Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа

1. Разработка методов расчета на устойчивость решений различных классов уравнений (дифференциальных, разностных, дифференциально — разностных, функционально — дифференциальных) с почти периодическими коэффициентами — относительно мало исследованная область теории устойчивости. Если в периодическом случае на основе теории Флоке в работах A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре, М. Г. Крейна, В. А. Якубовича и В. М. Старжинского, А. Халаная, Дж. Хейла, М. А. Солдатова, М. И. Каменского, О. Р. Германовича и других авторов разработаны эффективные критерии устойчивости и на этой основе решен ряд прикладных задач [1]-[28], то здесь известные до последнего времени результаты относятся главным образом к уравнениям с малым параметром — работы И. З. Штокало, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, В. Н. Фомина, В. Ш. Бурда, Ю. С. Колесова и других [29]-[44].

Некоторое продвижение в этой области произошло в последнее десятилетие. В работах Р. К. Романовского, С. М. Добровольского, А. С. Котюргиной, О. В. Кириченовой [45]—[48] предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем дифференциальных и разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами, в котором условие на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с известными результатами для систем указанных классов общего вида (при этом существенна и почти периодичность по времени функции Ляпунова). Полученные на этом пути достаточные условия асимптотической (в линейном случае — «экспоненциальной) устойчивости применены к анализу устойчивости подклассов неавтономных систем автоматического управления.

В работах Н. В. Алексенко [49], [50] эти результаты распространены на почти периодические системы дифференциально — разностных и, более общо, функционально — дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Для частного случая линейных дифференциально — разностных систем [50] получено достаточное условие слабой экспоненциальной устойчивоститермин «слабой» означает, что скорость экспоненциального убывания зависит от начального возмущения. Основная дополнительная трудность, которая здесь преодолевалась, — некомпактность единичной сферы в пространстве начальных данных (в указанных в предыдущем абзаце работах существенно использована конечномерность фазового пространства). В [51] результат работы [50] перенесен на подкласс интегро — дифференциальных уравнений с почти периодическим ядром.

Результаты работ [45]-[50] являются новыми и для частного случая периодических коэффициентов.

2. Основным содержанием диссертационной работы является распространение методов ирезультатов работ [49], [50] на функционально — дифференциальные уравнения нейтрального типа (уравнения в форме Дж. Хейла [11], [14]). Преодолеваемые трудности, помимо связанной с некомпактностью единичной сферы, связаны с учетом свойств разностного почти периодического оператора в левой части системы типа Хейла (в случае систем запаздывающего типа он является тождественным) — с этим же связана проблема выбора класса функционалов Ляпунова, для которых может быть эффективно вычислена производная вдоль траекторий системы.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Floquet G. Sur les equations differentielles lineaires a coefficients periodiques // Ann. Sci. de PEcole. Norm. Sup. 1883. V. 12(2). P. 47−89.

2. Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения / Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1956. Т.2. С.7−263.

3. Poincare Н. Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique // Acta Math. 1890. V. 13. P. 5−270.

4. Крейн M. ГДалецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

5. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

6. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987.

7. Дергузов В. И. Математическое исследование периодических цилиндрических волноводов //I. Вестник ЛГУ. 1972. Т. 13. №. С. 32−40. И. Вестник ЛГУ. 1972. Т. 19. №. С. 14−20.

8. Дергузов В. И., Махалов А. С. Задача Коши для некоторого класса операторных дифференциальных уравнений с негладкими периодическими коэффициентами // Проблемы мат. анализа. Ленинград. 1984. Т. 9. С. 98−104.

9. Кучмент П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // УМН. 1982. Т. 37. № 4. С. 3−52.

10. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. New York London: Acad. Press, 1966.

11. Хейл Дж. Теория функционально дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

12. Солдагпов М. А. О свойствах решений линейных дифференциально разностных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1967. Т. 8. т. С. 669−679.

13. Каменский М. И. Вычисление индекса изолированного решения задачи Коши для функционально дифференциального уравнения нейтрального типа // Функциональный анализ и его приложения. Вып.1. Воронеж, 1973. С. 6−13.

14. Ахмеров P.P., Каменский М. И., Потапов А. С., Родкина А. Е., Садовский Б. Н. Теория уравнений нейтрального типа / Математический анализ, Т.19. М.: ВИНИТИ, 1982. С. 55−126.

15. Германович О. П. Линейные периодические уравнения нейтрального типа и их приложения. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1986.

16. Lillo J. С. First order periodic differential difference equations // J. Math. Anal, and Appl. 1979. V. 70. № 2. P. 389−398.

17. Барабанов H. E. Критерий асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 12. С. 2059;2066.

18. Башкиров А. И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. № 11. С. 1994;1997.

19. Валеев К. Г. Развитие теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента / Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 72−82.

20. Кулеско Н. А. О полноте системы решений Флоке уравнений нейтрального типа // Матем. заметки. 1968. Т. 3. № 4. С. 297−306.

21. Кулеско Н. А., Левин Б. Я. О полноте решений Флоке для дифференциальных уравнений второго порядка с отклоняющимся аргументом j j Сиб. матем. журнал. 1977. Т. 18. № 2. С. 321−326.

22. Колесов Ю. С. Математические модели экологии / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1979. С. 3−40.

23. Колесов А. Ю., Колесов Ю. С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии / РАН. Труды Матем. инта им. В. А. Стеклова. CXCIX. М.: Наука, 1993.

24. Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations. Kluwer academic publishers. DordrechtBoston London, 1992.

25. Кубышкин E. П. Параметрический резонанс в линейных периодических системах с последействием / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978. С. 34−68.

26. Липницкий А. В. Оценка характеристических показателей уравнения Хилла с периодическими коэффициентами // Дифферент уравнения. 1996. Т.32. № 3. С. 323−327.

27. Романовский Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Методы функционального анализа в задачах математической физики. Киев: Изд-во ИМАН УССР, 1987. С. 47−52.

28. Романовская А. М. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем второго порядка с периодическими коэффициентами//Известия вузов. Математика. 1987. № 7. С. 44−48.

29. Штпокало И. 3. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Матем. сборник (новая серия). 1946. Т. 19. № 2.

30. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

31. Митрополъский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами: Киев: Наукова думка, 1984.

32. Фомин В. И. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1972.

33. Бурд В. Ш. Бифуркация почти периодических колебаний дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа с быстрым и медленным временем / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1976. С. 143−153.

34. Бурд В. Ш. Принцип усреднения на бесконечном промежутке для дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа с быстрым и медленным временем / Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 62−72.

35. Бурд В. Ш. Метод усреднения на бесконечном промежутке для дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа / Нелинейные колебания и теории упругости. Ижевск, 1978. № 2. С. 57−77.

36. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука, 1970.

37. Колесов Ю. С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ,, 1977. С. 82−141.

38. Бибиков Ю. Н. Квазипериодические возмущения осциллятора с кубической восстанавливающей силой // Дифференц. уравнения.'1996. Т.32. № 12. С. 1593−1598.

39. Валеев К. Г., Пе’рвак В. Д. Об одном методе исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с частными производными и квазипериодическими коэффициентами // ДАН УССР. Сер. А. 1975. Т. 15. С. 391−394.

40. Фодчук В. И., Холматов А. Исследование устойчивости систем дифференциально функциональных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами // Матем. физика. Респ. межвед. сборник. 1976. № 20. С. 71−76.

41. Еругин Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

42. Игнатьев А. С. Об устойчивости почти периодических систем относительно части переменных // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25. № 8. С. 1446−1448.

43. Кубышкин Е. П. Параметрический резонанс в системах с последействием при почти периодическом возмущении / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1978. С. 110−117.

44. Чаплыгин В. Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейных почти периодических уравнений с последействием с медленным временем / Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1975.

45. Добровольский С. М., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей // Мат. заметки. 1992. Т.52. № 6. С.10−14.

46. Добровольский С. М., Романовский Р. К. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем // Мат. заметки. 1997. Т.62. т. С.151−153.

47. Кириченова О. В., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Методфункций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журнал. 1996. Т.37. т. С.170−174.

48. Кириченова О. В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений // Сиб. матем. журнал. 1998. Т.39. 3V"1. С.45−48.

49. Алексенко Н. В. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем функционально дифференциальных уравнений запаздывающего типа // Изв. вузов. Математика. 2000. № 2. С. 3−6.

50. Алексенко Н. В., Романовский Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально разностных систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2001. Т.37. № 2. С.147−153.

51. Троценко Р. А. Об устойчивости решений линейных систем с последействием с почти периодическими коэффициентами // Доклады СО АН ВШ. 2001. № 1. С. 37−44.

52. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.

53. Демидович Б. 77. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

54. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

55. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969.

56. Троценко Г. А. Об устойчивости решений почти периодической системы нейтрального типа / Материалы заочных всероссийских научно технических конференций. II ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания». Май 2002 г., Нижний Новгород, с. 5.

57. Троценко Г. А. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем нейтрального типа / Тезисы докладов 8-й Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела», 3−7 сентября 2002 г., Донецк. С. 22.

58. Троценко Г. А. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем с последействием / Там же, С. 203−204.

59. Троценко Г. А. Устойчивость системы двух осцилляторов Ма-тье при наличии индуктивной связи с запаздыванием / Там же, С. 205−206.

60. Троценко Г. А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально дифференциальных уравнений нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. Принята к печати 19.03.2003.

61. Романовский Р. К., Троценко Г. А. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журнал. 2003. Т.44. № 2. С. 444−453.

62. Троценко Г. А. Об устойчивости решений линейных почти периодических дифференциально разностных систем нейтрального типа // Доклады СО АН ВШ. 2003. № 1. С. 43−50.

63. Троценко Г. А. Об устойчивости решений почти периодиче-' ской системы функционально дифференциальных уравненийнейтрального типа / Механика твердого тела. Донецк, 2002. № 32. С. 129−133.

64. Андреев А. С. Методы исследования устойчивости неавтономных уравнений. Ульяновск: ФМГУ, 1994. 80с.

65. Андреев А. С., Хусанов Д. X. К методу функционалов Ляпунова в задаче об асимптотической устойчивости и неустойчивости // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. № 7. С. 876−885.

66. Павликов С. В., Хусанов Д. Х. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости неавтономных функционально дифференциальных уравнений нейтрального типа j J УлГУ. Ульяновск, 1996. 41с. Деп. в ВИНИТИ 22.03.96., М881-В96.

67. Андреев А. С., Павликов С. В. К методу функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально дифференциальных уравнений // Мат. заметки. 2000. Т.68. № 3. С. 323−331.

68. Мартынюк А. А., Като Д., Шестаков А. А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990. С. 46−56.

69. Кореневский Д. Г. Критерии устойчивости решений систем линейных детерминированных и стохастических разностных уравнений с непрерывным временем и запаздыванием // Ма-тем. заметки. 2001. Т. 70. № 2. С. 213−229.