Дифференциально-операторные уравнения с отклоняющимся аргументом в пространствах Румье

В настоящей работе изучаются свойства гладкости решений линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах вида.

U'(i) +A (i)U (i) * и (-i — со Ш) -f (i) (i) и.

W (t)+A (Wi)+Uli~(Ot (*))* $tt), (2) где A (i) -неограниченный оператор, CO (-i), Ct) t (4),.

COz. — числовые неотрипательные гладкие Функцииа также свойства гладкости решений нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве вида и’Ш = Ci)), (з) где j (-h?X) — гладкая Функция двух переменныхи а) —н^, иш) с4) оператор суперпозиции. Причем, год гладкостью мы понимает.'" принадлежность решения 11(1) уравнения (I), (2), (3) пространству Финитных слева бесконечно диФФеренпируемых Функций или пространству Финитных слева бесконечно диФФег>ениируемых Функций Румье с ограничениями на рост производных при условии, что правая часть уравнения, принадлежит тому же Функциональному пространству.

Теория линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с неограниченными операторными коэффициентами возникла и начала интенсивно развиваться в послевоенные годы в Фундаментальных исследованиях Э. Хилле /59] и К. Иосиды [$ 0].

Для построения решений задачи Коши однородного линейного диг№еренциального уравнения первого порядка с неограниченными и независящими от времени -6 операторами А. в правой части ими была применена теория полугрупп, получившая к тому времени значительное развитие. Б ртих исследованиях были выяснены условия на оператор, А, стоящий в правой части уравнения, гарантирующие разрешимость задачи. Копга и непрерывную зависимость в том или ином смысле соответствующих решений от начальных условий. Основную роль в построениях Э Дилле и К. Иосиды сыгиал тот (?>акт, что резольвента /?fA, A) оператора Д является преобразованием Лапласа полугруппы Т ti), порожденной оператором, А, которая и дает представление решения для задачи Коши. Тем самым, полугруппу Т (4.) и, вместе с ней, решение задачи Коши Э Дилле и К. Иосида получили в виде обратного преобразования Лапласа от резольвенты оператора, А .

ЭДилле и К. Иосида рассматривали такие дифференциальные уравнения, задача Коши для которых была корректной, т. е. соответствующая полугруппа Т (4>) была сильно непрерывной при = D. В работах многочисленных последователей Р Дилле и К. Иосиды были получены соответствующие аналоги для случаев, когда полугруппа имеет те или иные особенности в нуле. Так в работе И. П. Забрейко А.В.Зафиевского ?2iJ был рассмотрен случай, когда подгруппа, имеет-в нуле интегрируемые особенности, в работе Г. да Щато[68] были рассмотрены полугруппы со степенными особенностями.

В работах Т. Като и П. Е. Соболевского [S6J получены теоремы о разрешимости задачи Коши для однородных линейных дифференииальных уравнений с переменным оператором.

Неоднородные уравнения изучались в работах П. Е. Соболевского, М. А .Красносельского, С. Г. Крейна [SO J ^ 1 $ 1]. Ими были рассмотрены условия, при которых известная формула, выражающая решение неоднородного уравнения через решение однородного, полученная формальным применением метода Лагранжа вариации произвольных постоянных, действительно определяет классическое или обобщенное решение. Значительная часть описанных выше результатов подытожена в монографии С. Г. Крейна [Вк].

Независимо от теории полугрупп дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с неограниченными операторами изучались в работах М. И. Вишика t6], О .А.Ладыженской [35J, ,.

М.й.Вишика — О .А.Ладыженской [?]. Основой их исследований послужили различные неравенства вариационного типа, связывающие энергетические нормы решений с соответствующими нормами правых частей. Их подход привел к новому понятию обобщенного решения, так называемого слабого решения. Существенное развитие эти методы получили в работах ЖД. Лионса и его последователейони подытожены в известных монографиях Ж. Л. Лионса [78] и.

К.Л .Лионеа — Э. Мадженеса [3 8], [82.] .

Другой подход к изучению линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффщиетами связан с использованием теории вероятностей и теории меры. В/!еллер [69] построил решение смешанной задачи для параболического уравнения при помощи интегрирования по подходящему вероятностному процессу. К этому направлению относятся также работы Р. Фейнмана и Ю .А.Далецкого-С.В.Фомина [70] 9 Ш] .

Дальнейшие исследования разрешимости дифференциально-операторных уравнений велись в различных направлениях. Так в работах Ю. АДубинского [ib]~ll?] дается классификация дифференциально-операторных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами, приводятся корректные постановки задач и изучается их разрешимость.

В работах Н. И. Юрчука [6^J и его последователей методом энергетических опенок исследован широкий класс диспйеренциально-операторных уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами и переменными областями определения, выяснены корректные постановки задач, доказаны существование и единственность сильных: решений указанных задач.

Отметим еще одно направление, связанное с исследованием операторных уравнений вида Lv + В ч — «в которых оператор L обладает свойствами, аналогичными свойствам дифференциального оператора. Это прежде всего работы F. Грива ра которых приведены условия разрешимости таких двучленных и более общих абстрактных операторных уравненийкак частный случай получены теоремы о разрешимости диФФерештиально-операторных уравнений.

Особое место в развитии теории дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах занимают работы по дифференциально-операторным уравнениям с отклоняющимся аргументом. А. Д. Мышкис в своем обзоре ?43J отметил данное направление как весьма перспективное и требующее дальнейшего изучения.

В работах В. М. Барок — Я. И. Житомирского М и их после-доватей рассматриваются вопросы единственной и корректной разрешимости задачи Коши для уравнений в частных производных с отклоняющимся пространственным аргументом.

Исследования Р. Г. Алиева [1J, [2] относятся к дифференциально-опетаторным уравнениям с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. С помощью теории полугрупп доказываются необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости этих уравнений.

Дифференциально-операторным уравнениям с запаздывающим аргументом и с ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве посвящены работы ТЛ. Заманова [2 3,2 и З. И. Рехлипкого [?" (>, 15*1].

Важные результаты, относящиеся к разрешимости дифференциально-операторных уравнений с отклоняющимся аргументом в линейных функциональных пространствах, содержатся в работах М.Квапшна. tisrj, Я. Д .Мамедова [391, Л .А .ЖивотовскогоС .Б.

Норкина [i? ] .

В.работах М. Артола [6SJ и К. Байокки [6?] доказаны существование и единственность решения уравнений (т), (2) в пространствах суммируемых функций LP (lR, X) (Х — банахово пространство), а также в пространствах Соболева.

В связи с развитием теории пространств гладких бесконечно. дифференцируемых. (но не аналитических) функций и в связи с вариационной трактовкой граничных задач математической Физики, в теории дифференциальных уравнений с неограниченным оператором возникла новая важная задача: выяснить условия на правые части уравнений, при которых решения этих уравнений оказываются элементами того или иного пространства гладких функций. Эта задача (случай уравнения первого и второго порядков) для пространств Румье была поставлена Ж. Л. Лионсом и решена в работах Ж. ЛДионса — Э. Мадженеса [22] КЗайокки [66]. В пространствах Берлинга эта задача решена в работах Я. В. Радыно — М. Таджури ft 8] и М. Таджури ?i" ?J, ?•**?]. В других пространствах бесконечно дифференцируемых функций задача о гладкости решений дифференциальных уравнений рассматривалась в работах М Л еврея [73J, Й. М. Гельфанда — Г. Е. Шилова [SjjM], Г. Е. Шилова [62] .

В монографии Ж. Л. Лионса — Э. Мадженеса [822 поставлена задача о гладкости по t решений задачи Коти для дифференциально-операторных уравнений с запаздыванием Сем. птоб-лему 14.14, стр. 205). Решению этой проблемы посвящены вторая и третья главы настоящей работы.

Переход к. пространствам Румье позволяет изучать дифференциальные уравнения в более широких пространствах распределений, нежели пространство распределений Шварпа, а это^в свою очередь позволяет установить существование и единственность слабых решений для неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными. С другой стороны, изучение гладкости слабых решений позволяет выяснить, когда эти слабые решения являются классическими.

В первой главе настоящей работы доказывается гладкость решений нелинейного уравнения (3) в пространствах Румье. Для этого необходимо чтобы оператор суперпозиции (4) действовал в пространствах Румье.

Изучению оператора суперпозиции (интерес представляет нахождение достаточных и даже необходимых условий, при которых оператор суперпозипи^ действует в том или ином функциональном пространствеявляется ограниченным, непрерывным, вполне непрерывным, дифференцируемым в том или ином смысле, монотонным и др} в различных функциональных пространствах (: пространствах непрерывных и непрерывно дифференцируег/ых функций, в пространствах интегрируемых в степени р (iips***) функций, пространствах Соболева, пространствах Орлича, идеальных пространствах и др.) посвящены работы К. Каратеодори [??], В .В .Немыикого (44J —, М .А .Красносельского [Jй] ,[Я7], М .М .Вайнберга [4], [SJ, П. Е. Забрейко f/Sj, I.20J, П. П. Забрейко — Е. Т Цустыльнш’а ?22J, М. А. Красносельского — Л. А'.Ладыженского LS2 J, Л. А .Ладыженского [3?], Красносельского М.А.

П.П.Забрейко — Е. И. Пустыльника — П. Е. Соболевского [ЛВ], М. А. Красносельского — Г. М. Вайникко — П. П. Забрейко — Я. Б. Рутицкого В.Я.Стеценко [ZS], М. А. Красносельского — Я .Б .РутттакогоР.М.Султанова [3 3], М. Маркуса — В Ж. Мизеля [S3] - [86] а также другие работы. Аналогичные вопросы в пространствах бесконечно дифференцируемых функций рассматриваются в работах Г .А Джанашия ?13] и А. Фридмана [?i]. В § 2 настоящей работы оператор суперпозиции рассматривается в пространствах Румъе.

Существование и единственность решения задачи Коти для уравнения (3J в различных^{унктчонрлыгах} пространствах изучены в работах.

Перейдем к изложению содержания Работы по главам.

В первой главе изучаются оператор суперпозиции (А), оператор сдвига, а также разрешимость уравнения (3) в пространствах Румъе.

В $ 1 вводятся необходимые понятия и пространства, прйводятся их топологические свойства.

В изучаются условия, при которых оператор суперпозиции (4) действует в пространстве Румье, является там ограниченным и вполне непрерывным.

В S3 изучаются условия, при которых оператор сдвига К (i) —Ю (^С-Ь)) действует в пространстве Румъе, является там ограниченным и вполне непрерывным.

В $ 4 доказывается существование решения задачи Коши для нелинейного дифферентаального уравнения (3) в пространствах Румъе, а также существование решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом.

Во второй главе изучаются вопросы гладкости пиФ^еренциаль-но-операторного уравнения (I) первого порядка с запаздыва нием в пространствах Финитных слева бесконечно дифферениируемых функций, в Финитных слева пространствах Румье, а также существование решения дифференциально-операторного сравнения с отклоняющимся аргументом в пространствах ультрараспределений: Румье. доказьгаается существование решения уравнения (Г) в случае постоянного запаздывания (u)(t)= t * 0) в пространствах: финитных слева бесконечно ди^еренпи роемых Функций и в финитных слева пространствах. Румье при условии, что правая часть уравнения принадлежит соответствующему пространству.

В § 6 изучаются те же вопросы для уравнения (I)} что и в предыдущем параграфе, однако функция запаздывания C0(i) зависит от t. Класс пространств Румье, на которые распространяются результаты параграфа, несколько ужечем в.

В § 7 результаты 5, 6 переносятся на пространства ультрараспределений Румье.

В § 8 приведены некоторые приложения теорем, полученных в § 6 5, 6, 7, а также примеры однородных и неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными, к котошм приложит/1 ы данные теоремы.

В третьей главе изучаются вопросы гладкости диФФеренпи-ально-операторного уравнения (2) второго порядка с запаздыванием в пространствах финитных слева бесконечно диФФеренпигуемых Функций, в Финитных слева пространствах Румье, а также существование решения дифференциально-операторного уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом в пространствах ультрараспределений Румье.

В $ 9 доказывается существование решения уравнения (2) в случае постоянных функций запаздывания (t)= Тt >, О, (4) — Tz & О в пространствах финитных слева бесконечно дифференцируемых Функций и в Финитных слева' птосттанствах Румье.

Б § 10 изучаются те же вопросы для уравнения (2), что и в предыдущем параграфе, но функции запаздывания (-L) и СО^С-Ь) зависят от ±. Класс пространств Румье, на которое распространяются результаты параграфа, несколько уже нежели в § 9.

В ЯП результаты §§ 9, 10 переносятся на пространства ультрараспределений Румье.

В § 12 приводятся некоторые приложения, а также примеры разрешимости неоднородных граничных задач для уравнений с частными производными.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре каспедры функционального анализа Белгосуниветзситета имени В. И. Ленина, на Гродненском городском семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям /1984 г./, в УИ-ой школе по теории операторов в Функциональных пространствах в Минске /1982 г./, в УШ-ой школе по теории операторов в Функциональных пространствах в Риге /1983 г./, на конференции молодых ученых Белгосуниверситета имени В. И. Ленина ./ 1983 г./, на П-ой Межвузовской конференции молодых ученых «Развитие фудаментальных и 'прикладных исследований» в Ленинграде /1984 г./, во Всесоюзной школе молодых ученых «Вычислительные методы и математическое моделирование» в Минске /1984 г./.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах.

St] - [9П .

На защиту выносятся следующие результаты:

1, Теорема об ограниченности и полной непрерывности оператора суперпозиции (4}, действующего в пространствах Румье.

2. Теорема об ограниченности и полной непрерывности операторе сдвига V (-t) (^действующего в пространстве Румье.

3. Теорема о регулярности решений нелинейного дифференциального уравнения (3) в пространствах Румье.

4. Теоремы о регулярности решений дифференпиально-оператор-ного уравнения (I) первого порядка с постоянные и переменным запаздыванием в пространствах финитных слева бесконечно дифференцируемых функций.

5. Теоремы о регулярности решений дифференциально-операторного уравнения (I) первого порядка с постоянным и переменным запаздыванием в Финитных слева пространствах Румье.

6. Теоремы о регулярности решений диФФеренциально-опетатор-ного уравнения (2) второго порядка с постоянным и переменным запаздыванием в пространствах Финитных слева бесконечно дифференцируемых Функций.

7. Теоремы о регулярности решений диФФеренттиально-оператор-ного уравнения (2J второго порядка с постоянным и переменным запаздыванием в Финитных слева пространствах Румье.

1. Алиев Р. Г. О разрешимости уравнения с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве. — Докл. АН СССР, 1979, JF6, с .1289−1291.

2. Алиев Р. Г. О разрешимости и асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными коэффициентами в гильбертовом пространстве. -Дис. докт. Физ.-мат. наук, Махачкала, 1982, — 283 с.

3. Борок В. М., Житомирский Я. И. О задаче Коши для уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом. В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом., Киев, 1977, с.52−62.

4. Вайнберг М J.I. Оператор В .В .Немыпкого. Укр. мат. ж., 1955, т.7, вып.4, с.363−378.

5. Вайнберг ММ. Вариационный метод и метод монотонных операторов.- М.: Наука, 1972, 416 с.

6. Вишик М. И., Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их.решения. Матем. сб., 1956, т.39, М, с.51−148.

7. Вишик М. И., Ладыженская О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений.- Успехи мат. наук, 1956, т. II, Кб, с.41−97.

8. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976, 280 с.

9. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. -М.: Физматгиз, 1958, 308 с.

10. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросу теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958, — 274 с.

11. Далецкий ЮД., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах.- М.: Наука, 1983, — 384 с.

12. Джанашия Г .А. Озадаче Карлемана для класса Функций Жеврея.-Докл. АН СССР, 1962, т. 146, .№ 2, с.259−262.

13. Джанашия Г. А. О суперпозиции двух Функций из класса Функций Жеврея.- Сообщ. АН Гр. ССР, 1964, № 2, с.257−262.

14. Дубинский Ю. А. Об одном классе диФФеренплально-операторных уравнений высокого порядка.-Докл. АН СССР, 1969, т.187, .№ 5, с. 982−985.

15. Дубинский Ю. А. О некоторых диФФеренпиально-операторных уравнениях общего вида.-Докл. АН СССР, 1971, т.19^, «5, с. ЮЗЗ-1036.

16. Дубинский Ю. А. ДифФеренпиалъно-операторные уравнения произвольного порядка. Матем. сб., 1973, т.90, fRI, с. 1−22.

17. Животовский J1.A., Норкин С. Б. Решения с лакунами и обобщенные решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Укр. мат. ж., 1970, т.22, '" 4, с.542−5⁹.

18. Забрейко П. П. 0 непрерывности нелинейного оператора. Сиб. мат. ж., 1964, т.5, вып.4, с.958−96Г.

19. Забрейко П. П. Нелинейные интегральные операторы.- Труды семинара по функциональному анализу., 1966, вып.8, с.3−148.

20. Забрейко П. П. О дифФеренцируемости нелинейных операторов в пространствах Lp .-Докл. АН СССР, 1966, т. Тбб, 5, с. 1039−1042.

21. Забрейко П. П., ЗаФиевский А. В. Об одном классе полугрупп. -Докл. АН СССР, 1969, т.189, «5, с.934−937.

22. Забрейко П. П., Пустыльник Е.й. О непрерывности и полной непрерывности нелинейных интегральных операторов в пространствах Lp. Успехи мат. наук, 1964, т.19, вып. 4, с. 204−205.

23. Замзнов Т. А. О диФФеренпиальных уравнениях с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве.- Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом., 1967, т.4, C. IH-II5.

24. Като Т. Интегрирование эволюционного уравнения в пространстве Банаха. Сб. Математика, 1958, 2, А&-4, с.117−135.

25. КвапишМ. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве.- Труды семинара по теории диФФеренииальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 1967, И, с.96−110.

26. Красносельский М. А. Непрерывность оператораU (i)) Докл. АН СССР, 1951, т.77, .№ 2, с.185−188.

27. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.- М.: Гостехиздат, 1956, 392 с.

28. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутипкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. -М.: Наука, 1969, 456 с.

29. Красносельский М. А., Крейн С. Г., Соболевский П. Е. 0 дифференциальных уравнениях с неограниченным оператором в гильбертовых пространствах. Докл. АН СССР, 1957, т.112, с. 990−993.

30. Красносельский М. А., Ладыженский Л. А. Условия полной непрерывности оператора П.С.У ты соня.- Труды Московского матем. обществ а, 1954, «'3 Сс. 307−320.

31. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б., Султанов P.M. Об одном нелинейном операторе, действующем в пространствах абстрактных сТункций.- Изв. АН Азерб. ССР, сер. Физ.-мат. и техн. наук., 1959,^3, с.15−21.

32. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, — М.: Наука, 1967, -464 с.

33. Ладыженская О. А. О решении-нестационарных операторных уравнений. -Матем. сб., 1956, т.39, № 4, с.491−524.

34. Ладыженская О. А. О решении нестационарных операторных уравнений и их приложениях к линейным задачам математической физики. Матем. сб., 1958, т.45, #2, с.123−158.

35. Ладыженский Л. А. Условия полной непрерывности интегрального оператора П. С. Урысона в пространстве непрерывных Функций.-Докл. АН СССР, 1954, т.97, Ш с.12−16.

36. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, T97I, — 572 с.

37. Мамедов Я. Д. Односторонние оценки в условиях исследования' решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Баку: 3JJM, T97I, — ЯТ16 с.

38. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация. Применения-" М.: ИИ, 1955, — 268 с.

39. Митягин Б. С. О бесконечно дифференцируемой Функции с заданными значениями производных в точке. Докл. АН СССР, 19¹, т. 138, К2, с.289−292.

40. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.- М.: Наука., 1972, 352 с.

41. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Успехи мат. наук, 1977, т.32, с. 173−202.

42. Немыцкий Б. В. Теоремы существования и единственности для ре-нелинейных интегральных уравнений.- Матем, сб., 1934, т.41, Ю, с. 421−452.

43. Немыцкий В .В. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений.-Матем. сб., 1934, т.41, >'4, с. 655−658.

44. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, I97P, 280 с.

45. Рэдыно Я. В. Линейные уравнения и борнология.- Минск: БГУ, 1982, — 200 с.

46. Рздыно Я. В. Даджури М. К теории операторных уравнений в некоторых локально выпуклых пространствах. Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Минск, 1982, с. 159−160.

47. Райков Д. А. 0 двух классах локально выпуклых пространств важных в приложениях. Труды семинара по Функциональному анализу, 1957, внп. Б, с. 73−92.

48. Рехлицкий З. И. Признаки ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений с непрерывными запаздываниями аргумента в банаховом пространстве. Докл. АН СССР, 1958, т.118, J', 6, с.447−449.

49. Рехлицкий З. И. Признаки ограниченности решений дифференциальных уравнений с непрерывными запаздываниями аргумента в банаховом пространстве.- Докл. АН СССР, 1959, т. 127, ''5 ,.

50. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.- М.: Мир, 1967, 258.с.

51. Сарымсаков Т. А. Краткое доказательство теоремы /.Н.Тихонова. Успехи мат. наук, 1965, т. 20, вып.4, с. Г72-Г73.

52. Себаштъян-и-Силва Ж. 0 некоторых классах локально выпуклых пространств, ванных в приложениях. сб. Математика, 1957, т.1, ЖЕ, с.60−77.

53. Соболев C.JI. Некоторые применения Функционального анализа в математической физике. Ленинград: ЛГУ, 1950, — 220 с.

54. Соболевский П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. Труды Московского метем, общества, 1961, т. Ю, с.297−310.

55. Таджури М. Дифференциально-операторные уравнения в пространствах гладких Функций Берлинга. Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Минск, I9P2, с. 185−186.

56. Таджури М. Дифференциально-операторные уравнения в пространствах гладких функций. Дис. .канд. Физ .-мат. наук ,-Минск, 1983, — 105 с.

57. Хилле Э., Филлипс Р. С. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: Ш, 1962, 830 с.6С. ШеферХ. Топологические векторные пространства. -М.: Мир, 1971, 360 с.•61. Шилов Г. Е. Об одной проблеме квазианалитичности, Докл. АН СССР, 1955, т. 102, № 5, с. 893−896.

58. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. -М.: Физматгиз, I960, — 388с.

59. Эльсгольц Л. З., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- М.: Наука, 1971, -296 с.

60. Юрчук Н. И. Метод энергетических неравенств в исследованиидифференциально-операторных уравнений.- Дис.докт. физ.-мат. наук, Москва, 1982, 177 с.

61. Artola М. Sur les perturbations des equations devolutions. Application a des problemes de retard. Annales Sc. Norm. Sup., 1969, t.2, p. 137−253.

62. Baiocchi C. Teoremi di esistenza e regolarita per certe classi di equazioni differeziali astratte. Ann. Mat. Рига. Appl., 1966, t.72, s.4, p.365 418.

63. Baiocchi C. Sulle equazioni differeziali astratte lineari del primo e del secondo ordine negli spazi di Hilbert. Ann. Mat. pura appl., 1967, t.76, s.4, p.233 — 304.

64. Da Prato G. Nouveau type de serai-groupes. C.R. Acad. Sc. Paris, 1966, t.262, FI8, p. -.A996 — A998.

65. Feller V/. On the generation of undouded semi-groups of bouded linear operators. Ann. Math., 1953, t.58, 111, p. 168 — 174.

66. Peynman R. Space time approach to non — relativistic quantum Mechanics. — Rev. Mod. Phys., 1948, t*20, N2, p.367 — 387.

67. A.Friedman. Generalized functions and partial differential equations. Prentce — Halll. Englewodcliffs, New York, 1963, 430 p.

68. A.Friedman. Partial differential equations. Hew York, 1976, p. 262.

69. Gevrey M. Sur la nature analytique des solutions des equations aux deriv? es partielles. Ann. Ec. Norm. Sup., Paris, 191t. 35, p. 129 190.

70. Geymonat G. Proprita di alcuni spazi di funzioni indefinitu-mente derivabiti a valori vettoriali. Ann. Mat. Рига Appl., 1967, t.76, s.4, p.203 232.

71. Grisvard P. Espaces dfinterpolation et equations operatonnelles. C.R. Acad. Csi., Paris, 1965, t.260, p. 1536 — 1538.

72. Grivard P. Equations differentielies abstraites. Ann. Sc. Ecole Norm. Sup., 1969, t.2, p. 311 — 395.

73. Karatheodori K. Vorlesungen uber reelle Funkt’ionen, Leipzig und Berlin, 1918, p. 180.

74. Lions J.L. Equations differentielles operationnelles et problemes aux limites. Berlin: Springer, 1961, — 292 p.

75. Lions J.L. Problemes aux limites dans les equations aux deri-vees partielles. Montreal: Les presses de l’universite, 1965, — 95 p.

76. Lions J.L., Magenes E. Espaces de fonctions et distributions du type Gevrey et problemes aux limites paraboliques. Ann. Mat. pura, 1965, t.68, p.341 418.

77. Lions J.L., Magenes E. Espaces du type de Gevrey et problemes am: limites pour diverses classes d’ecations d’evolution.- Ann. mat. pura et appl., 1966, t.72, p.343 394*.

78. Lions J.L., Magenes E. Problemes aux limites non homogenes et applications, V.3. Paris: Dunod, 1970, -328 p.

79. Marcus M., Mizel V.I. Nemytskij operators on Sobolev spaces. -Arch. Rat. Mech. Analysis, 1973, t.51, p. 347 370.

80. Marcus M., Mizel V.I. Continuity of certain Nemitsky operators on Sobolev spaces and the chain rule. J. Analyse Math., 1975, t.28, p. 303 — 334.

81. Marcus M., Mizel V.I. Every superposition operator mappingone Sobolev space into another is continuous. -J. Funct. Anal., 1979, t.33, p. 217 229.

82. Marcus M., Mizel V.I. A characterization of first order nonlinear partial differential operators on Sobolev spaces.J. Punct. Anal., 1980, t.38, p. 118 136.

83. Roumieu С. Sur quelques extensions de la notion de distribution. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 1960, t.77, N 3, p. 41 121.

84. Schwartz L. Theorie des distributions, vol. I et II. Paris: Herman, 1957, -320 p.

85. Schwartz L. Theorie des distributions a valeurs vectorielles, v.1. Ann. Inst. Fourier, 1957, t. 7, p.1 -141.

86. Yosida K. On the differentiality and the representation of one parameter semi groups of liniear operators. — J. Math. Soc. Japan, 1948, t.1, Ж 1, p. 15−21.

87. Назаров В. И. Дифференциально-операторные уравнения с запаздыванием в пространстве Румье. Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Минск, 1982, с. 132 — 133.

88. Назаров В. И. Оператор суперпозиции в пространствах Румье.- Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Минск, 1982, с. 133 134.

89. Назаров В. И. Регулярность решений нелинейного дифференциального уравнения первого порядка в пространствах Румье.- УШ школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов, часть II. Рига, 1983, с. 31 32.

90. Назаров В. И. Дифференциально-операторное уравнение первого порядка с запаздыванием в пространствах Румье. Дифференц. уравнения, 1984, № 9, с.1540−1548.

91. Назаров В. И. Оператор суперпозиции в пространствах бесконечно дифференцируемых функций Румье. Изв. АН БССР, 1984, № 5, с.22−28.

92. Назаров В. И. Нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка в пространствах Румье. Докл. АН БССР, 1984, № 9, с. 780.783.

93. Назаров В. И. Дифференциально-операторное уравнение второго порядка с запаздыванием в пространствах Румье. Рукопись деп. в БелНИИНТИ 12.03.84, $ 863Бе-Д84.

94. Назаров В. И. Нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с отклоняющимся аргументом в пространстве Румье. -Всесоюзная школа молодых ученых «Вычислительные методы и математическое моделирование». Тезисы докладов. Минск, 1984, с.121−122.