Метод задачи о скачке в задачах сопряжения решений уравнений с частными производными

Диссертация посвящена задачам линейного сопряжения для дифференциальных уравнений 2-го порядка с частными производными на плоскости. В общем случае задача линейного сопряжения состоит в следующем. Пусть L — общий участок границ областей Z? i, D2 и L, Ь2 — оставшиеся части их границ.

Нужно найти в ?>! и ?>2 решения ui (a-, j/) и щ (х, у) линейных дифференциальных уравнений с частными производными, удовлетворяющие на L условиям сопряжения вида ai (t) Ul{t) + a2(t) u2{t) = c2(t), 6a (i) (t) + a2(t) -^(t) = c2(t), t € L, (0.1) где д/дп — производная по нормали к I, и некоторым граничным условиям на L и Ь2. Если области Dt и D2 бесконечны, то участки границ L и Ь2 могут отсутствовать.

Термин «задача линейного сопряжения» наиболее часто используется в литературе в теории граничных задач для аналитических функций [13], [31]. Задача линейного сопряжения (задача Римана) для аналитических функций состоит в следующем: нужно найти аналитическую вне линии L функцию, если на L задана линейная комбинация предельных значений этой функции. Отметим, что задача Римана фактически представляет собой задачу сопряжения для системы дифференциальных уравнений Коши-Римана. Задачи сопряжения для пар гармонически сопряженных функций, для обобщенных аналитических функций и для эллиптических уравнений с частными производными второго порядка исследовались в работах Л. Г. Михайлова (см. обзорную статью [29]). Все эти задачи были сведены к задачам сопряжения для аналитических функций.

Многие задачи математической физики являются задачами линейного сопряжения для уравнений с частными производными. К таким задачам относятся, например, задачи теории упругости о взаимодействии упругих тел, задачи распространения волн в неоднородных средах, задачи дифракции волн на препятствиях различной природы. В этих задачах на границе раздела сред обычно сопрягаются решения уравнений или систем уравнений с частными производными одного и того же типа. В многочисленных публикациях, посвященных граничным задачам для уравнений и систем уравнений смешанного и смешанно-составного типа, исследованы задачи сопряжения на общем участке границы решений уравнений с частными производными различных типов.

При решении задач сопряжения для уравнений с частными производными естественно использовать метод частичных областей (метод сшивания). Если ввести вспомогательные неизвестные функции на линии L, например, предельные значения из D и ?>2 искомых решений и их нормальных производных, и найти решения вспомогательных граничных задач для областей D и то условия сопряжения на L дадут систему функциональных уравнений для определения вспомогательных неизвестных функций. Если решения вспомогательных граничных задач в частичных областях Di и D2 могут быть получены в интегральной форме, то сшивание их решений на общем участке границы дает систему интегральных уравнений.

Особый интерес представляют задачи сопряжения с разрывными коэффициентами в условии сопряжения (0.1). В диссертации исследован наиболее типичный случай, когда на некоторой части М линии L заданы значения искомых решений или их производных, а на оставшейся части N этой линии решения и их производные должны быть непрерывны. Такие условия появляются в задачах дифракции электромагнитных волн на металлических экранах [21], [33], [47], [51] и в задачах теории упругости для тел с дефектами различной природы (разрезами или тонкими включениями) [12], [30], [34], [35], [41], [42]. При исследовании задач сопряжения с разрывными коэффициентами в диссертации использован метод задачи о скачке. Основная идея метода сводится к следующему [54]. В качестве вспомогательной задачи рассматривается простейшая задача сопряжения с условиями.

1(0 — «,(*) = '(*), ^(t) — ^(t) = b (t), t€l (0.2) задача о скачке). Предположим, что получено в явном виде решение задачи о скачке, то есть функции щ (х, у), и2(х, у) удается выразить через функции a (t), b (t). Тогда для задач рассматриваемого класса условия на линии М сразу сводятся к уравнениям (как правило, интегральным) для a (t), b (t), так как на N эти функции равны нулю. Здесь явные решения задачи о скачке можно рассматривать как потенциалы специального вида. Отметим, что потенциалы простого и двойного слоя, которые используются при сведении ряда задач математической физики к интегральным уравнениям, являются решениями задачи о скачке в случае, когда одна из функций a{t) или b{t) равна нулю. При этом в областях Di и D2 обычно рассматривается одно и то же уравнение с частными производными.

При решении задачи о скачке методом частичных областей нужно предварительно получить решения двух вспомогательных задач для областей Di и D2 с условиями.

Коши на линии L. В некоторых случаях, например, когда D и Z)2 — полуплоскости, для этого удобно использовать метод интегральных преобразований, в частности, метод преобразования Фурье. Этот метод можно применять как при решении вспомогательных граничных задач в частичных областях, так и при решении исходной задачи сопряжения. Для областей, разделенных прямой или плоскостью, условия задачи сопряжения равносильны системе линейных алгебраических уравнений для образов Фурье вспомогательных граничных функций. Если задача Коши в частичной области является переопределенной, то связь между граничными функциями наиболее просто может быть записана на языке их образов Фурье.

В диссертации исследованы два класса задач линейного сопряжения для уравнений с частными производными: задачи сопряжения решений уравнения Гель-мгольца и задачи сопряжения для модельных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа.

В главе 1 собран математический аппарат, который используется в дальнейшем при решении задач сопряжения для уравнений с частными производными.

В § 1 содержатся необходимые сведения из теории распределений (обобщенных функций) и перечислены основные свойства интегрального преобразования Фурье в пространствах распределений медленного роста. Обозначения и терминология в основном соответствуют книгам [8], [11], [18]. Использованы фрагменты рукописи Н. Б. Плещинского «Метод преобразования Фурье в задачах сопряжения электромагнитных полей». Особое внимание уделено тому факту, что образы Фурье односторонних распределений являются предельными значениями на вещественной оси аналитических в верхней или нижней полуплоскостях функций.

В § 2 методом преобразования Фурье исследована задача Коши в полупространстве для дифференциального уравнения с частными производными с постоянными коэффициентами. Эта задача является модельной в общей теории краевых задач для уравнений с частными производными. Подробно исследованы случаи, когда задача Коши является переопределенной (например, для эллиптических уравнений). Основная цель параграфа — найти условия на граничные функции, при которых задача Коши имеет решение, и выразить это решение через граничные функции. Показано, как использовать условия на граничные функции в задачах Коши для верхнего и нижнего полупространств при исследовании задачи о скачке на гиперплоскости — простейшей задачи линейного сопряжения решений двух уравнений с. частными производными.

В § 3 рассмотрены некоторые классы сингулярных интегральных уравнений, решения которых могут быть найдены в замкнутой форме: характеристическое уравнение с ядром Коши, интегральные уравнения с логарифмическими и степенными особенностями в ядре и сингулярные интегральные уравнения с автоморфными ядрами. К уравнениям такого типа приводятся задачи дифракции электромагнитных волн на металлических экранах (гл. 2) и задачи сопряжения решений уравнений смешанного типа (гл. 3). Основные определения и формулировки утверждений соответствуют принятым в книгах [13], [37] и [49], а также в докторской диссертации Н. Б. П лещинского.

В главе 2 исследована задача о скачке для двумерного уравнения Гельмгольца в плоскопараллельной слоистой среде, когда скачки искомого решения задаются на прямых, разделяющих соседние слои, и в осесимметричной слоистой среде, когда скачки задаются на концентрических окружностях. Методом задачи о скачке получены интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре, эквивалентные задачам дифракции электромагнитной волны на системе металлических лент.

Отметим, что к задачам сопряжения для уравнения Гельмгольца с постоянными коэффициентами в условиях сопряжения (в том числе, к задаче о скачке) приводятся скалярные задачи о падении электромагнитной волны на границу раздела сред (см., например, [47]). Скалярные задачи дифракции электромагнитных волн на металлических экранах, расположенных на границе раздела сред также сводятся к задачам линейного сопряжения для уравнения Гельмгольца, но уже с разрывными (кусочно-постоянными) коэффициентами в условиях сопряжения.

В § 4 рассмотрены вспомогательные задачи Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости и в полосе. Методом интегрального преобразования Фурье в классах распределений медленного роста получены уравнения для образов Фурье искомых решений. Найдены соотношения, которым должны удовлетворять граничные функции в переопределенных задачах Коши.

В § 5 исследована задача о скачке для уравнения Гельмгольца в плоскопараллельной слоистой среде. С помощью найденных в § 3 соотношений для граничных функций в частичных областях установлено, что задача о скачке равносильна системе линейных алгебраических уравнений для образов Фурье вспомогательных граничных функций. Показано, что эту систему уравнений можно упростить и привести к системе всего из двух уравнений.

В § 6 с помощью интегрального представления решения задачи о скачке для уравнения, Гельмгольца сведена к интегральному уравнению с логарифмической особенностью в ядре задача дифракции электромагнитной волны на системе металлических лент в плоскослоистой среде.

В § 7 рассмотрена задача о скачке для уравнения Гельмгольца в осесимметричной слоистой среде. В этом случае, в силу периодичности искомого решения по азимутальной координате, удобно использовать разложения функций в ряды Фурье. Поэтому зависимости между граничными функциями в переопределенных задачах сформулированы на языке их коэффициентов Фурье.

В главе 3 метод задачи о скачке использован при решении ряда граничных задач для уравнения смешанного типа первого рода [24], гл. V гРи д и sgnybr^-f —= 0, m>0. (0.3).

Это уравнение принято считать модельным среди уравнений смешанного типа первого рода, то есть таких уравнений, для которых направления характеристик в точках линии изменения типа не совпадают с направлением этой линии. При т = 0 и т = 1 уравнение (0.3) совпадает соответственно с уравнениями Лаврентьева-Бицадзе и Трикоми, а при нечетном т — с уравнением Геллерстедта [5], [6].

Уравнение (0.3) является эллиптическим при у > 0 и гиперболическим при у < 0. При постановке граничных задач в смешанной области обычно требуют, чтобы на линии у = 0 изменения типа были непрерывны искомое решение и (х, у) и его нормальная производная, то есть выполнялись условия ди ди и (х, 0 + 0) — и (х, 0 — 0) = 0, -^(х, 0 + 0) — ^(аг, 0 — 0) = 0.

Рассматриваются также и более общие условия склеивания (линейные условия сопряжения решений) вида ди ди ао{х)и (х, ЬЩ+13о (х)и{х, 0−0) = 7о (х), аДг)—(ж, 0+0)+/ЗДтг («, 0−0) = 71 (®), оу оу как правило, с непрерывными коэффициентами (см. В. И. Жегалов [19], Г. Карато-праклиев [22] и др.) В диссертации исследованы задача о скачке и задачи с дефектами на линии изменения типа для уравнения (0.3).

Будем говорить, что на линии изменения типа имеются дефекты, если на некоторых ее частях условия склеивания заменены на условия другого вида. Например, если на дефекте задаются предельные значения искомого решения или его нормальной производной. Такая терминология заимствована из граничных задач теории упругости (см., например, [41]). Дефектами упругих тел принято называть разрезы, тонкие включения или какие-либо иные линии или поверхности, на сторонах которых задаются особым образом напряжения, перемещения или их комбинации. Классическая задача Трикоми для уравнения эллиптико-гиперболического типа фактически является задачей о скачке с нулевым скачком. Заметим, что металлические экраны в задачах дифракции электромагнитных волн также можно рассматривать как дефекты.

В § 8 исследована задача о скачке искомого решения уравнения Лаврентьева-Бицадзе и его нормальной производной на линии изменения типа в стандартной смешанной области, гиперболическая часть которой — характеристический треугольник. Задача о скачке сведена к сингулярному интегральному уравнению, решение которого получено в замкнутом виде. Метод интегральных уравнений для решения задачи Трикоми (задача Т — частный случай задачи о скачке) был предложен впервые А. В. Бидадзе [5], [6], [7]. В диссертации принят подход Н. Б. Плещинского [37], в рамках которого задача о скачке приводится к интегральному уравнению с логарифмической особенностью в ядре. Использован также метод Ю. М. Крикунова [24], основанный на свойствах функции Грина задачи N.

В § 9 при решении задачи о скачке для уравнения Лаврентьева-Бицадзе применен метод интегрального преобразования Фурье. Общая схема рассуждений здесь точно такая, как при решении задачи о скачке для уравнения Гельмгольца. Получены решения вспомогательных задач Коши в эллиптической и гиперболической частях смешанной области. Задача о скачке на линии изменения типа сведена к краевой задаче Римана для аналитических функций, решение которой получено в явном виде.

В § 10 с помощью интегральных представлений, дающих решение задачи о скачке, получены интегральные уравнения, эквивалентные задачам с дефектами на линии изменения типа. Подробно рассмотрен случай дефекта 1-го рода, когда на участке линии изменения типа задается искомое решение. Задача сведена к интегральному уравнению с логарифмической особенностью в ядре, найдено его явное решение.

В § 11 методом интегральных уравнений решена задача о скачке для обобщенного уравнения Трикоми в стандартной смешанной области, предварительно рассмотрены вспомогательные задачи: задача N в эллиптической части смешанной области и задача Коши в гиперболической части. С помощью явного решения задачи о скачке получено сингулярное интегральное уравнение в задаче с дефектом 1-го рода на линии изменения типа.

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. MMET 2000» (Харьков, Украина, 12−15 сент. 2000 г.), на Молодежной научной школе-конференции «Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах» (Казань, Юдино, 19−22 окт. 2000 г.), на Итоговой научной конференции Казанского государственного университета за 2000 г. и на научном семинаре «Математическое моделирование и математическая физика» (рук. проф. Н.Б.Плещинский).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [53], [26], [27], [28]. Результаты совместных работ принадлежат соавторам в равных долях.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Н. Б. Плещинскому за постановку задач и за помощь при выполнении диссертационной работы.

1. Адаме М.

Введение

в теорию оптических волноводов. — М.: Мир, 1984.

2. Аксентьев JI.А. Метод симметрии. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1991. — 48 с.

3. Аксентьев JI.A. Применение метода симметрии в конформных отображениях и в краевых задачах. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1993. — 48 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцентентные функции, II. М.: Наука, 1974. — 296 с.

5. Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа. Тр. матем. ин-та АН СССР. — Т.41. — 60 с.

6. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа / Итоги науки. Физ.-мат. науки. 2. -М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с.

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 488 с.

8. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968. — 276 с.

9. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. — 288 с.

10. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. — 268 с.

11. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. — 512 с.

12. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М: Наука, 1974. — 456 с.

13. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. — 640 с.

14. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М: Наука, 1978. — 296 с.

15. Гахов Ф. Д., Чибрикова Л. И. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений, разрешаемых в замкнутой форме // Матем. сб. 1954. — Т.35(77), Вып.З. — С.395−436.

16. Гусенкова А. А., Плещинский Н. Б. Интегральные уравнения с логарифмическими особенностями в ядрах граничных задач плоской теории упругости для областей с дефектом // Прикл. мат. мех. 2000. — Т.64, Вып. 3. — С.454−461.

17. Дильман В. Л., Чибрикова Л. И. О решениях интегрального уравнения с обобщенным логарифмическим ядром в Lp, р > 1 // Изв. вузов. Мат. 1986. — N4. С.26−36.

18. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. М.: Наука, 1984. — 360 с.

19. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Уч. зап. Казанск. ун-та. 1962. — Т. 122, Кн.З. — С.3−16.

20. Земанян А. Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974.

21. Ильинский А. С., Смирнов Ю. Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции). М.: ИПРЖР, 1996. — 176 с.

22. Каратопраклиев Г. Об одном обобщении задачи Трикоми // Докл. АН СССР. -1964. Т.158, № 2. — С.271−274.

23. Комеч А. И. Линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления / ВИНИТИ. 1988. — Т.31. — С.127−261.

24. Крикунов Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. 148 с.

25. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. — 736 с.

26. Махер А., Плещинский Н. Б. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца в плоскослоистой среде и ее приложения // Изв. вузов. Матем. (принято к печати).

27. Махер А., Плещинский Н. Б. Граничные задачи для уравнений смешанного типа с дефектом на линии изменения типа // Препринт. Казанское матем. об-во. -Казань, 2001.

28. Михайлов Л. Г. Задачи с сопряжением для уравнений с частными производными // Науч. тр. Юбил. семинара по краевым задачам, поев. 75-летию со дня рожд. акад. АН БССР Ф. Д. Гахова. Минск: Университетское, 1985. — С.77−85.

29. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. — 708 с.

30. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. — 512 с.

31. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. — 544 с.

32. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962. — 280 с.

33. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук З. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наукова думка, 1984. -344 с.

34. Партон Б. З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. — 312 с.

35. Плещинский Н. Б. К решению граничных задач для обобщенного уравнения Трикоми методом интегральных уравнений // Тр. семинара по краевым задачам / Казанск. гос. ун-т. 1979. Вып.16. — С.112−125.

36. Плещинский Н. Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. — 160 с.

37. Плещинский Н. Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги // Препринт 97−1. Казанское матем. об-во. Казань, 1997. — 22 с.

38. Плещинский Н. Б., Тумаков Д. Н. Метод частичных областей для скалярных координатных задач дифракции электромагнитных волн в классах обобщенных функций // Препринт 2000;1. Казанское матем. об-во. Казань, 2000. — 50 с.

39. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Изд-во Харьковск. ун-та, 1971.95 —.

40. Maher A., Pleshchinskii N.B. Plane electromagnetic wave scattering and diffraction in a stratified medium // Proc. Int. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET 2000. Kharkov, Ukraine, Sept. 12−15, 2000. Vol.2. P.426−428.

41. Pleshchinskaya I.E., Pleshchinskii N.B. The Cauchy problem and potentials for elliptic partial differential equations and some of their applications // Advances in Equations and Inequalities (ed. J.M.Rassias). Hadronic Press, 1999. — P.127−146.

42. Pleshchinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable in a closed form and their applications // Pitman Research Notes in Mathematics Series, 256. Longman Scientific & Technical, 1991. C.246−256.