Численное исследование и анализ вариационных неравенств в задачах теории трещин с возможным контактом берегов

Исследования в области механики разрушения являются одними из важнейших для обеспечения научно — технической деятельности. Предметом механики разрушения является прочность как отдельных элементов конструкций, так и конструкций целиком в условиях реальной эксплуатации. Среди целого ряда факторов, оказывающих влияние на прочность, и. как следствие, на ресурс конструкции, можно выделить трещиностойкость. Как правило, появление крупных трещин, приводящих к катастрофичному разрушению вызвано всегда имеющимися в материале дефектами, вкраплениями, микротрещинами, которые с течением времени могут превратиться в крупные трещины и стать причиной полного разрушения. .Другой причиной появления и распространения трещин может стать неудачное конструктивное решение, при котором области, испытывающие большие нагрузки или концентраторы напряжений, либо близко расположены или сливаются, либо состоят из недостаточно прочного материала. Можно сказать, что одним из основных вопросов механики разрушения является вопрос об условиях и характере распространения трещин в твердом деформируемом теле.

Одним из материальных параметров, характеризующих скорость распространения возмущения в сплошной среде, является скорость распространения поверхностной волны Рэлея[50]. Если скорость роста некоторого дефекта меньше чем скорость волны Рэлея, то в механике разрушения можно рассматривать задачу о распространении этого дефекта как последовательность стационарных задач. То есть, мы задаем некоторую последовательность задач о равновесии и условия, по которым при переходе от задачи к задаче меняются: геометрия области, материальные характеристики среды и нагрузки. Скорость распространения трещины всегда меньше скорости волны Рэлея и, значит, задачу о развитии трещины в твердом теле можно рассматривать как квазистатическую.

Механика разрушения и, в частности, вопрос о распространении трещин тесно связаны с краевыми задачами. Краевые задачи возникают при моделировании напряженно — деформированного состояния в реальном теле с помощью законов сохранения механики сплошной среды и выборе соответствующего уравнения состояния. Исследуя такую задачу и проводя анализ ее решения с помощью некоторых критериев, можно судить о начале и характере разрушения, если таковое будет иметь место в реальном теле.

В диссертации исследуются краевые задачи о равновесии упругих и неупругих тел, содержащих трещину. При этом трещина моделируется геометрическим разрезом в материальном объеме, которое занимает тело. Это означает, что задача ставится в области с негладкой границей. Граница состоит из внешней части — поверхности, окружающей тело, и внутренней — поверхности, определяющей трещину. Предполагается, что трещина имеет два берега. Значения искомого вектора перемещений на разных берегах, вообще говоря, отличаются. При формулировании краевой задачи необходимо задавать условия как на внешней границе, так и на внутреннем участке границы. Трудность такого сорта задач состоит в том. что в вершинах разреза решение имеет особенность напряжения могут неограниченно возрастать при приближении к концу трещины.

Классический подход к постановке краевых задач для тел, содержащих трещины, состоит в том, что на берегах задаются линейные краевые условия. Именно искомые компоненты вектора перемещений или напряжения на поверхности трещины определяются равенствами.

Здесь а, 3 — компоненты тензора напряжений, и, — вектор перемещений, V внешняя нормаль к поверхности трещины 5. Индексы ± в обозначениях указывают на противоположные берега разреза относительно направления и. Функции 5 и II считаются заданными. Классическая постановка задачи о деформировании твердого тела, содержащего трещину, обладает существенным недостатком. Именно, если мы задаем краевые условия на 6.

Рис. 1 Проникание берегов трещины в случае плоского напряразрезе для напряжений в виде равенств, то искомый вектор перемещений может оказаться таковым, что берега трещины взаимно проникают друг в друга. Такая ситуация изображена на рисунке 1. С точки зрения анализа краевых задач в этом факте нет никаких противоречий. С точки же зрения физичности математической модели, возможность проникания берегов лучше устранить. В начале 90-х годов прошлого века A.M. Хлудневым была предложена нелинейная модель, позволяющая во многих случаях избежать проникания берегов. По существу, было предложено ставить краевые условия на трещине в виде системы равенств и неравенств. Поставим задачу о равновесии тела, содержащего трещину, с условиями непроникания берегов.

Пусть упругое тело занимает ограниченную область йсй3 с гладкой границей Г0. Рассматриваемая ситуация изображена на рисунке 2.

Рис. 2: Тело, содержащее трещину.

Введем обозначение По = ПЕ. где Е — поверхность трещины.

Искомый вектор перемещений (щ. ы2. из) удовлетворяет урав /и «= 1,2.3, в П0. (1) оц = Ьф1еы{и), из = 1,2.3, в П0 (2) и краевым условиям и = 0 на Г0, (3) и]!/ > 0. £г&bdquo- > 0, [аи] = 0. = 0. о"[ии = 0 на а. (4) Здесь £ы = еи{и) = ¿-(и^ + И|,*) — компоненты тензора деформаций, щ,! = х = (xj.i2.x3) е По, а аХ1 — компоненты тензора напряжений. Мы воспользовались разложением.

Скобки [t>] = v* - v~ обозначают скачок функции V на поверхности Н, и* соответствует положительному и отрицательному берегам трещины Н* по отношению к вектору единичной нор

Как обычно предполагается, что коэффициенты bt}ki удовлетворяют условиям b, jki = buij — bjM, bjkitk&j > f-C2- r. > 0, Si, = iji и / = (/i. /2, /3) — известный вектор плотности массовых сил.

Краевые условия (4) описывают взаимное непроникание берегов трещины без учета трения.

Задача (1) — (4) имеет единственное решение. Ее можно сформулировать как вариационную. Действительно, пусть H' °(ilo) пространство Соболева, элементы которого имеют первую производную, квадрат которой суммируем, и обращаются в ноль на внешней границе Го. Введем выпуклое замкнутое множество Ко = {""(«*,€ Я1Л (Ов), г = 1,2,3-[ч)]|/ > 0 на Z}. Задача (1) — (4) эквивалентна задаче минимизации функционала энергии.

П (По) = Ib, jklEkl (u)e, 3(u) — у fiUi По По на выпуклом множестве К0, которая может быть записана в виде вариационного неравенства: найти элемент и € Ко такой, что.

J Ьтеы (и)еу{г — u)>J fi (v? -щ), v€ К0. (5) lio Но.

Для корректной постановки задачи (5) необходимо указывать гладкость правой части / и компонент тензора Ь, иОбычно 9.

Рис. 3: Нелинейные граничные условия на трещине позволяют избежать проникания берегов предполагается ограниченность и принадлежность / пространству ¿-2(П0)3.

Рассмотренная задача относится к классу задач с неизвестной границей.

Мы задали на внешней границе Г0 однородные краевые условия для вектора перемещений. Совершенно аналогично можно рассмотреть случаи смешанных краевых условий и краевых условий для напряжений. Хотя в данном примере мы поместили трещину целиком внутрь тела, мы можем рассмотреть ситуации, когда трещина выходит на внешнюю границу Г0- Вся постановка задачи сохранит свой смысл и в этом случае. Подробный анализ задач с трещинами при условии неп|х>никания содержится в |56|. Рисунок 3 иллюстрирует непроникание берегов в случае нелинейных краевых условий на трещине.

Применяя аппарат механики разрушения, мы всегда выбираем модель разрушения. Выбрав конкретную модель разрушения. нужно установить набор критериев разрушения, актуальных для данной модели или хотя бы один критерий.

В настоящее время основными подходами к моделированию разрушения являются следующие. Классическая теория хрупкого разрушения А. Гриффитса. в основе которой лежит понятие энергии разрушения. Другой подход основан на концепции квазихрупкого разрушения Дж. Ирвина и Е. Орована. дополняющей теорию Гриффитса. Наконец, можно упомянуть модель разрушения с тонкой пластической зоной, разработанную М. Я. Леоновым — В. В. Панасюком — Д. Дагдейлом. Существуют другие модели разрушения, прилагаются усилия для уточнения существующих и разработки новых подходов к моделированию разрушения.

Опишем коротко основные критерии разрушения. Энергетический критерий разрушения Гриффитса основан на понятии производной сумм упругой энергии тела и энергии разрушения. Силовой критерий Ирвина использует понятие коэффициента интенсивности напряжений множителе при главном члене асимптотики решения вблизи вершины трещины. Упомянем концепцию инвариантного интеграла Г. П. Черепанова — Дж. Райса |31|. Значение этого интеграла, в литературе часто называемого, 1 интегралом. также применятся в критериях разрушения. Наконец, отметим деформационный критерий Леонова — Панасюка — Даг-дейла. оперирующий понятием раскрытия трещины. Заметим. и что для упругих тел, то есть в случае хрупкого разрушения, силовой и энергетический критерий эквивалентны, а значение интеграла Райса — Черепанова в точности равно производной упругой энергии по параметру характеризующему виртуальное приращение размеров трещины. Есть другие критерии разрушения, как уточняющие и обобщающие вышеописанные, так и основанные на других принципах. Продолжается работа по усовершенствованию существующих критериев и формулированию.

В диссертации затронуты вопросы, касающиеся модели хрупкого разрушения и критерия Гриффитса. Напомним, что основой теории разрушения Гриффитса является понятие энергии разрушения. В классической работе Гриффитса эта энергия полагалась прямо пропорциональной площади поверхности трещины: где 7о некоторый материальный параметр среды, называемый удельной поверхностной энергией разрушения. В настоящее время, часто под энергией разрушения Гриффитса понимается интеграл.

Сравнивая скорость изменения энергии разрушения С со скоростью изменения упругой энергии тела П по параметру 6, характеризующему изменение площади поверхности трещины, запишем условие развития трещины как уравнение энергетического й = 270теаз (5).

Условие разрушения для данной модели, то есть критерий Гриф-фитса. имеет вид.

Иногда для однородных изотропных тел пользуются предельной формой критерия Гриффитса. Именно, в правой части условия (6) можно писать 2-уо. В этом случае критерий гласит: тело с трещиной начинает разрушаться тогда, когда производная упругой энергии по виртуальному приращению площади поверхности трещины достигает критического значения 270.

Часто задачи теории трещин рассматриваются в рамках двумерной теории упругости. В этом случае трещина моделируется участком кривой, чаще всего прямым отрезком. Тогда возможный путь распространения трещины также представляет собой кривую. Производная функционала энергии, участвующая в критерии Гриффитса (величина в левой части неравенства (6)), берется вдоль этого пути. Заметим, что с точки зрения анализа краевых задач, речь идет о дифференцировании по некоторому параметру, характеризующему возмущение задачи. Именно, возмущается геометрия области, в которой ставится задача.

В первой главе изучена зависимость значения производной функционала энергии от пути возможного распространения трещины.

К настоящему времени существует большое число работ, в которых изучались зависимость решений эллиптических уравнений от параметров для различных возмущений областей. Случай гладких областей был рассмотрен в |46]. Результаты, относящиеся к дифференцированию функционалов энергии для линейных краевых задач в негладких областях, можно найти в [35, 28].

Впервые производная функционала энергии для нелинейных эллиптических задач с условиями в виде неравенств на границе была получена в |58). Метод получения производной, описанный в [58|. позволяет избежать вычислений краевых условий для материальной производной от решения, которая, вообще говоря, определяется неоднозначно. Затем, в работах |57, 20]. были получены аналогичные формулы производных для различных задач теории упругости с использованием вариационных формулировок. При этом предполагалось, что трещины являются прямолинейными, либо накладывались дополнительные условия на возмущение области, при которых множество допустимых смещений точек тела для невозмущенной задачи переходит во множество допустимых смещений точек тела для возмущенной задачи.

С помощью полученных формул были выведены инвариантные интегралы типа ЧерепановаРайса. Напомним, что такой интеграл определяет скорость высвобождения энергии при квазистатическом росте трещины и используется в механике разрушения при моделировании роста трещины.

В работе |7] было показано, что производная функционала энергии вдоль криволинейного пути трещины, в упругом дву.

14 мерном изотропном теле, не зависит от формы этого пути, если только кривая, описывающая этот путь, достаточно гладкая. При этом на трещине ставились линейные краевые условия.

В работе [41| получена формула производной функционала энергии вдоль криволинейного пути в задаче двумерной теории упругости. На берегах трещины ставились нелинейные краевые условия в виде равенств и неравенств. Существенной трудностью при этом являлось построение взаимно однозначного отображения между множествами допустимых смещений в возмущенной и невозмущенной задачах.

Последние результаты, относящиеся к анализу распространения криволинейных трещин в упругих телах, с условиями непроникания. можно найти в |21].

В первой главе в рамках двумерной теории упругости исследуется задача о равновесии твердого тела [31]. Тело занимает область П и содержит трещину ГоНа внешней границе Г тело жестко закреплено и = 0 на Г. где и — искомый вектор перемещений, определенный в области По = ПГо.

На трещине задаются условия в виде равенств и неравенств, описывающие взаимное непроникание берегов и]1/>0, аи < 0. [<�т&bdquo-] = 0. от = 0. <7″ - [и]и = 0, на Мы воспользовались разложением.

М = аир + ат. а&bdquo- = м = 1.2.

15 и использовали обозначение: [г/] = V* — V' - скачок функции и на Го, где — значения функции г' на Гц.

Задача ставиться как вариационная решение доставляет минимум функционалу энергии на множестве допустимых перемещений.

Далее, для малого параметра <5. описывающего изменение длины трещины вдоль криволинейной траектории, расматривает-ся семейство задач в возмущенной области Траектория, по которой трещина может развиваться, определяется графиком функции Х2 = Ф (х1). Обозначим функционал энергии возмущенной задачи символом П^ чтобы подчеркнуть зависимость от Ф.

Между невозмущенной ?20 и возмущенной Пд областями устанавливается взаимно однозначное соответствие с помощью преобразования независимых переменных у = у (х.б). где у € П0, хеПг,.

У1=Х1−60(ХъХ2), Уг=хг + - Щхи х2)) — ф (х1). Здесь функция в принадлежит классу С*(О) и имеет носитель в достаточно малой окрестности вершины трещины, расположенной в точке (0,0).

В работе |41| установлено, что производная П'0(О) = ???Пф (и6- функционала энергии по длиие 6 (проекции трещины Г$ на ось х1).

16 дается формулой п-«Ч — I- /%(«)Е&bdquo-("-»).

1о «о.

— / ¿-(«ЛК+// / о.

По По По где и С1 определяются по формулам д=.(о. «¦»,).

Основным результатом первой главы является доказательство независимости значения производной функционала энергии от вида функции гр, если только гр является достаточно гладкой и направление движения трещины совпадает с направлением касательной в вершине трещины.

Доказательство опирается на работу |7| и апеллирует к знакоопределенности производной функционала энергии.

Следствием основного результата первой главы является тот факт, что производная функционала энергии может быть выражена формулой п-(0) = У оцШч) вл — <�тф)и, лв^. — Iч, т. и (7) в которую тр уже не входит.

Формулу производной (7) можно переписать в виде, не зависящем от в. Если п = (п. Пг) вектор внешней нормали к границе дВ° некоторого шара В0 с центром в вершине (0.0), а £ро = В0 Го, то формула (7) после некоторых преобразований 17 примет вид.

4,(0) — у М"н.% - 1) + / «и/|- (8) ав° в».

Правая часть равенства (8) не зависит ни от ф. ни от выбора шара Это означает, что, при уменьшении радиуса шара В0, правая часть (8) сохранит свое значение. Если внутри шара В0 вектор внешних сил /, равен нулю, то правая часть (8) будет в точности являться интегралом Черепанова-Райса.

Производная функционала энергии, играющая основную роль в критерии Гриффитса, зависит, как уже отмечалось в обзоре результатов первой главы, от формы трещины. В диссертации рассматривается ряд вопросов, связанных с анализом зависимости производной функционала энергии от формы трещины. При этом речь идет о теории трещин с возможным контактом берегов.

Как уже упоминалось, зависимость решения от параметра, характеризующего возмущение области, исследовалась во многих работах. Напомним, что случай гладких областей рассматривался в [46]. Негладкие области были рассмотрены в |5|. Результаты о дифференцировании функционала энергии в задачах для областей с негладкими границами (трещинами) в задачах теории упругости содержатся в [28] и [35|. Общие вопросы, относящиеся к решениям задач, имеющим особенности, в областях с негладкими границами можно найти в [32].

Описание классического подхода к задачам оптимального управления формой упругих тел можно найти в |3]. Некоторые задачи 18 оптимального управления для упругих тел при наличии ограничений на множество решений были рассмотрены в [59] и [55]. При этом в последней работе трещина моделировалась разрезом в виде поверхности в трехмерной области. Наконец, следует особо отметить работы [63] и [62]. в которых решалась задача об отыскании формы трещины, минимизирующей именно производную функционала энергии.

В второй главе расмматривается задача (1)-(4) равновесия упругого тела, содержащего трещину. Вводится семейство возмущений области П0.

Мы будем предполагать, что щ устанавливает взаимно однозначное отображение между П и ^¿-(П), «¿-¡-(у) = х. При каждом фиксированном 5 рассматривается возмущение задачи (1)-(4). Обозначим Г, 5 = ^(Г0), Е{ = = По). Введем множество допустимых премещений.

К, = {" = Ь>1. ь2, щ) | vi 6 Н10Ш, «= 1,2.3- ["]"/ > 0 на =4}, и решение возмущенной задачи есть решение вариационного неравенства: найти элемент и' 6 Ад такой, что.

Пространство Соболева Н10(П4) определяется аналогично пространству Я1,0(Яо). В частности, элементы, принадлежащие Я1 обращаются в ноль на IV х = Му) — У е п.

9).

Ю).

В работе |57] было показано, что функционал энергии задачи (10), то есть функционал.

П (П4) = J Ьныеф’Ы"') ~ f fiui.

Slj (tj an (ii?) I. «имеет производную П = ——— по параметру о при о = 0. до li=o.

Более того, имеет место равенство.

U' = J {icr"e,"divV — okluk. PV?} ~ J ukaiv (fkV), (И) где V (y) — векторное поле, определяемое соотношением nw-^L.

• ««-"до.

Заметим, что, если возмущение.

Пусть Ф множество допустимых форм трещин. Его элементы обладают следующими свойствами. Для любого элемента тр € Ф поверхность, описываемая уравнением у3 = V'Í-J/i, Уг), принадлежит области П, и трещина 5 совпадает с этой поверхностью. При этом значения {уъЗ/г} пробегают некоторое ограниченное множество. Для каждого фиксированного ф существует производная (11) функционала энергии. Чтобы подчеркнуть зависимость производной функционала энергии от формы трещины, обозначим П' = n'(V').

Рассмотрим задачу оптимального управления: найти элемент^обФ такой, что n'(^) = infn'(# (12).

Это означает, что мы хотим найти такую форму трещины, которая гарантирует наименьшее значение производной функционала энергии n'(V) на множестве элементов ф € Ф. По существу, мы хотим получить оптимальную форму области. Решение ipo задачи (12) дает наиболее опасную форму трещины, если только возмущение ipt описывает изменение размеров трещины и применяется критерий Гриффитса для описания возможности распространения трещины. При этом щ должно устанавливать взаимно однозначное соответствие между областями Q0 и Если для элемента tp0, являющегося решением задачи (12), выполняется неравенство |П'(^о)| < 270. то мы можем заключить, что трещина формы уз = Фо (У-Уг) не опасна.

Результатом второй главы является доказательство теоремы существования задачи (12). Указывается необходимая гладкость элементов множества Ф. Приводится пример применения полученного результата для конкретного возмущения (9).

Напомним, что решение задачи о равновесии деформируемого твердого тела, содержащего трещину, имеет особенностьнапряжения могут неограниченно возрастать при приближении к вершине трещины. Этот факт является основной трудностью при изучении краевых задач в областях с трещинами.

Главное предположение модели идеального упругопластиче-ского тела (модели Генки)|16. 49| заключается в том, что напря.

21 жения не могут возрастать бесконечно некоторая выпуклая и непрерывная функция Т от напряжений ограничена сверху константой, называемой пределом текучести.

Наи) ^ С.

Таким образом, при равновесии идеального упругопластическо-го тела с трещиной вершина трещины может быть окружена пластической зоной.

Вообще говоря, содержательной частью теории идеальной пластичности Генки является следующий подход к описанию уравнения состояния. Деформации состоят из суммы двух составляющих: упругих, которые связаны с напряжениями по закону Гука и пластических, обозначаемых далее Запишем это равенство ы = аыцОц + ЫйЗ, к,1 = 1.2,3. Напряжения лежат внутри так называемой поверхности текучести. Условие принадлежности такому геометрическому множеству точек записывается в виде.

Ы) < о. где Т замкнутая и непрерывная функция. Пластические деформации ортагональны поверхности текучести, то есть для любого элемента ды такого, что Т ((ты) < 0 имеет место неравеноы)< 0.

Таким образом, мы можем записать полную систему соотноше-22 ний, описывающих равновесие упругопластического тела и = 1,2.3, ем = акЧ]Сц + М = 1.2.3,.

Наш) < 0.

Ы°ы ~ <*и) < 0, Т{аы) < 0.

Заметим, что из последнего соотношения можно исключить пластические деформации и записать его следующим образом: для любого элемента, а и такого, что Т (ды) < 0 имеет место неравенство еы — о. к1,3а, 3){аи — оы) < 0.

В последние десятилетия, вместе с развитием метода конечных элементов |17] получили развитие как численные методы механики деформированного твердого тела в целом (18]. так и механики разрушения в частности. К началу 80-х годов прошлого века уже существовало много алгоритмов и пакетов программ, применяемых в инженерной и научной практике при моделировании разрушения. Все они основаны на линейных постановках задач с условиями на трещине в виде равенств. О некоторых результатах можно узнать в работах [1. 30| и |45].

Численному исследованию вариационных неравенств, возникающих в механике сплошных сред, посвящена монография |14]. Применение метода конечных элементов к решению вариационных задач пластичности и контактных задач, с условиями в виде неравенств на поверхности контакта, изучалось в работе 113].

Численное исследование задач о равновесии упругого тела, 23 содержащего трещину с условиями непроникания, проводились в [24. 20|. Динамическая задача с аналогичными условиями на трещине рассматривалась в [15].

В работе |11| проводилось численное исследование задачи для оператора Лапласа. Расчетная область содержала трещину. На трещине задавались условия неотрицательности скачка искомой скалярной функции. Кроме этого, внутри области модуль градиента искомой функции ограничивался заданной константой.

В третьей главе рассматривается система уравнений Ламе относительно искомого вектора перемещений и в области П С Я2. Область Q содержит трещину Гс, выходящую на внешнюю границу Г. При этом Г разбивается на две части Гс и rw.

На внешней границе задаются следующие граничные условия для перемещений и напряжений и = 0 на Г0. гт, 3(и)п, = д. i, j =1.2 на Г*, где п внешняя нормаль к границе Г. а д заданный вектор внешней нагрузки, такой, что д ф 0. На берегах трещины задано условие неотрицательности скачка нормальной компоненты вектора перемещений u]f > 0наГс.

Скачок вектора перемещений [и] на трещине Гс определяется по формуле и+ — и", индексы + и — соответствуют положительному и отрицательному направлению нормали v к разрезу Гс.

Наряду с этим свертка девиатора тензора напряжений а° ограничивается некоторой константой внутри области.

Таким образом, можно говорить о модельной задаче деформирования идеального упругопластического тела с трещиной, при условии текучести Мизеса. При этом на трещине должно выполняться условие непроникания берегов.

Введем пространство векторных функций.

Н1(9С) = {u = (tit, и,) € #1(Дс)2 I «1 = „2 = 0 на Г0}. Теперь мы можем сформулировать задачу в виде минимизации функционала энергии к = {“ 6 я'(ОД | М» > о «¦ Г&bdquo- < 2С2 в ад, которая, в свою очередь, эквивалентна некоторому вариационному неравенству. Чтобы задача была корректной, необходимо установить минимальную гладкость функции д в правой части (13). Полагается, что д принадлежит Ь2(Г^)2.

Решение вариационной задачи строится методом, основанным на двойственности[6С|. Искомый элемент будет являться седло-вой точкой лагранжиана т?(и)?г?(и) <2С2 в Пе, Пс = ПГе.

13) на выпуклом множестве.

25 на декартовом произведении НХ (?1С) х Ргде.

Р = {(р, 9)€Ь°°(Пс)х12(Гс) | р> 0,9 >0}.

Для нахождения седловой точки применяется алгоритм типа Удзавы |14. 66|.

Пусть элемент, принадлежащий Р и обозначаемый через.

Р" .<7″). известен. Определим элемент и" € //'(О,) такой, что и" доставляет минимум функционалу пм +11 «Ч"в ("К!») — 2Г=) + |в" Н"Н с Гс на всем пространстве Н1(С1с). Теперь можно определить (рп+1,дп+1) следующим образом: рП+1 = 8ир (0,р" + (и")(т?(ип) — 2 С2)) 9П+1 = вир (0,<7П + гп (-["" ]!/)), где рл и г" параметры, такие что: //" > 0. г&trade- > 0, р" и т. п. малы. Последовательность и" сходится к решению задачи минимизации й в Н1(ПС).

Дискретизация задачи проводится в пространстве конечных элементов первого порядка (треугольников Куранта) |48. 17]. Приводятся результаты решения дискретной задачи.

Аналогичный подход к численному исследованию задач о равновесии упругих тел с трещиной при условии непроникания применялся в [24, 20|. В этих работах использовались более эффективные алгоритмы нахождения седловой точки, чем алгоритм 26.

Удзавы. Главным отличием результата, представленного в диссертации, является требование ограничений на напряжения во всей области. Это дополнительное условие существенно усложняет задачу технически.

1. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука. 1980.

2. Бериштейи С. Н. Собрание сочинений, том. 1. М.: Издательство АН СССР. 1952 г.

3. Bochniak М.М. Sandig А-М. Sensitivity analysis of stress intensity and notch factor in elastic structures // Preprint 97/54, SBF 404. Univ. Stuttgart. 1997. |6] БроекД. Основы механики разрушения. М.: Высшая школа. 1980.

4. Brokate М. Khludnev A. On crack propargation shapes in elastic bodies // Z. angew. Math. Phys., 2004. vol. 55, no. 2. pp. 318−329. |8) Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М. Мир, 1987.76.

5. Васильев Ф П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

6. Вторушин Е В. Управление формой трещины в упругом теле при условии возможного контакта берегов // Сиб. журнал индустриальной математики. 2006. том 9. вып. 2(26), стр. 2030.

7. Вторушин Е. В. Численное исследование модельной задачи для уравнения Пуассона с ограничениями типа неравенств в области с разрезом // Сиб. журнал индустриальной математики, 2005, том 8, вып. 1(21), стр. 41−49.

8. Вторушин Е. В. Численное исследование модельной задачи деформирования упругопластического тела с трещиной при условии возможного контакта берегов // Сибирский журнал вычислительной математики, 2006, том 9, вып. 4, стр. 301−310.

9. Главанек И. Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986.

10. Гловински Р. Лионе Ж.-Л., Тремолъер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир. 1979.

11. Guz A.N., Zozulya V. V. Fracture dynamics with allowance for crack edge contact interaction. // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. 2001, vol. 2, no. 3. pp. 173−233.

12. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.77.

13. Zienkiewicz ОС. Taylor R.L. The Finite Element Method vol. 1: The Basis. Butterworth-Heinemann: 5th edition. 2000.

14. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Finite Element Method: vol. 2: Solid Mechanics. Butterworth-Heinemann- 5th edition, 2000.

15. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997.

16. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973.

17. Leontiev A., Herskovtts J., Eboh С Optimization theory application to slitted plate bending problems // Int. J. Solids Structures, 1998, vol. 35, no. 20, pp. 2679- 2694.

18. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

19. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.78.

20. Мазья В. Г. Пространства C. J1. Соболева. Ленинград: Издательство ЛГУ, 1985.

21. Мазья В. Г. Назаров С.А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях вблизи угловых и конических точек // Тр. Моск. мат. о-ва. 1987. том. 50, стр. 79- 129.

22. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976.30| Морозов Е. М. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука. 1980.

23. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

24. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука. 1991.

25. Новацкий В. Теория упругости М.: Мир, 1975.

26. Ортега Дж.

Введение

в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991.

27. Othsuka К. Mathematics of brittle fracture // Theoretical Studies on Fracture Mechanics in Japan. Japan. Hiroshima, Hiroshima-Denki Institute of Technology. 1997. pp. 99−172.

28. Партон B.3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука. 1985.

29. Партон В. З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.79.

30. Пестриков D.M. Морозов Е. М. Механика разрушения твердых тел: Курс лекций. М.: Профессия. 2002.

31. Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988.

32. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. Разрушение. Т.2. М.: Мир. 1975.

33. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в двумерной теории упругости для тел. содержащих криволинейные трещины // Прикладная механика и техническая физика. 2004. том 6. стр. 83−94.

34. Рудой Е. М. Формула Гриффитса для пластины с трещиной // Сиб. журнал индустриальной математики. 2002. том 5. вып. 3(11), стр. 155−161.

35. Рудой Е. М. Ассимптотика интеграла энергии при возмущении границы / / Динамика сплошных сред. РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 2000, вып. 116, стр. 97−103.

36. Самарский A.A. Гулин A.B. Численные методы. М., Наука. 1989.

37. Сиратори М. Миеси Т. Мацусита X Вычислительная механика разрушения. М.: Мир, 1986.

38. Sokolowski J. Zolesio J.P. Introduction to shape optimization. Shape sensitivity analisys. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1992.

39. Съярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992.

40. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.49| Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991.

41. Preund L.B. Dynamic fracture mechanics. Cambridge University Press. 1998.

42. Friedman A. Liu Y. Propagation of Cracks in Elastic Media // Arch. Rational Mech. Anal., 1996 no. 136, pp. 235- 290.

43. Friedman А., Ни В., Velazquez J.J.L. Propagation of cracks in elastic media // Preprint 1521 Dec. 1997, Institute for Mathematics and its Applications (IMA). University of Minnesota, 1997.

44. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

45. Khludnev A., Kovtunenko V. Analysis of Cracks in Solids. WIT-Press: Southampton. Boston. 2000.81.

46. Khludnev A.M. Sokolowski. J. Modelling and control in solid mechanics. Basel, etc.: Birkhauser. 1997.

47. Khludnev A.M. Sokolovskx J. Griffith formulae for elasticity systems with unilateral conditions in domains with cracks // Europ. J. Mech. A./Solids. 2000, vol. 19, pp. 105−119.

48. Khludnev A.M. Sokolowski J. The Griffith formula and the Rice-Cherepanov integral for crack problems with unilateral conditions in nonsmooth domains / European J. Appl. Math. 1999, vol. 10, no. 4. pp. 379- 394.

49. Khludnev A.M. Leontiev A.N. Herskovits J. Nonsmooth domain optimization fot elliptic equations with unilateral conditions // J. Math. Pures Appl. 2003. vol. 82, pp. 197−212.

50. Homberg D. Khludnev A.M. On safe crack shapes in elastic bodies / Europ. J. Mech. A./Solids, 2002. vol. 21, pp. 991−998.

51. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. M.: Наука, 1974.82.

52. Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожковская. Университетская серия, том 7, 2003.

53. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. пл ОХОГо?? ауеа'^а «.