Необходимые условия оптимальности и теоремы существования оптимального управления в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями

Одним из наиболее разработанных разделов математической теории оптимальных процессов является теория необходимых условий оптимальности, фундаментальным результатом которой является принцип максимума Л. С. Понтрягина [60J.

Как известно, основные результаты в теории оптимальных процессов и, в частности, необходимые и достаточные условия оптимальности получены в предположении дифференцируемое&tradeпо переменным состояния правых частей уравнений и функционала. Причем предположение о гладкости использовалось существенно и входило в формулировку конечных результатов.

Многочисленные задачи, возникающие, например, в космической навигации, при управлении производством, экономикой, при распределении ресурсов, в марковских процессах принятия решений и т. д. требуют разработки методов исследования задач оптимизации, которые пригодились бы при исследовании также и негладких систем.

К настоящему времени негладкие задачи изучены сравнительно мало из-за неприменимости известных методов. Поэтому представляет прикладное и практическое значение вывод необходимых условий оптимальности и исследование существования оптимального управления в негладких задачах.

Исследованию негладких задач управления посвящена работы [5−7,16,23−27,35−38,41,44,54,67,79,87,88] и др., в которых для рассматриваемых задач получены различные необходимые условия оптимальности первого порядка. Главная трудность при выводе необходимых условий оптимальности для негладких задач оптимизации состоит в построении сопряженной системы. В этих работах вводом по разному понятия сопряженной системы получены необходимые условия оптимальности первого порядка типа принципа максимума.

В частности, негладкими являются задачи управления, связанные с экстремально-дифференциальными системами, возникающие в марковских процессах принятия решенийв задачах на узкие места, в экономических задачах и т. д.

Ясно, что необходимые условия оптимальности имеют содержательный смысл в том случае, когда оптимальное управление существует в заданном классе функций. Поэтому возникают вопросы изучения существования оптимальных управлений в различных системах.

Первые теоремы существования оптимальных управлений относятся к линейным задачам быстродействия и были установлены в работах Р. В. Гамкрелидзе [зз], Р. Беллмана, И. Гликсберга и О. Гросса[13] Н. Н. Красовского [48] и др.

Отметим, что первая теорема существования оптимальных управлений применительно к нелинейным задачам принадлежит А. Ф. Филиппову [71] .

Доказательству теорем существования в некоторых обыкновенных системах без предположения о выпуклости множества допустимых скоростей системы посвящены работы Л. Нейштадта [85], Б. Т. Поляка [бх] .

Для систем, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями условие выпуклости множества допустимых скоростей (условие Филиппова), вообще говоря, не выполняется из-за наличия операции максимума, поэтому методы доказательства теорем существования оптимального управления, связанные с условием.

Филиппова, не применимы и представляют большой интерес.

Диссертация посвящена получению необходимых условий оптимальности и исследованию вопросов существования оптимального управления для процессов, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями.

Она состоит из введения и трех глав.

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена выводу необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями с нефиксированным временем.

В § I.I дана постановка задачи и приводятся вспомогательные факты.

В § 1.2 рассматривается задача минимизации функционала.

J (и) = max (I) при ограничениях.

Hi) = max .f (^.xCUutt)), xU0) = x0, (2) act) eUc Ra- (3).

Здесь oc (l)€ R — вектор фазовых переменных, uLt) eUcR. Zвектор управления, to. эс-о заданы, не фиксирован, Qc R.5. ЬсИезаданные компактные множества, — т — мерная вектор-функция, непрерывная в Q * R™ U вместе с |х, а Ф (х, 1>)заданная скалярная функция, непрерывная в Rmx В вместе с ФхСх^), а матрицы min I (q cc. u^ max f (cf s, u) ограни.

DmTT Яе R (x, u) Ta: ' 'qeRulu)' чены в К * U, где * v '.

R (ac, u)= jqeQ: naoix | (^.зс.и) = | (cj, x, u)j. (4),.

В системе (2) подразумевается, что максимум берется отдельно для каждой компоненты, т. е. набор параметров с^ для каждой компоненты отличен от соответствующего набора для любой другой компоненты. Отметим, что уравнения типа (2) впервые введены и исследованы в [14] Р. Беллманом в связи с исследованием марковских процессов принятия решения. В дальнейшем уравнения вида (2), следуя [47], будем называть экстремально-дифференциальными уравнениями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Управление uU), ie [io,-^]назовем допустимым управлением, если оно измеримо, ограничено и принимает значения из некоторого непустого множества Uc R.

Под решением системы (2), соответствующим допустимому управлению и (Л), «Ь €. [ЧоДч]» понимается абсолютно непрерывная Ш — мерная вектор-функция ос (,-t), удовлетворяющая начальному условию xCio) = x0H системе (2), почти всюду на [io.ii].

При сделанных выше предположениях каждому допустимому управлению uCi), ie [" to, it] соответствует единственное решение ос C-fc) системы (2), определенное на [io,^].

Допустимое управление, являющееся решением задачи (1)-(3), будем называть оптимальным управлением, а соответствующее решение системы (2) оптимальной траекторией. Заметим, что, несмотря на гладкость функций | (с^сс,<�х), Cj)(x,?)no х, в связи с наличием операции максимума, правая часть системы (2) и функционал (I) не являются гладкими по х. Поэтому рассматриваемая задача является негладкой задачей управления.

Введем обозначения.

HCac, u, p)= р1 mcxxffyvc. u), peR™ Жс*, р) = max Н (ллр),.

ЧеОueU.

BUU,))= | UB—^ctx 4>(ocUi),&)= С агс^О, €) V •.

SeB.

Доказана.

ТЕОРЕМА I. Пусть (st*Ct), u^Ofe), решение задачи (1)-(3) .

Тогда найдется m — мерная вектор-функция p (t) такая, что а) вектор-функция p (i) удовлетворяет сопряженному уравнению pU) =-АЧ-t) рШ, p (-t^) = - С, (5) б) почти при всех t е [ 10Д1* ].

И (ос* С-t), и&bdquo- (t), pU)) = max HU.W.u.pU)), (6)ueU в) гамильтониан р (О) непрерывен на отрезке.

U-tu] и.

K (xAiix), PUiO = О, С7) где ACt) — некоторая измеримая ограниченная (шх т) матричная функция, С — некоторый постоянный вектор такие, что.

AUb ma* ^(^x^W.u^t)), (8) min ФхСэс. и^)^) < C< max (g). O) teBu,^,)) fee BCx*ufJi)).

Далее, в этом же параграфе аналогичная задача рассматривается для неавтономных систем вида хН) = max *U), uW), x (-to) = jte, (IQ) где m — мерная вектор-функция |(с^, х, и) непрерывна в Q* (4o, y*Rm*U вместе с fx (^^x.u), ^(^x.u) и функции mua max (x (, naun. | u) j max (c^i, x, u) ограничены в.

RU, x, u) = [c^eQ: max |(ДДх, и) г |(^, t, x, u)| Положим Я e Q.

Ни, х, и, р) = p' mcxct |(a t, x, u), u? U.

Доказана.

ТЕОРЕМА 2, Пусть (х*(t), U*(t), i^) — решение задачи (I), (3),(10). Тогда существует m — мерная вектор функция P (t) такая, что а) вектор-функция рШ удовлетворяет сопряженному уравнению.

PU)=-A'U)PU), P U,*) = -C, (II) б), почти при всех t e [to, t1#].

H (t, 3c*li).u, Ct), Ptt)) = max И (t, зс*Ct), u, p (t)) (12) ueU в) гамильтониан Jt (t, эс*Сi), pCi))непрерывен на отрезке t «to, 11* ] и.

PC-tin)) — О (13) где ACt) — некоторая измеримая ограниченная функция, такая, что ro-tn х ty. t, ct), u, ct)) < A ct) * max {X (%1, xM u*ct)) (I4> RCt, oc*ct), иЛ ct)) q, e R Ct, x*ct), u*ct)) и С — некоторый постоянный вектор, удовлетворяющий неравенствам (9). В § 1.3 рассматривается следующая задача минимизации функционала.

J (u) — max FCa^,^t), uCi))cit (15) ae it v t о при ограничениях (3), (II), где, А — компактное множество из RK, функции FCcL. t, эс, u.)f Fi (a, t, x, u), F* CcL, t, x, u.) непрерывны на 1 х [to, t, ] * R-m * U, naLa Ft Ca, t, x, u), a€ KCt.X.LL) max Ft (a,-U, u), YYiiri Fac (аД, х, и), max Foc (ca,*-u) a? K (i, x, a) aeKU, x, u) aeKU.oc.u) ограничены в [-t0>ti] * Rmx U. Имеет место.

ТЕОРЕМА 3. Пусть u.* решение задачи (3, (10),.

15). Тогда найдется т — мерная вектор-функция p (.t) такая, что а) вектор-функция pit) удовлетворяет сопряженному уравнению р (0=- A/('t)P (i) + K1(t)> P (ilx)r0, (16) б) почти при всех 1 € [io.in].

Н U, x*U>, u#(-fc), p (l)) max Н pit)) (17) ueU в) гамильтониан Jt (-t, x*(-l")> рс!))непрерывен на отрезке [lo, tt*] и.

Ж (t19t, xUi*), p (i,*)) = О, (18) где К ^ («t) — некоторая измеримая ограниченная вектор-функция, такая, что.

Паса Fac CaAcx^cD.LMi)) < k, U) t naax (^(аЛ** (1), u* Ш), a€ KU, x, Ci), U, Ct)) CL G u*(4)) к U, X* (-t), и."(i)) = j CL€ 1: inax F (a, 4,0^(4), u. xa>)= F (a/t,^(t), Vt)).

L oLGA.

И (t^u^p) = - max F (a, t, x, u), ael.

ACi) определяется неравенством (9).

В § 1.4 рассматривается задача минимизации функционала.

I (iO — max cj (x (t)) (I9).

V*1 — Xl при ограничениях (2), (3). Предполагается, чтоЦ не фиксирован, (Jсх) — непрерывная вместе с Функция в В-&trade-' • Введем множество.

С (хШ) = | i € [ioX] :

Имеет место.

ТЕОРЕМА 4. Пусть (х*Ci), u^C-tXli*)решение задачи (2),(3>, (19), а) с замкнуто. Тогда существует такая неубывающая на iофункция [лШ, постоянная на [io.twlX C (x*(t)) и Л* du (t) — I «и Функция pit), удовлетворяющая уравнению pU) = j 'V (s)p (s)clsj c^ (x*(s))clp.U), (20).

— t i что выполняется условие максимума.

И U*(l), рШ) г max.

Н С*, It), U, pit)) (2D ueU где о (.|л (Л) мера, сосредоточенная на множестве С (х*Ш), а Д (1) определяется соотношением (8).

Во второй главе, которая состоит из четырех параграфов, продолжено исследование задач, поставленных в первой главе. Далее, рассматривается задача оптимального управления в процессах, описываемых экстремально-дифференциальным уравнением, правая часть которого зависит от параметра, и в процессах, описываемых экстремально-дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом. Получены необходимые условия оптимальности типа неравенств.

Основными результатами § 2.1 являются следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 5. Пусть (эс* (-t), Li*U),-h,*) — решение задачи (1)-(3).

Тогда выполняются неравенства:

Гпгсп [ |(^>x*Ci)'U*ct))]-0.

J n 1 (22).

Wax [p'(U) max {(<), x*U), u, U))J 7,0.

UeBl**^*)) Я&а для почти всех t? [to, ti*], mm p'(t, U max j (c^, xxU), u)] <= [ to, li* ], где р С-Ь, €>) абсолютно непрерывная функция, являщаяся решением задачи pit, О = - A'(-t) PU.6). PUi", 6) ^-^ac (24).

АШ — некоторая измеримая ограниченная матрица, удовлетворяющая неравенству (8).

ТЕОРЕМА 6. Пусть (х*U), u*(t), t^) — решение задачи (1),(3),.

Ю).

Тогда выполняются неравенства: rviiYi p'(-a) КахЬа^ъШмфгМ^О.

UeB (cc, Ct1x))L c^ed.

J (25) ma. Dc [ p'(t,&) max 7, 0.

UeBCx^CW) для почти всех i e [to, tt* ], mm [ p'(t,?) max|(cj, t, ct, tt), u) t tU, g)] < о (26) веЬСх*^*)) для всех ueU и почти всех t? [ t0, t-t*], где p (t,€), &? ВC^c* C-Li*)) — решение задачи (24) — t Ct, €), & С В Cx* (ti*)) — решение задачи i (U) r-k'(t) p (U), t (t1Jf^) = 0, (27).

ACt) — определяется соотношением (14), a h (l) — некоторая измеримая ограниченная вектор-функция такая, что t (c^, ix, a), a, tt))< maxft (^/U*(UMt)) (28).

RCt, ос, Ct), и «Ю) fUt, x* Ct), и* Ш).

Неравенства (22), (23) и (25),(26) выражают необходимые условия оптимальности типа неравенств для задач (1)-(3) и (1),(3),(10) соответственно.

Далее, в этом параграфе рассмотрена задача о минимуме функционала.

ICu) = упьп Ф (хи,), 0 (29).

UB, р при ограничениях (3),(Ю), где B^R. — компактное множество.

Доказана.

ТЕОРЕМА 7. Для того, чтобы управление u* (t), € [?0,ii#] было оптимальным в задаче (3), (10), (29) необходимо, чтобы почти при всех tetto, ti*] выполнялось равенство р’СШтах^ЦД.х^.и^О + ии)^ Ig B, Cocv (t^)), (зо) а для всех U&U и почти всех i. е [io,-li*] выполнялось неравенство пгслх p/(t>i)min ^(^{^(tiuj-na^).

О, (31) где.

В, (** = Не В, •• и&bdquo-), ?) = Ф (х*и,*)Л).

L ge В J jp (U), и | tit, 6), U ВД^Нн))! являются решениями задач (25) и (29) соответственно.

В § 2.2 рассматривается задача о минимуме функционала.

I (u) = max ос (и, 6) =*"(?), (32) при ограничениях.

X = max j (cj"x, u,&), = (33) eQ u (i)eUcRt (34).

Здесь функции f, |, фх,, |х, х0 — непрерывны по совокупности переменных.

Пусть матрицы min, (i), т.ах.

Л) цеНСъиЛ) ограничены в Rm* U* В «гДе.

R = max = I aeQ.

Доказано следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 8. Пусть (сс* Ш, ип U), у — решение задачи (32)—(34) Тогда выполняются неравенства min [ p'(t, g) ho-ax и*ШЛ)].

35).

7/0 max [ p’ctЛ) ьцс-и, §) почти при всех ie ^ p'(U) тахЦ^х^ииД)] < 0 (36) для всех U? U и почти всех t? [Чо, li*] 7 где P (t,?) является решением задачи — A’w pa, 6), P (i ,*, g)= - фх (x* UH, ?), (37).

AIM) — некоторая ограниченная матрица, измеримая по? при каждом, такая, что min A (U)5 тах^^хЛЩ^ШЛ). q, е R U*(ЩЮ <j, е R. U*(i, i), uM 6).

§ 2.3 посвящен выводу необходимых условий оптимальности типа неравенств для задачи (3),(10),(15).

Доказана.

ТЕОРЕМА 9. Для оптимальности управления в задаче (3),(10),(15) необходимо, чтобы почти при всех «Ье[Чо/1"] выполнялось условие Ynin [ p'(-t, a) max Р (u*U)).

— Р (а,-Ь, х, а)#и*а)) + ги, а)]<�о (38) ha ах p’U, a) max | V для t (i, a) J 7/0, всех U€ (J и почти всех i € (4o,-tj#] ynin.

Р'(М) max 1(^, 1, x* Ш, u).

39) где рЦ, 0ь) и t (.-fc, a) решения задач соответственно pu, a) = - A to uxCt)), (40).

PUu, a) =о, а е Л (xxU,*)) — гС-Ь1*, а) = оa el (ос* (4,*)),.

41).

ACx, Ui*)) = j ael: max (=.

1 a elJio.

— j F (a, i,3c"c-t), u,(t))dt I t".

АШ, k (40 определяются соотношениями (14) и (28) соответстj венно.

В § 2.4 рассмотрена задача о минимуме функционала (I) при ограничениях.

U)r vnax|(cj,-(-, xa), x (6oU)), ua)), -U (4o, i,], (42) sea oc (wC4))= if>U), i е[К г, ив)] ult)? U с R*.

43).

44) где со (40 = I — h (i), IxCi) 7/0 — непрерывно-дифференцируемая скалярная функция, (iU)< 1, te[l0jti].

Пусть функции IC^t^e.n^^^ii.a^^^f^i^^u.), e (u,) (6(I) = cc (соШ)) непрерывны по совокупности переменных, а функции rn.ua (%i, x,9, и max. Ъв," ¦), rnin 2,0,(1), max. mat ^ДД)fyограничены в [{0,i,]*R x U, где eRttx.ftu.).

I <^6 0,.

Имеет место.

ТЕОРЕМА 10. Пусть (ХкШ^С-ОД,*) — решение задачи (I) (42)-(44),. Тогда выполняются неравенства: yriiYl РЧ-t.g).

Ynax PUS) max ?/0.

6еВ (х, ад для почти всех {е [{оД,*], miYl для всех ueU и почти всех t 6 [^оД^], где |рил), UBU*Ui*))}, { гам, ^ решения соответствующих задач:

P (U) г — А’аж-U) — i0 <*)?l*ii*.

Ш. О = - k’tt) PUJ) 1 о.

47).

48) функция, обратная к co (-t)t АШ и B (i) некоторые измеримые ограниченные матрицы, K-(i) — некоторая измеримая ограниченная вектор-функция, такие, что.

ШгСп fx (^Ji}xj (Lh), x^(ujU))) max я,(изш), и*ш) ?

YYiiYl < B (-t) * max Ij^x^x^cjcuXmu), mcxx |i (^, x) t (l))xji (wa)), u>w).

Третья глава диссертации посвящена вопросу существования оптимального управления в экстремально-дифференциальных системах с негладким критерием качества. В таких системах известное условие выпуклости множества допустимых скоростей (условие Филиппова), вообще говоря, не выполняется из-за наличия операции максимума и поэтому методы доказательства теоремы существования, связанные с выпуклостью множества допустимых скоростей вообще неприменимы. Поэтому доказанные в этой главе теоремы существенно отличаются от доказанных ранее теорем существования, полученных при выполнении условий типа Филиппова.

Третья глава состоит из двух параграфов.

В § 3.1 рассматривается задача о минимуме функционала (а) г т. ах фС^СЬ), О (49) при ограничениях x (-t) — max |((|гзсШдШ), (50) mueUcR. (5i).

Отметим, что из-за наличия операции максимума в правой части системы (2) из выпуклости множества: у- € U j при всех cj^x, вообще говоря, не следует выпуклость множества.

S (х) = J max: и e U I ?

L Q J т. е. условие Филиппова (условие выпуклости множества допустимых скоростей) не выполняется.

Пусть выполняются условия:

1)0.сК5.,[7с1?г — выпуклые компактные множества, а В С R ^ - компактное множество.

2) Функция §-)и вектор-функция |(^х, и.) непрерывны по совокупности переменных вместе с.

3) Вектор-функция ^(^хм) строго вогнута по при всех X .

Наряду с поставленной задачей рассмотрим следующую задачу, называемую расширением задачи (1)-(3). Найти минимум функционала.

1(9)= max фоадО (53) при ограничениях и xlt)= X Kn-aX xCi0) = x0l (54).

L=0.

U-'eU, t=o, i, •• •, a, n.

0141)7,0, 1=0,1,., vt, X 1, i = o в которой управлением является.

0(О= (u^u'HV-.uV-t), с Поскольку множество.

KL.

55).

RU) =.

J оil max u’zU, n oil (t)?/0- 6= o, d,2 1 I.

L — 0 J является совокупностью выпуклых комбинаций произвольных точек из множества S С, то оно выпуклое множество. Тогда при вышеуказанных условиях по известным схемам, можно показать, что для расширенной задачи (53)-(55) существует оптимальное управление 6* U).

4) Предположим, что вдоль процесса (ос* (О, 6* (t)) выполняются условия: ^ *— } iz О к* J, К, J = 1, пг, с = о, п. и с Щ) О для любого ^ g Q., ё в Б, где является решением задачи (53), соответствующим оптимальному управлению U * С-t) .

ТЕОРЕМА II. Пусть выполняются условия 1)-4). Тогда в задаче (53)-(55) существует единственное оптимальное управление, и его можно считать непрерывным (т.е. существует непрерывное допустимое управление, совпадающее с этим управлением почти всюду),.

В § 3.2 рассматривается задача о минимуме функционала типа Больца.

XI г.

I (u)= max F (a, a: Ct), u.

Пусть выполняются условия:.

1) Q С R 5, U с выпуклые компактные множества, а g С R.^ «iLcRK — компактные множества..

2), ^(fyXjU.) непрерывны по совокупности переменных в Q х? mx [J и при всех ty ?.

Ki, где R (x, u) определяется соотношением (52)..

При сделанных предположениях можно доказать, что совокупность решений системы (50) ограничены, т. е. x (-t)||.

Все дальнейшие условия будем считать выполненными в области x (4)|t.

3) Имеет место оценка тах|(д, х, У^)-1 max j t < КгЦи.-ггЦг.

Q,? 2.

4) Функции t (cL, x, u)f Fx (a, x, u.) непрерывны по совокупности переменных и при всех осе М (х, и).

II Fx (- Кз, где.

М (х, и) = I а&euroЛ: max F (а, ас, и) г FC^x.a) I аеЛ.

5) Функция сильно выпукла по a, т. е. ..

6) Функция ф (х, ё) непрерывно дифференцируема по.

Фзс с € Я! s К5.

ОС и для всех.

6 е BCxUO), где.

6еВ J.

ТЕОРЕМА 12. Пусть выполнены условия 1)-6), причем.

С^^-К2[К5+(С5 li,-t.)]eMtrW70 •.

Тогда в задаче (50),(51),(56) существует единственное оптимальное управление и его можно считать непрерывным..

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальные и интегральные уравнения АТУ им. С. М. Кирова, на семинарах лаборатории математические вопросы кибернетики ИК АН Азерб. ССР, на республиканских конференциях молодых ученых по прикладной математике и кибернетики (Баку, 1978, 1981, 1984гг.), на семинарах факультета прикладной математики — процессов управления ЛГУ им. А. А. Жданова в 1981 году (рук.проф.А.Ф, Демьянов), на семинарах кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова (рук.доц.Ф.П.Васильев), на Закавказской конференции молодых ученых по автоматическому управлению (Тбилиси, 1977 г.)..

1. Агамалиев А. Г. Принцип максимума в одной экстремальной задаче. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-матем и техн. наук, 1977, № 6, с.58−51..

2. Агамалиев А. Г. Принцип максимума в одной негладкой задаче управления. Деп. в ВИНИТИ, J? 3121−79 от 21 августа 1979. В сб. «Депонированная рукопись», 1979, № 212, 6/04..

3. Агамалиев А. Г., Гасанов К. К. Теорема существования оптимального управления для одной негладкой задачи управления. ДАН Азерб. ССР, 1981, № 12, с. П-14..

4. Агамалиев А. Г. Задача на минимакс в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями. Изв. АН Азерб.ССР сер. физ-техн. и матем. наук, 1982, № 2, с.106−109..

5. Альсевич В. В. Задача терминального управления с недифферен-цируемым критерием качества. В сб. «Дифференциальные и интегральные уравнения», вып.2, Иркутск, 1973, с.81−87..

6. Альсевич В. В. Необходимые условия оптимальности в негладких задачах оптимального управления. Автореферат канд.дисс., Минск, 1974, 16с..

7. Альсевич В. В., Салиев Э. А. Об одном классе необходимых условий оптимальности в задачах управления. В кн.: Проблемы оптимального управления. Минск, «Наука и техника», 1981..

8. Барбашин Е. А. К теории обобщенных динамических систем. Уч.зап.Моск.ун-та, Математика, 1949, т.2, вып.135, c. IIO-133..

9. Бегалишвили Г. М. Оптимальные процессы при слабодифференци-руемых связях. Дифференц.уравн., 1976, 12, $ 4, с.625−636..

10. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства, Мир, 1965..

11. Благодатских В. И. К теории достаточных условий оптимальности. Труды МИАН СССР, 1976, 142, с.78−87^.

12. Благодатских В. И. Линейная теория оптимального управления. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978..

13. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс 0. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М., ИЛ, 1962..

14. Беллман Р. Динамическое программирование. ИЛ, I960, с. 400..

15. Болтянский В. Г. Принцип максимума в теории оптимальных процессов. ДАН СССР, 1958, т.119, № 6..

16. Болтянский В. Г. Метод шатров в теории экстремальных задач. УМН, 1975, т.30, вып.3(183), с.3−55..

17. Варга Дж. Оптимальное управление функциональными и дифференциальными уравнениями. М., Наука, 1977..

18. Васильев Ф. П. Условия оптимальности для некоторых классов систем, не разрешенных относительно производной. ДАН СССР, 1969, 184, № 6..

19. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. Москва, Наука, 1980..

20. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1981..

21. Васильев Н. С. Теорема существования в одной минимальной задаче управления. Ж. Вычислит, матем. и матем.физ., 1977, I, с.64−71..

22. Вопнярский И. Б. Теорема существования оптимального управления в задаче Больца, некоторые ее применения и необходимые условия оптимальности скользящих и особых режимов. К.Вычислит.матем. и матем.физ., 1967, т.7, $ 2, с.259−283..

23. Величенко В. В. К задаче о минимуме максимальной нагрузки. Космические исследования. 1972, 10, вып.5..

24. Величенко В. В. О задачах оптимального управления для уравнения с разрывными правыми частями. Автоматика и телемеханика, 1966, № 6..

25. Виноградова Т. К., Демьянов В. Ф. О принципе минимакса в задачах оптимального управления. ДАН СССР, 1973, т.213, № 3..

26. Виноградова Т. К., Демьянов В. Ф. К необходимым условиям в минимаксных задачах управления. S. Вычислит. матем и матем. физ., 1974, & I, с.233−236..

27. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М., Наука, 1971..

28. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации. Изд. БГУ, Минск, 1981..

29. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск, Наука и техника, 1984..

30. Гамкрелидзе Р. В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач. Труды МИАН СССР, 1971, 112..

31. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси, 1977..

32. Гамкрелидзе Р. В., Харатишвили Г. Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах. Изв. АН СССР, сер. матем., 1969, т.33, & 3, с.781−839..

33. Гамкрелидзе Р. В. К теории оптимальных процессов в линейных системах. ДАН СССР, 1957, т.116, № I, с.9−11..

34. Гасанов К. К., Агамалиев А. Г. Принцип максимума в одной экстремальной задаче. Уа. записки Азерб. ун-та «Вопросы прикл.матем. и киберн.», 1978, № I..

35. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1970..

36. Гурин Л. Г., Столярова Е. М. Принцип максимума в одной минимаксной задаче. 1. Вычислит.матем. и матем.физ., 1973, Л 5, с.1175−1185..

37. Гурецкий В. В. Об одной задаче оптимального управления. Изв. АН СССР, сер. механика, 1965, № I, с.159−162..

38. Демьянов В. Ф. и др. Негладкие задачи теории оптимизации и управления. Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1982..

39. Демьянов В. Ф., Малоземов В. П.

Введение

в минимакс. М., Наука, 1972, с. 368..

40. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М., 1981, с. 384..

41. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Ж. ВМиШ, 1965, т.5, 3, с.395−453..

42. Зубов В. И. Теория оптимального управления. Изд-во «Судостроение», Л., 1966..

43. Иванова Г. П. О теоремах существования в вариационном исчислении. ДАН СССР, 1966, т.170, J* 2, с.253−256..

44. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974, 479с..

45. Калинин А. И. Метод приращений в пространстве состояний. Автореферат канд.дисс., Минск, 1973, с. 15..

46. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд-во МГУ, вып.2, I960..

47. Константинов М. М., Байнов Д. Д. Существование и единственность решения некоторых экстремально-дифференциальных систем сверх нейтрального типа. Izch. Maih., 1972, 8, & 4..

48. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М., Наука, 1968, с. 476..

49. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М., Наука, 1973, с. 446..

50. Кугушев Е. И. Принцип максимума в задачах оптимального управления системами с негладкой правой частью. Вестник МГУ, 1973, сер.1, № 3, с.107−113..

51. Кругер, Мордухович Б. Ш. Экстремальные точки уравнения Эйлера в негладких задачах оптимизации. ДАН БССР, 1980, т.24, № 8, с.684−687..

52. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. Изд-во Наука, 1965, с. 520..

53. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. Наука, 1972, с. 576..

54. Мансимов К. Б. К теории необходимых условий оптимальности в некоторых системах с последействием. Автореферат канд.дисс., Баку, 1979, с. 16..

55. Мансимов К. Б. Некоторые вопросы качественной теории оптимальных процессов. Часть I. Обыкновенные непрерывные системы. Деп. в ВИНИТИ, № 3118−82, с. 193..

56. Мордухович В. Ш. Существование оптимальных управлений. В сб. «Современные проблемы математики», т.6, Итоги науки и техники, М., ВИНИТИ, 1976, с.205−261..

57. Мордухович Б. Ш. Принцип максимума в задаче оптимального быстродействия с негладкими ограничениями. Прикл.матем. и мех., 1976, т.40..

58. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М., Наука, 1975..

59. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М., Наука, 1974..

60. Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969, с. 384..

61. Поляк Б. Т. К теории нелинейных задач оптимального управления. Вестник МГУ, сер. матем. и мех., 1968, 12, с.30−40..

62. Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. М., Наука, 1969, с. 151..

63. Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем ИИ. Автоматика и телемеханика, 1959, В 10−12..

64. Рокафеллар Р. Т., Выпуклый анализ. М., Мир, 1973, с. 469..

65. Садыхов М. М., Ахмедов К. Т., Гасанов К. К. О дифференциально-экстремальных уравнениях с запаздывающим аргументом.Уч.зап.АТУ им. С. М. Кирова, сер.физ.мат. наук, 1967, № 4..

66. Садыхов М. М. О некоторых свойствах решений дифференциально-экстремальных уравнений с запаздывающим аргументом. Изв. АН Азерб.ССР, сер. физ-матем. и техн. наук, 1969, № 2..

67. Сотеков А. И. Принцип максимума для некоторых задач оптимального управления с негладким функционалом. Тр. Ш Зимней школы по матем.програм. и смежн. вопросам, вып. З, 1970, с.591−600..

68. Толстоногов А. А. Принцип максимума для дифференциальных включений. Дифференц.уравн., 1975, JS 10..

69. Федеренко Р. П. Приближенное решение вариационных задач с недифференцируемыми функционалами. ЖВМиМФ, 1971, Л 2..

70. Федоренко Р. П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. М., Наука, 1978..

71. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. Вестн.Моск.ун-та, 1959, № 2, с.25−32..

72. Филиппов А. Ф, Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью. ДАН СССР, 1963, 151, № I, с.65−68..

73. Филиппов А. Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Вестн.Моск.ун-та, 1967,3..

74. Харатишвили Л. Г. Принцип максимума в теории оптимальных процессов с запаздыванием. ДАН СССР, 1961, 136, J* I, с.39−42..

75. Aronsson G. Pontryagins Maximum Principle and. a Minimax Problem. Math. Scan. 1971, v. 29, N1..

76. Banks H.T. Necessary Conditions for Control Problems with Variable Tine Lags. SIAM J. Control, 1968, v.6,N1..

77. Clarke F.H. Generalized Gradients and Applications. Trans. Amer. Math. Soc. v.205 (1975), pp. 247−262..

78. Clarke P.H. The Euler-Lagrange Differential Inclusion. Journal Diff. Eqs. 1975, v.19..

79. Clarke P.H. The Maximum Principle under Minimal Hypotheses. SIAM J. Control and Optimization. 1976, v.14,N6,pp.1078−1091..

80. Cesari L. Un teorema di esistenza in problem! di controlli ottomo. «Ann.Sc. Worm. Sup. Pisa «, 1965, ser.3,19,N1..

81. Dyer P., Mcreynolds S.R. On Optimal Control Problems with Discontinuities. J. Math. Anal, and Appl. 1968, v.23,N3..

82. Ekkeland I. On the Variational Principle. J. Math. Anal. Appl., 47, pp. 324−353..

83. Neustadt L.W. The Existence of Optimal Controls in the Absence of Convexity Conditions. «J. Math. Anal. Appl.» 1963,7,N1..

84. Roxin E. The Existence of Optimal Controls. Michigan Math.J. 1962,9,H2..

85. Warga J. Necessary Conditions without Differentiability Assumptions in Optimal Control. Diff. Eqs. J.v.18,(1975), pp.41−62..

86. Warga J. Relaxed Variational Problems.J. Math. Anal. Apjhl., 1962,4,N1..