Арифметические свойства значений гипергеометрических функций

История вопроса. Пусть (01,., 0т) € 11 т. В теории трансцендентных чисел и её приложениях важную роль играют оценки снизу для модулей линейных форм.

ХО + Х101 +. + хтвт (0.1) где Х{ - целые рациональные числа. Оценки обычно получаются в виде функции от х = шах |жг-|. Рассматривают также и формы с алгебраическими коэффициентами х^ выражая оценивающую функцию через максимум высот коэффициентов. Лишь в очень немногих случаях удается получить оценки, зависящие от границ для каждого из %{.

Из метрических соображений [24] следует, что при любом е > 0 для почти всех в смысле меры Лебега точек 0 = (01,., 0т)? Г1т существует постоянная с = с (0,е) > 0 такая, что для любого ненулевого вектора х — (жо, #1, • • • > %т)? Zm+1 справедливо неравенство: ш х0 + Хгвг +. + хтет > с • Д ^ • (Ь (1 + х) Ут-?, (0.2) г=1 где Х{ = тах (1, х = тах Х{.

1 <�г<�т.

В настоящее время не известно ни одного набора чисел 0, для которого выполнялось бы неравенство (0.2). Вместе с тем для любой положительной и сколь угодно быстро убывающей функции (р (х), х 6.

И, х>0, существуют точки в, для которых неравенство х0 + Хв +. + хтвт I < (р (х) имеет бесконечное число решений х? Zm+1.

Методы теории трансцендентных чисел позволяют получать оценки снизу для модуля величины (0.1), близкие по порядку к оценкам (0.2), при специальном выборе 9. В качестве чисел 01,., 0 т можно рассматривать значения аналитических функций.

ЛИ =? с?>Л с,-&bdquoе з = 1,., Ш, п е N и {о}, п=О в ненулевых рациональных точках ^ 6 N.

Нас будут интересовать значения обобщенных гипергеометрических функций.

Определение 1. Пусть <21,., ар, 61,., Ьд — комплексные числа, отличные от нуля и отрицательных целых чисел. Обобщенная гипергеометрическая функция определяется рядом.

Ч,. А g (fll)n • • ¦ Ып (0 3) n=0 (h)n ¦ • • (bq)n П !' где (а)о = 1 и (а)п = а • (а + 1) • • • (а + п — 1) при п > 1.

При р < q этот ряд определяет целую функцию, в случае р = q+1 радиус сходимости ряда (0.3) равен 1, а в случае р > q + 1 этот ряд расходится.

Большинство специальных математических функций является гипергеометрическими функциями. Например, ez — oFo (|z),.

1 + z) a = iF0(-a- -г), 1п (1 — z) = -z • 2FX.

OO zn / ^ 1.

Lk{z) = ^ = Z’k + lFk2, Z', 2Z) z.

Гипергеометрические функции (0.3) дают множество примеров так называемых Еи в-функций Зигеля. Определение 2. Аналитическая функция.

00 zn f (z) = Е ¿-п. п=0 гь называется Е-функцией, если она удовлетворяет следующим условиям.

1) сп € К, п = 0,1, 2,., где К — поле алгебраических чисел конечной степени над С^;

2) для некоторой константы С сп = 0(Cn), п —оо, где через |а| обозначен максимум модулей чисел, сопряженных с, а над полем Q;

3) существует последовательность {qn}, qn? N, такая, что QnCk? ZK, & = 0,1,. ., те, 71=1,2,. и qn = 0(Cn), ti У оо.

Данное определение E-функции было введено С. Ленгом [44] и несколько отличается от классического определения Зигеля. Однако, все известные E-функции (в смысле Зигеля), являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений, удовлетворяют определению 2.

Определение 3. Аналитическая функция.

00 п.

М = Е cnZ п=О называется Сфункцией, если выполнены условия 1)-3) из определения 2.

Всюду в дальнейшем считаем, что параметры а,., ар, 61,., Ьч обобщенной гипергеометрической функции (0.3) рациональны. Так при р < д функция является Е-функцией (см. [32, гл. 5, § 1]). При р = д + 1 гипергеометрическая функция (0.3) принадлежит к классу С-функций.

В 1929 г. К. Зигель в работе [45] разработал метод доказательства трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций. В дальнейшем этот метод был существенно усовершенствован А. Б. Шидловским (см. [32]) и получил название, метод Зигеля-Шидловского" .

Этот метод может быть также применен для получения оценок линейных форм, зависящих от всех коэффициентов. Первая оценка подобного типа была получена А. Бейкером в 1965 году в [35] для значений функций ег в различных рациональных точках. Теорема ([35]). Пусть а,., ат — различные ненулевые рациональные числа. Тогда для любых целых отличных от нуля чисел хт справедливо неравенство положительные числа, зависящие только от а,., ат.

Важную роль в доказательстве результатов такого рода играют функциональные приближающие формы, так называемые прибли-Эрмита-Паде или близкие к ним. где х = т< 1.

В некоторых случаях существуют эффективные способы построения функциональных приближающих форм, позволяющие получать более точные оценки.

Определение 4. Пусть д > 1 и /о (я),. — аналитические в точке г = 0 функции, не все равные нулю в этой точке, щ,., пдцелые неотрицательные числа, N = щ +. + пд. Нетривиальная совокупность многочленов Ро (г),., Рд (г) с условиями называется приближениями Эрмита-Паде первого рода. Нетривиальная совокупность многочленов Ао (г),., Ад (г) с условиями называется приближениями Эрмита-Паде второго рода.

Символ огс1 обозначает кратность нуля в точке г = 0 функции Р (г)).

В ряде случаев эффективные конструкции приближений Эрмита-Паде позволяют получать результаты более точные, чем с помощью метода Зигеля-Шидловского.

Используя приближения Эрмита-Паде первого рода, Н. И. Фельдман в 1967 году в работе [25] получил результат, подобный теореме Бейкера для единицы и значений функций <�рг (г),., (рт (г), где я огаЕВД-ЛМ >N-1, г=0 й^А^г) <�И-щ, г = 0, ог (1 (4 (*)/,-(*) — А^(г)Мг)) > 1 + ТУ, 0.

Теорема ([25]). Пусть, а есть рациональное число, отличное от нуля, a Ai,., Am суть различные рациональные числа, отличные от отрицательных целых. Тогда существует такое положительное со = co (Ai,., Am, а), что для любых целых рациональных х,., хт, у, х +. + х^ > 0, выполняется неравенство.

Х1Ы<*) + WA" +. + xm.

X = х — • ¦ хт, Xi = max (|^|, 1)..

Полученная оценка имеет точный главный член в показателе при X и остаточный член вида со/ In ln X, что точнее величины и/ Vin ln X в оценке Бейкера..

Отметим, что перечисленные результаты относились к оценкам линейных форм от значений целых гипергеометрических Е-функ-ций. Оценки подобного типа можно получать и для значений гипергеометрических функций с конечным радиусом сходимости (G-функций) в рациональных точках, достаточно близких к нулю. Одна из известных работ в этом направлении — работа Н. И. Фельдмана 1972 г. [26] о значениях функций п=0 п + ai аг ОЧ + 1 1, г = 1,., ш. (0.4).

Теорема ([26]). Пусть а>1,., ат отличные от нуля и отрицательных целых рациональные числа, несравнимые по модулю 1, е > 0, К — мнимое квадратичное поле. Существует постоянная 7 > 1, зависящая лишь от ., ат, е, такая, что если, а и Ъцелые числа поля К, удовлетворяющие условию.

7|а|т+1 < Ь?^т+1+т? то для любых целых чисел хо, х,., хт поля К, удовлетворяющих условию хг'• •хт = X > Хо > О, где эффективная постоянная Хо зависит лишь от а., ат, е, а и Ъ, справедливо неравенство ко + хфг +. + хтрт > Х~г~?, (Зк = ¡-к ^ ..

Эта оценка также получена с помощью приближений Паде первого рода для функций (0.4)..

Результат [26] был обобщен В. Н. Сорокиным в [23], доказавшим подобную оценку для линейной формы от значений функций а0 где, 1 <�г<�т, (0.5) о-0,., ат е Q, а0,., ат > 0, оцф aj (mod 1), 1 < i < j < т..

При ао — 1 функции (0.5) совпадают с функциями (0.4). Теорема ([23]). Пусть ао, «ь • • • > ат ~ положительные рациональные числа, причем ai,., am попарно несравнимы по модулю = а/Ъ, где, а и Ъ — целые числа мнимого квадратичного поля I, отличные от нуляг > 0. Тогда существует постоянная 7 > 1, такая, что если, а и Ъ удовлетворяют условию то для некоторой эффективной постоянной Хо > 0 и для любых целых чисел хо, х,., хт поля I таких, что.

X = |ж! • • -хт > Х0, справедливо неравенство ко + хф +. + хт (Зт > Х'1'6,.

С)..

Доказательство этой теоремы основано на эффективной конструкции приближений Паде второго рода для функций (0.5)..

В 1975 году в [7] А. И. Галочкин с помощью метода Зигеля-Шидловского получил оценки линейных форм, учитывающие рост всех коэффицентов, от значений С-функций, каждая из которых является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка с коэффициентами из С (г) и удовлетворяет так называемому С-свойству, в точках вида 1/д, где д е N. В качестве следствий были получены оценки линейных форм от чисел 1, 1п (1 + ai/q) г = 1,., га, а также оценки линейных форм от чисел 1, (1 + а1 /чУ1 •••(! + <^т1ч)Ут1 Для различных наборов (г^,., г/т), щ ?.

Эп[о, 1)..

В 1976 г. К. Ваананен [46] обобщил теорему Бейкера [35] на множество значений функций.

1, </?д (с^-г), 1 < % < га, А е QZах,., ат — различные ненулевые рациональные числа. Его функция е{К) имела тот же вид, что и в теореме Бейкера. В [47] К. Ваананен доказал результат, подобный теореме Галочкина [7] для значений Е-функций, линейно независимых над С (г) и имеющих тейлоровские коэффициенты из мнимого квадратичного поля. При этом каждая из Е-функций является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка с коэффициентами из О (г)..

Общая задача, по-видимому, может быть сформулирована следующим образом. Найти по возможности менее обременительные условия на функции /1(2),., /т (г), при которых справедливо утверждение..

Пусть /х (^),., — Е-функции с рациональными тейлоровскими коэффициентами, каждая из которых является решением некоторого линейного дифференциального уравнения с коэффициентами из С (^). Тогда для любого е > 0 и любого ненулевого, а &euro-Е существует постоянная со = со (е, ск, /ъ • • •? /ш) > 0 такая, что для любого ненулевого набора целых чисел х1,., хт с условием х = тах (|ж1|,., хт) > со имеет место либо.

Ж1/1Н Н——+ хт/т{а) = О, либо xhipi) +——-хт/т{а) > Х1 • • -хт~1 • х1-е..

В 1984 г. Г. В. Чудновский [36] предложил оригинальную конструкцию так называемых градуированных приближений Паде и попытался доказать подобное общее утверждение при некоторых условиях. Однако, доказательство содержало существенный пробел (см. [12]). Дальнейшее развитие метода градуированных приближений Паде позволило получить оценки меры иррациональности Еи С-функций (см. [13], [14]) и доказать сформулированное утверждение при некоторых достаточно жестких дополнительных ограничениях на функции /1(2),., /т (г) (см. [15]). Отметим, что конструкции градуированных приближений Паде неэффективны..

Формулировки основных результатов. В диссертации получены новые результаты об оценках линейных форм с целыми коэффициентами от значений в рациональных точках гипергеометрических функций с конечным радиусом сходимости. Эти оценки учитывают рост всех коэффициентов линейной формы. Рассмотрим функции.

00 гп.

1*1 ^.

Ьк (г) = 1*(0-г). (0.6).

В работе Е. М. Никишина [21] построены приближения Паде первого рода для набора функций 1 к = 1,., т, в окрестности точки ^ = оо. Они задаются интегралами.

1 г — 1). — тп — д + 2) /~1*.

2тН (? + 1) т. .. (г + п) т (? + 71+1)9 V г / 8Ш7Г* ~.

Иб ^— 2.

1 и/ где д 6 К, 1 < д < тмногочлены, degА- (г) < п, ] = degА, (г) < п — 1, д < з < тп..

Из этой конструкции вытекает.

Теорема ([21]). Пусть Ь Е Z, а? И, | < 0, и выполнено неравенство.

6| > ат+1 • ехр{(т — 1)(т1пга + 2т1п2)}, тогда числа 1, (а/6),., Ьт (а/Ь) линейно независимы над С^. Отсюда можно получить также оценку снизу для модуля линейной формы с целыми коэффициентами от чисел 1, ?&(§), к = 1,., т, зависящую от максимума модуля коэффициентов формы..

Обобщение конструкции Е. М. Никишина приводит к построению приближений Паде первого рода для функций Ь^г), к = 1,., т, для любых натуральных щ,., пт с условием щ < П2 <. < пт. Пусть щ,., птнатуральные числа, т.

П1<.<�пт, п= (пЪ ., Пт), ЛГ+ 1 = + 1)..

1=1.

Тогда существуют многочлены Рщз = 0,1,., га, с с! еёРп^(г) <�Пу, 1 < з < т, degPnfi (z) <�пт- 1, такие, что т.

1/=1 № 1 + 1—-И""т+1 ?=1.

Приближения Паде, выписанные выше, позволяют получить оценки линейных форм от значений полилогарифмов Ь^г) в рациональной точке, зависящие от всех коэффициентов..

Теорема 1 Пусть г = Ь/а, Ь Е Ъ, абК, ат+1 ехр {т (т — 1) 1п8т + га2} < |Ь|..

Тогда существует такая постоянная с = с (а, Ь, т) > 0, что для любых целых чисел хо, х,., хт, в совокупности отличных от нуля, и х > тах (1, г = 1, ., т, удовлетворяющих условию < Х2 < • ¦. < хт, справедливо неравенство.

Х0 + XI • Ьт + • • • + Хт • 1/1 с (х 1 • • • Хт) • X 8 т ' т (т+1) 1п а+то31п8т+т2(т+1) гое д— 1Пщ-{тп+1)Ыа-т (т-1)Шт-т2,.

Следствие 1 Пусть Ъ Е Z,? > О,.

6|е/(т+е) > а&trade-+1 еХр {т2 1п 8 т + т (т + 2)}..

Тогда для любого нетривиального набора целых чисел хо, х,., и чисел х > тах (1, г = 1,., т, удовлетворяющих условиям.

XI < Х2 <. < Хт, хт > х0 = Хо (а, 6) > О, справедливо неравенство хо + XI • Lm i^j +. + хт ' Li f^ х~£ тп •.

Доказательству этих утверждений посвящен § 1 гл. 1 диссертации..

Дальнейшее развитие идей работы приводит к рассмотрению значений гипергеометрических функций оо где «1, ?i,., ?m — рациональные числа..

Введем обозначения. Пусть den? Е N обозначает знаменатель несократимой дроби Для к € N определим и к 1 е ip (k) r=1 г г,*)=1 где ip — функция Эйлера..

Аппроксимации Паде, задаваемые рядом и — 1). (и — N) f (UA п м.

Ъ JOT- ¦ (о, 7Л-(о,, л—* - Е Qn, j • J3MZ) — Qn, 0{Z) v=l .P)v + V) n 1+1 • • • (An + V) nm+1 j=1 где т nb., nmeN, щ = max{ni,., пт}, iV + 1 = (щ + 1), г=1.

Qn, j (z) G Q[z], degQn, j{z) < rij, 1 < j < m, degCfooM < - 1, приводят к следующей теореме..

Теорема 2 Пусть cux, ?i,., ?m G Q {0, —1, —2,.} и числа? i — ?j, 1 + ?i — а (г, j = 1,., m, г ф j) отличны от нуля и отрицательных целых, а = den ах, 6j- = den^-, 6fj = den (/9< - /??), ai, i = den (c"!i — Д-), i, j = l,., m, гфу, m / m ч.

A-=l /=1 7.

1фк p простое p простое.

Пусть, далее, b G Z, a G N u выполнено неравенство.

6| > am+1 • exp{(m — 1)(min4m + In4) + mF}..

Тогда существует такая постоянная С = С (а i,?i,., ?m, а, 6) > О, что для любых целых чисел жо, жх,., жт, б совокупности отличных от нуля, имеет место неравенство т.

Хо +? Xifi (a/b) > С (XI' • • хт)-1 • хг~, i=1 где Х{ > тах{1, |ж$|}, г = 1,., т, жх = тах{жх,., жт}, т (т + 1) Ina + т (т + + т3 In4т + т2 In4 In |Ь| — (т + 1) In, а — mF — (т — 1) (т In 4 т + In 4)'.

Следствие 2 Пусть 6 6 2, а е N, 6 > определено в теореме 2, ат+1 -ехр{т21п4га + (т + 1)(Т + 1п4)}..

Тогда для любого нетривиального набора целых чисел жо, х,., п чисел Хг > тах{1, |жг-|}, г = 1,., га, удовлетворяющих условиям хг = тах{жь ., хт}, хг>Х0 = Х0(аь ., /?т, а, Ь) > О, справедливо неравенство т.

0 + Е я"/г (а/&) > • • • жт)-1 • ?. 1.

Доказательства этих результатов составляют содержание § 2, § 3 гл. 1. Из следствия 2 при а1 = (3 следует теорема из работы [26]..

Оценки линейных форм с целыми коэффициентами от значений обобщенных гипергеометрических функций (0.3), зависящие от максимума модуля коэффициентов формы, получены П. Л. Иванковым в работах [16, 17, 18]. Теорема 2 усиливает и уточняет результаты работ [16, 17] для значений гипергеометрических функций в рациональной точке а/Ь..

Метод Зигеля-Шидловского в применении к С-функциям даёт возможность получать арифметические результаты только в точках достаточно малых по модулю. В тех случаях, когда удается построить явные приближения Эрмита-Паде для заданных функций, область изменения аргумента можно расширить. Однако, об арифметической природе значений в-функций в точках, далёких от нуля, например, лежащих на границе круга сходимости, информации пока очень мало..

Хорошо известно [1], что.

00 1, (27г)2к где В2к? Qчисла Бернулли. Так, например, ?2(1) — ^/б, ¼(1) = 7г4/90. Эти выражения доказывают трансцендентность значений функций Ь2к{%) в точке 2 = 1, лежащей на границе круга сходимости. Эти значения линейно независимы в совокупности над полем.

В 1978 г. Р. Апери в работе [34] доказал иррациональность числа.

00 1.

С (з) = Ез = ?3(1). п=1, ь.

Об арифметических свойствах значений дзета-функции в нечетных точках до результата Р. Апери не было известно ничего. Появление работы Апери стимулировало интерес к изучению арифметических свойств значений полилогарифмов Ьк (г)..

После работы Е. М. Никишина [21] о линейной независимости значений функций (0.6) в достаточно малой рациональной точке появились статьи Л. А. Гутника [9] и М. Хаты [39] о функциях Ьк (г) и Ьк (оцг). В этих работах утверждения о линейной независимости значений полилогарифмических функций распространены на более широкие множества точек. Из работы Л. А. Гутника [9], например, следует, что при |6| > в^е^-а¹ система 1, Ь{а/Ь),., Ь8(а/Ь) линейно независима над С^. Доказательства этих работ основаны на построении приближений Эрмита-Паде второго рода к функциям Ьк (г) и Ьк{аиг)..

В работах О. Н. Василенко [2, 3, 4] с помощью эффективного построения линейных форм с порядком нуля, близким к максимальному, получены при некоторых условиях оценки снизу для меры линейной независимости значений функций вида г) в одной или нескольких рациональных точках, а также при где К — мнимое квадратичное поле..

В [5, 6] построены функциональные приближения с высоким порядком нуля для наборов функций, включающих в себя логарифмические функции и разности дилогарифмических функций, и получены оценки снизу для диофантовых приближений значений этих функций в достаточно малой рациональной точке..

Исследование значений полилогарифмов привело к появлению ряда работ, где построены хорошие приближения к некоторым гипергеометрическим функциям. Отметим работы [40, 42, 43], в которых получены новые оценки для меры иррациональности значений логарифмических функций..

Изучению свойств чисел 2^(1) посвящена работа [8], в которой доказывается.

Теорема ([8]). Пусть д е дф 0. Тогда среди чисел.

ЗС (3) + .

Эта теорема равносильна утверждению о линейной независимости над четырёх векторов: зс (з) /1 /о с (2)]' 2Ъ2)' VI/'.

Возникает вопрос о возможности обобщения этого результата на векторы произвольного р-мерного пространства. Ответ на этот вопрос даётся в гл. 2 диссертации, которая содержит новые результаты о линейной независимости над р-мерных векторов, координаты которых — значения функций или и единичных векторов пространства Rp. В теореме 3 рассматриваются значения полилогарифмов в положительных рациональных точках, в теореме 4 — в отрицательных..

Теорема 5 распространяет результаты теорем 3 и 4 на векторы с обобщенными полилогарифмическими координатами..

Теорема 3 Пусть р Е N,.

Q+ = min [q Е N: vV/p — 1 + f (F* > е1″ 1^}, щ = (сЦ-и (1ч), C^-L^il/g), ., ci+—2-Vi (i/g))GRp, i = 1,.

Тогда длл любого натурального q > фр никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов ai,., op we лежит в Qp..

Теорема 4 Пусть р Е N,.

Qp = min jg Е N: е2¹ < (A9iPi + gVp + vV/2pjp-i)p}, где (l + g2^-2g^cos^)½, Д^х = (g^-cos^ + A^i)1'2- 3, = (Cti-^i-l/g), Cf ^(-l/g),., Cl-l^L^-l/q)) E.

Тогда для любого натурального q > Q~ никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов Щ,., ар не лежит в Qp..

Замечание. Для величины Q®gn^ справедливы следующие неравенства.

Q~ < Qt < ер..

Ранее более общая задача о линейной независимости т векторов пространства 11п щ = (Ь^а/Ь), Ьг+1(а/Ь),., Ьг+п-1(а/Ь)^, г = 1,., га, рассматривалась в работах Л. А. Гутника [10, 11]. В нашем частном случае (т = п = р) способ построения и оценки линейных приближающих форм отличается от предложенного в [10, 11]. В результате получена лучшая граница для величин С..

Теорема 5 Пусть р, I е /3Ъ./3Р?С1П [0- 1) —.

00 ZK.

Пусть М — наибольший из знаменателей рациональных чисел Д- — r? c,.

Т=£(Indens +? j=1 V p’lden?j V — V p' простое.

Q+ = min [q G N: eM^+T < (yfq¹ +.

Q- = minjg G N: eM^+T < + qV* + V^q^B^f], где числа AqyP-i, Bq>p-1 определены в теореме 4. Пусть kj = #{1 <3.

• • • > Cli-2+kpLi-i+kp (?p', 1/9)), г= l,.p..

Тогда для любого целого q, |g| > Qpm^q никакая нетривиальная Q-линейная комбинация векторов fei,., bp не лежит в Qp..

Теоремы 3 и 4 дают множество интересных следствий. При р из теорем 3 и 4 находим.

Qt = min {g Е N: е3 < ((^ - l)½ + ^д)4} = 3,.

Qa =min{g€N: е3 < + Jq + V/2g¼(^+ Jl + q)½)2} что позволяет сформулировать.

Следствие 3 Для любого натурального q > 3 векторы.

Щ = (li (l/д), L2(l/g)), а2 = (£2(1/д), = (1, 0), ё2 = (0, 1) линейно независимы над Q..

Следствие 4 Для любого натурального q векторы.

Щ = (?i (-l/g), L2(-l/д)), аз = (b2(-l/g), 2L3(-l/g)), ei = (1, 0), ё2 = (0, 1) линейно независимы над Q..

Утверждение следствия 4 при q — 1 — результат работы [8]. В частности, из следствия 3 легко получаем.

Следствие 5 Для любого натурального q > 3 одно из чисел? з (1/д), L2(l/g) иррационально..

Про арифметическую природу каждого из этих чисел при g > 1 и не очень большом почти ничего не известно. В работе М. Хаты [41] доказывается иррациональность значений L2(1/k) для целых к 6 (—оо, -5] и [7, +оо)..

В случае р = 3 из теорем 3 и 4 находим е5 < (^д1/3 — 1 + = 7,.

Яъ = 4, что дает.

Следствие 6 Для любого натурального д > 7 никакая нетривиальная 0,-линейная комбинация векторов щ = (?1(1/<�г), 1,2(1Д?), ь3(1/9)), 32 = (ь2(1/д), 2ь3(1/д), 314(1/д)), аз= (Ьз (1/д), ЗЬ4(1/д), 6Ь5(1/д)) ме лежит в С}3..

Следствие 7 Длл любого натурального д > 4 никакая нетривиальнаялинейная комбинация векторов.

Щ = (^(-1/д), Ь2(-1/д), Ьъ{- 1/д)),.

2 — (ь2(-1/д), 2³(-1/9), 3£4(-1/д)), а3 — (¿-з (-1/"), 3£4(-1/д), 6Ь5(-1/д)) не лежит в С³..

Следствие 8 Для любого натурального д > 7 среди чисел Ь^(1/д), ?4(1/д), ?з (1/д), имеется иррациональное..

Следствие 9 Для любого натурального д > 4 среди чисел 1⁵(—1/д), £4(—1/д), Хз (—1/д), имеется иррациональное..

В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю профессору Ю. В. Нестеренко, оказавшему большое влияние на мои занятия математикой..

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1 — М.: Изд-во «Наука», 1965..

2. Василенко О. Н. Арифметические свойства значений полилогарифмов // Вестн.Моск.Ун-та. Сер.1. 1985. № 1. С.42−45..

3. Василенко О. Н. О приближении гипергеометрических функций и их значений // Сб. Диофантовы приближения. 4.1. Изд. Моск. Ун-та. 1985. С.10−16..

4. Василенко О. Н. О линейной независимости значений некоторых функций // Сб. Диофантовы приближения. 4.2. Изд. Моск. Унта. 1986. С.3−12..

5. Василенко О. Н. Диофантовы приближения значений полилогарифмических функций // Матем. записки. 1996. Т.2. С. 43−48..

6. Василенко О. Н. О приближении разностей дилогарифмов и их значений в рациональных точках // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1997. № 1. С.10−12..

7. Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых С функций // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 4. С. 541−552..

8. Гутник JI.A. Об иррациональности некоторых величин, содержащих С (3) // Acta Arith. 1983. V. 42. №. Р.255−264-// УМН. 1979. Т.З. № 3. С. 190..

9. Гутник JI.A. О линейной независимости над Q дилогарифмов в рациональных точках // УМН. 1982. Т. 37. № 5. С.179−180..

10. Гутник JI.A. О мере иррациональности дилогарифмов в рациональных точках // Деп. ВИНИТИ. 1984. № 4345−84. С.1−74..

11. Гутник JI.A. О ранге над Q некоторых вещественных матриц // Деп. ВИНИТИ. 1984. № 5736−84. С.1−31..

12. Зудилин В. В. Об алгебраической структуре функциональных матриц специального вида // Матем. заметки. 1996. Т.60. № 6. С.851−860..

13. Зудилин В. В. О рациональных приближениях значений одного класса целых функций // Матем.сб. 1995. Т.186. № 4. С.89−124..

14. Зудилин В. В. О мере иррациональности значений G-функций // Известия РАН. Сер. Матем. 1996. Т.60. № 1. С.87−114..

15. Зудилин В. В. Об оценках снизу многочленов от значений некоторых целых функций // Матем.сб. 1996. Т.187. № 12. С.57−86..

16. Иванков П. Л. Оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций // Сб. Диофантовы приближения. 4.2. Изд. Моск. Ун-та. 1986. С.34−41..

17. Иванков П. Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Матем.сб. 1991. Т.182. № 2. С.283−302..

18. Иванков П. Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами // Ма-тем.заметки. 1992. Т.52. № 6. С.25−31..

19. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике // Москва. Наука. 1968..

20. Нестеренко Ю. В. Некоторые замечания о ?(3) // Матем. за-метки.1996. Т.59. №. С.865−880..

21. Никишин Е. М. Об иррациональности значений функций F (x, s) 11 Матем.сб. 1979. Т.109(151). № (7). С.410−417..

22. Олвер Ф.

Введение

в асимптотические методы и специальные функции // Москва. Наука. 1978..

23. Сорокин В. Н. Об иррациональности значений гипергеометрических функций // Матем. сб. 1985. Т. 127(169). № 2(6). С.245−258..

24. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М.: Наука, 1977..

25. Фельдман Н. И. Оценки снизу для некоторых линейных форм // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1967. № 2. С.63−72..

26. Фельдман Н. И. Об одной линейной форме // Acta Arith. 1972. V.21. Р.347−355..

27. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта М.: Изд-во МГУ, 1982..

28. Хессами Пилеруд Т. Г. Оценка снизу одной линейной формы // Матем. заметки. 1999. Т.66. № 4. С.617−623..

29. Хессами Пилеруд Т. Г. О линейной независимости векторов с полилогарифмическими координатами // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.1. 1999. № 6. С.47−50..

30. Хессами Пилеруд Т. Г. О мере линейной независимости значений гипергеометрических функций // Деп. ВИНИТИ. 1999. № 1036-В99. С.1−17..

31. Хессами Пилеруд Т. Г. О линейной независимости векторов с полилогарифмическими координатами // Деп. ВИНИТИ. 1999. № 1873-В99. С.1−25..

32. Шидловский А. Б. Трансцендентые числаМ.: Наука, 1987..

33. Alladi К., Robinson M. Legendre polynomials and irrationality // J. Reine Angew. Math. 1980. V.318. R137−155..

34. Apery R. Irrationalite de C (2) et ?(3) // Asterisque. 1979. V.61. RI 1−13..

35. Baker A. On some Diophantine inequalities involving the exponential function // Can. J. Math. 1965. V.17. R616−626..

36. Chudnovsky G. V. On some applications of Diophantine approximations // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1984. V.81. P. 1926;1930..

37. Chudnovsky G. V. Applications of Pade approximations to Diophantine inequalities in values of Gfunctions // Lect. Notes Math. 1985. V.1135. P.9−51..

38. Fel’dman N. I., Nesterenko Yu. V. Transcendental Numbers. Number Theory IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. V.44. Eds.: A. N. Parshin, I. R. Shafarevich. Springer, 1998..

39. Hata M. On the linear independence of the values of polylogarithmic functions // J. Math, pures et appl. 1990. V.69. P.133−173..

40. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arithmetica. 1992. LX.4. P.335−347..

41. Hata M. Rational approximations to the dilogarithm // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V.336. № 1. P.363−387..

42. Heimonen A., Matala-aho T., Vaananen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. 81. P.335−347..

43. Heimonen A. On effective irrationality measures for some values of certain hypergeometric functions // Acta Univ. Oul. 1997. A290..

44. Lang S. Introduction to Transcendental Numbers. Reading: Addison Wesley Publishing Co., 1966..

45. Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh.Preuss.Akad.Wiss.Phys.-Math.Kl. 1929/1930. № 1. P. 1−70.

46. Vaananen K. On lower estimates for linear forms involving certain transcendental numbersBull.Aust.Math.Soc. 1976. V.14. P.161−179..

47. Vaananen K. On linear forms of the values of one class of E-functions. Acta Univ. Ouluen. Ser.A. 1976. № 41. P. 1−19..