Интегрируемость уравнений Эйнштейна для пространств с векторами Киллинга

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Содержание

1. Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна
- 1. 1. Необходимые сведения из теории штеккелевых пространств
- 1. 2. Условия совместности уравнений Эйнштейна
- 1. 3. Изотропные конформно-штеккелевы метрики
- 1. 4. Метрики типа (3.0). Временная переменная — неигнорируемая
- 1. 5. Метрики типа (3.0). Временная переменная — игнорируемая
- 1. 6. Метрики типа (2.0). Временная переменная — неигнорируемая
- 1. 7. Метрики типа (2.0). Временная переменная — игнорируемая
2. Однородные космологические модели
- 2. 1. Классификация однородных космологических моделей
- 2. 2. Построение тетрады
- 2. 3. Полевые уравнения в спинорном формализме
3. Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для однородных космологических моделей 56 3.1. Уравнения Эйнштейна-Вейля для I-VI типов
- 3. 1. 1. 72 = 0 и р2 = 0 (I тип по классификации Бианки)
- 3. 1. 2. Т2 = 0 и р2 ф 0 (II тип по классификации Бианки)
- 3. 1. 3. р2 ф 0 (Типы III, IV, VI)
- 3. 1. 4. р2 = 0 (Типы III, V, VI)
- 3. 1. 5. р2 — 0 и, а = а2 (V тип)
- 3. 1. 6. р2 = 0 и ai ф а, 2 (III и VI типы по классификации Бианки)
- 3. 2. VII тип по классификации Бианки
- 3. 3. VIII тип по классификации Бианки
- 3. 4. IX тип по классификации Бианки
4. Однородные метрики Эйнштейна-Вейля для типа I по Бианки
- 4. 1. Полевые уравнений
- 4. 2. Интегрирование полевых уравнений
- 4. 3. Нахождение тетрады

Интегрируемость уравнений Эйнштейна для пространств с векторами Киллинга (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В настоящее время в физике высоких энергий и космологии предложено большое количество модельных теорий, включающие в себя гравитационное поле. В связи с этим возрастает интерес к разработке методов аналитического исследования различных полевых уравнений в искривленном пространстве-времени.

Уравнения гравитационного поля, описывающие геометрию пространства — времени, играют фундаментальную роль в современной теоретической физике. Вообще говоря, их анализ представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Однако в ряде случаев, наложив те или иные дополнительные ограничения, удается найти точное решение или хотя бы провести качественное исследование получившихся уравнений. Существует несколько способов наложения ограничений на пространство-время, например, исследование различных алгебраических типов Петрова и Пле-банского, выбор тензора энергии-импульса из физических соображений, задание групп симметрий, действующих на многообразии.

Групповой подход к изучению геометрии пространства является наиболее плодотворным с точки зрения описания гравитационного поля инвариантными свойствами метрики, определяемой полем, не зависящем от системы отнесения. Действительно, если метрика в одной системе координат допускает группу Ли G непрерывных преобразований, сохраняющую метрику, то это будет иметь место и в любой другой системе координат. Действие группы Ли G на пространственно-временном многообразии задается генераторами группы, которые удовлетворяют уравнению.

Киплинга и, следовательно, именно пространства с векторами Киллинга представляют с этой точки зрения наибольший интерес.

В диссертации рассматриваются однородные пространства и конформно — штеккелевы метрики. Их объединяет существование в пространстве наборов, состоящих из трех геометрических объектов (для конформно-штеккелевых пространств — конформных векторных и тензорных полей Киллинга, для однородных пространств — векторных полей Киллинга). Для того и другого случая полевые уравнения удается свести к системе конечного (но достаточно большого) числа обыкновенных дифференциальных уравнений. В математической физике имеется большое количество методов исследования подобных систем уравнений. В качестве примера можно привести методы исследование дополнительных симметрий системы уравнений, гамильтонову формулировку, теорию динамических систем и т. д. [1]-[4].

Интерес с математической точки зрения к пространствам, допускающим некоторую симметрию связан с возможностью исследования интегрируемости получающихся систем уравнений, возможностью проинтегрировать методом полного разделения переменных уравнений геодезических.

Проблема интересна и с физической точки зрения, поскольку рассматриваемые пространства играют немаловажную роль в современной теоретической физике.

Так, несомненный интерес для космологии и теории гравитации представляют однородные пространства, лежащие, по существу, в основе современной космологии [5]-[8]. На базе однородных пространств строят модели Большого взрыва, начальных сингулярностей, а также инфляционные модели. Представляет интерес и выяснение различных механизмов изотропизации Вселенной [9]-[14]. Однородные пространства используют также в различных современных теориях гравитации для исследования общих закономерностей в картине развития Вселенной [15]-[19]. На фоне однородных пространств изучается воздействие гравитационного поля на другие поля и вещество. Такие исследования часто проводятся на базе заданного гравитационного поля — обычно точного решения уравнений Эйнштейна [20]-[24].

Все это является причиной того, что однородные пространства в настоящее время вызывают повышенный интерес у исследователей. Вместе с тем, их широкое применение осложнено двумя обстоятельствами. Во-первых, они заданы с достаточно большим произволом, и метрики этих пространств, даже записанные в системах координат, связанных с синхронными системами отсчета, в общем случае имеют довольно сложный вид. Во-вторых, с точки зрения космологии наиболее интересными представителями однородных пространств являются такие, в которых существуют решения уравнений материи, позволяющие построить зависящие только от временной переменной тензоры материи. Поэтому возникает проблема изучения всех типов однородных пространств на предмет нахождения среди них классов пространств, в которых могут быть получены соответствующие решения [24]-[30].

Интерес к штеккелевым и конформно-штеккелевым пространствам обусловлен в первую очередь тем фактом, что только для них существует возможность поставить проблему полного разделения переменных в квантовых и волновых уравнениях движения.

По-существу, разделение переменных является единственным известным в настоящее время конструктивным методом интегрирования данных уравнений. Цель метода состоит в классификации всех привилегированных систем координат и внешних электромагнитных полей, в которых возможно разделение переменных. Под классификацией понимается перечисление всех соответствующих пространственно-временных метрик и электромагнитных потенциалов (неэквивалентных относительно допустимых преобразований координат и градиентных преобразований потенциалов), удовлетворяющих требованию полного разделения переменных в уравнениях движения пробной частицы. В плоском пространстве-времени классификация проведена полностью [31, 32].

При этом с физической точки зрения наибольший интерес представляют пространства, удовлетворяющие системе полевых уравнений какой-либо гравитационной теории. В настоящее время наиболее хорошо изучена проблема классификации вакуумных и электровакуумных штеккеле-вых пространств. Штеккелевыми называются пространства, в которых уравнение Гамильтона-Якоби для незаряженной массивной частицы интегрируется методом полного разделения переменных.

Следует также отметить одну важную особенность, присущую как штеккелевым, так и однородным пространствам. Для них возможен переход к синхронным системам отсчета (которые существуют всегда) в явном виде. В синхронных системах отсчета можно дать ответы на важные физические вопросы, например, связанные с нахождением источников гравитационного поля [33]. Синхронные системы отсчета можно использовать для физической интерпретации точных решений уравнений Эйнштейна [33]-[40].

В данной диссертационной работе рассматриваются проблемы интегрирования уравнений Эйнштейна для случая конформно — штеккелевых метрик в вакууме и однородных пространств с тензором энергии-импульса спинорных полей. Несомненный интерес представляют получающиеся точные решения, а также проведенное качественное исследование возникающих систем уравнений.

Основными задачами диссертации являются:

— изучение особенностей отображения штеккелевых пространств на пространства Эйнштейна;

— исследование условий интегрируемости самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Вейля;

— осуществление точного интегрирования уравнений Эйнштейна-Вейля для I типа по классификации Бианки.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [71] -[73], [94], [95], [98], [103].

В заключение мне хотелось бы выразить свою искреннию благодарность моим научным руководителям, В. В. Обухову и К. Е. Осетрину за всесторонную помощь в работе, проведение совместных исследований и сотрудничество, а также В. Г. Багрову за постоянное внимание и интерес к моей работе, плодотворные обсуждения и советы.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

• Исследованы отображения конформно-штеккелевых метрик на пространства Эйнштейна. Показанно, что если метрика не сводится к типу (1.1) и конформный фактор зависит от игнорируемых переменных, тогда данное пространство является конформно-плоским.

• Полученны в удобной для работы форме тетрады Ньюмена-Пенроуза для всех типов по классификации Бианки.

• Исследованна интегрируемость самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Вейля для случая однородных космологических моделей. Показанно, что данные системы являются интегрируемыми, за исключением некоторых частных случаев VIII и IX типов.

• Найдено точное решение уравнений Эйнштейна-Вейля для I типа по классификации Бианки.

Показать весь текст

Список литературы

Петров А.З. Новые методы в обшей теории относительности. -М.:Наука. 1966. — 496 с.
Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука. — 1980. -320 с.
Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.:Энергоиздат. — 1982. — 416 с.
Bagrov V.G., Obukhov V.V. New Method of Integration for the Dirac Equation on a Curved Space-Time //J. of Math. Phys. 1992. — Vol. 33. — P. 2279−2289.
Friedman A. Uber die Krtimmung des Raumes //Zs Phys. 1922. — Vol. 10. — P. 377−380.
Friedman A. Uber die Moglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krummung des Raumes //Zs Phys. 1924. — Vol. 21. — P. 326.
Taub A.H. Empty space-times admitting a three parameter group of motions //Ann. Math. 1951. — Vol. 53. — P. 472.
Ryan M., Shepley L. Homogeneous Relativistic Cosmologies. -Princeton Univ. Press, Princeton. 1975.
Chauvet P., Cervantes-Cota J.L. Isotropization of Bianchi-Type Cosmological Solutions in Brans-Dicke Theory //Phys. Rev. D. 1995. — Vol. 52. — P. 3416−3423.
Chiba Т., Mukohyama S., Nakamura T. Anisotropy of the Cosmic Background Radiation implies the Violation of the Strong Energy Condition in Bianchi type I Universe //Phys. Lett. B. 1997 — N. 408.- P. 47−51.
Bergamini R., Sedici P., Verrocchio P. Inflation for Bianchi IX model //Phys. Rev. D. 1997. — Vol. 55. — P. 1896−1900.
Byland S., Scialom D. Evolution of the Bianchi I, the Bianchi III and the Kantowski-Sachs Universe: Isotropization and Inflation //Phys.Rev. D.- 1998. Vol. 57. — P. 6065−6074.
Nojiri S., Obregon O., Odintsov S.D., Osetrin K.E. Can primordial wormholes be induced by GUTs at the early universe? //Phys. Lett. B.- 1999. N. 458. — P. 19−28.
Cervantes-Cota J. L., Nahmad M. Isotropization of Bianchi type models and a new FRW solution in Brans-Dicke theory //Gen. Rel. Grav. -2001. Vol. 33. — P. 767−780.
Aguirregabiria J.M., Feinstein A., Ibanez J. Exponential-Potential Scalar Field Universes I: The Bianchi I Models //Phys. Rev. D. 1993.- Vol. 48. P. 4662−4668.
Cho H. Т., Speliotopoulos A. D. Gravitational Waves in Bianchi Type-I Universes I: The Classical Theory //Phys. Rev. D. 1995. — Vol. 52. -P. 5445−5458.
Cheng A.D.Y., D’Eath P.D. Diagonal quantum Bianchi type IX models in N=1 supergravity //Class. Quant. Grav. 1996. — Vol. 13. — P. 31 513 162.
Randall L., Sundrum R. An Alternatine to Compactification Phys.Rev.Lett. 1999. — Vol. 83. — P. 4690−4693.
Csaki С., Joshul E., Grosean C. Gravitational Lorentz Violations and Adjustment of the Cosmological Constant in Asymmetrically Warped space-times //Nucl. Phys. B. 2001. — N. 604. — P. 312−342.
Barut A.O., Duru I.H. Exact solutions of the Dirac equation in spatially flat Robertson-Walker spase-times //J. Math. Phys. 1987. — Vol. 36. -P. 3705−3711.
Kovalyov M., Legare M. The Dirac equation in Robertson-Walker spaces: A class of solutions //J. Math. Phys. 1990. — Vol. 31. — P. 191−198.
Villalba V.H., Percoco U. Separation of varibles and exact solution of Dirac and Weyl equations in Robertson-Walker space-times //J. Math. Phys. 1990. Vol. 31. — P. 715−720.
Note Guello E.A., Capelas de Oliveira E. Klein-Gordon and Dirac equations in deSitter space-time //Int. J. of Theor. Phys. 1990. -Vol. 38. — P. 585−598.
Gavrilov S.P., Gitman D.M., Goncalves A.E. Quantum spinor fields in FRW Universe with a constant electromagnetic background //Int. J. Mod. Phys. A. 1997. — Vol. 12. — P. 4837−4868.
Brill D.R. Electromagnetic fields in homogeneous, nonisotropic universe //Phys. Rev. B. 1964. — Vol. 133. — P. 845.
Cahen M. On a class of homogeneous spaces in general relativity / / Bull. Acad. Roy. Belgique CI. Sci. 1964. — Vol. 50. — P. 972.
Boyer C.B., Kalnins E.G., Miller W. Separable coordinates for four-dimensional Rimannian Spaces // Commun. Math. Phys. 1978. — Vol. 59. — P. 285.
Dunn К.A., Tupper B.O.J. A class of Bianchi type VI cosmological models with electromagnetic field // Astrophys. J. 1976. — Vol. 204. -P. 322.
Patrik W. A homogeneous Einstein-Dirac pure radiational field //Phys. Lett. A. 1990. — Vol. 147. — P. 435−451.
Patrik W. A class of exact solutions of the Enstein-Dirac equation //J. Math. Phys. 1991. — Vol. 32. — P. 231−238.
Багров В.Г., Гитман Д. М., Тернов И. М., Халилов В. Р., Шаповалов В. Н. Точные решения релятивиских волновых уравнений. Новосибирск: Наука. — 1982. — 143 с.
Bagrov V.G., Gitman D.M. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. Kluwer Academic Publishers. London. — 1990. — 327 p.
Kepec X. Принцип соответствия в общей теории относительности //ЖЭТФ. 1964. — Т. 46. — N. 5. — С. 1741−1754.
Kepec X. К физической интерпритации решений уравнений Эйнштейна //ЖЭТФ. 1965. — Т. 52. — N. 3. — С. 768−779.
Коппель А. Ньютоновские и неньютоновские пределы гравитационных полей типа Kerra-NUY //Известия вузов. Физика. 1975. — N. 9. — С. 29−34.
Коппель А. Нерелятивиский анализ релятивиских гравитационных полей. Тарту.ТГУ. — 1977. — 85 с.
Коппель А. Нерелятивиские гравитационные поля в общей теории относительности. Тарту: ТГУ. — 1977. — 82 с.
Обухов В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1979. — N. 3. — С. 121−123.
Логунов А.А., Мествиришвили Основы релятивийской теории гравитации //ЭЧАЯ. 1986. — Т. 17. — N. 1. — С. 5−159
Коппель А. Мультипольные моменты и гармонические системы координат для ассимптотически плоских стационарных аксиально симметричных электоровакуммных 4-пространств //В кн. Гравитация и электромагнетизм. Минск, БГУ. — 1987. — С. 54−61.
Stackel P. Uber die integration der Hamilton-Jacobischen differential-gleichung mittels separation der variablen //Habilitatiomsschrift, Hale. 1881.
Stackel P. Sur des problemes de dynamique se reduisent a des quadratures //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. (Paris). 1893. -Vol. 116. — P. 1284−1286.
Stackel P. Sur une class de problemes de dynamique //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. 1893. — Vol. 116. — P. 485−48.
Stackel P. Uber die integration der Hamilton-Jacobischen differentialgleichung mittels separation der variablen //Ann. Math. -1897. Vol. 49. — P. 145−146.
Stackel P. Uber die bewegung eines Punktes in einer n-facher mannigfaltigkeit //Math. Ann. 1893. — Vol. 42. — P. 537−563.
Levi-Chivita T. Integrar. della equar. di Hamilton-Jacobi per separatione di variabilli //Math. Ann. 1908. — Vol. 66. — P. 398−415.
Яров-Яровой M.C. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных //П.М.М. 1963. — т.27. -N. 6. — с. 973−1019.
Шаповалов В.Н. Пространства Штеккеля //Сиб. мат. журнал. -1979. т. 20. — с. 1117−1130.
Багров В.Г., Мешков А. Г., Шаповалов В. Н., Шаповалов А. В. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона //Изв. вузов. Физика СССР. 1973. — N. 11. — С. 66−72.
Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. — N. 9. -С. 18−24.
Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. — N. 9. -С. 25−27.
Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения движения свободной частицы в римановом пространстве //Изв. вузов СССР. Физика. 1976.- N. 9. С. 14−19.
Carter В. New family of Einstein spaces //Phys. Lett. A. 1968. — Vol. 26. — N. 9. — P. 399−400.
Iwata G. Empty spaces of Stackel //Natur. Sci. Rept. Ochonomisu Univ. 1969. — Vol. 9. — N. 2. — P. 79−93.
Обухов В.В. О некоторых классах точных решений Эйнштейна //Изв. вузов СССР. 1977. — N. 2. — С. 73−77.
Обухов В.В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна //Изв. вузов СССР. 1977. — N. 5. — С. 148−150.
Багров В.Г., Обухов В. В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. 1982. — N. 4. — С. 13−16.
Багров В.Г., Обухов В. В., Шаповалов А. В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движения. Постановка задачи и наборы типа (2.1) //Изв. вузов СССР.- 1983. N. 1. — С. 6−10.
Багров В.Г., Обухов В. В., Шаповалов А. В. Штеккелевы пространства электровакуума с двухпараметрической абелевой группой движения. Наборы типа (2.0) //Изв. вузов СССР. 1983. — N. 3. — С. 115−120.
Багров В.Г., Обухов В. В., Шаповалов А. В. Специальные штеккелевы пространства электровакуума //Гравитация и теория относительности. 1986. — N. 26. — С. 10−29.
Brinkman H.W. Riemann Spaces Conformal to Einstein’s Spaces //Ann. Math. 1924. — V.91.
Багров В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Тетрадная формулировка условий Бринкмана //Труды ФОРА. 1996. — N. 1. — С. 24−28.
Фролов В.П. Метод Ньюмена-Пенроуза в общей теории относительности //Труды ИФАН. 1977. — т. 96. — С. 72−180.
Алексеев Г. А., Хлебников В. И. Формализм Ньюмена-Пенроуза и его применение в общей теории относительности //ЭЧАЯ. 1978. — т. 9. — N. 5. — С. 790−870.
Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. I. М.:Мир.- 1986. 276 с.
Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. II. М.:Мир.- 1986. 355 с.
Пенроуз Р, Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. М.: Мир. — 1987.- 528 с.
Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin КДЕ. The problem of exact integration of mathematical physics equations in curved space-times //Gravity, Particles and Space-Time. Singapore: World Scientific. -1996. — P. 1−18.
Багров В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Нетривиальные конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1997. — N. 10. — С. 74−78.
Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin К.Е. Classification of Null-Stackel Electrovac Metrics with Cosmological Constant //Gen. Rel. Grav. 1988. — Vol. 20. — N. 11. — P. 1141−1154.
Макаренко A.H., Осетрин К. Е. Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1999. — N. 10. — С. 34−43.
Макаренко А.Н. Неизотропные штеккелевы метрики в пространствах Эйнштейна// Труды региональной научно-практической конференции «Сибирская школа молодого ученого». Том IV. Томск, 1999. — с. 4.
Kasner Е. Geometrical theorems on Einstein s cosmological equations //Amet. Journ. Math. 1921. — Vol. 43.
Schwarzshild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Acad. Wis. 1916. — P. 195.
Kottler F. Uber die physikalishen Grundlagen der Einsteischen gravitations theorie //Ann. Phys. 1918. — Vol. 4. — P. 401−462.
Nordstrem C. On the energy of gravitational field in Einsthein theory// Proc. K. Acad. Wet. Amsterdam. 1918. — P. 1238.
Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as a example of algebraically special metric //Phys. Rev. Lett. 1963. — Vol. 11. — N. 5. — P. 237−238.
Newman E.A., Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Schwardshild metrics //J. Math. Phys. 1963. — Vol. 4. — N. 7. — P. 915−927.
Demianski M., Newman E. A. Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equation //Bull. Acad. Polon Sci. Ser. Sci. math, astronom at phys. 1966. — Vol. 14. — N. 11. — P. 653−670.
Takeno H. On geometrical proporties of some plane wave solution in general relativity //Tensor. 1959. — Vol. 9. — N. 2. — P. 79−93.
Эйзенхарт JI.П. Непрерывные группы преобразований. М.:И.Л. -1947. — 359 с.
Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.:И.Л. — 1953. — 356 с.
Bianchi L. Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti //Soc. Ital. Sci. Mem. di Mat. 1897. — Vol. 11. — P. 267.
Fubini G. Sugli spacii she ammetono un gruppo continuo di movimenti. //Ann. Math. 1903. Vol. 3. — P. 8.
Fubini G. Sugli spacii a quattro dimensioni she ammetono un gruppo continuo di movimenti //Ann. Math. 1904. — Vol. 3. — P. 9.
Егоров И.П. К усилению теоремы Фубини о порядке групп движений римановых пространств //ДАН. 1949. -т. 66. — 5.
Егоров И.П. Максимальные подвижные римановы пространства постоянной кривизны //ДАН 1954. — т. 103. — 1.
Alvarado L., Rubakov Yu.P., Saha В., Shikin G.N. Exact Self-consistent Solutions to the Interacting Spinor and Scalar Field Equations in Bianchi Type-I Space-time //Russ. Phys. J. 1995. — Vol. 38. — P. 700 705.
Bagrov V.G., Obukhov V.V., Sakhapov A.G. Integration of the Einstein-Dirac equations //Journal of Mathematical Physics. 1996. — V. 37. — P. 5599−5610.
Zhelnorovich V.A. Cosmological solutions of the Einstein-Dirac equations //GC. 1996. — Vol. 2. — P. 109−116.
Saha В., Shikin G.N. Interacting Spinor and Scalar Fields in Bianchi type-I Universe filled with Perfect Fluid: Exact Self-consistent Solutions //Gen. Rel. Grav. 1997. — v.29. — P. 1099−1113.
Saha В., Shikin G.N. Nonlinear Spinor Field in Bianchi type-I Universe filled with Perfect Fluid: Exact Self-consistent Solutions //J. Math. Phys. 1997. — Vol. 38. — P. 5305−5318.
Makarenko A.N., Obukhov V.V. Homogeneous solutions of the Einstein-Weyl equation //Second International Conference «Quantum field theory and Gravity» (July 28-August 2). Томск. — 1997. — С. 298−304.
Макаренко A.H., Обухов В. В. Космологическое решение уравнений Эйнштейна-Вейля //Известия ВУЗов. Физика. 1998. — 11. -С. 69−78.
Saha В. Dirac spinor in Bianchi I universe with time Dependent Gravitational and Cosmologikal Constants //Mod. Phys. Lett. A. -2000. Vol. 16. — P. 1287- 1296.
Дубровин, Новикив, Фоменко Современная геометри. М.:Наука. -1986. — 760 с.
Макаренко А.Н. Однородные космологические модели //Труды второй сибирской школы молодого ученого. Том II. Математика, Физика, Информационные технологии. Томск. — 2000. — С. 9−13.
Coussaert О., Henneaux М. Bianchi cosmological models and Guage Symmetries //Class. Quant. Grav. 1993. — Vol. 10. — P. 1607−1618.
Capozziello S., Marmo G., Rubako C., Scudellaro P. Nother symmetries in Bianchi Universe //Int. J. Mod. Phys. D. 1997. — Vol. 6. — 491−503.
Maciejewski A., Szydlowski M., On the Integrability of Bianchi Cosmological Models //J. Phys. A. 1998. — Vol. 31. P. 2031−2043.
Tsamparlis M., Apostolopoulos P. S. Symmetries of Bianchi I space-times //J. Math. Phys. 2000. — Vol. 41. — P. 7573−7588.
Макаренко A.H., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для пространственно-однородных моделей типа III по Бианки //Известия вузов. Физика. 2002. — N 1. — С. 51−56.
Ландау Л., Лившиц Е. Теория поля. М.: Наука. — 1988. — 512 с.
Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир. — 1975. — 696 с.

Заполнить форму текущей работой