических уравнений, ДАН СССР, т. 244, N 6, (1979), с. 1327 — 1331.

23. Г. М. ФИХТЕНГОЛЬЦ, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, М.: Физматгиз, (1963).

24. С. хелгасон, Преобразование Радона, М.: Мир, (1983).

25. С.П.хэкало, Потенциалы Рисса в пространстве прямоугольных матриц и изогюйгенсова деформация оператора Кэли-Лапласа, ДАН, т.376, 2, (2001), с. 168−170.

26. С.п.хэкало, Изогюйгенсовы деформации однородных дифференциальных операторов, связанных со специальным конусом ранга три, Матем. заметки, (2001), с.

27. L. asgeirsson, Some Hints on Huygens1 Principle and Hadaiuard’s Conjeciure, Comm. Pure and Appl. Math., V. 9, N 3, (1956), p. 307 327.

28. Y. Berest, Solution of a restricted Hadamard Problem on Minkowski Spaces, Comm. Pure. Appl. Math., V. 50, (1997), p. 1019 1052.

29. Y.Y.Berest, Lacunaes of Hyperbolic Riesz Kernels and Commutative Rings of Partial Differential Operators, Lett, in Math. Phis., 41, (1997), p. 227 — 235.

30. Y.Y.Berest, I.M.Loutsenko, Huygens' Principle in Minkowski Spaces and Soliton Solutions of the Kort, eweg-de Vries Equation, Commun.Math.Phys. 190, (1997), p.113−132.

31. J.L.BurcHNALL, T.W.ChaUNDY, A set of differential eqations which can be solved by polynomials, Proc. London Math. Soc., 30, (1929;2930), p.401−414.

32. O.A. Chalych, M.V. Feigen, A.P. Veselov, Multidimen-tional Baker-Akhiezer Functions and Huygens' Principle, -Comm. Math. Phis., V. 206, (1999), p. 533 566.

33. O.A. chalych, A.P. veselov, Commutativ rings of Partial differential operators and Lie algebras, Comm. Math. Phis., V. 126, (1990). p. 597 — 611.

34. Foures-Bruhat Ivonne, Solution eleinentaire ?'equations ultra hyperboliques, J.Matli.Pure et, Appl. 35(3), (1956), P.277−288.

35. L. garding, The solution of Caucliy’s problem for two totally hyperbolic differential equations by means of Riesz integrals, -Ann.Math. 48(4),(1947), p.785−826.

36. M. Holschneider, Inverse Radon transforms throutli inverse wavelet transforms, Inverse problems 7, (1991), p.853−861.

37. HUA LOO KENG, Harmonic analysis of functions of many complex variables in the classical domaines, Amer. Math. Soc., Providence, RI 1963.

38. S. khekalo, Fundamental solution for iterated Cayley-Garding type operator, Symposium theory of partial differential equations and spectral topics of theory of ordinary differential equations. Theses. St. Petersburg, Russia, (2000).

39. J.E. Lagnese, K.L. Stellmacher, A method of generating classes of Huygens' operators, J. Math. Mecli., V. 17, N 5, (1967), p.461- 472.

40. J.E. Lagnese, A solution of Hadamard’s Problem for a restricted class of operators, Proc. Amer. Math, soc., V. 19, (1968), p. 981- 988.

41. J.E. Lagnese, The Structure of a class Huygens' Operators, J. Math. Mecli., V. 18, N 12, (1969), p. 1195 1201.

42. M. Mathisson, Le probleme de Hadamard relativ a la diffusion des ondes, Acta Math., V. 71, (1939), p. 307 — 327.

43. M. RAIS, Destributions homogenes sur des espac. es de mat", rices, Bull.Soc.Mat.h.Franse, Memore, 30, (1972), p.3−109.

44. M. RlESZ, L’integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauclii, Acta Math., 81, (1949), p.1−223.

45. B. Rubin, Inversion of k-plane transforms via continuous wavelet transforms, J. of Math. Anal, and Appl., preprint 14, (1995/96).

46. K.L. Stellmacher, Ein Beispeil einer Huygennchen diffcrontialg-leiclmng, Nachr. Akad. Wiss., Gottingen Math. Phis. Kl. Pa., V. 10, (1953), p. 133 138.

47. K.L. Stellmacher, Eine Klasse Huygennclier Differentialgleichungen und ihre Integration, Math. Ann., V. 130, N 3, (1955), p.219 — 233.

48. A.P. VESELOV, Calogero quantum problem, Knizhnik-Zamolod-chikov equation and Huygens principle, Work Math. Pliis., 98, N 3, (1994), p. 524 535.

49. J.P. Zubelli, F. Magri, Differential Equationes in the Spectral Parameter, Darboux Transformations and a Hierarchy of Master Symmetries for KdV, Comm. in Math. Phis., V. 144, (1991), p. 329 351.