Теоретическое исследование нелинейных режимов работы электронно-пучковых систем типа «О»

Как отмечено в постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах по ускорению научно-технического прогресса в народном хозяйстве», эффективность экономики неразрывно связана с ускорением научно-технического прогресса, и решение этой задачи требует повышения эффективности науки. В качестве одного из средств, способствующих достижению этой цели, можно считать разработку новых методов исследования сложных физических процессов, происходящих в электронно-лучевых устройствах, широко используемых в различных областях народного хозяйства и науки.

Первоначальное исследование физических процессов, происходящих в электронных потоках, проводилось в кинематическом приближении и без учета действия сил объемного заряда. Учет действия сил объемного заряда оказался возможным лишь в линейной теории, когда амплитуды волновых процессов остаются малыми в сравнении с соответствующими им невозмущенными значениями. Это сделало возможным построить ясную физическую теорию процессов, происходящих в электронных приборах СВЧ в самостогласованной постановке.

Наиболее простой метод учета пространственного заряда был осуществлен при уточнении кинематической теории в работах Вебстера [i] и Савельева {.2 J. Хотя этот метод и не дал новых физических представлений о взаимодействии электронного потока с электромагнитной волной, но полученные формулы для конвекционного тока записывались в форме, указывающей на наличие в нем волновых процессов. В работе [зJ в том же приближении была найдена амплитуда стационарных колебаний в отражательном клистроне.

Дальнейшее развитие представлений о явлениях, происходящих в электронном потоке, сделано в работах [~4, 5 J, где замечено, что несмотря на сложный характер волновых процессов в электронном пучке, индивидуальное движение частиц достаточно простое даже с учетом действия сил объемного заряда. В этих же работах было показано, что колебательное движение электронного потока обусловлено тем, что кинетическая энергия, полученная электронами при модуляции их по скорости, периодически преобразовывается в потенциальную энергию электронного уплотнения, и наоборот.

Развитие линейной теории ЛБВ, сводившееся к детальному исследованию дисперсионного уравнения, поведения корней дисперсионного уравнения и др. было проведено в работах [6 — 13 ] .

Но линейная теория не могла удовлетворить практические запросы быстро развивающегося производства электронных приборов, так как предположения о малости переменных составляющих тока, скорости и плотности пространственного заряда по отношению к соответствующим постоянным составляющим справедливы только для режима малых амплитуд. Применение ламп средней и большой мощности в радиотехнических системах поставило вопрос о расчете важных для практики энергетических характеристик: коэффициента полезного действия, коэффициента усиления и др. Ответ на этот вопрос могла дать только нелинейная теория. Однако не все виды взаимодействия поддавались аналитическому исследованию в нелинейном режиме. Сравнительно просто удалось провести такое исследование, лишь для клистронов? I — Z ] .

Аналитическое построение решений, описывающих нелинейное взаимодействие электронных пучков с медленными электромагнитными волнами, встречает большие трудности? l4] .В связи с этим основными методами решений нелинейных уравнений теории ЛБВ стали численные методы с использованием электронных вычислительных машин.

Одной из первых работ по нелинейной теории длительного взаимодействия была работа С15 3, в которой применен переход к переменным лагранжа (координате электрона ST и начальному времени влета tQ), аналогичный методу, впервые примененному в f2] в теории клистрона. В этой работе, без учета сил пространственного заряда, сформулированы нелинейные уравнения теории ЛБВ для случая малых значений параметра усиления, а электронный пучок, поступающий на вход системы, рассматривается в виде конечного числа одинаковых плоских дисков, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Этот метод в дальнейшем получил широкое распространение в работах, использующих численные методы решения нелинейных уравнений ЛБВ.

Дальнейшее обобщение нелинейной теории длительного взаимодействия электронных пучков с медленными электромагнитными волнами было сделано в работах [ 16 — 18 ], в которых для больших значений параметра усиления было учтено действие сил пространственного заряда. Отличие этих работ заключалось в использовании различных методов учета сил взаимодействия между электронами пучка. Определенным недостатком данных работ является применение в качестве уравнений возбуждения поля в системе уравнений эквивалентных передающих линий.

Этого недостатка лишены работы [19 — 20], в которых уравнения нелинейного взаимодействия электронных пучков с волнами получены в самосогласованной постановке электродинамическим методом с учетом сил пространственного заряда и затухания в системе. Эти уравнения выведены в предположении малых значений параметра усиления.

В монографии [ 9 ] уравнения, полученные в [19−20*] «обобщены на случай больших значений параметра усиления, а также в [ 9, 21 ] сопоставляются различные методы анализа нелинейных свойств ЛБВ. А в работах [я, 14, 22−24 ] исследованы основные особенности нелинейного взаимодействия в ЛБВ с учетом действия встречного излучения [~25 — 27 ], секционированные ЛБВ [28,29], влияния отражений [ 9, 14, 30−32 ], многочастотный режим f33−41 ] и т. д., исследовано поведение коэффициента усиления и коэффициента полезного действия в различных режимах работы устройства. Наконец, в работах ?23 — 24] метод эквивалентных схем и электродинамический метод, использующий численное интегрирование нелинейных уравнений, распространены практически на все виды электронных приборов СВЧ. Недостатком дисковой модели является приближенное определение сил взаимодействия между дискамикроме того, выражение для поля пространственного заряда получается достаточно сложным f 9 ] .

В работах [ 22, 42] метод расчета поля пространственного заряда основан на гармоническом анализе. В работах Г14, 23 ] вычисление поля пространственного заряда основано на методе полной (не разложенной во временной ряд Фурье) функции Грина.

Отмечая важность результатов, полученных численными методами, нужно сказать, что они не исчерпывают теорию взаимодействия пучков с электромагнитными волнами и не закрывают вопрос о построении аналитических решений этой теории. Как указано в [24], основной задачей теории надо считать создание четкой физической картины явлений в электронных приборах различных типов. Выяснить эту картину только с помощью численного интегрирования трудно [*4з]. Недостаток машинного метода заключается в том, что при этом проявляется естественная тенденция заменять ясные физические представления набором машинной информации [23]. Что касается практической стороны вопроса, то авторы монографии [44] считают, что важность аналитических методов заметно возросла в последние годы в связи с развитием вычислительной техники, так как численное решение задачи с минимальной затратой машинного времени должно опираться на информацию, наложенную при ее аналитическом решении. Наряду со строгим рассмотрением задачи о взаимодействии электронного потока с бегущей электромагнитной волной разработаны приближенные методы анализа [ 9, 42, 45 — 52 ], позволяющие достаточно просто с тем или иным приближением рассчитать усиление ЛБВ.

В настоящее время наиболее широкое распространение из приближенных методов получили метод заданного поля [7, 46, 47 ], приближенный энергетический метод f 9, 48 J, метод последовательных приближений [42, 49, 50 ] и метод рядов [51 — 52] .

Однако изучая обзор аналитических методов расчета в электронике СВЧ, сделанный в [44], можно заметить, что практически основным пока методом, основанным на решении самосогласованной нелинейной задачи и последовательно использованным для анализа работы электронных приборов разных типов, является метод последовательных приближений. Учитывая замечания о применимости этого метода к анализу нелинейных явлений, сделанные в? 53 ], нужно согласиться с выводом авторов монографии 144 1 о том, что для понимания нелинейных режимов колебаний в электронных пучках необходимо применение различных методов анализа.

В связи с этим актуальной является задача аналитического исследования нелинейного взаимодействия волн, возбуждаемых в системе, которая не может быть описана линейной теорией. В существующих теориях исследуются в основном энергетические характеристики приборов, однако поведение волн, возбуждаемых в системе, представляет также значительный интерес. Кроме этого, самостоятельный интерес представляют учет отражений распространяющихся электромагнитных волн от согласующих трактов, а также одновременное прохождение через систему двух сигналов разных частот. «Необходимость теоретического анализа многочастотного режима вызвана еще и тем, что экспериментальных данных по этому вопросу недостаточно» [ 22 3 .

Нелинейная теория ЛБВ строится с помощью определенной системы упрощающих допущений. Применение таких допущений обусловлено сложностью протекающих в ЛБВ процессов и основано на характерных особенностях распространения электронов и волн в ЛБВ" [м]. Основные допущения заключаются в следующем: I) предполагается одномерный характер движения электронов пучка (сильная фокусировка электронов пучка) — 2) пренебрежение эффектами столкновений и тепловым разбросом скоростей электронов. Кроме этого, в работе [54] было показано, что с увеличением частоты эффективная площадь поперечного сечения стремится к нулю. Поэтому задача о нахождении пространственного заряда в одномерной нелинейной теории решается в предположении равномерного распределения высокочастотной составляющей тока по поперечному сечению пучка.

В связи с этим в качестве модели, позволяющей аналитическими методами исследовать поставленный круг вопросов, выбрана физическая модель ЛБВ. Эта модель является средством, позволяющим сравнительно просто при минимальных допущениях произвести теоретический анализ основных физических явлений и свойств типичных для реальных ЛБВ приборов, в которых используется взаимодействие электронного потока с полем бегущей электромагнит ной волны Ы1.

Цель диссертационной работы — исследование аналитическими методами физических процессов, происходящих при нелинейном взаимодействии всех волн, возбуждающихся в системе при взаимодействии электронного пучка с медленной электромагнитной волной, учет отражений и влияние их на поведение и взаимодействие волн, существующих в системе, а также многочастотного режима.

Научная новизна и практическая ценность диссертационной работы. Научная новизна работы определяется тем, что в ней процесс взаимодействия волны с пучком на нелинейной стадии аналитически описывается в самосогласованной постановке. Это удается сделать при переходе от описания процесса в эйлеровых переменных к описанию в лагранжевых переменных. При этом нелинейные члены типа ПГ и iTuf исчезают, и задача при строгом учете действия сил объемного заряда без каких-либо предположений становится доступной для аналитического исследования. Сам подход к рассмотрению этих задач был заложен в работах £б7 — 633 > однако он относится лишь к потенциальным полям (многоскоростным потокам без электродинамических структур). В многоволновом описании взаимодействия цучка с волной эта задача решается впервые.

Наша задача состоит в построении нелинейной теории взаимодействия пучка с медленными волнами в волноводных структурах, позволяющей найти основное выражение для тока, а значит и построить основные энергетические характеристики устройства.

Действительно, пусть найдена основная зависимость а (©-о.

ДгМГГ ajz, f)&s (cjj-^zjt (i).

ИМ где QSK (2- Ejв общем случае искомая нелинейная зависимость амплитуды волны от длины и напряженности поля на входе в систему.

Будем полагать также, что время нарастания амплитуды поля (~у, где % - инкремент линейной теории) мало по сравнению со временем пролета электроном пространства взаимодействия.

I L у <<Г г * (2).

О f.

Тогда из закона сохранения энергии где W — плотность энергии электромагнитного поля в единице объема пространства взаимодействия У/~с (Е, где Еамплитуда напряженности поля в момент времени t (в соответствии с (2) медленно меняющаяся функция времени), — потери мощности: в стенках и полезную нагрузку 9)1 = 1С4Е.

М&bdquo- + (4) и j Е. — поступление энергии от пучка в систему (усреднение ведется по всецу объему пространства взаимодействия), следует, что.

— Mb'i.-№, где — ненагруженная добротность системы, в (Е). некоторая функция напряженности поля, подлежащая определению.

— 12.

Разлагая 9{Е j в ряд по полю Е.

9(E)-Р, Е+/>?* + -, (б) можно построить полную теорию соответствующего СВЧ генератора, работающего на нагрузку, характеризуемую нагруженной добротностью (j dE. /|га/)-гал.гЗ. (7) dt.

При достаточно малых? кубическими членами можно пренебречь и из условия § > О находим стартовЫЙ Т<�ж, приводя^ к at раскачке колебаний в генераторе I Qo Qi' ¦ (8).

С ростом амплитуды колебаний кубический член начинает играть все более существенную роль, и начиная с некоторого времени, генератор выходит на режим стационарных колебаний dicr Q (9).

Л и'.

Тогда из (7) находим уравнение для амплитуды стационарных колебаний системы i.

МЫЫ-J г? ст f2: Jo и можем оценить эффективность работы генератора на заданную стационарную нагрузку.

Таким образом, из приведенных соображений видно, что качественный анализ режимов работы СВЧ генераторов можно выполнить достаточно полно, если будет известна функция тока с зависимостью амплитуды поля вплоть до кубических членов включительно .

Ниже излагается метод построения этой функции, существенно использующий формализм лагранжевых переменных.

Настоящая диссертационная работа состоит из четьфех разделов.

В первом разделе рассматривается взаимодействие ЛБВ типа. В качестве замедляющей системы рассматривается круглый волновод, заполненный гипотетическим диэлектриком, прозрачным для частиц электронного пучка (волноводная модель ЛБВ [55]).Исходная самосогласованная система уравнений, описывающая одномерное движение пучка в физической модели ЛБВ, включает в себя уравнения Максвелла, уравнение движения и уравнение непрерывности. Исследования проводятся в безразмерных переменных, причем за «единицу» приняты параметры невозмущенного пучка fQ, ро и частота &.

Введение

м двух вспомогательных функций ~ ^'J) «ФУНКЧИИ деформации, описывающей отклонение частиц пучка от их равновесного положения в движущемся невозмущенном пучке, и функции определяющей Z — компоненту вихревого электрического поля, исходная система уравнений преобразуется к уравнению относительно функции деформации при этом второе соотношение, связывающее Jlfc’jJ и «имеет вид:

I]1″ dt2 • где Зс = —^—. Полученные соотношения являются уравнениями нелинейной теории колебаний в физической модели ЛБВ с учетом поля объемного заряда.

Исключение из подученной системы функции деформации ^ (t,^ приводит к нелинейному уравнению в переменных Эйлера относительно функции t которое представлено в виде з. а.

Ч а* где оператор О — J^T, а правая часть содержит нели нейные слагаемые.

Полученная система уравнений в приближении заданного поля позволяет проанализировать процесс захвата частиц пучка при модуляции его цепочкой резонаторов, запитываемых одной частотой, но разнесенных на определенное расстояние. Поэтоцу функция 5(t, j) представляется в виде где lf.

Исследование уравнения движения проводилось с помощью метода усреднения, развитого в работах Боголюбова и Митропольского, что позволило получить решение для функции деформации и показать, что процесс захвата частиц пучка электромагнитной волной возможен лишь при определенных соотношениях между плотностью пучка, 1) = - параметром не синхронности и U0 и «90 — начальными значениями амплитуды и фазы функции J (t^). При постоянном значении 0) о с ростом параметра несинхронности захват частиц пучка электромагнитной волной возможен лишь при увеличении начальной амплитуды.

Во втором разделе исследуются два приближения, трехволновое (без учета «обратной» волны) и четырехволновое взаимодействие в случае, когда учитывается лишь одна основная частота, и второй случай, когда учитывается кроме основной частоты и ее вторая гармоника.

Дисперсионное уравнение линейной теории ЛБВ в общем виде определяет четыре корня для безразмерной постоянной распространения. Два корня дисперсионного уравнения, происходящие от прямой и обратной волн замедляющей структуры без пучка, называются пассивными модами колебаний. Два других корня называются активными модами колебаний, или волнами плотности заряда.

Нарастающую волну, ответственную за усиление электромагнитного сигнала, формируют активные моды колебаний, т. е. волны плотности заряда. Влияние же пассивных мод на нарастающую волну исследуется в этих двух приближениях.

В данном разделе с помощью асимптотического метода Боголюбова — Митропольского решено основное уравнение, полученное в первом разделе, которое описывает нелинейное взаимодействие медленной электромагнитной волны с электронным пучком. Получены амплитуды и фазы волн с учетом одной основной частоты и ее второй гармоники.

Полученные соотношения допускают следующие физические истолкования. Если линейная теория предсказывает наличие ненуле вого инкремента, то существует два качественно различных режима работы устройства в нелинейной области колебаний.

Если амплитуда колебаний с длиной ^ неограниченно нарастает (С{ 0), то начиная с некоторого значения^, при котором > 4. (амплитуда нарастающей волны), одночастотное рассмотрение становится уже неправомерным и нельзя ограничиваться лишь основной частотой колебаний. В соответствии с дайсо-новской терминологией ?$ 5 ], мы считаем, что в системе наступает турбулентная стадия колебаний, при которой одночастотный режим распадается на многочастотный.

Из f 65] следует, что в этой ситуации усиление одночастот-ного сигнала возможно, но на ограниченной длине взаимодействия или же при наличии интенсивного стока мощности высокочастотных колебаний.

Второй режим (0) характеризуется тем, что при любых длинах взаимодействия сохраняется одночастотный характер колебаний. В этом случае существует предельная (асимптотическая) амплитуда и можно оценить длину, на которой она достигается ег>*"1).

В работе [651 получено выражение для амплитуды основной нарастающей волны, когда учитывалась лишь одна нарастающая волна. Сравнение результатов показывает, что выражения полностью совпадают, если коэффициенты и Сц равны цулю, либо их амплитуды равны нулю, что соответствует случаю, когда нет учета пассивных мод колебаний.

В этой же работе получена величина, определяющая значение предельной амплитуды для основной нарастающей волны во втором режиме (Q < 0): т к '.

Учет пассивных мод колебаний приводит к изменению величины предельной амплитуды нарастающей волны.

QlmТ.

Как видно из последнего выражения, величина предельной амплитуды уже не постоянная величина, а изменяется с ростом длины участка взаимодействия. Причем характер изменения зависит как от знака, так и от величины коэффициентов Ci, Сч, а также от величины начальных амплитуд пассивных волн.

Отличие выражений для амплитуд и фаз, полученных для четы-рехволнового приближения, от трехволнового, полученного в [б8*] «заключается в появлении дополнительного слагаемого в выражении для амплитуды Q{ нарастающей волны.

Полученные выражения показывают, что поведение основной нарастающей волны определенным образом зависит от пассивных мод и определяется величиной и знаком коэффициентов, учитывающих их влияние. Кроме того, учет второй гармоники приводит к изменению скорости нарастания и убывания двух активных волн (если в первом случае скорость нарастания и убывания определялась двумя коэффициентами, равными по величине, но отличающимися знаками, то учет второй гармоники приводит к тощ, что эти коэффициенты уже не равны друг другу). Получены выражения для амплитуд и фаз вторых гармоник.

В третьем разделе приведены результаты численных расчетов, выполненных на ЭВМ по выражениям, полученным во втором разделе для произвольных значений параметров волноводной модели ЛБВ,.

Сд0 — плотности пучка, <£с — сопротивления связи и Д, — продольного волнового числа холодной системы, вычислены значения величин, характеризующих нелинейную стадию развития колебаний. Показано, что учет второй гармоники существенно расширяет области значений параметров, при которых амплитуда основной нарастающей волны имеет предельное значение. Расчет коэффициентов, определяющих влияние пассивных мод колебаний, показывает, что в I больших областях влияние пассивных мод колебаний на поведение основной нарастающей волны не существенно.

Однако расчеты коэффициента усиления для различных значений параметров и с учетом отражений от конца системы для различных значений длины участка взаимодействия показывает, что влияние обратной волны существенным образом изменяет коэффициент усиления с ростом коэффициента отражения от конца системы.

Кроме того, показано, что с ростом входной мощности сигнала коэффициент усиления уменьшается, что находится в соответствии с результатами, полученными в работах других авторов.

Б четвертом разделе исследуется двухчастотное взаимодействие. Важность постановки этой задачи вызвана применением электронных приборов в различных радиотехнических системах, работающих в многочастотном режиме. Взаимное влияние сигналов различной частоты друг на друга является в ряде случаев нежелательным эффектом. На основе уравнений, полученных в первом разделе, построены выражения для амплитуд и фаз двух сигналов различной частоты и их вторых гармоник в приближении, когда учитывается только одна нарастающая волна. Ограничение на соотношение частот двух сигналов не накладывается. Рассчитаны параметры линейной теории, а также амплитуды и фазы двух сигналов и их вторых гармоник в зависимости от значений параметров, аналогичных выбранным в третьем разделе. Исследованы режимы, когда нет взаимного влияния или оно мало. Обсуждены особенности поведения сигналов и их влияние друг на друга.

Заключение

содержит итоговые результаты полученных исследований нелинейного взаимодействия электронных пучков с медленными электромагнитными волнами в системах типа «О» .

В приложении приведены формулы, по которым рассчитывались нелинейный ток, поле и коэффициент усиления в системе.

Автором получены следующие основные результаты.

1. Разработан новый метод исследования многоволновой элек • тродинамической системы, найден способ преобразования исходной самосогласованной нелинейной системы уравнений, включающих в себя уравнения Максвелла, уравнение непрерывности и уравнение движения, к уравнению относительно функции деформации потока, которое не содержит нелинейных слагаемых в виде произведения разных переменных величин. Уравнение, полученное в результате такого преобразования, описывает колебания в пучке при наличии как потенциального, так и вихревого поля и справедливы как в волноводной модели ЛБВ, так и при анализе реальных замедляющих систем.

2. Показано, что использование лагранжевого формализма позволило выделить малый параметр (начальную амплитуду модуляции сигнала), через который строится аналитическое решение задачи вплоть до нелинейной стадии.

3. Разработана методика решения уравнений относительно функций деформации асимптотическим методом Боголюбова — Митро-польского.

4. Найдены как функции параметров системы основные величины нелинейной теории, определяющие зависимость амплитуд и фаз от безразмерной координаты в трехволновом и четырехволновом приближениях и для двухчастотного взаимодействия.

5. Показано, что параметры линейной теории — инкремент нарастания колебаний и фазовая постоянная — определяют начальную стадию развития нелинейных колебаний.

6. Установлены критерии, при которых одночастотный сигнал нарастает по амплитуде вплоть до насыщения, и исследовано влияние других волн на предельное значение амплитуды.

7. Исследованы случаи, при которых одночастотный сигнал существует лишь на конечной длине пространства взаимодействия, и изучена роль других волн в системе в формировании длины пространства взаимодействия, на которой существует одночастотное взаимодействие.

8. Показано, что учет пассивных волн приводит к изменению инкремента нарастания, определяемого линейной теорией. Исследована величина этого изменения.

9. Показано, что при учете «обратной» волны характер поведения активных мод колебаний остается неизменным, как и в трех-волновом приближении.

10. Построено-выражение для поля в пространстве взаимодействия, позволяющее исследовать роль нелинейных процессов на энергетические характеристики приборов.

11. Численными методами исследовано дисперсионное уравнение, изучено поведение величин, определяемых нелинейной теорией. Изучено поведение нелинейных решений в зависимости от параметров системы в широком диапазоне начальных условий. Показано, что поведение амплитуд для двух различных режимов работы устройства различно. Один из них — когда амплитуда активной волны неограниченно нарастает (т.е. когда одночастотный сигнал распадается на многочастотный). В этом случае найдены значения предельных длин области взаимодействия, на которых еще возможно усиление сигнала в одночастотном режиме. Второй из них — когда амплитуда активной волны выходит на насыщение.

12. Показано, что так же, как исследование линейного режима дает важную информацию о характере волн, возбуждающихся в системе, так аналитическое исследование нелинейной стадии колебаний позволяет выявить и проанализировать нелинейные явления и выяснить условия их развития, а в некоторых случаях и проследить их развитие вплоть до установления максимальной амплитуды.

13. Исследована неустойчивость электронного пучка в цепочке резонаторов, запитываемьзх одной частотой, но разнесенных на определенное расстояние. Показано, что в такой системе возможно возбуждение лишь при определенных соотношениях между начальными амплиоудой и фазой и отношением между плотностью пучка и величиной несинхронности между фазовой скоростью электронного пучка и невозцущенной скоростью электронного потока.

14. Найдены выражения предельных амплитуд сигналов при двух-частотном взаимодействии. Показано, что существуют режимы, когда влияние одного сигнала на другой мало.

Научные результаты, содержащиеся в диссертации, могут быть отправным пунктом новых исследований нелинейного взаимодействия электронных пучков с волнами в электронно-пучковых системах типа «О» .

Положения, выносимые на защиту, таковы:

I. Аналитическое решение нелинейной системы уравнений, описывающих взаимодействие электронных пучков с медленными электромагнитными волнами в системах типа «О» в самосогласованной постановке со строгим учетом действия сил объемного заряда. Решения получены с помощью асимптотического метода Боголюбова-Митропольского в трехволновом приближении (две волны плотности заряда и одна волна замедляющей структуры) и четырехволновом приближении. Найдены выражения для амплитуд и фаз всех волн с учетом основной частоты и ее второй гармоники, установлена существенная зависимость коэффициента усиления от наличия неидеального согласования электромагнитной волны и замедляющей системы.

2. Аналитическое решение методом усреднения в приближении заданного поля уравнений движения, описывающих взаимодействие электронного пучка с цепочкой резонаторов, разнесенных на определенные расстояния, но запитываемых одной частотой.

3. Аналитическое решение нелинейных уравнений в самосогласованной постановке в случае, когда в системе распространяется два сигнала разной частоты.

Обоснованность и достоверность основных результатов следует из использования лишь математически корректных методов, хорошо апробированных в обычной и магнитной гидродинамике и электронике СВЧ, в выполнении предельных переходов к ранее известным результатам. Полученные результаты допускают ясную физическую интерпретацию и хорошо согласуются с физической картиной изучаемых явлений. Для предельных результатов (все вопросы стыковки с линейной теорией) полученные выражения переходят в известные ранее результаты других работ. Следовательно, основные результаты диссертации в надлежащей степени обоснованы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, приложения, заключения и перечня используемой литературы. Содержит 120 страниц машинописного текста, 120 рисунков на 55 страницах, перечень используемой литературы из 74 наименований.

Выводы по главе.

I. Разработана методика решения нелинейных уравнений в самосогласованной постановке, описывающих взаимодействие электронного пучка с медленной электромагнитной волной для двухчастотно-го взаимодействия, асимптотическим методом Боголюбова — Митро-польского. t '•¦.•.

Рис. 4.18.

2. В результате решения нелинейных уравнений для функции.

Ь) «описывающей 2 — компоненту вихревого электрического поля, найдены как функции параметров системы величины нелинейной теории двухчастотного взаимодействия, определяющие зависимость амплитуд и фаз от безразмерной координаты.

3. Показано, что параметры линейной теории, инкремент нарастания колебаний и фазовая постоянная определяют начальную стадию развития нелинейных колебаний.

4. С помощью численного решения дисперсионного уравнения исследовано поведение величин, определяемых линейной теорией, а также определены величины нелинейной теории. Изучено поведение нелинейных решений в зависимости от параметров системы для произвольных значений последних.

5. Найдены выражения предельных амплитуд сигналов при двухчастотном взаимодействии. Показано, что существуют режимы, когда влияние одного сигнала на другой мало.

Автор искренне признателен Н. А. Хижняку за научное руководство и постоянную подцержку в работе. Большую помощь автору оказал также Г. П. Щербинин при обсуждении полученных результатов. Благодарный автор подчеркивает, что эта работа не могла быть проделана вне творческой атмосферы, свойственной кафедре прикладной электродинамики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Основные физические результаты диссертационной работы, посвященные исследованию нелинейного взаимодействия электронных пучков с медленными электромагнитными волнами, отсутствовавшие до последнего времени в литературе, сводятся к следующему.

1. Разработан новый метод решения многоволновой электродинамической системы, найден способ преобразования исходной самосогласованной нелинейной системы уравнений, включающий в себя уравнения Максвелла, уравнение непрерывности и уравнение движения, к уравнению относительно функции деформации потока, которое не содержит нелинейных слагаемых в виде произведения разных переменных величин. Уравнение, полученное в результате такого преобразования, описывает колебания в пучке при наличии как потенциального, так и вихревого поля и справедливы как в волноводной модели ЛБВ, так и при анализе реальных замедляющих систем.

2. Использование лагранжевого формализма позволило вццелить малый параметр (начальную амплитуду модуляции сигнала), через который строится аналитическое решение вплоть до нелинейной стадии.

3. Разработана методика решения уравнений относительно функции деформации асимптотическим методом Боголюбова — Митропольского.

4. В результате решения уравнений для функции деформации найдены как функции параметров системы величины нелинейной теории, определяющие зависимость амплитуд и фаз от безразмерной координаты в трехволновом и четырехволновом приближениях и для двухчастотного взаимодействия.

5. Показано, что параметры линейной теории, инкремент нарастания колебаний и фазовая постоянная определяют начальную стадию развития нелинейных колебаний.

6. Установлены критерии, при которых одночастотный сигнал нарастает по амплитуде вплоть до насыщения, и исследовано влияние других волн на предельное значение амплитуды.

7. Исследованы случаи, при которых одночастотный сигнал существует лишь на конечной длине пространства взаимодействия, и изучена роль других волн в системе на величину области и длину пространства взаимодействия, на которой существует одночастотное взаимодействие.

8. Впервые обнаружена возможность раскачки амплитуды пассивных мод колебаний, допускающая простой отсос мощности из пространства взаимодействия. Вычислены инкременты нарастания амплитуд пассивных мод колебаний.

9. Показано, что при учете «обратных» волн характер поведения активных мод колебаний остается неизменным, как и в трехволновом приближении.

10. Построено выражение для тока в пространстве взаимодействия, позволяющее исследовать роль нелинейных процессов на энергетические характеристики приборов.

11. С помощью численного решения дисперсионного уравнения исследовано поведение величин, определяемых линейной теорией, а также определены величины нелинейной теории. Изучено поведение нелинейных решений в зависимости от параметров системы для произвольных значений последних. Показано, что поведение амплитуд для двух различных режимов работы устройства, когда амплитуда активной волны неограниченно нарастает (т.е. когда одночастотный сигнал распадается на многочастотный), найдены значения предельных длин области взаимодействия, на которых еще возможно усиление сигнала в одночастотном режиме, и когда амплитуда активной волны выходит на насыщение.

12. Показано, что так же как исследование линейного режима дает важную информацию о характере волн, возбуждающихся в системе, так и аналитическое исследование нелинейной стадии колебаний позволяет выявить и проанализировать нелинейные явления и выяснить условия их развития, а в некоторых случаях и проследить их развитие вплоть до установления максимальной амплитуды. При этом особенностью аналитического метода является возможность определить как функции параметров системы важные величины нелинейной теории.

13. Найдены выражения для амплитуды и фазы волны, возникающей в системе при модуляции электронного потока цепочкой резонаторов, запитываемых одной частотой, но разнесенных на определенное расстояние. Показано, что в системе возможно возбуждение лишь при определенных соотношениях между начальными амплитудой и фазой и отношением между плотностью пучка и величиной несинхронности между фазовой скоростью электронного пучка.

14. Найдены выражения предельных амплитуд сигналов при двухчастотном взаимодействии. Показано, что существуют режимы, когда влияние одного сигнала на другой мало.