О построении тригонометрических сплайнов максимальной гладкости

Сплайны в математике имеют достаточно давнюю историю. Так, ломаную Эйлера можно считать простейшей сплайновой аппроксимацией. Джен-кинс (W.A.Jenkins) фактически рассматривал сплайны, когда исследовал оскуляторную интерполяцию в 1926 г.- изучал ее также и Гревилль (Th. N. Е. Grevill) в 1944 г. Слово «сплайн» английского происхождения: так называлась гибкая линейка, применявшаяся английскими инженерами в конце XIX века для проектирования закруглений железных дорог. Математика получила этот термин благодаря работам Шонберга в 1946 г. (см. [54]), который назвал так рассмотренные им функции с «кусочными» свойствами. К настоящему времени имеется большая серия статей и ряд монографий, освещающих многие стороны теоретических исследований и практического применения сплайнов (см. [17, 19, 32, 40, 42, 43, 48] и библиографию в них). Отметим в связи с этим глубокие связи сплайнов с конечно-элементной аппроксимацией [1, 42, 47, 49, 50, 56] и их фундаментальную роль в бурном развитии теории вейвлетов [56].

Аппроксимация и интерполяция широко используются при построении конечно-элементного и сеточного методов приближенного решения задач математической физики, при сжатии и последующем восстановлении с заданным порядком потоков числовой информации, при их фильтрации и статистической обработке. Значительное место среди средств приближения и интерполяции занимают пространства сплайнов. Стремление к разработке экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см. [21]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся В-сплайны [33, 35, 48], сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны [28, 42, 46], а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [50]). Подобные аппроксимации называются минимальными [22, 26]. Они позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [23].

В монографиях [19, 33, 41] отмечено, что в ряде случаев предпочтение отдается сплайнам с локальным интерполяционным базисом. Отличительная особенность таких сплайнов заключается в том, что решение интерполяционной задачи в точке не зависит от информации о поведении функции в достаточно удаленных узлах сетки и, таким образом, интерполирующая функция строится достаточно просто.

Свойство минимальности рассматриваемых аппроксимаций позволяет экономить ресурсы вычислительного устройства. Например, при решении краевых задач упомянутое свойство приводит к минимизации ширины ленты у матрицы соответствующей конечномерной задачи, а в итоге уменьшается число арифметических операций при отыскании решения.

Свойство минимальности особенно важно при аппроксимации функций с быстро растущими производными, где приходится использовать сильно неравномерную сетку. Характер неравномерности сетки можно определить в соответствии с классом приближаемых функций [25], при этом сохраняются свойства оптимальности приближения (по порядку) и оценка числа арифметических действий. К рассматриваемому семейству сеток относятся конечные сетки, а также определенные бесконечные сетки с конечными или бесконечными точками сгущения.

Сплайн В. С. Рябенького [46] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном. С помощью сплайнов с локальным интерполяционным базисом, как было отмечено выше, удобно решать краевые задачи вариационно-разностным методом, так как в этом случае в результате решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей ленточного типа мы сразу получим приближенное решение исходной задачи. Преимущества применения базисных фунций с конечным малым носителем при решении задач вариационно-разностным и проекционным методом отмечались в монографиях [41, 42].

Полиномиальные В-сплайны с момента возникновения до настоящего времени привлекают пристальное внимание специалистов, как в плане применения так и с целью развития теории дальнейшего исследования, в частности, получения констант в оценках погрешностей.

В работе [34] построено несложное явное выражение для В-сплайнов произвольной степени на неравномерной сетке. Найдены скалярные произведения этих сплайнов вплоть до 7-ой степени в случае равномерной сетки. Разработан алгоритм нахождения наилучших среднеквадратических аппроксимаций функции такими сплайнами. Предложен тест, пригодный для проверки и сравнения разных классов аппроксимаций. Расчеты на этом тесте показали хорошую обусловленность алгоритма и возможность достижения высокой точности аппроксимации.

В работе [36] предложены простые универсальные алгоритмы нахождения естественных и периодических интерполяционных сплайнов произвольной степени. Расчеты показали высокую устойчивость алгоритма. Тригонометрические сплайны максимальной гладкости первого порядка предложены в работе И. Г. Буровой [7].

В данной работе проведено исследование свойств тригонометрических сплайнов первого порядка и предложены тригонометрические локальные сплайны максимальной гладкости второго и третьего порядков, с носителем, занимающем пять и семь сеточных интервалов. Предложены новые интерполяционные задачи использующие гладкие тригонометрические базисные сплайны, для решения которых не требуется решение систем линейных алгебраических уравнений. Даны оценки погрешности приближений.

Диссертация содержит — 3 главы (13 параграфов) и Приложение. Глава 1 посвящена построению тригонометрических сплайнов максимальной гладкости и рассмотрению связанных с ними интерполяционных задач. В первом параграфе приведены основные моменты построения непрерывных тригонометрических базисных сплайнов. Во втором параграфе — основные результаты построения непрерывно дифференцируемых тригонометрические сплайны первого порядка согласно работе [7]. В третьем и четвертом параграфах строятся гладкие тригонометрические сплайны второго и третьего порядков соответственно. В пятом параграфе для построенных сплайнов предложены интерполяционные задачи, аналогичные сформулированным в работе [29]. В шестом параграфе доказывается, что предлагаемые аппроксимации обладают точностью на соответствующих тригонометрических полиномах. В седьмом параграфе получены оценки погрешностей аппроксимации тригонометрическими сплайнами первого и второго порядков.

В главе 2 рассматриваются полиномиальные В-сплайны второй, четвертой и шестой степеней, а также некоторые новые интерполяционные задачи. В первом параграфе приведены формулы указанных сплайнов и ап-проксимационные соотношения, из которых они могут быть получены. Во втором параграфе для полиномиальных В-сплайнов поставлены интерполяционные задачи, аналогичные тригонометрическому случаю. В третьем параграфе получены оценки погрешностей для решений интерполяционных задач, поставленных в параграфе 2.

Глава 3 посвящена рассмотрению прикладных моментов. В первом параграфе рассматриваются аппроксимации функций, аналогичные приведенным в [7], сохраняющие гладкость приближения, но не использующие значения производных функции в узлах сетки. Получены оценки аппроксимации, использующей величины функции в узлах, и построены новые гладкие базисные функции. Во втором параграфе строятся квадратурные формулы, согласованные с гладкими тригонометрическими сплайнами первого порядка и полиномиальными В-сплайнам второй степени. В третьем параграфе рассмотрены вопросы устойчивости приближений непрерывно дифференцируемыми полиномиальными и тригонометрическими сплайнами. Для сравнения приведены аналогичные результаты для В-сплайнов второй степени [33]. Результаты численных экспериментов, подтверждающие тероретические оценки погрешностей, приведены в Приложении.

m = 2 (например, при Mi = М2 = 2) и 1 /, «ry^^ sin (/l)(2C0s (/i)+l) cos2(/i)(2cos (/i) + 1) sin (2/i)(2cos (/i) + 1) С30 =^, Соз = 7 48 (l + cos (/i))sin4(i/i) = 24щ (^^» '(г-^^'^-Й)' —2Sinл- — -jh — 2sinж — -jh — -h ] + 2 2'' J 2 2'' 2 J (1 1 3 •a: — -jh — :T^ I — О^Дл-) = 1 — Uj.2{x) — U}j-l (x) — UJj^i{x) — UJj²(x), ZiH) = cos^ (I) si"^ (I) .Отсюда легко получить формулу базисного сплайна u! j{x): 1 sin^ (|ж —^h + h). 2 / «» «2 / COS (22- - 2jh + f) cos (f) cos (/i) — B (/i) 24 cos2(|)sinMTT;

48cos2(f)sin4(f).

cos (ж — jh + I) cos (I) + 24cosM|)s in*(|) + cos (2r — j / i + /i) cos (2/i).

UJj{x) = <

2cos (x — jh) — cos (2x — 2jh — h) cos (h) cos (aT — jh — 2h) cos{h) + cos (a- — jh) cos (2/i) + B{h) sin* {^x — | j / i — ^h) + sin (|ж — ^jh).

24cos2(|)s in*(|) cos (2a^ - 2jh — ^) cos (I) cos{h) — B{h).

48cos2(|)s in*(|) «^ cos (ж — j/г — I) cos (I) «^ 24cos2(|)s in*(|) «^ ^ cos (x — jh — ЪК) cos (/i) J., ж t [Д-^, 37j_|.ij,.

24cos2(|)s in*(|) 1 sin* {x — jh — f) 24 cos2(|)sin*(|), ar G [a-j+2, лг^ +з], где B{h) = —|(cos (/i) + cos (2/i)). График UJJ{X) при /г = 1, j = 2 изображен на рис. 4.Рис.^.в точках Xj = О, Xj = Л, Xj = 2/г, Xj = 3/г, Xj = 4Л, Xj = 5h. Обозначим cj (x) = uj2{x). Величины функции, заданной кусочным образом, в узлах сетки справа и слева совпадают: здесь Xj = h—0 Xj = h — 0 Xj = 2/i + 0 Xj = 3/i + 0 Xj = 3/i — 0 Xj =4h + 0 Xj = 4/г — 0 u" (x) J" (x).

12cos (/i) + 12, A2{h) =.

6cos (/i) + 5.

12cos (/i) + 12' 1 — 4 cos (Л) •, D2{h) = (2со8(Л) + 1)2.

6{cos{h) — 1) sin (/i)' ^" «» ^^ 6(cos (/i) — 1) sin (/t)' поэтому u!{x) действительно принадлежит классу С^(М^).1.4 Построение гладких т р и г о н о м е т р и ч е с к и х сплайнов т р е т ь е г о порядка В этом параграфе получим формулы для тригонометрических пять раз непрерывно дифференцируемых базисных сплайнов. Будем строить coj G С^(М.^) как решение системы линейных алгебраиче ских уравнений относительно U-J{X) С параметрами CQI, СЮ, СОЗ, СЗО? CQS, CSO;

Пусть параметры Mi > О, М^ > 1, Mi + М2 = 2m, m = 3. Не нарушая общ ности, рассмотрим случай Mi = М2 = 3. Пусть suppa-^^) = [а-^_з, Xj+4, X G [xj, Xj+i), тогда Хй-к{х) = 1, J2 sm{xk)u-k (x) = cio sin (ar) + CQI COS (X), &=j—Ml X) cos (xjfc)cc'-fc (a-) = -coi sin (i-) + сю cos (a:), 2 sin (2a-jfe)a-it (a-) = С30 sm (2ar) + CQS COS (2X), (1−4.1) ^ cos{2xk)iJk{x) = -С03 sin (2x) + С30 cos (2a-), ^ sm{3xk)uJk{x) = C50 sin (3x) — C05 cos (3^), ^ cos{3xk)uJk{x) = co5 sin (3a:) + C50 cos (3a-).Аналогичные задачи рассмотрим на промежутках [хк, ^jt+i), А: = j — 3,. ,. , Решая системы уравнений и ставя условия CJJ G С ^ (Е ^), получаем значе ния параметров Cif 3 (cos (/i) -f-1) cos{h) 3 cos (/i) sin (/i) 2 2cos (/ j)-bl 2 2 с о 8 (Л) — ь Г 3 (4 cos2(/^) + 2 cos (h) — 1) cos2(/i) 5 2cos (/i) + l 3 4 cos^(/t) + 2 cos{h) — 1) cos (/^) siii (/^) 5 2cos (/t) + l C5o = — cos (/i)(cos (/i) + l)(2cos (/i) — l)^(4cos^(/г)^-2cos (/i) — 1), co5 = — cos (/z)(4cos^(/i) + 2cos (/i) — l)(4cos^(/i) — l) sin (/j).И, таким образом, получаем решение —2 cos — I cos (3a- — ojh) cos — + 15 cos (a- — jh) cos — I + +12 cos I 2x — 2j/i — — 1 cos — cos (/г) + 6 cos (2a: — 2j7i) cos (3/i) — Л, ., ЗД 3/i • cos I 3ar — 3j/i — —- 1 cos — 1, Uj^i{x) = -Jo^QnT (B (h)—24cos (2x — 2jh — - J cos-cos (4/ i) ;

.r. (. h, ,, / 7h ^ h —60cos [x — jh-h — j cos[n) I cos — + 2cos — I — — cos (3ar — 3jh — h) l4 cos — cos: r + 3 1 — —8 cos (3x — 3jh — h) cos — cos — + 12 cos (2a: — 2jh — 3h) — —15 cos (a- — jh — bh) — 30 cos (a- — jh — 3h) + +96 cos l2x- 2jh — - j cos — cos (/г) + 24 cos (22- - 2jh — ЗЛ) + +24 cos — I cos (2x — 2jh — h) cos — + cos I 2x — 2jh — — I cos (4/i) J — —120 cos[h) I cos [ X — jh — — j cos — + cos [x — jh — — cos — 1 —.

(-, 5/i h ^^ (.^ h 9h —60 cos I a: — JД ——- I cos — — 30 cos [x — jh — — j cos — + + 12 cos (2x — 2jh — 2h) cos (4/i) — 6cos (Зж — Zjh — — I cos — 1 + —24 cos (/i) cos —cos I 2x — 2jh — 77 I + cos I 3x — ojh —-) cos -7^ + 3x-Zjh- — I 4cos —COS- + I I .r. h (., h / 5Д 30 COS — COS x — ih — — ] 1 2 COS — + cos (32: — 3jh — 2h) f 8 cos — cos — + 3 J + + 4 cos — cos — (cos (3x — 3jh — 2h) — 6cos (2x — 2jh — h)) + +120 cos [^ jh — — ] cos — cos{h) + 30 cos (a- — jh — 2h) — •12cos (22: — 2jh — Zh) — 6cos{2a- - 2jh — 6h) + • j c o s — —15 cos — I cos x — jh — — + 2 cos (^ — jh — h) cos — I + 2 / V 2 У 2 + 60 cos [x — jh ——) c s -^ cos{h) + 15 cos (a: — jh + 4h)), +6 cos (/i) I cos (2a: — 2jh — Ah) + 2 cos (2x — 2jh — — ] cos — j — = -sm^{h) (-2^m^^ (H-2cos (/i))2 = -4sin2(/i)siii4^(l + 2cos (/i)), A{h) = 10{cos{h)—cos{2h)—cos{3h)) = = 10(2cos (/i) + l)(2cos2(A) — 1) = 10(2cos (/i) + l) cos (2/i), = 10(2cos (/i) + 1) (l6cos^(/i) — 16cos2(/i) + 2cos (/i) + 3) = = 10(2 cos{h) + 1) (-4sin2(2/i) + 2 cos (/i) + 3) .Отсюда для ujj{x) легко получить формулы 1 Z' 1 1 Ч^ — 2 cos — I cos (За- — Zjh + б/г) cos — + +15cos (a- — jh + 2h) cosr- 1 + 6cos (2a: — 2jh + Ah) cos{Zh) + + 12 cos I 2x — 2jh + — j cos — cos{h) — cos 1−2 cos — — 2 2 / — 60 cos{h) cos [x — jhi-—] (— со8(Зж — 3jh + 2/г) [4cos — cos — + 3 j + + 48 cos I 2x — 2jh + — I cos — cos{h) — — 15 cos (x — jh — 4h) — 30 cos (j- — jh — 2h) + + 12 cos (2x — 2jhh) + Q cos (2a: — 2-Л + Ah) ;

—8cos (3a- — Zjh + 2Д) cos — cos — J, x? [xj-i^ Xj), (1−4.4) + 96 cos l2x- 2jh — -^) cos — cos{h) + 24 cos (22- - 2jh — Sh) + + 24 cos — I cos (2a- — 2jh — h) cos — + — 30cos X — jh — — cos I — j + 12cos (2a- — 2jh — 2h) cos (4/i) — с 2h Л о,: ЗД / 3h 7h\ + -^Щщ (^-2A{h) — 24 cos{h) cos ^ cos (^2x — 2jh «^ j + Zh / ^.^ 3h / 3h h Л nr. h f ., h / 5h h + 30 COS — cos a- — 7Л — — 2 cos —- cos — + 1 — — б COS (2J- — 2jh) cos (3/i) — 6 cos (2a: — 2jh — 4h) cos{h) + + cos I 3x — 3jh ——J cos —), X G[xj, Xj+i), (1.4.5) + cos (3x — Zjh — ЪЬ) I 8 cos — cos 77 + 3 J + + 4 cos — cos — (cos (3ar — 3jh — 5h) — б cos (2a: — 2jh — 3h) j + inr, (J 3}i Sh, , .4−120 cos {x — jn ——I cos — cos (rtj — • 12 cos (2a- - 2jh — bh) — 6cos (2a- - 2jh — 8h) + + 30 cos (ж — jh — 3h) + 15 cos (a- — jh + 3h) +.

.r h (f. 5Л ", .,, ,, 5/i — 15 cos — I cos x — jh —I +2 cos (a: — jh — Зп) cos — I +.

4- б cos{h) I cos (2a- — 2jh — Sh) + 2 cos I 2x — 2jh —— I cos — 1 — • cos 13х- 3jh —) cos — j, X e [xj+2, Xj^s), (1−4.7) G{h) = -4sin2(/i) sin^ ^(1 + 2cos (/i))2, A (h) = 10(2cos (A) + l) cos (2/i), B{h) = 10(2cos (/i) + 1) (-4sin2(2/i) + 2cos (/i) + 3) .График (^j{x) при /г = 1, J = 3 изображен на рис. 5.1 2 3 4 5 6 7 X Рис. 5. Для проверки непрерывности UJJ{X), U-J{X), а = 1, 2, 3, 4, 5, приведем (4)< ,(5), В значения функций UJJ{X), и-^ (ж), и-']{х), и'-'[х)^ u^i {х)^ ш^ '{х) при j = 3 точках Xj = О, Xj = h, Xj = 2/i, Xj = 3/г, Xj = 4h, Xj = 5/i, Xj = 6/г, Xj = 7h. Обозначим a-(a:) =и-^(х). Величины функции, заданной кусочным образом, В узлах сетки справа и слева совпадают: Xj = h -{-0 Xj = h — 0 Xj = 2h—0 Xj = 3h—0 Xj = 3h — 0 Xj = 4/i + 0 Xj = 4h — 0 Xj = 5/^ + 0 Xj = 5h — 0 Xj = б/г + 0 Xj = 6h — 0 uj" {x) u'" {x) 1 1, 1 Ю с о з Ш + Э 40 (со8(Д) + 1)(1 + 2cos (/i))2' 40 (cos (/i) + 1)(1 + 2cos (/i))' 1 40 cos (^fe) + 70 cos'^jh) + 36 cos (/i) + 5 20 (cos (/i) + l)(l + 2cos (^))2 ' __3_ 1 3 12cos2(/^) + 12cos (fe) + l^40sin (/i)(l + 2cos (/i))2' 2 40 sin (/i)(l + 2cos (^))2 3 sin (2/^)(4cos (A) + l) 20 (cos (/i) + 1)(1 +2cos (/i))2' 3 3cos (/i) + 2 3 10cos2(A) + 7cos (/ i) -2 •Е'з =.

40sin2(^)(H-2cos (/i))2' 40 sin2(/i)(l + 2cos (/i)) 3 cos (/i)(10cos2(/t) + 12cos (/?)+3) 20 sin2(/i)(l + 2cos (/i))2 3 9cos (/i) + l.

40sin (A)(cos (/j) — 1)(1 + 2cos (/i))2' 3 28cos^(/i)-19cos (^) + l.

40sin (/i)(cos (/i) — 1)(1 + 2cos (/i))2' 3 sin (2/t)(4cos2(/t) + 7cos (/^) — 1) 20 (cos (/i) — 1)2(1 +2cos (/i))2 ' 3 27cos2(^)H-llcos (/i)-8.

40sin2(/i)(cos (^) — 1)(1 + 2cos (/i))2' 3 lOcos^(fe) — 27cos2(/t) — 21cos (/?) + 8 40 sm'^{h){cos{h) — 1)(1 + 2cos (/i)) ' 3 со8(Л) (10 cos^{h) — 22 cos'^{h) — 21 cos (/i) + З) 20 sin^h){cos{h) — 1)(1 + 2со8(Л))2 ' 3 81cos2(/ t)-32cos (/ i)-19.

40sin (/i)(cos (/t) — 1)2(1 + 2cos (/i))2' 3 68cos^(fe) + 172со8^(Д) — 29cos^(/^) — 80cos (/^) + 19 40 8 т (Л)(со8(Л)-1)2(1 +2cos (/j))2 3 cos{h)(icos (h) — 1) (llco83(/i) + 7cos2(/i) + 3cos (/i) + 4) 10 sin (/i)(co8(/i)-l)2(l + 2cos (/i))2 Поэтому со{х) действительно принадлежит классу С^(К.^).1.5 О постановках интерполяционных задач В этом параграфе предложим интерполяционные задачи, аналогичные сформулированные в работе [29]. 1.5.1 Интерполяционные задачи для непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка Пусть / G C^(R^). Для непрерывно дифференцируемых тригонометри ческих сплайнов первого порядка (1.2.4) на промежутке [xj, Xj^i) можно рассмотреть следующие интерполяционные задачи [7]: /W = X] ^^ *^(^)' (1.5.1) u! k{x) —базисные функции, Vk = f (xk)—{-l)^^^a{h)f'{xk), a{h) = tg{h/2), a M2 > 1, Ml > 0, Ml + M2 = 2ш, m = 1. Графики приближений некоторых функций изображены на Рис. 6 (см.