Об одном классе многозначных отображений с некомпактными образами

Исследование новых классов нелинейных задач, построение и изучение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений, традиционно включается в нелинейный функциональный анализ.

При изучении вопросов, связанных с разрешимостью различных нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, принципы неподвижных точек, принципы продолжения решений по параметру и топологические методы.

В настоящее время существуют нелинейные задачи (теория экстремальных задач, математическая экономика, вариационные неравенства и т. д.) для исследования котоорых широко используется теория многозначных отображений. Интерес к теории многозначных отображений особенно усилился в последние годы в связи с важными приложениями этих отображений к теории игр. теории оптимального управления, математической экономики и математической физики.

Существенное место в теории многозначных отображений занимает исследование неподвижных точек, которые в различных задачах могут интерпретироваться как оптимальные стратегии, равновесные цены, оптимальные решения, точки покоя обобщенных динамических систем и т. д. Теоремы о неподвижных точках многозначных отображений возникают также в теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других разделах современной математики.

Современная теория неподвижных точек многозначных отображений была построена в работах С. Какутани [43], С. Эйленберга и Д. Монтгомери [38], А. Гранаса [39], И. Яваровского [42], А. Д. Мышкиса [29], С. Б. Надлера [47], JI. Гурневича [40], Ю. Г. Борисовича, Б. Д. Гельмана. В. В. Обуховского, Ю. Е. Гликлиха, М. И. Каменского и многих других. Отметим, что некоторые результаты работы Воронежской школы в этом направлении приведены в обзоре [4]. В настоящий момент теория неподвижных точек многозначных отображений с выпуклыми компактными образами развита также хорошо, как и теория однозначных отображений.

Однако, в болыпенстве существующих теорем, кроме принципа многозначных сжимающих отображений (см., например, [47]), предполагается, что образы многозначного отображения являются компактами. Изучение неподвижных точек многозначных отображений с некомпактными образами представляет значительную трудность и не может проводиться традиционными методами.

Целью работы является выделение нового специального класса многозначных отображений с некомпактными образами (/г-вполне непрерывных многозначных отображений) и изучение неподвижных точек многозначных отображений из этого класса.

К главным результатам диссертации можно отнести следующие:

1. Определение нового класса многозначных отображений с некомпактными образами (/г-вполне непрерывных отображений).

2. Доказательство теорем о неподвижных точках /г-вполне непрерывных отображений;

3. Применение полученных теорем к проблеме существования решений следующих задач: уравнений с сюръективными операторами на сферах банаховых пространствнеравенств в банаховом пространстве с конусомвопросу о существовании квазинеподвижных точек однозначных отображений.

4. Построение нового топологического инварианта — относительной топологической степени вполне непрерывного отображения (относительно фиксированного отображения и фиксированного множества).

Содержание диссертации.

Работа состоит из введения, пяти разбитых на пункты параграфов (первый из них называется нулевым) и списка литературы. Нулевой параграф работы является вспомогательным, он содержит необходимые в дальнейшем сведения из теории многозначных отображений и теории неподвижных точек.

В первом параграфе диссертации вводится и изучается новый класс многозначных отображений. Эти отображения имеют выпуклые замкнутые, но некомпактные образы. Для отображений из этого класса удается доказать теоремы о неподвижных точках, которые в конце параграфа применяются к изучению разрешимости операторных уравнений с сюръективными операторами вида а (х) = f (x). Опишем содержание этого параграфа подробнее.

Пусть X — метрическое пространство, Cv (X) — множество непустых замкнутых выпуклых подмножеств в X. Функция h: Cv (X) х Cv (X) — R U со — квазиметрика Хаусдорфа на множестве Cv (X). В квазиметрическом пространстве (Cv{Y), h) естественно определяется структура топологического пространства. Будем обозначать? г>(У) множество Cu (Y) снабженное этой топологией.

Очевидно, что любое многозначное отображение F: X —> Cv (Y) порождает однозначное отображение $: X —".

Пусть F: X —" Cv (E) — некоторое многозначное отображение. 1.2.1. Определение. Будем говорить что многозначное отображение F является h-непрерывным, если:

1) отображение порожденное отображением F, является непрерывным.

Если кроме условия (1) отображение $ удовлетворяет следующиму условию:

2) для любого ограниченного множества D С X множество 3(D) является компактным множеством в? v (E)} то будем говорить что многозначное отображение F является h-впол-не непрерывным.

Пусть Е — банахово пространство, X — метрическое пространство, F: X —" Cv (E) — h-вполне непрерывное многозначное отображение. Пусть, А — ограниченное подмножество пространства X.

1.3.1. Теорема. Для любого е > 0 существует непрерывное отображение f?:A—>E такое, что: a) множество f?(A) является компактнымb) p (f?{x), F (x)) < е для любой точки х € А.

Доказанная теорема применяется для доказательства теорем о неподвижных точках h-вполне непрерывных отображений.

Пусть Т — ограниченное выпуклое замкнутое подмножество банахова пространства Е, F: Т Cv (E) — многозначное /г-вполне непрерывное отображение. Справедлива следующая теорема о 11 почти «неподвижной точке.

1.4.1. Теорема. Если F (x) f]T ф 0 для любой точки х G Т, то для любого е > 0 существует точка хе G Т такая, что p (xS) F (xe)) < s.

Однако, при выполнении условий теоремы 1.4.1 многозначное /г-вполне непрерывное отображение может не иметь неподвижных точек. В работе доказано, что в некоторых специальных случаях существование неподвижных точек можно установить.

Пусть У — метрическое пространство, Е — банахово пространство, Uограниченное открытое выпуклое подмножество Е, f: U ¦—> У — вполне непрерывное отображение, Ф: У —> Cv{E) — /г-непрерывное многозначное отображение. Тогда F = Ф о /: U —> Си (Е) является /г-вполне непрерывным отображением.

1.4.3. Теорема. Пусть выполнено одно из следующих двух условий:

1) для любой точки х? U множество Ф (х) компактно в слабой топологии;

2) множество U компактно в слабой топологии.

Если существует такое открытое выпуклое множество V с V С U, что для любого х е dU пересечение F (x) р| V ф 0, то многозначное отображение F имеет неподвижную точку.

Для изучения неподвижных точек многозначных /i-вполне непрерывных отображений также может быть применена топологическая степень.

Пусть Е — банахово пространство, U С Е — ограниченное открытое множество, F: U —Cv (E) — /г-вполне непрерывное отображение. Обозначим ФО) — x—F{x) многозначное векторное поле, порожденное отображением F. Пусть существует такое? > 0, что для любой точки х G 8U справедливо неравенство р (х, F (x)) > е. В силу теоремы 1.3.1 существует компактное отображение f?: U Е такое, что p (fe (x)) F (x)) < s. Пусть (f>s (x) — х — f?(x). Очевидно, что ip?(x) ф 0 для любого х 6 dU.

1.5.1. Определение. Топологической степенью deg (&, dU) векторного поля Ф будем называть deg (ipe)dU). Имеет место следующая теорема.

1.5.3. Теорема. Пусть существует такое? > 0, что для любой точки х Е dU справедливо неравенство p (x, F (x)) >? и dcg (Q, dU) ф 0. Тогда для любого 5 > 0 существует точка х§Е U такая, что р (х5, F (xs)) < 6.

Справедлива также следующая теорема.

1.5.4. Теорема. Пусть существуют вполне непрерывные отображения /ь/г: dU —> Е такие, что выполняются следующие условия:

1) f и /2 являются непрерывными сечениями F;

2) х т^ fi (x), х ф /2(ж) для любой точки х 6 dU.

Если 7(2 — /1, dU) 7⁷(2 — /2,9U), то отображение F имеет неподвижную точку на dU.

В пункте 1.6 доказанные теоремы применяются для изучения одного специального класса многозначных отображений. У этих отображений образами точек являются аффинные подпространства.

Пусть X — линейно связное метрическое пространство, Е — банахово пространство. Обозначим Aff (E) — множество всех аффинных подпространств пространства Е, т. е. М е Aff (E), тогда и только тогда, когда существует замкнутое подпространство L С Е такое, что М = хо+L, где xq фиксированная точка из Е. Пусть F: X —> - /i-непрерывное многозначное отображение такое, что для любой точки х 6 X образ F (x) является аффинным подпространством в Е, т. е. F: X —" Aff (E).

1.6.2. Лемма. Пусть Y — метрическое пространство, F: Y — Aff (E) — h-вполне непрерывное отображение. Тогда существует метрическое пространство X, вполне непрерывное отображение g: Y X и h-непрерывное многозначное отображение Ф: X —> Aff (E) такие, что F = Ф о g: Y Aff (E).

Имеет место следующая теорема о неподвижных точках таких отображений.

Пусть U — ограниченное открытое выпуклое множество в рефлексивном банаховом пространстве Е) F: dU —" Aff (E) — h-вполне непрерывное многозначное отображение.

1.6.3. Теорема. Пусть размерность dimF (x) > 1 для любой точки х 6 dU. Если существует такое открытое выпуклое множество V С V с U, что для любого х dU пересечение F{x) Р) V ф 0, то многозначное отображение F имеет неподвижную точку х* € dU.

Опираясь на теорему о нечетном поле можно доказать следующую теорему.

Пусть U — ограниченное открытое множество в пространстве Е с линейно связной границей, содержащее нуль пространства Е и симметричное относительно нуля, т. е. если х G С/, то и точка —х € U. Пусть F: dU —Aff (E) — h-вполне непрерывное многозначное отображение.

1.6.4. Теорема. Пусть размерность dimF (x) > 1 для любой точки x G dU. Если для любой точки х 6 dU справедливо равенство F{—x) = —F{x), то многозначное отображение F имеет неподвижную точку.

В заключение параграфа доказанные теоремы применяются для изучения разрешимости операторных уравнений с сюръективными операторами на сфере банахова пространства.

Пусть Ei, Ei — банаховы пространства, а: D (a) С Е —" Е2 — замкнутый линейный сюръективный оператор. Число называется нормой многозначного отображения а-1.

Пусть xq? D (a) — некоторая точка, Sr (x0) — сфера радиуса R с центром в хо, f: Sr (x0) —> Е2 — вполне непрерывное отображение.

1.7.3. Теорема. Пусть Е — рефлексивное банахово пространство и Кег (а) Ф {0}. Если существует такое число к > ||а-1||, что для любой точки х Е Sr (xq) справедливо неравенство ||а (я-о) — < j, то уравнение а (х) — f (x) имеет решение.

Эта теорема уточняет теорему о разрешимости уравнения (1.1), доказанную в [23].

Опираясь на теорему 1.6.4 можно доказать бесконечномерную версию теоремы Борсука-Улама (см. 20]).

Пусть Sr (0) С Ei — сфера радиуса R с центром в нуле, /: Sr (0) —" Е2 — вполне непрерывное нечетное отображение.

1.7.4. Теорема. Если Кег (а) ф {0}, то уравнение а (х) = f{x) имеет решение. х* 6 dU.

Цо-41= sup (inf{||a-|| I х g Еъа (х) = у} уеЕ2.

Второй параграф диссертации посвящен изучению проблемы существования неподвижных точек у многозначных отображений из некоторого подкласса множества /г-вполне непрерывных отображений.

Пусть Е — банахово пространство, множество X С Е) f: X Енепрерывное отображение. Пусть К — фиксированное замкнутое выпуклое подмножество в Е.

2.1.1. Определение. Точка х* Е X называется неподвижной точкой f относительно множества К, если х* Е f (x*) + К. В дальнейшем, такие точки будем называть К-неподвижными точками отображения /. Множество К-неподвижных точек отображения f будем обозначать Fix (f, К).

2.1.2. Лемма. Пусть f — вполне непрерывное отображение, тогда многозначное отображение F — f+К является h-вполне непрерывным отображением.

2.1.4. Теорема. Пусть U — ограниченное открытое выпуклое подмножество банахова пространства Е, f: U —> Е — вполне непрерывное отображение. Пусть множество К выпукло замкнуто и компактно в слабой топологии. Если существует такое открытое множество V с V с U, что для любого х Е U пересечение (f (x) 4- К) П V ф 0, то множество Fix (f, K) ф 0.

Для изучения проблемы существования ./^-неподвижных точек отображения / может быть применена теория топологической степени.

2.1.7. Теорема. Пусть U С Е — выпуклое ограниченное открытое множество, f: dU —" Е — вполне непрерывное отображение, К С Е — неограниченное выпуклое замкнутое множество. Если существует такая точка щ е К, что для любой точки х е dU выполнено включение f (x) + щ? U, то отображение f имеет К-неподвижные тючки на dU.

Второй раздел второй главы диссертации посвящен применению теорем о существовании Х-неподвижных точек к проблеме существований решений неравенств в банаховом пространстве. Хорошо известно, что в банаховых пространствах с помощью конуса можно ввести структуру полуупорядоченного пространства (см., например, [27]) и поставить задачу о разрешимости неравенств. В случае конечномерных пространств теоремы существования решений линейных неравенств обычно формулируются как необходимые и достаточные условия (см., например, [33]). Некоторые результаты о существовании решений у систем нелинейных неравенств получены в [27], [30], [31], [32], [45] и др.

В монографиях [31], [32] были доказаны некоторые теоремы о существовании решений систем неравенств в пространствах Rn и С[ац. Там же была поставлена проблема доказательства аналогичной теоремы для произвольного банахова пространства с конусом. Решению этой проблемы и посвящен данный раздел работы.

Пусть X С Е, К — конус в Е, /: X —" Е — непрерывное отображение. Будем изучать следующие неравенства: f{x) < х. (2.1).

Очевидно, что любое решение неравенства (2.1), это — if-неподвижная точка отображения /.

Опираясь на теоремы существования i^-неподвижных точек, получим следующую теорему.

2.2.2. Теорема. Пусть U с Е — выпуклое ограниченное открытое множество, f: dU Е — вполне непрерывное отображение. Если существует такая точка uq? К, что топологическая степень deg (</?, dU) векторного поля ip (x) — х — f{x) — щ не равна нулю, то неравенство (2.1) имеет решение на dU.

Если конус К С Е является миниэдральным, то для любого х? Е единственным образом определяются элемент х+ = sup{:r, 0} и х- = sup{—ж, 0}. Тогда модулем элемента х называется = х+ + Очевидны следующие неравенства х < х+ < х.

Пусть в пространстве Е задан миниэдральный конус К такой, что выполнено следующее условие:

I) для любых элементов х, у Е Е из неравенства х < у вытекает неравенство ||ж|| < ||?/||.

Очевидно, что это условие (I) выполнено для конусов положительных векторов в пространствах Rn, и L^aby.

Рассмотрим отображение р: Е —" К, р (х) = х+. Если конус К такой, что выполняется условие (I), то отображение р является непрерывным и положительно однородным.

Пусть U С Е — выпуклое ограниченное открытое множество, содержащее нуль пространства Е, dU — граница множества U, S = dU р) К. Обозначим.

К* = {ф е Е* | ip (x) > 0 для любого х Е К}.

2.2.7. Теорема. Пусть Е — банахово пространство, К С Е — миниэдральный конус, удовлетворяющей свойству (I). Пусть f: S —> Е — вполне непрерывное отображение такое, что для любой точки х? S.

16 существует ненулевой функционал ф Е К* такой, что — p (f (x)) > 0. Тогда существует точка Е S, являющаяся решением неравенства (2.1).

Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

Пусть К С Rn — конус положительных векторов, Sr (0) — сфера радиуса R с центром в нуле пространства Rn, S = Sr (0) Р) if. Обозначим (|a-i|, • • •, хп) — модуль вектора в Rn.

2.2.8. Теорема. Пусть f = (Д, /2,., /п): S —> Rn — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: для любой точки х = (^i, хп) € S существует вектор Ъ Е К такой, что скалярное произведение (Ь, х) > 0 и (6, f{x)) < (b, x). Тогда неравенство (2.1) имеет, решение на множестве S.

Рассмотрим еще одно следствие из теоремы 2.2.7, которая является обобщением теоремы, полученную в [32] (гл. 5, теор. 2.1).

2.2.9. Теорема. Пусть f = (/1,/2, •¦•,/п): S —> Rn — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: для любой точки х = (xi, x2, ¦¦¦, хп) Е S существует номер io такой, что Xj0 > 0 и Xi0 > fi0(x). Тогда неравенство (2.1) имеет решение на множестве S.

Рассмотрим еще одно следствие из теоремы 2.2.7.

Пусть К — конус положительных функций в пространстве ЦДе р > 1. Пусть 5д (0) — сфера радиуса R в пространстве S — Sr (0) р| К, f: S —" вполне непрерывное отображение.

2.2.11. Теорема. Если для любой функции х Е S существует измеримое множество, А С [а, 6] такое, что x (t)dt / (x{t)-p (f (x)){t))dt > 0, А, А то существует функция х* G S для которой неравенство f (x*)(t) < х* (t) справедливо для почти всех t Е [a, b].

Тритий параграф диссертации посвящен приложению теорем существования /^-неподвижных точек к проблеме существования квазинеподвижных точек. Следуя [36] приведем некоторые определения.

Пусть X — топологическое пространство, /: X —> X — непрерывное отображение, г = {^a}aeJi Ра X —" R, семейство непрерывных функций на X.

Будем говорить, что точка хо € X является квазипеподвижной точкой отображения / (относительно семейства т), если ipa (f (xo)) = <�ра (%о) для любого a Е J.

Изучение квазинеподвижных точек непрерывных отображений представляет интерес в тех случаях, когда существование неподвижной точки установить трудно или невозможно, но достаточно знать, что ipa (f (xо)) = (ра (хо) для некоторых наборов непрерывных функций на X. Задача существования квазинеподвижных точек представляет интерес даже в случае, когда X является подмножеством банахового пространства, а (ранепрерывные линейные функционалы.

Пусть Е — банахово пространство, U С Е — ограниченное открытое подмножество, /: U —> Е — непрерывное отображение. Пусть т = {iPa}aeJ ~ семейство линейных непрерывных функционалов на пространстве Е.

Обозначим Ка = Kerifa С Е, а КТ = f] Kertpa. Очевидно, что aeJ множество Кт является подпространством в Е.

Точка является квазинеподвижной точкой отображения / относительно семейства т, тогда и только тогда, когда она является Кт-неподвижной точкой этого отображения.

Применяя к этой проблеме результаты § 2, получим следующее утверждение.

3.1.3. Следствие. Пусть U — выпуклое ограниченное открытое множество в банаховом пространстве Е, /: dU Е — вполне непрерывное отобраэюение, г = {(f>a}aeJ ~ семейство линейных непрерывных функционалов на пространстве Е. Если существует такая точка щ? КТ, что для любой точки х € dU выполнено включение f{x) + щ? ?/, то отображение f имеет на 8U квазинеподвижную точку относительно этого семейства.

Рассмотрим теперь случай, когда / является некомпактным отображением.

Пусть Е — банахово пространство, X — подмножество в Е, f: X —> Е — непрерывное отображение. Пусть L — замкнутое подпространство в Е. Пусть Е = E/L — фактор-пространство, 7Г: Е —" Е — естественная проекция на фактор-пространство.

3.2.2. Определение. Непрерывное отображение f: X —" Е будем называть L-компактным, если композиция отображений тг • f является компактным отображением, т. е. 7 г (f (X)) — компакт.

Справедлива следующая теорема.

3.2.3. Теорема. Пусть X — открытое выпуклое подмножество банахова пространства Е, L — замкнутое подпространство в Е. Пусть f: X —> Е — L-компактное отображение. Если существует? > О такое, что Ue (f (X)) С X — L, то отображение f имеет L-неподвижную точку.

Применяя теорему 3.2.3 к проблеме квазинеподвижных точек получим следующее утверждение.

3.2.4. Теорема. Пусть X — выпуклое открытое подмножество банахова пространства Е, f: X Е — непрерывное отображение. Пусть семейство г = {сра Е Е* | а Е J} таково, что композиция 7 г ¦ /: X —> Е/КТ является компактным отображением. Если существует такое? > 0, что U?(f (X)) С X — КТ, то отображение f имеет квазинеподвижную точку относительно этого семейства.

Рассмотрим приложение теоремы 3.2.4 к изучению квазинеподвижных точек оператора Урысона (оператора суперпозиции).

Пусть /: [a, b] х R1 —" R1 — непрерывная функция двух переменных. Эта функция порождает оператор Урысона (суперпозиции) /: С[ад —¦> С[а, ьПусть на отрезке [а, Ъ] задано конечное число точек {ti}f=1. Эти точки определяют непрерывные линейные функционалы щ: С[а, Ь] R1, ipi (x) = x{ti). Таким образом определено семейство линейных непрерывных функционалов т =.

3.2.5. Теорема. Если существуют такие числа с Е (0,1) и d > О, что для любых (t, x) Е [a, b] х R1 справедливо неравенство, f{t, x).

Четвертый параграф диссертации посвящен построению нового тодологического инварианта вполне непрерывных векторных полей. Основными в этом параграфе являются понятие if-неподвижной точки и понятие (/, /^-подчиненных отображений.

В работах Ю. Г. Борисовича [1], [2] был введен и изучен топологический инвариант — относительное вращение (степень) вполне непрерывных векторных полей. Это понятие нашло глубокие применения при построении топологической степени уплотняющих и предельно компактных векторных полей (см., например, [44]), в теории положительных операторов (см., например, [28]) и других разделах современной математики. В монографии [28] были рассмотрены некоторые абстрактные идеи построения различных обобщений этого понятия.

Предложенный подход охватывает как частный случай конструкцию Ю. Г. Борисовича и развивает идеи, предложенные в [28].

Пусть X — метрическое пространство, Е — нормированное пространство, К — замкнутое выпуклое подмножество в Е, f X Е — непрерывное компактное отображение.

4.1.1. Определение. Непрерывное компактное отображение д: X —> Е называется (/, К)-подчиненным, если для любой точки х? X выполнено включение g{x) — f (x)? К.

Пусть Е — банахово пространство, /: Е —> Е — вполне непрерывное отображение. Пусть К — выпуклое замкнутое подмножество в Е, Fix (f, К) — множество К-неподвижных точек отображения /. Предположим, что множество Fix (f, K) ф 0. Обозначим X = co (Fix (f, К)). Пусть Ux — непустое ограниченное открытое в индуцированной топологии подмножество X (относительно открытое подмножество).

Пусть д: dUx —" Е — непрерывное компактное (/, К)-подчиненное отображение без неподвижных точек. Пусть U с Е ограниченное открытое в Е множество такое, что: а) Ux = U (X б) dUx = dUftX.

Тогда существует вполне непрерывное отображение д: U —-> Е, удовлетворяющее условиям: отображение д является (/, Х)-подчиненным отображениемд{х) = д (х) для любого х Е dTJx.

Рассмотрим вполне непрерывное векторное поле ф: dU —> ср{х) = х — д (х). Это поле также не имеет неподвижных точек на dU, следовательно определена топологическая степень йед{ф, ди).

4.2.3. Определение. Относительной топологической степенью поля ср = г — g: dUx —> Е относительно множества К и отображения f будем называть степень дед{ф) dTJ), где ф — % — д. Обозначать эту степень будем deg^^((p, dUx).

4.2.4. Предложение. Определение deg (f:K){.

Изучим свойства введенной топологической степени.

Пусть go, gi: dUx Е — вполне непрерывные (f, K)~подчиненные отображения без неподвижных точек.

4.2.7. Теорема (Гомотопическая инвариантность). Пусть компактные поля ipo = i — go и ipi = i — gi являются (/, К)-гомотопными, тогда deg{f}K)((po, dUx) = deg^iK)(ipi, dUx).

Аналогично свойствам обычной топологической степени имеет место теорема о существовании неподвижной точки.

4.2.9. Теорема. Пусть д: Ux Е — компактное непрерывное (/, К)-подчиненное отображение. Если deg (ftK)(i — g, dUx) ф О, то отображение g имеет в Ux неподвижную точку.

Пусть К С К — непустое выпуклое замкнутое подмножество Е. Обозначим Х = co (Fix (f, Ki)). Очевидно, что Х С X. Пусть Ux — непустое ограниченное относительно открытое подмножество X, a Ux1 ~ Ux п Хъ Пусть dUXl = д (ух п Хг) ф 0.

4.2.8. Теорема (принцип сужения отображения). Если непрерывное компактное отображение g: dUx —> Е является (/, К)-подчиненным отображением и не имеет неподвижных точек, то deg^K){i ~ 9, dUx) = degu, Kl{i — g, dUXl).

Пусть выпуклое замкнутое множество К содержит нуль пространства Е, f: Е —" Е — вполне непрерывное отображение, Fix (f) — множество неподвижных точек отображения /. Очевидно, что Fix (f) С Fix (f, К) С X. Так как К содержит нуль пространства Е, то / является (/, /^-подчиненным отображением. Пусть Ux — непустое ограниченное относительно открытое подмножество X такое, что отображение / не имеет неподвижных точек на dUx.

4.2.10. Теорема. Пусть g: dUx —> Е является (/, К)-подчиненным отображением. Если x-f (x)\>\f (x)-g (x)\ для любой точки х Е dUx, то deg{LK)(i — g, dUx) = degu, K){i — /, dUx).

4.2.11. Пример (относительное вращение). Пусть Е — банахово пространство, f: Е Е — нулевой оператор, т. е. f (x) = 0 для любого х Е Е. Пусть К — выпуклое замкнутое подмножество в Е. Тогда X = Fix (f, К) = К. Пусть Uk — непустое ограниченное открытое подмножество К. Пусть g: 8Uk Е — вполне непрерывное (/, Х)-подчиненное отображение не имеющее неподвижных точек. В этом случае условие (/, ./^-подчиненности эквивалентно тому, что g: dUx —> К. Тогда определена относительная топологическая степень deg^^^i — g^dUx)-, совпадающая с относительной топологической степенью (вращением), введенной в работах Ю. Г. Борисовича [1], [2].

1. Борисович Ю. Г. Об одном применении понятия вращения векторного поля/ Ю. Г. Борисович // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 153, № 1. — С. 1215.

2. Борисович Ю. Г. Об относительном вращении компактных векторных полей в линейных пространствах/ Ю. Г. Борисович // Тр. семинара по функц. анализу. Воронежск. ун-т. 1969. — N 12. — С.3−27.

3. Борисович Ю. Г.

Введение

в топологию /Ю.Г. Борисович и др. М: Высшая школа. — 1980.

4. Борисович Ю. Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных точек многозначных отображений/Ю.Г.Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др.//Успехи мат. наук. 1980. — Т.35, N 1. — С. 59−126.

5. Борисович Ю. Г.

Введение

в теорию многозначных отображений./Ю.Г.Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др. Воронеж: Изд-во ВГУ. — 1986.

6. Борисович Ю. Г. Многозначные отображения./Ю.Г.Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др.// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. 1982. — Т. 19. — С. 127−229.

7. Борисович Ю. Г. Многозначный анализ и операторные включения./Ю.Г.Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др.// Современные проблемы математики. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Новейшие достижения. 1986. — Т. 29. — С. 151−211.

8. Борисович Ю. Г. О новых результатах в теории многозначных отображений./Ю.Г.Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др.// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. 1987. — Т.25. — С. 121−195.

9. Борисович Ю. Г.

Введение

в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений/Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др. М: КомКнига (УРСС). — 2005.

10. Борсук К. Теория ретрактов/ К. Борсук. М: Мир. — 1971.

11. Вулих Б. З.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств/Б.3. Вулих. М: Физматлит. — 1961.

12. Гельман А. Б. Об одной проблеме Улама/ А. Б. Гельман // Труды матем. ф-та. Воронеж, ун-т. 2005. — N 9. — С. 32−39.

13. Гельман А. Б. О неравенствах в банаховом пространстве/ А. Б. Гельман // Труды матем. ф-та. Воронеж, ун^г. 2006. — N 10. — С. 42−48.

14. Гельман А. Б. О существовании Х-неподвижных точек/ А. Б. Гельман // Современные методы теории функций и смежные вопросы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: изд-во ВГУ. 2007. — С. 57.

15. Гельман А. Б. Об одном обобщении относительного вращения/А.Б. Гельман, Б. Д. Гельман //Вестник ВГУ, серия физика, математика. -2007. N1. С. 130−134.

16. Гельман А. Б. Об одном классе многозначных отображений с некомпактными образами/ А. Б. Гельман // Вестник ВГУ, серия физика, математика. 2008. — В. 1. — С. 162−169.

17. Гельман А. Б. О разрешимости уравнений с сюръективными операторами/ А. Б. Гельман // Современные методы теории функций и смежные вопросы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: изд-во ВГУ. 2009. — С. 44.

18. Гельман А. Б. Об Л,-вполне непрерывных отображениях/ А.Б. Гельман// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2009. — Т. 14, вып. 4. — С. 689.

19. Гельман А. Б. Неподвижные точки /г-вполне непрерывных многозначных отображений и неравенства в пространствах с конусом/ А.Б. Гельман// Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. 2009. — № 4. — С. 5−13.

20. Гельман Б. Д. Бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама/ Б.Д. Гельман// Функциональный анализ и его приложения. 2004. -Т.38, N 4. — С. 1−5.

21. Гельман Б. Д. Непрерывные сечения и аппроксимации многозначных отображений/ Б. Д. Гельман // Вестник ВГУ, серия физика, математика. 2002. — В. 2. — С. 50−55.

22. Гельман Б. Д. Непрерывные аппроксимации многозначных отображений и неподвижные точки/ Б. Д. Гельман // Матем. заметки. -2005. Т.78, в.2. — С. 212−222.

23. Гельман Б. Д. Операторные уравнения и задача Коши для вырожденных дифференциальных уравнений/ Б. Д. Гельман //Вестник ВГУ. Серия мат., физ. 2007. — В.2. — С. 86−91.

24. Гликлих Ю. Е. Неподвижные точки многозначных отображений с невыпуклыми образами и вращение многозначных векторных полей/ Ю. Е. Гликлих // Сб. тр. аспирантов мат. фак. Воронеж, ун-т. 1971. N1. С.30−38.

25. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач./А.Д. Иоффе, В. М. Тихомиров М: Наука. — 1974.

26. Иохвидов И. С. О лемме Ки-Фаня, обобщающей принцип неподвижной точки А.Н.Тихонова/ И. С. Иохвидов // ДАН СССР. 1964. -Т. 159. — С. 501−504.

27. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений/ М. А. Красносельский. М: Физ.-мат. лит. — 1962.

28. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа/ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М: Наука.- 1975.

29. Мышкис А. Д. Обобщения теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории/ А. Д. Мышкис // Матем. сб. -1954. Т. 34(76), N3. — С. 525−540.

30. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ/ Ж.-П. Обен, И. Экланд. Москва: Мир. — 1988.

31. Опойцев В. И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения/ В. И. Опойцев. М: Наука. — 1977.

32. Опойцев В. И. Нелинейная системостатика/ В. И. Опойцев. М: Наука. — 1986.

33. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ/ Р. Рокафеллар. М: Мир. — 1973.

34. Реповш Д. Теория Э. Майкла непрерывных селекций. Развитие и приложения./Д.Реповш, П. В. Семенов.// Успехи матем. наук. 1994. Т. 54, N 6. С. 49−80.

35. Треногин В. А. Функциональный анализ/ В. А. Треногин. М: Наука.- 1980.

36. Улам С. Нерешенные матаматические задачи/ С. Улам. М: Наука, — 1964.

37. Aubin J.-P. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory/J.-P.Aubin, A.Cellina. Grundlehren math. Wiss. — 1984. — V. 264, N 14.

38. Eilenberg S. Fixed point theorems for multivalued trasformations/S.Eilenberg, D. Montgomery// Amer. J. Math. v. 68. P. 214−222.

39. Granas A. Sur la notion du degre topologique pour une certaine classe de transformations multivalentes dans les espaces de Banach/ A. Granas // Bull. Acad. Polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys. 1959. — V. 7, N 4. — P. 191−194.

40. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings/ L. Gorniewicz. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht-Boston-London. — 1999.

41. Hu S. of Multivalued Analysis, v. l: Theory./ S. Hu, N.S. Papageorgiou.- Kluwer Acad. Publ. Dordrecht-Boston-London. 1997.

42. Jaworowski J.W. Theorem on antipodes for multi-valued mappings and a fixed point theorem/ J.W. Jaworowski // Bull. Acad. Polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys. 1956. — N 4. — P. 187−192.

43. Kakutani S. A generalization of fixed point theorem/ S. Kakutani // Duke Math. J. 1941. — N 8. — P. 457−459.

44. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spces/ M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P.Zecca. -De Gruyter Ser. in Nonlinear Analysis and Appl. 7, Walter de Gruyter, Berlin-New York. 2001.

45. Karamardian S. Existence of solutions of certain systems of non-linear inequalities/ S. Karamardian // Nimerische Mathematic. 1968. v.12, N 4. — P.327−334.

46. Michael E. Continuous selections, 1/ E. Michael // Ann. of Math. 1956. — V.63, N 2. — P. 361−382.

47. Nadler S.B. Multi-valued contraction mappings/ S.B. Nadler // Pasif. J. Math. 1969. — V. 30, N 2. — P. 475−488.

48. Repovs D. Continuous Selections of Multivalued Mappings/ D. Repovs, P.V. Semenov. Mathematics and Its Applications, Kluwer, Dordrect. -1999. — v.455.