Устойчивость оболочек и пластин конструктивно-нелинейной механики

Задача устойчивости является одной из важнейших задач механики деформируемых твердых тел. Теоретические предпосылки к рассмотрению вопросов устойчивости заложены еще в работах Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, A.M. Ляпунова. Лагранж [23] говорил об устойчивом равновесии в том смысле, «. что если система находилась в состоянии равновесия, а затем была немного из него выведена, то она сама собою стремится вернуться к этому состоянию, совершая около него бесконечно малые колебания» .

Устойчивое состояние упругой системы характеризуется тем, что малые возмущения приводят к незначительным изменениям их основных характеристик (перемещений, деформаций, напряжений и т. д). Однако возможны такие нагрузки, что даже незначительные возмущения приводят к большим изменениям основных характеристик упругой системы и в этом случае, как правило, система теряет свою несущую способность. Одной из первых задач такого рода была задача Эйлера об устойчивости стержня, сжатого продольными силами. Развитие проблемы устойчивости нашло отражение в работах Е. Л. Николаи [42], С. П. Тимошенко [55−57], В. В. Болотина [2], Г. Циглсра [74, 75], В. И. Феодосьева [69], Я. Г. Пановко и И. И Губановой [46].

Особое внимание уделялось исследованию вопросов устойчивости тонких оболочек [5−7, 12, 43, 55, 58, 59, 71, 87], т.к. они обладают замечательным свойством выдерживать значительные нагрузки при малой толщине. Это свойство тонких оболочек позволяет создавать из них легкие конструкции с хорошими жесткостными и прочностными характеристиками, что способствует широкому применению оболочек в судостроении, самолетостроении, строительстве крупных сооружений.

Исследованию задач на устойчивость, когда оболочка, пластина или балка связаны с упругой средой, посвящены работы [17, 55, 56].

В последнее время все большее внимание уделяется т.н. конструктивно-нелинейным задачам механики упругих систем. Особенность этих задач в том, что, в отличие от задач классической нелинейной теории упругости, они обладают нелинейностью как существенным (неустранимым) свойством. Природа такой нелинейности кроется в наличии односторонних связей в конструкции или материале, что формально описывается с использованием положительных и отрицательных срезок функций. Другая особенность конструктивно-нелинейных задач связана с тем, что к ним непосредственно, как правило, неприменимы методы традиционной нелинейной механики упругих тел.

Широким классом конструктивно-нелинейных задач являются задачи на устойчивость упругих элементов конструкций на границе раз-номодульных (т.е. области с различными жесткостями) винклеровских сред. Многие из таких задач сводятся к исследованию операторного уравнения вида.

Ли ее Au + Ciu+ + С2и = А Qu, (0.1) где A, Q — операторы, действующие в некотором гильбертовом пространствеС, С2 — операторы умноженияи+ = max {0,ii}, и = min {0, и} - срезки функции и.

Оператор, А является положительно однородным, т. е. таким, что, А (аи) = аАи, если, а > 0. Следовательно, задачи на устойчивость элементов конструкций при односторонних связях в виде винклеров-ских сред сводятся к проблеме собственных значений положительно однородного оператора. Для решения задач вида (0.1) был предложен т.н. локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора [33](ниже — локальный метод). Доказательство сходимости метода и примеры его применения приведены в работах [33, 52, 72]. Метод назван «локальным», потому что он позволяет находить какой-нибудь (локальный) минимум функционала, соответствующего уравнению (0.1). Сходимость метода доказана при весьма жестких требованиях к операторам, А и С] [52]. Поиск глобального минимума может быть сведен к задаче сепарабельного программирования, для решения которой применима расчетная схема локального метода в сочетании с методом ветвей и границ [51].

Алгоритм полного перебора вариантов (ППВ) для решения одномерной спектральной задачи вида (0.1) впервые использовался в работе [52]. Он заключается в конечномерной аппроксимации уравнения (0.1) и в нахождении путем перебора вариантов непротиворечивой собственной формы, которой отвечает минимальное собственное число. В общем случае этот алгоритм позволяет находить не только первое собственное число, но и часть (в зависимости от размерности сетки) дискретного собственного спектра. Однако практическая реализация алгоритма ППВ наталкивается на т.н. «проклятие размерности»: при применении этого алгоритма на сетке размерностью т приходится, установив правило перебора вариантов, решать 2т~1 линейных спектральных задач.

В данной работе предлагается комбинированный алгоритм перебора вариантов. Сначала на редкой сетке (т.е. такой, чтобы 2т~1 было не слишком большим числом) реализуется алгоритм ППВ и выбирается качественно адекватная собственная форма, т. е. имеющая устойчивый с ростом т вид графика (например, собственная форма с двумя полуволнами). Затем применяется алгоритм локального перебора вариантов (ЛПВ), который заключается в том, что число узлов сетки последовательно удваивается делением пополам, а перебор вариантов производится лишь вблизи корней собственной формы.

Целью работы является создание эффективного алгоритма решения задач на устойчивость оболочек и пластин в условиях конструктивной нелинейности.

В разделе 1 приведены известные сведения, на которые в дальнейшем делаются ссылки при изложении основного материала.

В подразделе 1.1 изложены основные сведения из нелинейной теории жесткогибких оболочек, учитывающей трансверсальные деформации, в том числе одноименные сдвиги как по модели С. П. Тимошенко, так п по модели Д. И. Журавского. Сформулирован основанный на этой теории Ш1-алгоритм учета трансверсальных деформаций в различных кирхгофовских вариантах теории оболочек. Ш1-алгоритм иллюстрирован уточнениемнелиненой теории пологие оболонек Маргера. Приво^ дится полудеформационный вариант граничных величин, при использовании которого система уравнений Маргера-Тимошенко-Нагди является замкнутой. Приведены все необходимые соотношения для случая цилиндрической оболочки, которые найдут применение при изложении раздела 3.

В подразделе 1.2 приводятся иллюстрации постановки задач на устойчивость в условиях конструктивной нелинейности, обусловленной наличием односторонних связей в виде разномодульных винклеров-ских сред.

В подразделе 1.3 рассматривается локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора. Названный метод сводится к решению последовательности задач минимизации выпуклого функционала при линейных ограничениях и дает какое-либо, не обязательно минимальное собственное число. К минимальному собственному числу алгоритм будет сходится при наличии достаточно хорошего начального приближения.

В подразделе 1.4 изложена сущность комбинированного алгоритма перебора вариантов, составляющего основу данной работы.

В разделе 2 рассматриваются задачи на устойчивость одномерных элементов конструкций на границе разномодульных винклеровских сред. Приводится постановка задачи в конечномерном пространстве, аналитическое решение в случае однородной упругой среды, численное решение поставленной задачи и анализ полученных результатов.

В разделе 3 излагается полученное соискателем решение задачи на устойчивость продольно сжатой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, при учете в ней (оболочке) поперечных сдвигов по моделям Тимошенко и Журавского.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Комбинированный алгоритм «ППВ+ЛПВ» решения спектральных задач конструктивно-нелинейной механики.

2. Решения с использованием алгоритма «ППВ+ЛПВ» задач на устойчивость продольно сжимаемой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, в том числе оболочки постоянной толщины по теории Кирхгофаоболочки переменной толщины по теории Кирхгофаоболочки постоянной толщины по теории Маргера-Тимошенко и теории Маргера-Журавского.

3. Решение задачи на устойчивость осесимметрично деформируемой круглой пластины на границе разномодульных винклеровских сред под действием равномерно распределенной по граничному контуру сжимающей радиальной нагрузки.

Материалы диссертации опубликованы в работах [38, 60−67], докладывались и обсуждались на:

Всероссийской научной конференции с международным участием &bdquo-Математическое моделирование и краевые задачи" (СамГТУ, г. Самара, 2008) — научной конференции-семинаре &bdquo-Теория управления и математическое моделирование" (ИжГТУ, г. Ижевск, 2008);

I Всероссийской молодежной научной конференции &bdquo-Молодежь и наука на Севере" (КНЦ УрО РАН, г. Сыктывкар, 2008) —. международных научных конференциях «СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ -2004», «СЕВЕРГЕОЭКОТЕХ — 2005″ (УГТУ, г. Ухта) в 2004, 2005 г. г.- ежегодных научных коференциях &bdquo-Февральские чтения» (Сыкт-ГУ, г. Сыктывкар) в 2005;2008 г. г.

По теме диссертации выполнен проект &bdquo-Исследование влияния учета трансверсальных деформаций на устойчивость пластин в условиях односторонних связей" при поддержке гранта Правительства С. Петербурга М04−2.2К-549.

Полностью работа докладывалась на кафедре математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского университета (24 октября 2008 г.) и на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета (13 ноября 2008 г).

В работе [38] научным руководителем Е. И. Михайловским дана общая постановка задачи. Соискателю принадлежит алгоритм локального перебора вариантов и его численная реализация. Работы [66, 67] выполнены совместно с учениками соискателя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Алгоритм ППВ теоретически имеет ряд преимуществ перед локальным методом, так как:

— сходимость последнего доказана при весьма жестких требованиях к операторам А, С} (А — положительно определенный оператор, О, — положительный и компактный оператор, действующие из пространства ТУз ко.) в пространство ½(0));

— при одной и той же размерности сетки он является более точным, потому что его погрешность связана лишь с конечно-разностной аппроксимацией, а локальный метод кроме этого обладает погрешностью, обусловленной приближенной достижимостью точки минимума;

— он позволяет определенно находить первую собственную пару (число и форму), в то время как локальный метод требует дополнительного применения сложно программируемого метода ветвей и границ.

В связи с этим была предложена такая модификация алгоритма ППВ, которая позволила бы избежать «проклятия размерности», делающего алгоритм ППВ в исходном виде несостоятельным. В работе на примере конкретных задач показано, что комбинированный алгоритм «ППВ+ЛПВ», обладая всеми (теоретическими) преимуществами алгоритма ППВ, удовлетворяет искомым требованиям, во всяком случае для решения одномерных спектральных задач.

Таким образом, в диссертации были получены следующие основные результаты:

1. Разработан комбинированный алгоритм «ППВ+ЛПВ» решения спектральных задач конструктивно-нелинейной механики.

2. С использованием комбинированного алгоритма «ППВ+ЛПВ» решена задача на устойчивость продольно сжимаемой цилиндрической оболочки на границе разномодульных винклеровских сред, в том числе оболочки постоянной толщины по теории Кирхгофаоболочки переменной толщины по теории Кирхгофаоболочки постоянной толщины по теории Маргера-Тимошенко и теории Маргера-Журавского.

3. Решена задача на устойчивость осесимметрично деформируемой круглой пластины на границе разномодульных винклеровских сред под действием равномерно распределенной по граничному контуру сжимающей радиальной нагрузки.