Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условиях

В различных отраслях современной техники пластины и оболочки разнообразных форм являются наиболее распространенными элементами тонкостенных конструкций. Они широко применяются в строительном деле, машиностроении, гидротехнике, судои авиастроении, дорожном деле и в других областях техники. В гражданском и промышленном строительстве это покрытия, перекрытия, рабочие площадки, некоторые виды фундаментовв машиностроении — элементы технологического оборудованияв электронике — печатные платы из фольгированного стеклопластика и т. п.

Широкий спектр применения пластин и оболочек объясняется как большими функциональными возможностями тонкостенных конструкций, так и исключительно удачным сочетанием в них малого веса и прочности.

Вышеуказанные конструкции подвергаются различного рода статическим и динамическим воздействиям, при этом к их прочности и надежности предъявляются постоянно возрастающие требования. В XVIII веке предпринятые Л. Эйлером и вслед за ним Я. Бернулли (младшим) попытки построить математическую модель задачи о колебаниях пластинки не увенчались успехом, и только Софи Жермен вместе с Лагранжем в 1812 г. получили правильное уравнение для определения прогибов колеблющейся тонкой изотропной пластинки.

Первая более — менее удовлетворительная попытка построить теорию изгиба пластин удалась Навье (1823г.), который исправил ошибку, допущенную Пуассоном, и получил строгое аналитическое решение задачи об изгибе прямоугольной пластинки со свободно опертым контуром. Однако, по мнению С. П. Тимошенко [66], наиболее успешными в этом направлении следует считать исследования Г. Кирхгофа, который в работе, опубликованной в 1850 г., сформулировал гипотезы ставшей впоследствии классической теории изгиба тонких изотропных пластинок. Завершение построения этой теории было выполнено У. Томпсоном (лордом Кельвином), который в 1870 г. дал окончательное решение вопроса о количестве граничных условий, необходимых для корректной математической формулировки краевой задачи определения прогибов тонкой пластинки.

Практически одновременно Ф. Герингом (1860г.) и М. Буссинеском (1879г.) делаются попытки построения уравнений изгиба анизотропных пластинок, но ряд фундаментальных результатов в этом направлении был получен только в работах М. Губера [73]-[75], опубликованных в 1921 -1929г.г. Последующие исследования С. Г. Лехницкого, выполненные в 30-е годы прошлого столетия, были обобщены в его монографии «Анизотропные пластинки» [41], [42]. В этой монографии последовательно и строго изложены основы теории изгиба анизотропных пластинок в рамках гипотез Кирхгофа и получены аналитические решения многочисленных конкретных задач (обобщение решений Навье и М. Леви на случай анизотропного материала, решение задачи о концентрации напряжений в бесконечной пластинке, ослабленной эллиптическим отверстием, и многих других).

Теории анизотропных пластин и оболочек посвящены также монографии С. А. Амбарцумяна [7, 8], в которых наряду с классической рассматриваются так называемые «уточненные» теории, базирующиеся на несколько иных исходных гипотезах.

В первой половине прошлого столетия вопросы изучения статического и динамического изгиба тонких пластинок являлись предметом исследования многих ученых. В частности, большое внимание было уделено разработке приближенных методов решения соответствующих краевых задач. Среди таких методов следует отметить вариационные методы, сводящие решение краевой задачи для дифференциального уравнения к отысканию минимума некоторого функционала. Наибольшее распространение получили метод Треффтца, метод Ритца (1908г.), метод Бубнова — Галеркина (1915г.) и др. Детальный обзор этих методов и примеры их применения можно найти, например, в работах [1], [39], [61].

Эти методы остаются актуальными и продолжают развиваться и модернизируются и в настоящее время, о чем свидетельствуют, например, докторские диссертации [18], [21], [40].

Наибольшей универсальностью обладает один из вариантов метода Рэлея-Ритца — метод конечных элементов (МКЭ) [15], [16], [56]. В последнее время он получил наибольшее распространение на практике. Сейчас применяется большое количество разнообразных конечных элементов, способных описать практически любую задачу. Однако данный подход не лишен недостатков: трудно оценить погрешность метода, возможна неустойчивость счета вблизи точек смены граничных условий и т. п. К тому же МКЭ требует существенных затрат машинного времени и большого объема оперативной памяти ПЭВМ.

Вариационные методы в известной степени удовлетворяют запросам практики, их применение позволило решить большое количество задач. К сожалению, эффективность вариационных методов существенно снижается в задачах, имеющих смешанные граничные условия, из-за трудностей в построении координатных функций, которые должны удовлетворять различным граничным условиям на различных участках границы.

А.Л. Гольденвейзером в работе [24] для расчета пластин со сложными (в том числе и смешанными) граничными условиями был предложен асимптотический метод. Дальнейшему развитию и применению этого метода посвящены работы обширного круга ученых, например [11−13], [37], [76] и др. Основная идея данного метода заключается в том, что искомое решение представляется в виде суммы двух составляющих: основного во внутренней области, занимаемой пластиной, и корректирующего состояния типа динамического краевого эффекта, локализованного в малой окрестности контура и быстро затухающего при удалении во внутреннюю область. К сожалению, область применения метода ограничена динамическими задачами.

Новый этап в развитии исследований по теории изгиба пластинок и оболочек начался со второй половины пятидесятых годов прошлого столетия, когда стали широко распространяться электронно-вычислительные машины. Это привело к появлению новых численных методов решения сложных краевых задач для дифференциальных уравнений, реализация которых с помощью логарифмической линейки и механического арифмометра «Феликс» ранее была невозможна. К числу таких методов относится метод конечных разностей (МКР) который позволил решить некоторые задачи статики и динамики пластин со смешанными граничными условиями различных типов. Однако и в этом случае оценка точности полученных результатов представляет самостоятельную задачу, требующую дополнительного исследования. Примеры применения МКР имеются в работах [14], [20], [59], [60], [68] и др.

Близким по духу МКР является метод коллокаций. Суть его состоит в том, что исходное дифференциальное уравнение равновесия или движения пластины удовлетворяется в отдельных точках внутри области, занимаемой пластиной (точках коллокаций).

Впервые идея применения коллокационных методов для решения краевых задач математической физики изложена акад. Л. В. Канторовичем в 1934 году. В работе [34] предлагаются два варианта коллокационных методов — метод внутренней коллокации и метод коллокации по линиям, приводится пример решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения.

Бгагег И.А. с соавторами в 1937 году в работе [72] предложили различные варианты аппроксимации искомых функций и сделали первую попытку обоснования метода внутренней коллокации.

Метод граничной коллокации впервые был применен для приближенного решения линейной краевой задачи об изгибе пластины I. ВаЛа в 1937 г в работе [71].

Дальнейшему развитию метода внутренней коллокации посвящены работы [10], [38], практическое применение метода граничной коллокации рассматривается в работах [22], [30], [36], [43], [45], [57], [63], [77] и пр. Математическому обоснованию коллокационных методов посвящены работы [19], [35], [70]. Наиболее полный обзор коллокационных методов и полученных результатов исследований в этой области приведен в работе [62].

В настоящее время усилиями многих поколений ученых построены различные теории, описывающие напряженно-деформированное состояние тонкостенных конструкций, и разработаны эффективные методы их расчета.

Несмотря на то, что достигнуты значительные успехи в развитии теории и разработке приближенных методов решения различных прикладных задач, круг проблем, требующих своего разрешения, по-прежнему обширен.

Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой таких приближенных методов решения краевых задач теории пластин и оболочек, которые были бы универсальны, эффективны и не слишком требовательны к машинным ресурсам при реализации.

Ряд результатов в решении смешанных задач теории пластин получен методом кратных рядов, основная идея которого заключается в следующем: находится общее решение дифференциального уравнения, содержащее набор произвольных постоянных, затем на каждом участке смешанных граничных условий постоянные выбираются так, чтобы условия удовлетворялись. Если решение представлено рядом Фурье, то получается столько различных рядов сколько имеется участков смены граничных условий. В случае, когда решение представлено интегралом Фурье, получается набор кратных интегральных уравнений. Далее к полученной системе рядов (уравнений) применяется конечное интегральное преобразование, которое приводит кратные ряды (уравнения) к бесконечной системе линейных алгебраических (интегральных) уравнений, решаемых известными методами. Данный подход применялся В. М. Александровым и его учениками [2−6], [33] в задачах о расчете НДС и колебаний пластин со смешанными граничными условиями.

Вышеописанными методами удобно пользоваться в случае, когда размеры участков границы с различными условиями закрепления соизмеримы с линейными размерами пластины. В том случае, когда эти участки малы, можно перейти к некоторым осредненным граничным условиям. Методика их построения изложена в работе [44].

Для решения двумерных задач теории пластин и оболочек в последние два десятилетия широко применяется метод сплайн-коллокации. Этот метод, предложенный в 1987 г. Я. М. Григоренко и М. Н. Береновым [28], и получивший дальнейшее развитие в [25−27], быстро получил признание научного сообщества [29]. Для исследования колебаний вязкоупругих пластинок при сложном закреплении краев он применялся, в частности, П. Ф. Недорезовым в работах [46], [50]. Проверка метода сплайн-коллокации на большом количестве тестовых задач показала его высокую точность. Однако этот метод в классическом его виде применим только, когда две противоположные стороны пластинки закреплены. Если у пластинки закреплена одна сторона (консоль) или две смежных стороны при заданной нагрузке на остальной части границы, метод сплайн-коллокации в его классическом виде не применим.

В диссертационной работе рассматривается модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статики и динамики тонких прямоугольных пластин при произвольных граничных условиях на контуре пластины. На граничные условия накладывается единственное ограничениеих вид в пределах каждой из сторон контура остается неизменным.

В данной работе применение предлагаемого метода иллюстрируется результатами вычислений, которые выполнялись для квадратных пластинок с размером стороны, а = 1.0 м, к = 0.01м, за исключением п. 1.5, в котором рассматривается прямоугольная консольная пластинка и исследуется влияние отношение размеров сторон пластинки на ее напряженно-деформированное состояние.

Апробация данного подхода была проведена на ряде модельных задач, для которых известны аналитические или численные решения. Цели диссертационной работы.

• Разработка модифицированного метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пластинок при сложных способах закрепления контура.

• Решение модельных задач для апробации разработанной методики, сравнение результатов с известными аналитическими решениями.

• Решение различных задач при нестандартных условиях закрепления (пластинка с двумя смежными закрепленными сторонами, консольная пластинка, пластинка, подкрепленная в угловых точках). Научная новизна.

В работе впервые построена модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок для сложныу способов закрепления контура. Все задачи, решенные в рамках апробации предложенного метода, решены впервые (за исключением модельных). В ходе вычислительных экспериментов выявлен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей.

Достоверность полученных результатов обеспечивается.

• При построении метода — строгостью математической постановки задачи и обоснованным применением соответствующего математического аппарата.

• При численном решении — хорошим совпадением результатов для модельных задач.

Практическая значимость.

Работа имеет как теоретический, так и прикладной характер. Предложенный в работе метод может найти применение при решении широкого спектра задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких пластин с разнообразными условиями закрепления контура. Результаты, полученные в ходе численного решения задач, могут использоваться при моделировании поведения различных тонких пластин в разнообразных прикладных областях. Апробация работы. Основные результаты докладывались на:

• Второй Всероссийской научной конференции (Самара, СамГТУ, 2005г);

• V Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005г);

• XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, СГТУ, 2005);

• научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., профессора Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся:

• Модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пластинок для сложных способов закрепления контура.

• Результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных экспериментов по определению напряженно-деформированного состояния и резонансных частот пластинок со сложными условиями закрепления контура.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в журналах из списка, рекомендованного ВАК, 4 публикации в трудах конференций и сборниках научных трудов.

Структура и объем диссертации

.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал работы изложен на 126 страницах, содержит 41 рисунок и 20 таблиц, список цитированной литературы содержит 77 наименований.

Основные результаты и выводы.

• Основной результат диссертационной работы состоит в построении модифицированного метода сплайн-коллокации. Предложенная модификация существенно расширяет класс задач статического изгиба и установившихся колебаний при сложных способах закрепления контура разрешимых численно с помощью метода сплайн-коллокации.

• Для малых значений отношения сторон (с <0.2) НДС консольной пластинки близко к НДС соответствующим образом изгибаемого стержня прямоугольного сечения, а при больших значениях отношения сторон (с >10) прогибы пластинки конечных размеров стремятся к прогибам бесконечно длинной в направлении? полосы.

• Для материалов со слабой анизотропией (типа АГ-4с, СВАМ 5:1) графики изогнутой срединной поверхности пластины мало отличаются от соответствующих графиков для изотропного материала. Для материалов с сильной анизотропией (типа СВАМ 15:1, дельта-древесины) различия в расположении «горбов» и «впадин» по отношению к соответствующим графикам для изотропного материала будут существенны. В случае установившихся колебаний, анизотропия материала также существенно влияет на значения резонансных частот.

• Анизотропия материала оказывает существенное влияние на размеры и формы на изогнутой срединной поверхности пластинки, а.

• В случае вязкоупругой пластинки при любых значениях частоты амплитуда прогиба остается ограниченной. Для значений частот, отличных от критических, значение первой составляющей прогиба W^ значительно превышает по величине значение второй составляющей. При подходе к критической частоте обе составляющие возрастают, причем ]У2 растет быстрее. Когда частота внешнего возбуждения равна критической, значительно превосходит .