Проекционно-сеточные методы для стационарного и нестационарного уравнения 4-го порядка с негладкими данными

Построение и исследование методов решения дифференциальных уравнений с негладкими (разрывными, сосредоточенными, быстроосциллирующи-ми) данными — коэффициентами, правыми частями, начальными функциями и т. д. — является важной теоретической и практической задачей.

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с кусочно-непрерывными коэффициентами А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским была развита теория однородных разностных схем (см. о ней в [29]). Для аналогичных задач Г. И. Марчук предложил метод решения, основанный на использовании специальных интегральных тождеств (см. [24]). Несколько позднее стал развиваться проекционно-сеточный метод (см. [26], [32], [33], [24]) со специальными базисными функциями, зависящими от старшего коэффициента уравнения (см. [10], [39], [9], [36], [2], [3], [38] и др.).

Статические и динамические колебания балок и стержней описываются стационарными и нестационарными уравнениями с обыкновенным дифференциальным оператором не второго, а четвертого порядка (см. [27], [8]). Перечисленные выше подходы нашли применение и для их решения при негладких данных в стационарном случае в работах А. А. Самарского, Хао Шоу [31], А. А. Самарского, В. Б. Андреева [30], Г. И. Марчука, В. И. Агошкова, А. И. Степанова [24], [1], В. Г. Корнеева [22], И. Д. Туретаева [35], В. Б. Андреева, Г. Д. Андреасяна [4], А. А. Клунника, В. Г. Приказчикова [21] и др. Предлагались и другие подходы, в частности, Р. З. Даутовым, В. Н. Паймушиным [11]. Однако в целом случай уравнений четвертого порядка оказался существенно более трудным и недостаточно полно изученным. Что касается соответствующих нестационарных уравнений, то некоторые результаты были получены А. А. Злотником [14] и А. З. Ишмухаметовым [18], [19], однако этот случай оказался изученным мало. Таким образом, построение и исследование эффективных методов решения задач с операторами четвертого порядка с негладкими данными остается актуальной проблемой.

Цель работы состоит в построении и исследовании специальных проекционносеточных методов для решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка и соответствующей начально-краевой задачи (второго порядка по времени) с негладкими данными.

В работе широко используется теория проекционно-сеточных методов, теория обобщенных решений дифференциальных уравнений и пространств Соболева, теория интерполяции операторов в банаховых пространствах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Сформулируем основные результаты диссертации.

В главе 1 изучены проекционно-сеточные методы решения краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка, использующие обобщенные кусочно-" кубические" сплайны дефекта 2.

В § 1.1 сформулирована краевая задача для обыкновенного самосопряженного дифференциального уравнения 4-го порядка.

Lu = D2(a2D2u) — D{aDu) + а0и = / в П — (О, X) — (1) «1вп = 0, = (2) где D = d/dx, дО, = {0,Х}, а / = /<�°> + DfM + Z>2/(2) — Предположим, что ||a2||ioo (n) < N и N-1 < (22(я) на П, где iV > 1 — параметр. Условимся, что ниже Dw • </? = (Dw)(p. В качестве обобщенного решения задачи (1), (2) о рассматривается функция и 6 удовлетворяющая тождеству и, у?) = (a2D2u, D2ip) + (ai, Du ¦ Dip) + (a0,u (f) = (/, = = (/(0), У) — + (/(2),?>V) Vc/? 6 (fl).

В работе, как обычно, = {w 6 = 0, 0 < /с < ?}, где.

Wp (^) — пространства С. Л. Соболева c^> 1, 1 < p < oo, и 1/р + 1 /р' — = 1. Кроме того, (w, ip) = fnw (x)tfj (x)dx или, общее, значение функционала w на элементе ф. Предполагается, что билинейная форма ?(¦,¦) обла.

2 ° дает свойством iV-1 ||Hlw|(ft) — ^O^V3) e^l (^) — Введем кусочные обобщенные производные. Пусть UJq — фиксированное множество точек.

О = ж0,0 < ao, i < ••• < хо, п0 = X (по > 1). Пусть I > 1, и функция w? Li (Ct) имеет Diw E Li (xqj-i, xoj) для каждого 1 < j < noтогда положим |'D^w^ (x) = (D?w)(x) на (xoj-i, xqj) (для 1 < j < щ). Ниже индекс шо опускаем. Ниже в неравенствах встречаются 3 типа положительных постоянных (г = 0,1, 2,.): К и Ki — зависящие только от X и Nс и с* — зависящие только от Х с^ — не зависящие ни от каких величин (абсолютные постоянные). Все они не зависят от cJqДоказана следующая теорема о существовании и единственности решения задачи (1), (2) и его свойствах в зависимости от гладкости данных.

Теорема 1.1.1. Пусть 1 < р < оо.

1. EcAuf = D2fW u\ai.

W-ЧП) р IMIwz2(Q).

Ml wk п) Кх.

J (2).

Lp{Sl).

3) т. е., подробнее говоря, при / = D2 f (2) с /^ Е Lp (fl) существует единственное решение и? W2{Vl) и оно удовлетворяет оценке (3). 2. Если f = DfW и ||ai||Lp (n) + ||ао||ж-1(й) < N, то.

D{a2D2u) lp (q) к2.

1).

LP (Q).

3. Если f = /(°) и ||ai||Loo (n) + ||0ai|L (n) + Ыьр (П) ^ N> т0 DD (a2D2u).

Ьр (п).

К3.

0) lp (q).

Теорему 1.1.1 дополняют замечания и предложение, существенные для случая данных типа^{-функций,} а также неоднородных краевых условий.

В § 1.2 введен ряд обозначений: сетка tuh на с узлами 0 = xq < х < х2 < <. < хп = X (предполагается, что cJq С 0Jh) и шагами hi = Х{— а^-i, ^ = i = 1, п) и |/г| = max/ij, hmin: minhi. Пусть ус Е Ьос (Г2) и 0 < г г я < к{х) < х. Детально исследовано = {<р Е D2{>cD2(p) = 0 на fli, г = 1, п} — пространство кусочно-" кубических" сплайнов дефекта 2. Получены следующие оценки погрешности интерполяции, где s^u -—.

— б интерполянт из 62И Для функции и Е С1^) по значениям u{xi) и Du (xi), г = 0, п.

Теорема 1.2.1. Пусть 1 < р < q < 00, к = 0,1 и I — 0,1,2. При и Е Wp (Ct) верна оценка.

Dk (u-s{*]u).

Lq{Cl) с.

L 00 (П) h.

2-k-(l/p-l/q).

D и.

Lp (n) •.

Если дополнительно D (hD2u) Е Ьр (£1), а при I = 0 еще и 2 < р, то верна оценка.

Lq (Sl).

Dk (u — 4X) U) < х-1 щЮ-ь-Шр-Уч) d?(hD2u) lp (q).

Ряд замечаний распространяет отдельные оценки теоремы 1.2.1 на случай к = 2 и случай интерполирования функций с y&t-qDu < 00, &TqD2u < 00. Кроме того, получены оценки погрешности интерполяции в более сильных нормах (теорема 1.2.2), в частности, при 1 < р < q < 00,? = 1,2, для и Е Wp (Q), Dl (xD2u) Е LP (Q) справедлива оценка.

D^u-s^u).

Lg (Q) С^Х-2 llx.

Ьоо (П) г| г-(1/р-1/я).

D (яD2и) ьр (П).

В § 1.3 исследован проекционно-сеточный метод решения задачи (1), (2), использующий сплайны из ^[х]. В качестве приближенного решения расо сматривается функция v Е = { Е Иэп ~ -^Vldft ~ такая> что — (/(0)^) — + (f{2D2cp) fip е .

Для метода с н = ct2 — старшим коэффициентом уравнения (1) — получаются наиболее сильные оценки погрешности.

Теорема 1.3.1. Пусть 1 < р < 2, a / = ?>(2−0/(2−0 ^ = 0,1,2/.

1. .Если I = 0,1 и ||ai||Lr (fl) + IkollvKrT^n) — с некоторым г Е [1,У] (при ^ = либо г Е (при t — 1), то s 2 u — v.

W*(S2) ^ [Л|.

1-(1/р-1/г').

2−0.

L"(f!).

4).

2. Если ||oi||Loo (n) + ||^"i||Lr (n) + l|ao||Mn) < N с некоторым г 6 [1,2] (при? = 0,1) либо г 6 [р, 2] (при? = 2), то.

2) и — v w22(q).

K2he+2-Wp-1/r, y> fQ-V lp (q).

5).

При ai = О допустимы значения г G [l, p'j (гари t = 0,1J либо г Е [р, р-] (при? = 2).

В замечаниях к теореме 1.3.1 и дополнительных предложениях рассмотрены случаи, когда удается повысить порядок оценок (4), (5) за счет повышения требований к гладкости данных и (или) снижения требований к параметрам р и q или, наоборот, расширить диапазон значений р и q при понижении порядка оценок и (или) за счет снижения требований к гладкости данных. Отмечен случай неоднородных краевых условий.

В § 1.4 рассмотрены методы с более простыми аппроксимациями данных. Если коэффициент кусочно-постоянный и его точки разрыва принадлежат то ?2[0−2] = $ 2[1] j и поэтому метод с х = 02 совпадает со стандартным проекционно-сеточным методом с к = 1. Для метода с х = 1 и s.

1) r=i доказана.

Теорема 1.4.1. Пусть х = 1 и 1 < р < 2, a f = D2~? f (? = 0,1, 2) 1. Если? = 0,1 и | Da, 2 г G [ 1,2] (Vipw ^ = Oj либо г G [р, 2] (при? = 1), то ,(1) s2 и — V.

Если.

I Lp (ft).

2 и Da2 fi) + llaillLr (n) + llaollw-1(Q) < ^ с^{которым} о, 2] fпри? = 1), то +.

Хоо (П).

2 2} 6Z2 llaoll г < JV, то.

1) s и — V ch lp (q) 3-(1/р-½) 1Мь00(П) +.

LP (Q).

0).

LP (Q).

Исследован также другой упрощенный метод, при анализе которого какая-либо гладкость а2 уже не требуется. Пусть приближенное решение у Е о удовлетворяет тождеству a2D2y, D2v) + {a^Ds^y ¦ De^tp) + • s^tp) = (/W — (f^Mptp) + (/^V) Vy) G ?2[a2] .

В этом случае справедлива.

Теорема 1.4.2. Пусть 1 < г < р < 2. Если выполнено одно из условий: а) INIx^) + ^ Nб) llailUooCfl) + Pai|LР (П) + 1ММп) < N> то при f = D2fW верна оценка.

М «2 и~У ьг (п).

Kh k + l-(lfp-l/r).

2>

ЬР (П) где к = 0 в случае а) либо к = 1 в случае б).

При / = {I = 1,2) верна аналогичная оценка с min{/c + 1,^} в роли к + 1 и с в роли о.

В § 1.5 рассматривается пример финитного базиса пространства 52 Получены формулы для базисных функций и описана система сеточных уравнений с симметричной блочно-трехдиагональной матрицей (элементы которой — блоки 2×2) для нахождения приближенного решения.

В главе 2 изучены проезсционно-сеточные методы решения краевой задачи для стационарного уравнения 4-го порядка, использующие S[x] = = W е | xD2ip G W^(ft), D2{xD2.

В § 2.1 S[k] детально исследовано. Доказана единственность интерпо-лянта s^u из 6*2>с[ для и G W2(Cl) по значениям и (х{), i = 1, п и Du (0), Du (X). Получены следующие оценки погрешности интерполяции.

Теорема 2.1.1. 1. Пусть 2 < q < оо, к = 0,1. При и G И'/22(^) верна оценка.

Dk (u-s^u).

Lq (Q) С.

½ D2 U ь2т.

2. Пусть 1<�р<2.

Dk (u и) im+3-A-(l/p-l/y).

DmD (xD2u).

LP (Q).

6).

3. В случае, когда q = 2, результаты п. 1 и п. 2 справедливы и при к = 2. Оценку (6) (при указанных в п. 2,3 значениях параметров q, к и т) можно усилить, при р = 1 заменив.

МП) на var-^Dm{HD2u).

D D (kD2u).

Для квазиравномерной сетки (|Л| < Nhmin) задается снять ограничение Р < 2 < q.

Теорема 2.1.2. Пусть 1 <р < q < оо, и Е W2(H) и |/i| < Nh mm •.

1. Пусть к = 0,1, 2, причем q = р при к = 2. Тогда верна оценка.

Dk (u.

Lq (Q) к.

— 1 /р' l-2/Pl.

2-k-(l/p-l/q) k1^'D2U.

LP (Q).

2. Пусть k = 0,1,2, m = 0,1 и D D{hD2u) E? p (0). Тогда верна оценка.

Dk (u — s*'u) К.

— 1.

Tk (p, q) щ m+3-k-(l/p-l/q).

DmD (xD2u).

Lp (Cl) где crk (p, q) =0, 2/q — 1, 1 — 2 jp для, соответственно} l.

<2−2.

В § 2.2 исследован проекционно-сеточный метод решения задачи (1), (2), аналогичный методу из § 1.3, но использующий сплайны из S[h], с х = ач-Теорема 2.2.1. Пусть к = а2 ul.

1. Если I = 0,1 и + IIa01|и/-1 (п) < N с некоторым г Е [1, р' при t = 0) либо г Е [р, р'] (при 1=1), то.

2) Sj U — U Ki{N) |/1|^+1-(Vp-1A') /(2-?) ip (fi).

2. Если ЦсцЦ^ 11ао|1ьг (^) — N c некоторым r E [1,2] при i = 0,1) либо r E [p, 2] (при 1 = 2), mo s 'u — v K2{N) h.

2-{l/p-l/r') f (2-?) bp (fi).

При ai = 0 допустимы значения г Е [1 (при? = 0,1) либо г Е (при = 2).

3. 5 случае, когда дополнительно р — 2 при Е = 0, а также г < 2, результаты п. 1 и п. 2 верны при произвольной сетке oJh. Следствие. Верны также следующие оценки для и — v:

— < K (N) Dk (s (i2)u — v).

Kl{N)hW-k~{1/p-llq) ||/(2−4||мп), где k = 1 в условиях n. l либо k = 0 в условиях и.2-.

Lq (Q) q E [г', oo]. в условиях п. 2 при г = р,? = 2-.

Lp (Q) g Е [р, оо].

-(1/р-½).

2″ .

МФ в условиях п. 1 при г = р, 1 = 1ив условиях п. 2 при г = р,? = 2..

Если р = 2 при ^ = 0, а также г < 2 и q Е [2, оо], то указанные оценки верны при произвольной сетке Zoh..

Теорема легко переносится на случай неоднородных краевых условий..

В § 2.3 рассмотрен случай, когда коэффициент а2 непрерывен во всех точках П, кроме внутренних узлов cJh, где он может иметь разрывы 1-го рода. Пусть а2 — кусочно-линейный интерполянт для а2 по узлам oJh (разрывный при разрывном 02)¦ Выбор я = а2 позволяет существенно упростить вид коэффициентов системы сеточных уравнений..

Теорема 2.3.1. Пусть я = а2и1<�р<2, af = j)2-if{2-i) ^ = = 0,1,2/ Пусть сетка Zvh — квазиравномерная..

1. Если? = 0,1 и ||ai||Lp (J1) + Н^оHw^r1 (П) — N с некоторым г Е [1,2] при? = 0) либо г Е [р, 2] (при ?=1), а также L s^ 'и — v.

Wi (C2) N, то.

ЬР (П) о.

Если вместо IDa2 I г < N имеем D а2 < N и llDaollr /п < N п мЬоо^гLoo {О.) ~ 11 последнее — при 1 = 1), то допустимы значения г Е [1, р'} (при? = 0) либо г Е р, р'] (при 1 = 1)..

2. Если ||oi||Loo (n) + \Dai\Lr{n) + IMLff2).

Lr (Г2) при I = 0,1) либо г Е [р, 2] (при? = 2), а также d2.

I Da2.

ЬЕр (П) N (последнее — при? = 1,2,), то N и s{ 'и — v.

W*(Sl) K2{N) h.

2— (1/р— 1/г') f (2-/) p (fi).

3. В случае, когда дополнительно р = 2 при? = 0, а также г < 2, результаты п. 1 и п. 2 верны при произвольной сетке UJh..

В замечаниях отмечено, что теорема 2.3.1 сохраняет силу, если вместо >с — а2 взять и = (аз — что е1Де более упрощает вид коэффициентов системы сеточных уравненийкроме того, теорема 2.3.1 верна также для метода, использующего пространство S2[x] (вместо S[h]) с к = а2, (а¹), причем квазиравномерность toh здесь не нужна. о.

В § 2.4 рассматривается пример финитного базиса пространства Si[h]. Получены формулы для этих базисных функций и описана система сеточных уравнений с симметричной семидиагональной матрицей для нахождения приближенного решения..

В § 2.5 изучены пространства (т > 2) обобщенных кусочно-полиномиальных сплайнов степени 2 т дефекта? = 1, т.

HDmcp Е Ст~ (?1), при? = 1, 771 — 1}..

Для и Е W[n (fl) в лемме 2.5.1 доказана единственность интерполяционного сплайна из МПолучены следующие оценки погрешности интерполяции (обобщение теоремы 2.1.1, относящейся к случаю т = 2). Теорема 2.5.1. Справедливы следующие утверждения..

1. Пусть 2 < q < оо, к = 0, m — 1. При и Е W™(n) верна оценка S^U) < CH~lf2 hm-k-(l/2-l/q) xi, 2 Dm.

Lq{Q) U.

2. Пусть I.

<<7<00, k = 0, ra-1, 7 = 1, m. При и E W™^) и TP ^D^{HDmu) E верна оценка (где f3 — min{7,m — ?}).

-1 im+T-^-Ci/p-1/?).

D7 0Dfi (xDmu).

Lp ((2).

3. В случае, когда q = 2, результаты n. l и п. 2 справедливы и при к = т..

В главе 3 изучены проекционно-сеточные методы решения начально-краевой задачи для нестационарного уравнения 4-го порядка. Этот анализ существенно опирается на результаты работы А. А. Злотника [14], а также глав 1 и 2. При этом § 3.1−3.3 содержат вспомогательный материал, а § 3.4, 3.5 — основные результаты..

В § 3.1 введены используемые в главе функциональные пространства: — пространство ?2^) с весом р Е L0о (О), Лг~1 < р < N, ||w[|#(o) — llv^HIь2(пу Ж^И^С^), IHItfd) = Ж-1) —двойственное к.

Ж1), М1ж-1) = sup (w,.

HI#(2+fc) = p~lLw н (к) при к = 0,1, 2. Пусть H — гильбертово пространство. Введем пространства С{Н) и Lr (H) (1 < г < оо) функций на [0,Т] со значениями в Н соответственно непрерывных и сильно измеримых с нормами М1с (я) = 0^ах |М*)||Я, |Иьг (н) = II 1М*)11я llzr (0>rv Wi (H), r"e Н =.

Ж1), Ж" 1), \w\~i4H) = |Ма (я) + \Dtw\Li (H), где Dt = d/dt. Пусть Q = rj-l rp.

Q х (О, Т) и (w, y) otq = f0 (pw (t),(p (t))ndt, Cq (w, cp) = fQ? n (w (t), cp (t))dt. Рассмотрена начально-краевая задача pDu + Lu = pf в Q, (7) идПх (о, т) = °> Dudnx (o, T) = (8) и t0 = w^(cc), = w^^(ar) при sGfi..

9).

Здесь и = u (x, t), f ~ f (x, t), оператор L введен в (1), причем N 1 < a, 2(x при ж Е tt, а также ||a2||Loo (n) + Ц^Ц^^ 1Ы1ь2(^) + IMIl2(Q) < NСФ°Р" мулированы результаты относительно гладкости (регулярности) решения задачи (7)-(9) в терминах исходных данных, полученные в [14]..

В § 3.2 рассмотрен трехслойный с весом проекционно-сеточный метод решения задачи (7)-(9). Пусть s 1 — проектор на Sd[>c] в Н^ такой, что C (w — siw, cp) = 0,.

Sd[>t} по некоторому базису в S^fx] и Нh — пространство векторов ерь со.

1 /2 стандартной евклидовой нормой Ц-Ц^ = (•,•)// • Введены действующие в Hh самосопряженные, положительно определенные операторы В^ и Lh такие, что (Bh (ph, iph) h = {р<�р, ф), {Lh (ph, tph) h = с{(р, ф) /<�р, ф е Sd[x}. Для ги 6 #(-1) через обозначен вектор из Hh такой, что (wh,(fh)h = (w, о.

VV? • Здесь и ниже d = 1, 2..

На [О, Т] введена сетка сйт с узлами tm = mr, т = О, М, г = Т/М. Пусть.

5V — пространство функций, непрерывных на [О, Т] и линейных на каждом отрезке [tm~i, tm], m = 1, М. Функции ет? ST, m = 0, М, такие, что ега (^) = 1 при? = т либо ет (^) = 0 при I ^ ш, образуют базис в 5Vу qp.

Пусть wm = w™, wJn = fQ wemdtf fQ emdt, m = О, M. Введены сеточные операторы = (ium-wm-i)/r, dtwm = {wm+i-wm)/r, w= (wm! + iym)/2. Введем норму fm = max ||wra||rr..

Q.

В качестве приближенного решения начально-краевой задачи (7)-(9) расо ^ сматривается функция v Е S = S’dfx] (^^SV такая, что.

В^Си,"7) = -{Dtv, Dtr])0,Q — (a — 1/6)?q (t2L^, ЗД + = (w (1), T7o) o, n + (/5v)o, Q V?7 € 5, 7?|t=T = 0 vlt=o = либо vtQ = siu (° причем v^ E Sd[n], 0, n + = (u (°.

Операторная форма этого трехслойного проекционно-сеточного метода имеет вид.

Bh +.

Bh + or2Lh) dtvhtQ + (T/2)Lhvht0 = + (r/2)/?'r, (11).

Bh + a (°)r2Lfe)40) = и (0>'Л, либо = (12) о где Vh, m — вектор разложения vm = t>|tmT? (m = 0, M) по выбранo ному базису в Пусть ниже сг > <т0 = (¼) — (1 — ?о)/{т2а1), где o G (0,1], a ah = max о (|М1я<*) / 1М1я<�°>)> и а (0) > а ~ V4.

Приведены оценки приближенного решения v в различных нормах в терминах исходных данных, полученные в [14], свидетельствующие об устойчивости метода..

В § 3.3 сформулирована теорема об интерполяции линейных операторов и введены пространства Н^ для нецелых, а > —1 ([а] — целая часть числа а): НW = [а]-00, при помощи Kq &bdquo—метода вещественной интерполяции (см. [6]) сО<0<1, д = оо- ||к-||Я (2+*о = при к > —1. Пусть Н — гильбертово пространство и WHi (H) (0 < А < 1) — пространство, состоящее из функций w Е WH®{H) = L{H) с конечной нормой \w\WHxiH) = Т~Л ||u-||Li (H) +oSup⁷-L IK* + 7) — ыШьг^т-ъну Введены также пространства к > -1, А > -1) с нормой л)/.

-X-m-1)? I! Am/lt=ollff ('±.

0<�Ш<[Л].

Сформулирован ряд теорем, содержащих оценки погрешности дробного порядка на классах негладких данных, являющихся следствиями общих результатов (см. [14]) для случая оператора L, введенного в (1). В § 3.4 получены оценки погрешности в послойной норме Н^. Лемма 3.4.1. Пусть d = 1,2. Оператор s^ обладает свойством.

Чл — — 0> Vu> (Е tfW, ip е Sd[x]..

Получено несколько других существенных вспомогательных результатов. Лемма 3.4.2. При d = 1,2 справедлива оценка а^ < (определение a. h см. выше)..

Лемма 3.4.3. Пусть d = 1,2, А = 1,2 и при, А = 2. Справедливы оценки.

Da 1 l (n) + IkolL^n) < N w w — sd W О) situ — к-.

Ж*) с |/г|.

2(A-fc).

М1ям' fe = 0,1,.

Ж1) c|/i|.

2А ги.

Жл) у.

Лемма 3.4.4. Д/г.я? $ 2И справедливо неравенство и формула ci |М1яь < 1М1яа) <�с2|М1я"> n мк = Е12 k=i hu (d.rfc)2, где dxipk = 1, y?* = p (zk), ^ = y’fa*), IMI#ft = ^(^V).

Пусть d = f) — вектор данных задачи (7)-(9), ||d|LaN = и.

0).

Ж") к i).

Я (а-1) + ||/||p,(ai, c"2)• Получены следующие оценки погрешности в послойной норме.

Теорема 3.4.1. Пусть vq = v°. Верна оценка погрешности.

Г (4- «) < сЗ?» (Ti.

-/о П-(Н (Х> 4.

4 + Т2 а/3.

1(а).

О < а < 3..

СГ (Я").

Числа од, о-2 таковы, что, а а2 = о- — 1 w выполнено одно из условий: a) ai = 0, -1 < а2 < 2- б) 0 < ад < 1, 0 < а2 < 1- в) -1 < ад < 2, а2 = 0. Кроме того, Т = max{T, 1}, 71 = max{a2 ~ (се/3), 0}..

Теорема 3.4.2. Пусть vq = Верна оценка погрешности, а —1)/3 sd’u-v.

½) сТ72 (т! (|Л|.

4, 2 + Т а).

1 < а < 4..

СТ (Я (1)).

Числа ад, сиг таковы, что ai + а2 = ol — 1 и выполнено одно из условий: а) -1 < «1 < 0, а2 = 1- «1 = 0, 0 < < 3- в) 0 < ад < 1, 0 < а2 < 2- г) 1 < ад < 2, 0 < а2 < 1- д) 0 < сд < 3, а2 = 0. Кроме того, 72 = = max{o-2 — 1 — (а — 1)/3, 0}..

В § 3.5 введены интерполяционные пространства для целых к > 0,? > 0 = (#(*), д и ir (fe+6,0-i = F (M+0)-i = тЧМ)^(М+1))0д ПрИ помощи^{-метода} вещественной интерполяции с.

0 < 0 < 1, g = 1. Пусть ||d а)-1 ti.

0) ж") U.

1) Ж а-1>-1 + H/II р (аг, а2)-1 —.

Л0 = ¼, Ai = ¾ и ||w||Cfc = maxju-^)!, \w\ci = И|Сл + Ц-CHIcv Лемма 3.5.1. Справедливы неравенства (вложения).

1М1с (Ц) ^ К Ml, IHIc1^) — К М1я (0−75)-1 •.

Получены следующие оценки погрешности в равномерной норме. Пусть к = 0 для с£ = 1иА- = 0,1 для d = 2..

Теорема 3.5.1. Пусть = Справедлива оценка погрешности где ai а2 = сх ~ 1 = 2 + А&-, а > 0, а2 > 0 и одно из ai, а2 целое ..

Теорема 3.5.2. Пусть = (и тогда <т (°) > 0, h < Nhm[n) при < а < 1 или fo = з^г⁰) при 1 < су < 3 + Afc. Справедлива оценка погрешности для А&- < о- < 3 + А&а-А г.

Основные результаты диссертации Изучены пространства обобщенных кусочно-" кубических" сплайнов дефекта 2 и 1, а также пространства обобщенных кусочно-полиномиальных сплайнов степени 2 т любого дефекта? = 1, тп. Получены разнообразные оценки погрешности интерполяции порядка 0(Л4/3), 0 < /3 < 1 в нормах пространств Лебега и Соболева (с любым порядком суммируемости 1 < q < оо)..

Для обыкновенного уравнения 4-го порядка с негладкими коэффициентами изучен ряд проекционно-сеточных методов, использующих обобщенные кусочно-" кубические" сплайны, построенные по старшему коэффициенту. Получены оценки погрешности в нормах пространств Лебега и Соболева с любым q, свидетельствующие о суперсходимости методов для различных классов негладких правых частей..

Для нестационарного уравнения 4-го порядка (второго порядка по времени) с негладкими коэффициентами исследован трехслойный с весом про-екционно-сеточный метод с обобщенными кусочно-" кубическими" сплайнами. Детально исследованы оценки порядка 0(h4 + г2)^, 0 < (3 < 1 погрешности метода в различных нормах для разнообразных классов правых частей и начальных функций, вообще говоря, дробной гладкости..

— 17.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда поддержки фундаментальных исследований, проект 00−01−207..

По теме диссертации были опубликованы следующие работы:.

1. Злотник А. А., Киреева О. И. О погрешности некоторых проекцион-но-сеточных методов для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. — 1995. -iV4. — С. 49−61..

2. Злотник А. А., Киреева О. И. О погрешности методов с обобщенными кубическими сплайнами для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка с негладкими данными // Вестн. МЭИ. — 1995. — N6. — С. 59−71..

3. Злотник А. А., Киреева О. И. Проекционно-сеточные методы для задачи о динамических колебаниях неоднородного стержня в случае негладких данных // Матем. заметки. — 1996. — Т. 60. — N1. — С. 138−141..

4. Киреева О. И. Проекционно-сеточные методы для решения задач 2т-го порядка с негладкими данными // Тезисы докладов. — 1996. — Ч. I — С. 57..

5. Zlotnik A.A., Kireeva O.I. On some properties of generalized cubic splines // Russ. J. Numeri. Anal. Math. Modelling. — 2000. — V. 15. — No. 6. — C. 539−551..

1. Агошков В. И., Степанов А. И. Проекционная форма интегральных тождеств для уравнения четвертого порядка // Препринт. — Новосибирск: ВЦ СО РАН СССР, 1980..

2. Амосов А. А., Амосова О. А. Оценка погрешности вариационно-разностной схемы для общего одномерного стационарного уравнения теплопроводности с негладкими коэффициентами с слабым вырождением // Препринт. М.: АН СССР. Отдел вычисл. матем., 1983..

3. Амосов А. А., Амосова О. А. Оценки погрешности вариационно-разностных схем для вырожденного уравнения диффузии с разрывными коэффициентами // Препринт. М.: АН СССР. Отдел вычисл. матем., 1983..

4. Андреев В. В., Андреасян Г. Д. Суперсходимость производных и их осреднений в методе конечных элементов для обыкновенных дифференциальных уравнений 2т-го порядка // Вычислительные процессы и системы.- М., 1988. Вып.6. — С.31−39..

5. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с..

6. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства.

Введение

Мир, 1980. 264 с..

7. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с..

8. Биргер И. А. Стержни. Пластинки. Оболочки. М.: Физматлит, 1992..

9. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974. 126 с..

10. Гусман Ю. А., Оганесян Л. А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ.- 1965. Т.5. — N2. — С.351−357..

11. Даутов Р. З., Паймушин В. Н. О методе интегрирующих матриц решения краевых задач для обыкновенных уравнений четвертого порядкаИзв. вузов. Математика. 1996. — Т.40. — JV10. — С.13−25..

12. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980..

13. Злотник А. А. Коэффициентная устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1984. — Т.20. -N2. — С.220−229..

14. Злотник А. А. Оценки скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка // Вычислительные процессы и системы. 1991. — Вып.8. — С. 116−167..

15. Злотник А. А., Киреева О. И. О погрешности некоторых проек-ционно-сеточных методов для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка с негладкими данными // Изв. вузов. Математика. 1995. -7V4. — С.49−61..

16. Злотник А. А., Киреева О. И. О погрешности методов с обобщенными кубическими сплайнами для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка с негладкими данными // Вестн. МЭИ. 1995. -N6. — С.59−71..

17. Злотник А. А., Киреева О. И. Проекционно-сеточные методы для задачи о динамических колебаниях неоднородного стержня в случае негладких данных // Матем. заметки. 1996. — Т. 60. — N1. — С. 138−141..

18. Ишмухаметов А. З. Об аппроксимации гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка // ЖВМ и МФ. 1987. — Т.1. — №. — С.1154−1165..

19. Ишмухаметов А. З. Условия устойчивости, аппроксимация и численное решение задач оптимального управления // Дисс. доктора физ.-матем. наук. М.: ИВВС, 1996..

20. Киреева О. И. Проекционно-сеточные методы для решения задач 2га-го порядка с негладкими данными // Международный семинар «Дифф. уравнения и их прилож.» Тезисы докладов. Самара, 1996. — Ч. I. — С. 57..

21. К лунник А. А., Приказчиков В. Г. Проекционный метод повышенной точности для дифференциального уравнения 4-го порядка / / Вычисл. и прикл. матем. Киев, 1990. — Вып.71. — С.27−33..

22. Корнеев В. Г. О точных сеточных схемах // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. — Т.22. — 7V3. — С.646−654..

23. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с..

24. Марчук Г. И., Агошков В. И.

Введение

в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с..

25. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с..

26. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических уравнений. М.: Мир, 1977..

27. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979..

28. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 588 с..

29. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989..

30. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1975. 352 с..

31. Самарский А. А., Хао Шоу. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнения четвертого порядка // Вычисл. методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1967. — Вып.6. — С.3−16..

32. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 352 с..

33. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980..

34. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с..

35. Туретаев И. Д. Вариационно-разностная схема для уравнения четвертого порядка при негладких данных // МГУ. Москва, 1981. — 10 с.Деп. в ВИНИТИ 21.05.81. N1025−81..

36. Федорова О. А. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диффузии // Матем. заметки. 1975. — Т. 17. — N6. — С. 893−898..

37. Шадрин А. Ю. О приближении функций интерполяционными сплайнами, заданными на неравномерных сетках // Мат. сб. 1990. — Т. 181. — N9. — С.1236−1255..

38. Amosov A.A., Amosova О.A. Error estimates for FEM schemes constructed for degenerate diffusion equation with discontinuous coefficients // Sov. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 1986. — Vol.1. — N3. — P.163−187..

39. Ciarlet P.G. An 0(h2) method for non-smooth boundary value problem // Aequationes Math. 1968. — N2. — P.39−49..

40. Douglas J., jr., Dupont Т., Wahlbin L. Optimal L^ error estimates for Galerkin approximations to solutions of two-point boundary value problems // Math. Сотр. 1975. — Vol.29. — JV130. — P.475−483..

41. Douglas J., jr., Dupont Т., Wahlbin L. The stability in Lq of the L2-proection into finite element function spaces // Numer. Math. 1975. -Vol.23. — P.193−197..

42. Lucas T.R. A generalization of L-splines // Numer. Math. 1970. -Vol.15. — P.359−370..

43. Schultz M.H. Elliptic spline functions and the Rayleigh-Ritz-Galerkin method // Math. Сотр. 1970. — Vol.24. — JV109. — P.65−80..

44. Zlotnik A.A., Kireeva O.I. On some properties of generalized cubic splines // Russ. J. Numeri. Anal. Math. Modelling. 2000. — Vol.15. — N6. -P.539−551..