Расчет и анализ линейных электрических цепей

СОДЕРЖАНИЕ Введение Раздел 1. Расчет сложной электрической цепи постоянного тока

1.1 Расчет токов по законам Кирхгофа

1.2 Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой

1.3 Расчет методом «Контурных токов»

1.4 Баланс мощностей электрической цепи

1.5 Расчет потенциалов точек электрической цепи Раздел 2. Расчет и анализ электрической цепи переменного тока

2.1 Расчет токов комплексным методом

2.2 Определение активной мощности ваттметра

2.3 Баланс активной и реактивной мощностей

2.4 Векторная диаграмма токов Раздел 3. Расчет трехфазной электрической цепи

3.1 Расчет фазных и линейных токов

3.2 Мощности трехфазной электрической цепи

3.3 Векторная диаграмма токов и напряжений Раздел 4. Расчет трехфазного асинхронного двигателя Заключение Список использованной литературы Введение Электротехника как наука является областью знаний, в которой рассматриваются электрические и магнитные явления и их практическое использование. На базе электротехники начали развиваться электроника, радиотехника, электропривод и другие смежные науки.

Электрическая энергия применяется во всех областях человеческой деятельности. Производственные установки на предприятиях имеют в основном электрический привод, т. е. приводят в действия электрические двигатели. Для измерения электрических и неэлектрических величин широко применяются электрические приборы и устройства.

Непрерывно расширяющиеся использование различных электротехнических и электронных устройств обуславливает необходимость знаниями специалистами всех областей науки, техники и производство основных понятий об электрических и электромагнитных явлений и их практическое применение.

Знание студентами данной дисциплины обеспечит их плодотворную деятельность в будущем как инженеров при современном состоянии энерговооруженности предприятий.

В результате полученных знаний инженер неэлектротехнических специальностей должен уметь квалифицированно эксплуатировать электротехническое и электронное оборудование и электропривод, применяемые в условиях современного производства, знать путь и методы экономии электроэнергии.

РАЗДЕЛ 1. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА Параметры схемы приведены в таблице 1.

Таблица 1 — Параметры схемы электрической цепи.

1.1 Расчет токов по законам Кирхгофа Согласно первому закону Кирхгофа для цепей постоянного тока алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю, т. е. сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу.

Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов, количество которых равно (n-1), где n — количество узлов в схеме:

А) I₆ + I₁ — I₅ = 0; (1.1)

B) I₄ + I₂ — I₆ = 0; (1.2)

C) — I₁ — I₂ — I₃ = 0. (1.3)

Согласно второму закону Кирхгофа для цепей постоянного тока в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС.

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура:

I) I₃ • (R₃ + R₀₃) — I₁ • (R₁ + R₀₁) — I₅ • R₅ = E₃ — E₁; (1.4)

II) I₂ • (R₂ + R₀₂) — I₄ R₄ — I₃ (R₃ + R₀₃) = E₂ — E₃; (1.5)

III) I₄ • R₄ + I₅ • R₅ — I₆ • R₆ = 0. (1.6)

Решаем все полученные уравнения совместно как систему, подставив все известные значения:

=> (1.7)

Решив матрицу, получим неизвестные значения токов в ветвях:

I₁ = 1,297 А;

I₂ = -1,376 А;

I₃ = 0,079 А;

I₄ = 0,23 А;

I₅ = 0,151 А;

I₆ = -1,146 А.

Если ток в ветви оказался отрицательным, значит, его направление противоположно выбранному на схеме.

1.2 Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой Проведем преобразование «треугольника» bcd, соответствующего схеме электрической цепи, в эквивалентную «звезду». Исходный треугольник образован сопротивлениями R₄, R₅, R₆. При преобразовании обязательно сохраняется условие эквивалентности схем, т. е. токи в проводах, проходящих к преобразуемой схеме, и напряжения между узлами не меняют своих величин.

При преобразовании «треугольника» в «звезду» используем расчетные формулы:

Ом; (1.8)

Ом; (1.9)

Ом. (1.10)

В результате преобразования исходная схема упрощается .

В преобразованной схеме только три ветви и соответственно три тока I₁, I₂, I₃. Для расчета этих токов достаточно иметь систему трех уравнений, составленных по законам Кирхгофа:

(1.11)

При составлении уравнений направление тока и обхода контуров выбирается так же, как и в трехконтурной схеме.

Составляем и решаем систему:

(1.12)

Решив матрицу, получим неизвестные значения токов I₁, I₂, I₃:

I₁ = 1,297 А;

I₂ = -1,376 А;

I₃ = 0,079 А.

Подстановкой полученных значений токов в уравнения, составленные для трехконтурной схемы, определим остальные токи I₄, I₅, I₆:

I₄ = 0,23 А;

I₅ = 0,151 А;

I₆ = -1,146 А.

1.3 Расчет методом «Контурных токов»

Произвольно задаемся направлением контурных токов в ячейках исходной схемы. Удобнее все токи указать в одном направлении — по часовой стрелке Составляем для каждого контура-ячейки уравнение по второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке.

Уравнение для первого контура:

E₃ — E₁ = I₁₁ · (R₁ + R₀₁ + R₃ + R₀₃ + R₅) — I₃₃ · (R₃ + R₀₃) — I₂₂ · R₅; (1.13)

уравнение для второго контура:

0=I₂₂· (R₄+R₅+R₆) -I₁₁· R₅ -I₃₃· R₄; (1.14)

уравнение для третьего контура:

E₂-E₃=I₃₃· (R₂+R₀₂+R₃+R₀₃+R₄)-I₁₁·(R₃+R₀₃)-I₂₂·R₄. (1.15)

Решаем составленные уравнения совместно как систему:

=> (1.16)

Получаем значения контурных токов:

I₁₁ = -1,297 А;

I₂₂ = -1,146 А;

I₃₃ = -1,376 А.

Если контурный ток оказался отрицательным, значит, его направление противоположно выбранному на схеме.

Токи во внутренних ветвях схемы I₁, I₄, I₅ определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. Если контурные токи в ветви совпадают по направлению, берется их сумма; если не совпадают, берется их разность:

I₃ = I₁₁ — I₃₃= -1,297-(-1,376) =0,076 А; (1.17)

I₄ = I₂₂ — I₃₃ = -1,146 — (-1,376) = 0, 23 А; (1.18)

I₅ = I₂₂ — I₁₁ = -1,146 — (- 1,297) = 0,151 А. (1.19)

Токи во внешних ветвях схемы I₂, I₃, I₆ равны соответствующим контурным токам:

I₁ = -I₁₁ = 1,297 А;

I₂ = I₃₃ = -1,376 А;

I₆ = I₂₂ = -1,146 А.

1.4 Баланс мощностей электрической цепи При балансе мощностей алгебраическая сумма мощностей всех источников энергии должна быть равна алгебраической сумме мощностей всех приемников электрической энергии:

. (1.20)

Электрическая мощность P определяется по формуле:

. (1.21)

Для источника ЭДС, направление которой совпадает с направлением тока, мощность считается положительной:

. (1.22)

Если направления ЭДС и тока противоположны, то:

. (1.23)

Для приемников электрической энергии, в частности для резисторов, мощность можно определить через величину сопротивления, заменив по закону Ома :

. (1.24)

Составим баланс мощностей:

1.5 Расчет потенциалов точек электрической цепи Для расчета потенциалов точек внешнего контура данной электрической цепи выберем исходную точку О, от которой начнем расчет.

Таким образом, ц_О = 0. Относительно этой точки в направлении протекания тока рассчитываем потенциалы всех точек контура.

Если на участке между двумя точками включен источник питания, работающий в режиме генератора, то потенциал последующей точки будет больше потенциала предыдущей на величину напряжения этого источника:

ц_n = ц_a + (E₁ — I₁ · R₀₁) = 0 + (21 — 1,297 · 0,4) = 20,48 В. (1.26)

Если на участке между точками включен приемник электрической энергии, то потенциал последующей точки будет меньше потенциала предыдущей на величину падения напряжения этом участке:

ц_c = ц_n — I₁ · R₁ = 20,48 — 1,297 · 5 = 13,996 В. (1.27)

Запишем уравнения потенциалов остальных точек цепи:

ц_f = ц_c + I₂ · R₂ = 13,996 +(- 1,376) · 5 = 7,116 В; (1.28)

ц_d = ц_f — (E₂ — I₂ · R₀₂) = 7,116 — (4-(1,376) · 0,6) = 2,29 В; (1.29)

ц_a = ц_d + I₆ · R₆ = 2,29+ (- 1,146) · 2 = 0 В. (1.30)

Так как на участке между точками Д и О нет ни источников, ни приемников электрической энергии, то ц_a = ц_О = 0.

Потенциальная диаграмма строится в масштабе. По горизонтальной оси откладываются величины сопротивлений последовательно друг за другом по обходу контура. По вертикальной оси откладываются потенциалы точек.

РАЗДЕЛ 2. РАСЧЕТ И АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Параметры схемы приведены в таблице 2.

Таблица 2 — Параметры схемы электрической цепи.

2.1 Расчет токов комплексным методом Находим реактивные сопротивления в цепи:

Ом; (2.1)

Ом; (2.2)

Найдем комплексные полные сопротивления:

Ом; (2.3)

Ом; (2.4)

Ом; (2.5)

Находим комплексное сопротивление разветвленного участка АВ:

Ом; (2.6)

Полное комплекс входного сопротивления цепи в комплексной форме:

Ом. (2.7)

Найдем общий ток в цепи:

А. (2.8)

Определим комплексные токи и напряжения в цепи:

B. (2.9)

А. (2.10)

А. (2.11)

Находим мгновенные значения токов по формуле

:

А; (2.12)

А; (2.13)

А. (2.14)

Проверим решения по первому закону Кирхгофа:

(2.15)

(2.16)

2.2 Определение активной мощности ваттметра электрический цепь ток сопротивление Полная мощность источника:

В*А. (2.17)

2.3 Баланс активной и реактивной мощностей Активная мощность источника и приемника:

Вт

Вт (2.18)

Реактивная мощность источника и приемника:

Вар

Вар (2.19)

2.4 Векторная диаграмма токов Рассчитаем действующие значения напряжений на всех элементах цепи.

U_R1=I₁· R₁=14,373·10 = 143, 7 B; (2.20)

U_L1=I₁· X_L1=14,373·5=72 B; (2.21)

U_R2=I₂· R₂=13,756·4=55 B; (2.22)

U_C2=I₂· X_C2=13,756·10=137, 6 B; (2.23)

U_R3=I₃· R₃=1, 48· 100=148 B. (2.24)

РАЗДЕЛ 3. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ Параметры схемы приведены в таблице 3.

Таблица 3 — Параметры схемы электрической цепи.

3.1 Расчет фазных и линейных токов Определим комплексные эквивалентные сопротивления:

Ом; (3.1)

Ом; (3.2)

Ом. (3.3)

Определим фазные напряжение:

B; (3.4)

B; (3.5)

B. (3.6)

Находим линейные и фазные токи:

А; (3.7)

А; (3.8)

А. (3.9)

Найдем ток в нейтральном проводе:

I_N=I_a + I_b + I_c=12, 7−11+j6, 35−11-j6, 35= -9,3e^j0 A. (3.10)

3.2 Мощности трехфазной электрической цепи Определим активную мощность фазы. А:

Вт. (3.11)

Определим реактивную мощность фазы. В:

ВAp. (3.12)

Определим реактивную мощность фазы C:

ВАр; (3.13)

Найдем реактивную мощность всей трехфазной системы:

ВАр. (3.14)

Определим полную мощность системы равная активной мощности фазы А: ВА;

3.3 Векторная диаграмма токов и напряжений Построение векторной диаграммы начинаем с векторов фазных напряжений, которые располагаются под углом друг к другу. Концы этих векторов являются вершинами равностороннего треугольника, сторонами которого будут векторы линейных напряжений.

От начала вектора фазного напряжения откладываем вектор фазного тока под углом. Затем вектор параллельно переносим в центр равностороннего треугольника и соединяем их концы, тем самым получая вектор линейного тока.

Найдем напряжение на каждом элементе цепи:

U_RA=I_A· R_A=12, 7· 10=127 B; (3.15)

U_XB=I_B· X_B=12, 7· 10=127 B; (3.16)

U_XC=I_C· X_C=12,7·10=127 B. (3.17)

РАЗДЕЛ 4. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ Трехфазный асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором, номинальная мощность которого P_2н, включен в сеть на номинальное напряжение U_н частотой f=50 Гц. Определить номинальный Iн и пусковой Iп токи; номинальный M_н, пусковой M_п и максимальный M_кр моменты; полные потери мощности в двигателе при номинальной нагрузке? P_н. Как изменится пусковой момент двигателя при снижении напряжения на его зажимах на 15% и возможен ли пуск двигателя при этих условиях с номинальной нагрузкой? Построить механическую характеристику двигателя.

Данные для расчета асинхронного двигателя приведены в таблице 4.

Таблица 4 — Данные для расчета асинхронного двигателя.

Решение:

Находим потребляемую из сети мощность:

кВт. (4.1)

Определяем номинальный и пусковой токи:

А; (4.2)

А. (4.3)

Находим синхронную частоту вращения магнитного поля:

об/мин. (4.4)

Определяем номинальную частоту вращения ротора:

об/мин. (4.5)

Находим номинальный момент:

Н•м. (4.6)

Определяем максимальный (критический) и пусковой моменты:

Н•м. (4.7)

Н•м. (4.8)

Находим полные потери при номинальной нагрузке:

кВт. (4.9)

Определяем изменение пускового момента при снижении напряжения на 15%:

Н•м, (4.10)

Поэтому запуск двигателя возможен.

Рассчитаем и построим механические характеристики двигателя M=f (S) и n₂=f (M).

Задаваясь скольжением S от 0 до 1, рассчитаем вращающий момент и частоту вращения двигателя в соответствии с уравнениями:

(4.11)

(4.12)

где S_кр — скольжение, при котором двигатель развивает максимальный момент.

Критическое скольжение находим по формуле:

(4.13)

Тогда:

об/мин.

Данные для построения механических характеристик асинхронного двигателя приведены в таблице 5.

Таблица 5 — Расчетные данные для построения механических характеристик.

По данным таблицы 5 строим механические характеристики.

Ответ:

I_н=33,55 A;

I_п=234,8 А;

М_н=33,18 Н•м;

М_п=49,77 Н•м;

М_кр=72,98 Н•м;

?_Рн=1,364 Вт.

Заключение

В результате проделанной работы выполнил задания по расчету и анализу линейных электрических цепей.

Для решения данных задач используются законы Ома, Кирхгофа, как простой так и в комплексной форме, методы узловых и потенциальных контурных токов.

Во всех задачах были найдены токи в ветвях схем, напряжение на всех участках, потенциалы всех узлов. Кроме этого была произведена проверка результатов при помощи балансов мощностей. Также были построены графики изменения потенциалов вдоль внешних контуров схем. Все вычисления произведены с точностью трех значащих цифр после запятой.

1. Бессонов, Л. А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники [Текст]: учебное пособие / ред. Л. А. Бессонов. — 4-е изд., перераб. и испр. — М.: Высшая школа, 2009. — 527 с.

2. Касаткин, А. С. Электротехника [Текст]: учеб. для вузов / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. — 7-е изд., стер. — М.: Высшая школа, 2012. — 542 с.

3. Тихонов, Ю. Б. Общая электротехника и электроника [Текст]: учебное пособие / Ю. Б. Тихонов, Г. М. Третьяк; СибАДИ, Кафедра АППиЭ. — Омск: СибАДИ, 2012. — 372 с.

4. Касаткин А. С. Электротехника: Учеб. для вузов / А. С. Касаткин, М. В. Немцов.-9-е изд., стер.-М.: Издательский центр «Академия», 2010.-544с.