Точное эволюционное уравнение и кинетика квантовых динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем

Основной задачей статистической механики является исследование систем многих взаимодействующих частиц, прежде всего последовательное микроскопическое описание фазовых переходов, эволюции и кинетики динамических систем. При последовательном исследовании макроскопических свойств многочастичных систем на основе микроскопического описания, исходным пунктом должны являться управляющие динамические уравнения или уравнение Лиувилля. Однако, зачастую для описания конкретных характеристик и свойств многочастичных систем не требуется знание полной функции распределения и исследования уравнения Лиувилля, а достаточко работать в рамках сокращённого описания, на основе кинетических уравнений для Sчастичных функций распределения. При этом необходимо проводить математические исследования условий, при которых переход к сокращённому описанию является корректным. Такой подход впервые был развит в фундаментальной работе Н. Н. Боголюбова Ell, где была показана эквивалентность уравнения Лиувилля и цепочки уравнений для 5 -частичных функций распределения, были найдены и исследованы условия (принцип ослабления корреляций), прл которых первое уравнение цепочки Боголюбова переходит в кинетическое уравнение Больцмана 2j для одночастичной функции распределения. Первоначальный вывод кинетического уравнения, данный саглим Больцманом, носил полуинтуитивный характер и зиждился на гипотезе о вероятном числе столкновений. При это&-! предполагалось, что все эффекты, связанные с корреляциями частиц, пренебрежимо малы. Естественно, что вопрос о рамках применимости кинетического уравнения Больцмана в таком подходе оставался открытым. В работе ZlJ показано, что для не очень малых интервалов времени, значительно больших времени столкновения, происходит синхронинизация функций распределения, заключающаяся в том, что все частичные функции распределения выше первой, начинают зависеть от времени только через одночастичную функцию распределения, взятую в тот же момент времени. Т. е. показана возможность сокращённого описания неравновесных процессов. Кроме того в рамках данного подхода, основанного на основньлс законах механики и принципе ослабления корреляций предложена схема нахождения поправок к уравнению Больцмана [3, менимости. По прошествии достаточно большого времени (времени релаксации) каж, дая изолированная макроскопическая система переходит в состояние статистического равновесия. Т. е.объект исследования равновесной статистической механики равновесное состояние является частным предельным состоянием макроскопической системы. Из общих соображений ясно, что описание и исследование предельного равновесного состояния должно быть значительно проще, чем описание и исследование тех процессов, в результате которых достигается это состояние. Однако, уже получение строгих и адекватных результатов в равновесной теории оказалось довольно сложной задачей, потребовавшей в каждом конкретном случае развитие мощных математических методов [5−12]. При этом сложнейшим оказался уже вопрос о существовании функции свободной энергии в термодинамическом пределе (/сх", у_>< i A//V-CoHJ i непосредственно связанный с устойчивостью материи ?5, б, 1 2 1 7 Сложность этих задач связана как со сложностью гамильтонианов реальных систем, так и с самой проблемой вычисления термодинамических потенциалов и термодинамических средних по заданному гамильтониану. Эти обстоятельства вынуждают идти на упрощение ситуации. 4 и соответственно критерии его приВыделяя самые существенные особенности реальной системы и пренебрегая многочисленными деталями, по полному гамильтониану системы строится упрощённый гамильтониан, который описывает модель данной системы. Например, модельный гамильтониан теории сверхпроводимости (модель БКШ Боголюбова Zld-ZOj) получается редукцией из более общего гамильтониана Шрёлиха, гамильтониан Дикке f23j из полного гамильтониана, описывающего взаимодействие вещества с излучением. Интерес к модельным системам /обусловливается тем, что их изучение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической механики и, в частности, для обоснования приближённых методов. Например, точное решение двумерной модели Изинга 24 29] сыграло большую роль при построении теории фазовых переходов и критических явлений, а точное решение модели БКШ Боголюбова теории сверхпроводимости дало значительный толчок дальнейшему развитию этой теории р 1 22]. Одной из интересных моделей квантовой теории поля, физики твёрдого тела и статистической физики является модель полярона [ЗО ЗЗ] электрона, движущегося в ионном кристалле с сопутствующей ему поляризацией. Повышенный интерес к этой модели обусловлен тем, что здесь оказались применимы методы квантовой теории поля [j34, 35]. При этом круг возникающих за, цач для этой модели, например нахождение эффективной массы квазичастицы, определение подвижности полярона |73б] и т. д. не поддаются решению в рамках строгого подхода. Следует отметить, что рассмотрение данной модели в рамках неравновесной статистической физики ?37 39} представляет как большую сложность, так и большой интерес. Большой интерес представляет строгий подход в неравновесной статистической механике, где получение точных результатов § 2. Обобщенное Боголюбовское эволюционное уравнение для двухвременных средних. Рассмотрим динамическую систему S взаимодействзщую с бозонным полем21″ причём модельный гамильтониан полной системы [OjZj имеет вид здесь H (S) гамильтониан системы S" второй член описывает энергию свободного бозонного поля, а третий член гамильтониан взаимодействия. Уравнение движения для динамической переменной -(S ет вид имес учётом (2.1) уравнение (2.2) запишется как {кФШФА]]-4ФШд-ЛФ>5Щ Обозначим через Я) статистический оператор системы (2.3) (S, Zj в момент времени причём справедливо соотношение вида: 9:)to PCS) -юс), и в момент времени zf Здесь Ю () (2.4) описывает бозонное т. е. требование отсутствия взаимодействия между подсистемами поле, находящееся в состоянии статистического равновесия: a P S статистический оператор системы (5) Умножив обе части уравнения (2.3) на 0(Згс)Юо операцию ffp получим справа и взяв где (5c) произвольная операторная функция. Первый член правой части содержит только переменные динамической подсистемы S в то время как остальные члены явно содержат операторы бозонного поля. Для их исключения рассмотрим уравнения движения, которым они удовлетворяют: Принимая во внимание начальные условия ({-о)-вк получим Sff-i:) l IIbo Подставляя (2.7) в уравнение (2.5), получим VSp (МИМ) и S (i) Лемма. ycsy, ttii, s,1f (s-yju. (2.8) Для того чтобы исключить из правой части бозе-операторы Sjc.(-b) воспользуемся следующей леммой. и vCir) Для средних от произведений операторовкШ на оператор R (S /От справедливы соотношения уf" Sp к[Шв, 2Ж U-i)Sp{fMs, 2) 5р K (s, zfy) X)t A/ii Sp{kH)m,) 12 Доказательство. Заметим, что бозе-операторы 4 коммутируют с произвольными операторами динамической подсистемы L (S) Поскольку усреднение производится по начальному статистическому оператору всей системы, т. е. Ю-Ьа Р&ЮС)* имеем: Sp 1ф){ Sp R (5>z)S>cs)j Ю (2), Обозначим Sp R (Sj2/)f (S) Q,(Z) Д Py (2.) (S, z) Воспользовавшись определением iib) (2.7) имеем откуда при ±,(i—to) fi следует, что Поэтому Полученное соотношение (S, S) даёт (S, S) Вводя обозначение Л/tjif, if для чисел заполнения, получим утверждения леммы. Доказательство двух других соотношений аналогично. Если воспользоваться леммой, то получим, что справедливо следующее соотношение: (S, S) В то же время дляif) (2.9) справедливо представление с учётом последнего равенства имеем (2.10) Подставляя (2.10) в (2.9), получим Spji (i)[sdЫ-ь, s*-7srю-to Sw[f (Si)-A, St) Jjg (s): ira fes- (2.II) Учитывая, что одновременные операторы динамической подсистемы S и бозонного поля 2 коммутируют, найдём (2.126) С учётом соотношений (2.II) и (2.12) второй член правой части уравнения (2.8) принимает вид {Z imiAtct, s,)-} (Bhmsc) (2.13) Действуя подобным образом, для последнего члена правой части Зфавнения (2.8) можно найти аналогичное представление. Используя эти представления, уравнение (2.8) окончательно можно записать в виде itJtltr—t) Заметим, что в полученное точное уравнение (2.15) операторы бозонного поля не входят явно. Правая часть зависит только от «траектории» системы S Аналогичньм образом можно получить и уравнение с исключёнными бозе-операторами, когда операторная функция 0(S стоит левее 17 хС J Это уравнение имеет видk 4 1ы. ут/д]пto Чо Из Зфавнений (2.14) и (2.15) при соответствующем выборе функций T (S+ И можно получать уравнения для двухвременных средних и функций Грина систем, описываемых гамильтонианом типа (2.1), т. е. для динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем. Заметим также, что уравнения (2.14) и (2.15) при (Stt) d. переходят в Боголюбовское эволюционное уравнение.§- 3. Приближение усреднённого импульса решётки и кинетические уравнения в теории полярона. Как уже было отмечено, зфавнения (2.14) и (2.15) при Q-(Sr-) — переходят в Боголюбовское эволюционное уравнение. Цель данного.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Дано обобщение метода исключения бозонных операторов на случай многовременных средних.

2. Получены точные эволюционные уравнения (2.14), (2.15) для двухвременных средних общего вида.

3. Дано новое доказательство леммы Боголюбова в теории динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем.

4. Получено кинетическое уравнение (3.17) в теории полярона на на основе модели Фрёлиха в приближении усреднённого импульса решётки (З.б).

5. Доказано, что при определённых начальных распределениях в отсутствие внешнего электрического поля, решения полученного кинетического уравнения стремятся к равновесному максвелловс-кому распределению (при" £->).

6. Получены формулы (4.6) и (4.7), связывающие внешнее электрическое поле с кинематическими характеристиками электрона, обобщающие известные соотношения ФейнманаТорнбера.

7. Получено точное уравнение для функций Грина (6.16) (с исключёнными бозонными операторами) в теории систем поляронного типа.

В заключение автор выражает глубокую благодарность академику Н. Н. Боголюбову за стимулирующее внимание к работе, профессору Н. Н. Боголюбову (мл.) и А. М. Курбатову за постоянное внимание и обсуждения, В. П. Силину и С. В. Пелетминскому за полезные замечания. Автор признателен также А. К. Зданьски, Д. П. Санковичу, А. Н. Кирееву и В. Н. Нескоромному за постоянные обсуждения.