Учет законов сохранения в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем

Проблема построения эффективного метода, позволяющего рассматривать взаимодействие квантовых полей вне рамок теории возмущений, вызывает в настоящее время большой интерес. Среди большого круга таких задач важное место занимают задачи, в которых масса покоя квантов одного поля значительно больше массы покоя квантов другого поля. В этом случае с достаточной степенью точности можно учитывать процессы рождения и уничтожения квантов поля с меньшей массой. В качестве примера можно привести задачу о сильном взаимодействии тяжелой нерелятивистской частицы со скалярным полем, рассмотренную в работах ^ и.

В данной работе предложен метод, который позволяет оценить с учетом точных законов сохранения энергию основного состояния нерелятивистской частицы, взаимодействующей с квантовым полем с внутренними степенями свободы, без каких-либо ограничений на величину константы связи. Этот метод развит на примере взаимодействия тяжелого нерелятивистского нуклона с 7Смезонным полем и может быть применен к большому кругу подобных задач.

Выбор в качестве примера задачи о взаимодействии нуклона с пионным полем обусловлен рядом причин.

Прежде всего этот пример является типичной задачей о взаимодействии частицы и квантового поля с внутренними степенями свободы / спин, изоспин, четность /.

Далее, начиная с работ Юкава [ 3 ], проблема описания наблюдаемых характеристик и процессов взаимодействия нуклонов на основе мезонной теории всегда привлекала большое внимание / см., например, [Я-8] /. Среди возможных типов полей наибольший интерес представляет^{-мезонное} поле. Во-первых, % -мезоны обладают малой массой покоя по сравнению с массами других сильновзаимодействующих частиц. Во-Еторых, хорошо известно, что расстояние, на котором нуклоны начинают эффективно взаимодействовать, а также их характерные размеры определяются комптоновской длиной волны мезона. Поэтому можно надеяться, что теория, описываю.

О V" iff щая взаимодеиствие фиксированного числа нуклонов с JLмезонным полем, будет давать хорошие результаты.

Кроме того, в последнее время значительно возрос интерес к теории ядерной материи, описывающей взаимодействие нуклонов с различны?.®типами мезонных полей / см., например, работы [43-Э{] /. Рассматриваемая нами задача позволяет определить характерные константы взаимодействия нуклонов с % -мезонным полем, необходимые для вычисления параметров ядерной материи.

Как известно, использование стандартных методов теории. возмущений и процедуры перенормировки в задаче о взаимодействии нуклонов только с %-мезонным полем не приводят к согласованию теоретических и экспериментальных данных / см., например, [ 5-? ] /. Это может быть следствием двух причин.

Во-первых, возможно, что значение затравочной константы связи j находится в промежуточной области, либо ^ «{. Во-вторых, возможно, что { - мала, но энергия связи и физические характеристики нуклонов неаналитическим образом зависят от J.

Рассмотрим первую причину. Если j «> I, то, как нам представляется, наиболее последовательный метод сильной связи был предложен Боголюбовым [ А. ] и Тябликовым [ \ J при рассмотрении проблемы «полярона» .

Метод Боголюбова в теории сильной связи нерелятивистской частицы с квантовым полем заключается в том, что у координат поля и частицы явным образом выделяются новые коллективные переменные, которые обычно являются параметрами группы унитарных преобразований гамильтониана системы. У координат поля при этом выделяется классическая составляющая, возникновение которой следует учитывать в пределе сильной связи [ 1 ]. Для того, чтобы число переменных, описывающих систему, оставалось неизменным, на новые координаты поля налагаются соответствующие дополнительные условия, число которых равно числу указанных параметров. Преобразование Боголюбова позволяет представить «старые» координатами импульсы поля в ввде бесконечного ряда по степеням, и далее задача решается методами теории возмущений.

Причем, уже в нулевом по j приближении возникает естественное представление о «физической» частице, состоящей из взаимодействующих «голой» частицы массы М и полевого образования с массой Mj, а их относительное движение описывается нелинейными самосогласованными уравнениями .

Дальнейшее свое развитие метод Боголюбова в теории сильной связи получил в многочисленных работах / см., например, [ ] /, опубликованных в последнее время.

В настоящей работев гл. 1 мы применяем этот метод в представляющей непосредственный физический интерес задаче, о нерелятивистском нуклоне, взаимодействующем с квантовым пи.

Главная особенность рассматриваемой задачи обусловлена наличием внутренних степеней свободы / спин, изоспин, четность / у частицы и поля, вследствие чего возникает дополнительное вырождение основного состояния системы. Как будет показано в гл. 1, это обстоятельство приводит к необходимости построения не только новых интегралов движения / эта задача была рассмотрена в работе [12]/, но и более тщательного изучения проблемы разделения переменных, требующего определенных предположений о структуре классического поля, связанного с частицей.

Далее, нам представляется более естественным выделение новых коллективных переменных только у координат поля, в отличие от работ[l, I2−23], не затрагивая при этом переменные, определяющие состояние частицы. Это позволяет, во-первых, более наглядно интерпретировать полученные результаты, во-вторых, при этом подходе в уравнении поля возникают дополнительные члены, описывающие, например, Допплер-эффект [24], в третьих, относительное движение частицы и полевого образования определяется их приведенной массой, а не просто массой «голой» частицы, как, например, в работах [г, 12−2з].

Отметим также, что нами впервые найдена самосогласованная структура классической составляющей пионного поля в приближении сильной связи. В отличие' от работы[59]эта классическая составляющая удовлетворяет требованию псевдоскалярности. онным полем.

Оказывается, что в рассматриваемой нами задаче очень удобным является использование векторной параметризации Федорова группы вращений 0(з) [ 3d ], причем, в качестве параметров группы симметрии гамильтониана удобно выбирать компоненты вектор-параметра & [ ЪХ ] .

При использовании стандартной теории возмущений в нулевом порядке по параметру разложения необходимо решить линейное уравнение Шредингера, а расчет высших порядков сводится к вычислению матричных элементов от оператора возмущения. Существенно более сложная ситуация возникает в рассматриваемом нами случае, когда уже в низшем порядке необходимо решать систему нелинейных самосогласованных уравнений.

При этом характеристики «физического» нуклона, вообще ft о и говоря, существенно отличаются от характеристик голой частицы, являющихся параметрами исходного гамильтониана. Для определения этих параметров в настоящей работе получены явные формулы, выражающие магнитные моменты протона и нейтрона через волновые функции нулевого приближения.

Как уже отмечалось, в теории сильной связи в низших порядках по ^ необходимо решать нелинейную самосогласованную систему дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, описывающих связанное состояние частицы и поля. Из-за внутренних степеней свободы у рассматриваемой системы общее число таких уравнений в нашем случае оказывается большим, так что прямое их решение, даже на самых современных ЭВМ, по-видимому, невозможно. Поэтому для получения количественных результатов необходимо разделить переменные в указанных уравнениях и перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Единственный способ получения приближенных аналитических решений для такой задачи основан на использовании вариационного принципа [б&-]. Оказалось, однако, что из-за сложной структуры получившихся уравнений, даже при простейшем выборе пробных функций, который не может обеспечить достаточной точности, минимизация функционала приводит к весьма громоздкой системе трансцендентных уравнений, аналитическое решение которой невозможно.

В связи с этим оказалась целесообразной разработка эффективного метода непосредственного численного решения полученной системы дифференциальных уравнений. Следует отметить, что подобная задача возникает при численном решении уравнений самосогласованного поля Хартри-Фока / см., например,[бя]/. Однако для использования итерационной процедуры, развитой для этой задачи, необходимо явное выражение потенциала самосогласованного поля через волновую функцию частицы, которое в нашем случае построить невозможно. Кроме того, указанный метод оказывается недостаточно эффективным для рассматриваемой задачи, так как требует слишком много машинного времени.

В гл. 2 рассмотрено численное решение системы самосогласованных уравнений 2-го порядка на собственные значения с помощью непрерывного аналога метода Ньютона. Этот метод позволяет существенно сократить время вычислений и не требует явного решения уравнения для потенциала.

На основе этого метода нами разработаны программы для решения произвольной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка на собственные значения [ ]. Эти программы оказались весьма эффективными и были включены в очередной сборник научных программ ИМ АН БССР по мат. обеспечению ЕС ЭВМ [ 5й- 53] и внедрены во Всесоюзный фонд алгоритмов и программ / номер госрегистрации П5 827 /.

Простота и удобство этих программ заключается в том, что при обращении к ним пользователю по стандартным правилам необходимо сформировать ряд подпрограмм / для системы уравнений — три, для одного уравнения — одну /, в которых в аналитическом виде определить вид системы уравнений и граничных условий, а затем задать пробные значения функций и собственного числа. Число уравнений, точность определения собственного значения, и т. д. являются при этом произвольными. Вышеуказанные программы могут быть использованы для численного решения многих других задач, в которых рассматриваются системы уравнений Шредингера и поля. В гл. 2 приведены примеры решения системы самосогласованных уравнений Шредингера и поля и одного такого уравнения.

Система самосогласованных уравнений, описывающих структуру «физического» нуклона в приближении сильной связи, обладает одной особенностью, а именно, эта система содержит параметры, такие, как, например, масса поля М^, которые являются функционалами от самого решения.

Для преодоления этой трудности в гл. 2 предложена модификация непрерывного аналога метода Ньютона, позволяющая численно решать подобного рода задачи, содержащие функционалы. Эта модификация позволяет быстро достичь точного решения поставленной задачи.

Вопросы, связанные со сходимостью непрерывного аналога метода Ньютона / НАМИ /, были исследованы в работах [40 -44J. В работах [43,4б] получены достаточные условия сходимости итерационного процесса НАШ и доказаны соответствующие теоремы. Работа [40] содержит большой обзорный материал по применению метода НАШ к различным нелинейным задачам ядерной физики, в частности, к нелинейным интегральным уравнениям на собственные значения.

В гл. 2 приведены результаты численного исследования .с помощью вышеуказанных программ системы самосогласованных уравнений, описывающих основное состояние «физического» нуклона в приближении сильной связи.

В результате численного решения оказалось, что константу взаимодействия^, константу взаимодействия (i., описывающую двухпионный обмен, массу «голой» частицы, то есть, затравочные параметры модели, нельзя выбрать таким образом, чтобы совпадали теоретические и экспериментальные значения массы физического нуклона, а также магнитных моментов.

В гл. 3 предложен новый метод исследования основного состояния частицы, взаимодействующей с квантовым полем, с учетом точных законов сохранения, отвечающих дискретным степеням свободы: спин, изоспин [33].

В этой главе рассмотрена модель статического источника с внутренними степенями свободы, взаимодействующего с квантовым полем, и показано, что точный учет законов сохранения позволяет оценить энергию основного состояния системы без каких-либо ограничений на величину константы связи. Точный учет законов сохранения реализован с помощью проектирующих операторов на основное состояние системы, отвечающее точным значениям операторов квадрата и третьей проекции полного изотопического момента и момента количества движения источника и пионного поля.

Построение этих проектирующих операторов основано на использовании векторной параметризации Федорова группы вращений [3<2] и соотношениях ортогональности для матричных элементов неприводимых представлений группы вращений, полученных в [3.ZJ • Приведение этих проектирующих операторов к нормальной форме после выделения классической составляющей у операторов рождения и уничтожения квантов поля осуществляется методом, развитым в книге [70].

Найдены критерии сильной, слабой и промежуточной связи. Соответствующие области константы взаимодействия характеризуются величиной параметра ^ = JT (*) * где U*(к) и U (ь) — соответственно классические сосot ^ сА." тавляющие операторов рождения' и уничтожения квантов поля с импульсом К в определенном зарядовом состоянии.

Для определения энергии связи Е и параметра/получена система трансцендентных: уравнений, в которую входят вырожденные гипергеометрические функции от параметрау.

Аналитическое исследование этой системы показывает, что пределу сильной связи соответствует ^ «i, а области слабой связи — величина 1.

Причем, в области сильной связи полученный результат совпадает с известным ранее [2,4], а в области слабой связи — с результатом, который можно получить в обычной теории возмущений во втором приближении по константе взаимодействия ^.

Получающаяся методом проектирующих операторов на «физическое» состояние оценка энергии основного состояния имеет правильное поведение в пределе малых и больших значений константы связи, и это дает основание полагать, что этот метод можно-использовать и в промежуточной области значений константы связи, недоступной для других методов исследования.

В конце главы 3 вычислены магнитные моменты статического источника, соответствующие протону и нейтрону.

Там же приведены результаты численных расчетов различных величин, определяющих физические характеристики модели, в зависимости от величины константы взаимодействия и импульса обрезания Кр .

В гл. 4 с учетом точных законов сохранения рассмотрено основное состояние нерелятивистского нуклона, взаимодействующего с квантовым пионным полем (з9,92|.

Построен единый оператор, проектирующий на состояние, являющееся собственным для операторов полного импульса F, квадратов и третьих проекций полного изотопического момента И' момента количества движения / при полном импульсе Р = 0 /.

Как и в гл. 3, построение проектирующих операторов основано на использовании векторной параметризации Федорова группы вращений 0(з).

После1 выделения классической составляющей у операторов рождения и уничтожения квантов поля эти проектирующие операторы приведены к нормальной форме методом, развитым в книге Ы.

Показано, что критериями сильной связи являются два условия.

R) 00 3.. где параметр ul имеет порядок < рг у, рг — оператор импульса «голой» частицы, усреднение производится по основному состоянию системы.

Критериями слабой связи являются условия ^ «4, id.

Оценка энергии нуклона в состоянии, построенном с помощью вышеуказанных проектирующих операторов, в пределе* сильной связи совпадает с результатом, который можно получить без учета всяких законов сохранения, а в пределе слабой связи — с результатом, который дает второе приближение обычной теории возмущений по константе связиf.

Самосогласованная система уравнений, описывающая «физический» нуклон в приближении сильной связи, исследована методами, развитыми в работах [б4 — 65^. Показано, что, если в вариационной оценке учесть интегральные соотношения, вытекающие из системы уравнений, то соответствующий вариационный функционал будет иметь минимум по параметру. Однако более строгое исследование показывает, что ряд", соответствующий приближению сильной связи, является неаналитическим, в отличие от соответствующего ряда для «полярона» [78] .

В § 4 гл. 4 сравниваются приближение Боголюбова в теории сильной связи и метод проектирующего оператора на «физическое» состояние, а также рассмотрено приближение слабой связи. При этом в пределе слабой связи метод проектирующего оператора и обычная теория возмущений по константе связи формально приводят к одинаковым результатам.

В гл. 5 рассмотрено численное решение вышеуказанной системы уравнений, описывающих основное состояние «физического» нуклона.

Для того, чтобы выбрать затравочные параметры: «голую массу М, константу взаимодействияf, константу взаимодействия h., описывающую двухпионный обмен, мы получили формулы, определяющие магнитные моменты нуклонов в основном состоянии, построенном с помощью проектирующего оператора.

Б процессе численного решения константа к. была выбрана равной 2Mm'1 J /это значение можно получить, если перейти от релятивистской задачи к нерелятивистскому пределу, таким образом, число затравочных параметром равно двум /. Масса «голой» частицы М и константа взаимодействия были выбраны такими, чтобы масса" физического" нуклона М = М + Е / Е — энергия связи / и изовекторный вкладов магнитный момент нуклона совпадали с экспериментальными значениями. Результаты численного' решения приведены в § 3 гл. 5.

Итак, метод проектирующего оператора на «физическое» состояние, являющееся собственным для интегралов движения, позволяет оценить энергию основного•состояния частицы с внутренними степенями свободы, взаимодействующей с квантовым полем, без каких-либо ограничений на величину константы связи.

Здесь необходимо отметить, что недавно в работе [7lJ / см. также [72, 7б] / на основе обобщения правила сумм ЮЦТ / квантовой хромодинамики /, предложенных в работе [7з], также были вычислены аномальные магнитные моменты протона и нейтрона, и полочено хорошее согласие с экспериментом.

Анализ магнитных моментов нуклонов, обусловленных наличием 7Г-мезонной перифирии, и проведенный нами, не преследует цель точного согласования теоретических и экспериментальных данных по магнитным моментам. Он может быть использован, как уже отмечалось ранее, для определения затравочных констант взаимодействия в феноменологических лагранжианах, описывающих ядерную материю jj?9 — 9l] .

Таким образом, на защиту выносятся следующие основные результаты, полученные автором :

— исследовано преобразование Боголюбова в теории сильной связи нерелятивистского нуклона, взаимодействующего с пионным полем³⁶ — 38]. Впервые найдена самосогласованная спин-изоспиновая структура классической составляющей пионного поля. В полученной системе уравнений, описывающих основное состояние «физического» нуклона, проведено разделение переменных, и эта система численно исследована на ЭВМ. В результате численного решения полученной в приближении сильной связи системы самосогласованных уравнений оказалось, что затравочные параметры теории нельзя выбрать из условия согласования теоретических и экспериментальных значений массы «физического» нуклона и магнитных моментов нуклонов.

— разработаны алгоритмы и программы для численного решения систем нелинейных уравнений Шредингера и поля систем обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка / на основе непрерывного аналога метода Ньютона. Эти программы включены в очередной сборник научных программ ИМ АН БССР по мат. обеспечению ЕС ЭВМ [б2 — 54] и внедрены в Гос. фонд алгоритмов и программ СССР [54].

— впервые разработан новый метод исследования основного состояния нерелятивистской частицы, взаимодействующей с квантовым полем, с учетом точных законов сохранения, отвечающих дискретным степеням свободы / спин, изоспин /, позволяющий оценить энергию и другие характеристики такой системы без каких-либо ограничений на величину константы связи. Этот метод развит на примере модели статического источника [зэ]. Найдены критерии сильной, слабой и промежуточной связи частицы с полем. Соответствующие области константы взаимодействия характеризуются величиной параметра У — 2 U*fic)Wi ()> где.

1 *г 1/ /- ш ы' и и (К/- соответственно классические составляющие операторов рождения и уничтожения квантов поля с импульсом К в определенном зарядовом состоянии. — впервые разработан метод, позволяющий с учетом точных законов сохранения, отвечающих непрерывным /импульс/ и дискретным степеням свободы, оценить энергию и другие характеристики основного состояния нерелятивистской частицы, взаимодействующей с квантовым полем, без каких-либо ограничений на величину константы связи. Этот метод развит на примере задачи о взаимодействии нуклона с псевдоскалярным пионным полем [39, 92]. Задача исследована с единой точки зрения — с помощью операторов, проектирующих на основное состояние, отвечающее точным значениям интегралов движения.

Показано, что критериями сильной связи являются условия.

У — Z t «4 и z и*(кЖ (к)кг"иг.

Z) (к) где параметр ul имеет порядок.

— численно исследована система уравнений, описывающих основное состояние «физического» нуклона, построенное с помощью проектирующих операторов. Область значений затравочных параметров системы «нуклон + пионное поле» может быть оценена путем согласования с экспериментальными данными массы «Физического» нуклона и магнитных моментов. Рассматриваемая модельная система самосогласованным образом может быть описана как нерелятивистская / энергия связи|е|"М, М — масса «голой» частицы /, в гамильтониане взаимодействия можно учитывать только члены, связанные с пионным обменом / обрезание в импульсном пространстве производится за счет.

Ли формфактора, определяющегося частотой UJ? 0,71 п^ ,)лгъ — масса пиона /.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В результате проведенного исследования разработан метод, который позволяет с учетом точных законов сохранения оценить энергию и другие характеристики нерелятивистской частицы с внутренними степенями свободы, взаимодействующей с квантовым полем, без каких-либо ограничений на величину константы связи. Эта система исследована, с единой точки зрения — с помощью проектирующих операторов на основное состояние, отвечающее точным значениям интегралов движения. Указанный метод разработан: на примере задачи о взаимодействии нерелятивистского нуклона с пионным полем.

Основными публикациями являются работы [36 — 39, 49 — 55, 92] .

В работе получены следующие основные результаты :

I. Построено преобразование Боголюбова в теории сильной связи нерелятивистского нуклона, взаимодействующего с пионным полем. Впервые навдена самосогласованная спин-изоспиновая структура классической составляющей пионного поля. Система уравнений, описывающих основное состояние «физического» нуклона, исследована численно на ЭВМ. В результате? численного решения оказалось, что затравочные параметры теории нельзя выбрать из условия согласования теоретических и экспериментальных значений массы «физического» нуклона и магнитных моментов.

2. Разработаны алгоритмы и программы для численного решения систем нелинейных самосогласованных уравнений Шредингера и поля / обыкновенные дифференциальныеуравнения 2-го порядка / и одного такого уравнения на основе5 непрерывного аналога метода Ньютона.

Указанные программы включены в очередной сборник научных программ Институт®математики АН БССР по математическому обеспечению ЕС ЭВМ и внедрены в Гос. фонд алгоритмов и программ СССР.

Разработана модификация непрерывного аналога метода Ньютона применительно к системам уравнений, в которых параметры являются функционалами от самого решения, и показано, что, если пробные функции и собственное: значение^ выбраны достаточно близко к точным значениям, то процесс НАМИ / непрерывный аналог метода Ньютона / будет сходиться. Эта модификация предназначена для решения самосогласованных уравнений Шредингера и поля, возникающих в задачах о сильном взаимодействии частицы и квантового поля, и получаемых в приближении Боголюбова сильной связи.

3. Предложен новый метод исследования основного состояния частицы, взаимодействующей с квантовым полем, с учетом точных законов сохранения, отвечающих дискретным степеням свободы / спин, изоспин /. Этот метод разработан на примере, модели статического источника.

Точный учет законов сохранения реализован с помощью проектирующих операторов на основное состояние системы, отвечающее точным значениям операторов квадратов и третьих проекций полного изотопического момента и момента количества движения источника и пионного поля.

Построение указанных проектирующих операторов основано на использовании векторной параметризации Федорова группы вращений о (з) .

Найдены критерии сильной, слабой и промежуточной связи. Показано, что области сильной связи отвечает величина сические составляющие операторов рождения и уничтожения квантов поля, а области слабой связи — величина.

7 и оL /, где ]?(*) И UJI) сумма вычисляется по всем и U ft) — соответственно клас.

Причем, в области сильной связи результат совпадает с известным ранее [4″ ], а в области слабой связи — с результатом, который можно получить в обычной теории возмущений во втором приближении по константе взаимодействия.

Получающаяся методом проектирующих операторов оценка энергии основного состояния тлеет правильное поведение в пределе малых и больших значений константы связи. Это дает основание экстраполировать этот метод и на область промежуточных значений константы связи, недоступную для других методов исследования.

4. На примере задачи о взаимодействии нерелятивистского нуклона с пионным полем впервые предложен новый метод исследования основного состояния частицы, взаимодействующей с квантовым полем, с учетом точных законов сохранения, отвечающих дискретным / спин, изоспин / и непрерывным / импульс / степеням свободы.

Эта система исследована с помощью проектирующих операторов на основное состояние, отвечающее точным значениям интегралов движения.

Энергия основного состояния системы, являющегося собственным для операторов полного импульса Р, квадратов и третьих проекций полного изотопического момента и момента количества движения, оценивается во всей области значений константы связи.

Показано, что критериями сильной связи являются условия :

Ю w 3. — где величина W имеет порядок <(У / ft U ft оператор импульса голой частицы, усреднение производится по основному состоянию системы /.

Критериями слабой связи являются условия :

5. Численно исследована система уравнений, описывающих основное состояние «Физического» нуклона, и полученных методом проектирующих операторов.

Показано, что затравочные параметры модели: масса «голой» частицы М и константа связи / константа связи 1 г, описывающая двухпионный обмен, выбрана равной это значение можно получить в предельном переходе от релятивистской задачи, содержащей только псевдоскалярную связь, к нерелятивистской / могут быть выбраны из условия согласования теоретических и экспериментальных значений массы «физического» нуклона и магнитных моментов нуклонов.

Рассматриваемая система «нуклон + пионное поле1 самосогласованным образом может быть описана как нерелятивистская, поскольку энергия связи.

М — масса «голой» частицы.

В гамильтониане взаимодействия можно учитывать только члены, связанные с пионным обменом, поскольку обрезание в импульсном пространстве производится за счет формфактора, определяющегося частотой l/J^, величиной порядка массы пиона М,, то есть не учитывать вклады, связанные с рождением и уничтожением более тяжелых частиц.

Полученные результаты позволяют надеяться, что рассмотренный выше метод проектирующих операторов на «физические» состояния системы, являющиеся собственными для интегралов движения, может быть применен и к другим задачам подобного типа, которые нельзя исследовать с помощью обычной теории возмущений либо приближения сильной связи.

В заключениесчитаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность коллективу кафедры теоретической физики Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина за создание, благоприятных условий для работы, коллективу лаборатории информационно-измерительных систем Научно-исследовательского института прикладных физических проблем им. А. Н. Севченко при Белгосуниверситете им. В. И. Ленина за благожелательное отношение в период завершения работы над диссертацией.

Особенно мне хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя кандидата физико-математических наук, доцента1 Комарова Л. И. и кандидата физико-математических наук, доцента Феранчука И. Д. за постоянное внимание к работе, многочисленные советы и консультации, плодотворное сотрудничество и большую помощь.