Задача геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом

Актуальность темы

Теория уравнений смешанного типа, возникшая в 20−50 годы прошлого столетия благодаря работам С. А. Чаплыгина [102], Ф. Трикоми [82], С. Геллерстедта [103], Ф. И. Франкля [84], К. И. Бабенко [2], A.B. Бицадзе [5], И. Н. Векуа [16], М. А. Лаврентьева [51], получила значительное развитие в силу многочисленных приложений в трансзвуковой газовой динамике, гидродинамике, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, теории плазмы, при моделировании биологических процессов.

В работах Е. И. Моисеева [53]—[54], A.M. Нахушева [56]—[57], А. П. Солдатова [79], С. П. Пулькина [61]-[62], В. И. Жегалова [22], Т. Д. Джураева [20], Л. С. Пулькиной [63]-[64], К. Б. Сабитова [69]-[70], А. Н. Зарубина [23]- [45], O.A. Репина [65]-[68], A.A. Килбаса [48]-[49], A.B. Псху [60], М. С. Салахитдинова [71]-[72], М. М. Смирнова [77]-[78] и других математиков, теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.

На рубеже 60−90 годов XX века возросший интерес к задачам управления системами с последействием, исследованиям упругих деформаций многослойных пластин и оболочек, управления плазмой, потребовал развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, в том числе уравнений смешанного типа, с отклоняющимся аргументом.

Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений, содержащих преобразования аргумента искомой функции, относятся к нелокальным.

Теория нелокальных задач Трикоми для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с операторами Лаврентьева-Бицадзе и Геллерстедта в главной части и сосредоточенными отклонениями некарлеманов-ского типа была построена А. Н. Зарубиным [23]-[46].

Прямые и обратные задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной исследовал М. В. Бурцев [6]-[15]. В работах A.A. Андреева и И. Н. Саушкина [74]-[76] рассматривались аналоги задачи Трикоми в неограниченных симметричных областях, порожденных операторами типа Лаврентьева-Бицадзе с одной, двумя перпендикулярными и двумя параллельными линиями вырождения типа и возмущенных значениями второй производной искомой функции, вычисленной в инволю-тивных (карлемановских) точках.

В данной диссертации впервые рассматриваются в различных областях задачи Геллерстедта («внутренние» и «внешние») для нелокальных уравнений смешанного типа с разностными и дифференциально-разностными операторами, имеющими некарлемановские сдвиги запаздывающего и опере-жающе-запаздывающего типа.

L (u (x, у)) = ихх (х, у) + sgnyuyy (х, у) = Аки (х, у) (к = ОД, 2,3), (I/O где А0 = Rx1+H^rH (%), A1 = r-h (x.

A2 = (R*xH (x) + R~TH (2tx)-1)(? + д д Л3 = (Я* Я (*) + R? H (Зт — x) — 1) (—+.

0 < г = const, H (?) — функция ХевисайдаRx — оператор некарлемановско-го сдвига, действующий по переменной х: Rxp (x) = р (х — в).

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых и начально-финально-краевых задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом соответственно.

Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.

Методы исследования. В работе широко используются методы теории интегральных уравнений Фредгольма, сингулярных интегральных уравнений, аппарата специальных функций, дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций («метод abc»).

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных — проблеме решения задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа с запаздывающим и опережающе-запаздывающим аргументом.

Основные результаты выносимые на защиту:

1. Доказательство теорем существования и единственности решения «внутренней» задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с кратным запаздыванием в искомой функции в ограниченной области.

2. Доказательство теорем существования и единственности решения «внешней» задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с запаздывающим аргументом в производной первого порядка искомой функции в неограниченной области.

3. Доказательство теорем существования и единственности решения «внутренних» и «внешних» задач Геллерстедта для уравнения ЛаврентьеваБицадзе с опережающе-запаздывающим аргументом искомой функции и её производных первого порядка в ограниченных областях.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с запаздывающими и опере-жающе-запаздывающими аргументами в областях изменения типа уравнения.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в изучении колебания кристаллической решетки, в безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака, задач управления и др.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на 6-й Международной конференции «АМАДЕ-2011» (г. Минск, 2011 г.) — на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» («СамДиф-2011», г. Самара) — на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложение в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (г. Белгород, 2011 г.) — на Международной научно-практической конференции «Математика и её приложение» (г. Орел, 2011 г.) — на XIV Международной научной конференции им. акад. М. Кравчука (г. Киев, 2012 г.) — на 7-й Международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (АМАДЕ-2012, г. Минск) — на XI Белорусской математической конференции (г. Минск, 2012 г.) — на Третьей Международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2012 г.) — на Четвертой Международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я. Б. Лопатинского (г. Донецк, 2012г) — на II Международной конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2012 г.) — на научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003;2013гг., г. Орел, ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет» (руководитель доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Зарубин).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [85]-[101]. Публикации [87], [89], [99] выполнены в изданиях, рекомендованных ВАК. В статьях [96]—[101] научному руководителю принадлежит только постановка задач.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографического списка литературы, содержащего 103 наименования. Объем работы — 141 страница.

1. Агранович, М. С. Обобщенные функции / М. С. Агранович — М., МЦНМО, 2008. — 128 с.

2. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа / К. И. Бабенко // Успехи мат. наук. 1953. — Т.8, № 2. — 160 с.

3. Бейтмен, Г. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.- Т. 1−2. М.: Наука, 1969.-344 с.

4. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук.- М.: Мир, 1967. 548 с.

5. Бицадзе, A.B. О некоторых задачах смешанного типа / A.B. Бицадзе // Докл. АН СССР -1950. Т.70, № 4. — С.561−564.

6. Бурцев, М.В. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения дробного порядка / М. В. Бурцев // Вестник науки. Орел: ОГУ, 2004, В.З. — С.32−34.

7. Бурцев, М. В. Задача Коши для составного уравнения дробной диффузии с некарлемановским сдвигом / М. В. Бурцев, А. Н. Зарубин // Вестник науки. Орел: ОГУ, 2007, В.6. — С.38−40.

8. Бурцев, М.В. Начально-краевая задача для смешанного уравнения диффузии дробного порядка с запаздывающим аргументом / М. В. Бурцев // Труды Математического центра Н. И. Лобачевского. Казань, 2004, Т.25. — С.55−56.

9. Бурцев, М. В. Смешанная задача для неоднородного уравнения дробной диффузии с запаздывающим аргументом по времени и пространственной координате / М. В. Бурцев // Материалы конференции «СамДиф-2007». Самара: Издательство «Универс групп», 2007. -С.35−36.

10. Бурцев, М.В. Начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом / А. Н. Зарубин, М. В. Бурцев // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Новосибирск: НГУ, 2007 — С.105−106.

11. Бурцев, М. В. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом / А. Н. Зарубин, М. В. Бурцев // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 3,-с. 373−383.

12. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. М. ГИФМЛД959. — 628 с.

13. Гахо, в Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. М.: Наука, 1978. 295 с.

14. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М.: Наука, 1977. — 640 с.

15. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Наука, 1971. 1108 с.

16. Джураев, Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т. Д. Джураев. Ташкент: Фан., 1979. — 238 с.

17. Диткин, В. А. Операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. -М.: Высшая школа, 1975. 408 с.

18. Жегалов, В. И. Одновременное обобщение задачи Трикоми и Геллер-стедта / В. И. Жегалов // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: 1981. — С.58−61.

19. Зарубин, А. Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1998. Т34, № 1. С.88−94.

20. Зарубин, А. Н. Задачи Коши и Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // «Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнений». Орел: ОГУ. — 12−14 ноября, 1996. — С.99−103.

21. Зарубин, А. Н. Аналитическое решение одной задачи нестационарного конвективного теплообмена с последействием / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1997. ТЗЗ, № 1 С.128−130.

22. Зарубин, А. Н. Аналог задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // 2-ая Международная конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям. С.-Петербург, 15−20 июня, 1998 г.

23. Зарубин, А. Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32, № 3. С.350−356.

24. Зарубин, А. Н. Интегральные преобразования теории дифференциально-разностных уравнений смешанного типа / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, № 8. С. 1135−1136.

25. Зарубин, А. Н. Краевые задачи для дифференциальных и дифференциальноразностных уравнений: учебное пособие / А. Н. Зарубин. Орел: ОГУ, 2002.-220 с.

26. Зарубин, А. Н. Метод решения задачи Геллерстедта для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе в неограниченной области / А. Н. Зарубин // Вторая Международная конференция по математической физике и ее приложениям. Самара, 29 августа 4сентября, 2010 г.

27. Зарубин, А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с распределенным запаздыванием / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, № 10. -С.1353—1356.

28. Зарубин, А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1998. Т34., № 1. С.121—127.

29. Зарубин, А. Н. Некоторые краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа / А. Н. Зарубин. Орел, 1987 — 7с. — Деп. в ВИНИТИ, № 5398. — В 87. — С.79−80.

30. Зарубин, А.Н. О некоторых начально-краевых задачах для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа / А. Н. Зарубин // Докл. РАН. 1996. — Т.346, № 6. — С. 735−737.

31. Зарубин, А.Н. О функциональном уравнении задач математической физики / А. Н. Зарубин // Вестник науки Орел: ФГБОУ ВПО «ОГУ», 2012, В.11. -С.24−27.

32. Зарубин, А. Н. Об алгоритме решения начально-краевой задачи для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом / А. Н. Зарубин // Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34, № 1. С. 121−127.

33. Зарубин, А. Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом: учебное пособие / А. Н. Зарубин. Орел: ОГУ, 1997. — 255 с.

34. Зарубин, А. Н. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с отражением и смешанным запаздыванием / А. Н. Зарубин // Ученые записки Орловского государственного университета. Научный журнал. — Орел: ОГУ, 2011, № 5 (43). С.144−159.

35. Зарубин, А. Н. Задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа в неограниченной области / А. Н. Зарубин // Вестник науки, — Орел: ОГУ, 2011, B. 10-С.15−20.

36. Зарубин, Е. А. Метод интегральных преобразований решения дифференциально-разностных уравнений математической физики. Методическая разработка / Е. А. Зарубин. Орел, ОГУ, 2003. — 34 с.

37. Ильин, В. А. Основы математического анализа / В. А. Ильин, Э.Г. По-зняк. ч.1. — М.: Наука, 1982. — 616 с.

38. Килбас, A.A. Аналог задачи Бицадзе Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной / A.A. Килбас, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39, № 5. — С.638−644.

39. Килбас, A.A. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения / A.A. Килбас, O.A. Репин // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 43, № 6. С.799−805.

40. Крикунов, Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям / Ю. М. Крикунов. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970.-209 с.

41. Лаврентьев, М.А. К проблеме уравнений смешанного типа / М. А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе //ДАН СССР. 1950. — Т.70,33. -С.373−376.

42. Маричев, О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций / О. И. Маричев. Минск: Наука и техника. — 1978. — 310с. -Деп. № 2936−75.

43. Моисеев, Е. И. Некоторые вопросы спектральной теории уравнений смешанного типа. Дис. д-ра физ. мат. наук / Е. И. Моисеев. — М.: МГУ, 1979.

44. Моисеев, Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е. И. Моисеев. М: Изд-во МГУ, 1988. — 150 с.

45. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. — 512 с.

46. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применения / A.M. Нахушев. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

47. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1969. Т.5, № 1. -С.44−59.

48. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Элементарные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука, 1981. -800 с.

49. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. Дополнительные главы. 2-е издание, исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 688 с.

50. Псху, A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка / A.B. Псху. НИИПМА КБНЦ РАН. — М.: Наука, 2005. — 199 с.

51. Пулькин, С.П. К вопросу о разрешении задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина / С. П. Пулькин // Изв. Вузов. Математика. 1958. — № 2(3). -С.219−226.

52. Пулькин, С.П. О единственности решения сингулярной задачи Геллер-стедта / С. П. Пулькин // Изв. Вузов. Математика. -1960. № 6(19). -С. 214−225.

53. Пулькина, Л. С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения. Неклассические уравнения математической физики / Л. С. Пулькина // ИМ СО АН Новосибирск 2002. С. 176−184.

54. Пулысина, JI.C. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Математические заметки 2003. -Т. 73, В.З. — С.435−445.

55. Репин, O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов / O.A. Репин. Саратов: Изд — во Саратов, ун — та. 1992;161 с.

56. Репин, O.A. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана-Лиувилля // Сам Диф 2007: конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» / O.A. Репин. — Самара: Изд во Универ групп 2007. — С.98−99.

57. Сабитов, К.Б. О построении частных решений вырождающихся уравнений смешанного типа / К. Б. Сабитов, В. З. Ваганов // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопрос: Труды Международной научной конференции. Уфа, 1996. С.99−106.

58. Сабитов, К.Б. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля / К. Б. Сабитов, В. В. Тихомиров // Математическое моделирование 1990. Т.2, № 10. С. 100−109.

59. Салахитдинов, М. С. Задачи с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения / М. С. Салахитдинов, З.Х. Кадыров//Дифференциальные уравнения 1986. Т22, № 1. С. 103−114.

60. Салахитдинов, М. С. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения / М. С. Салахитдинов, А. Х. Ушаков // ДАН СССР 1982. Т.262, № 3 С.539−542.

61. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, A.A. Килбас, О. И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

62. Саушкин, И. Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонениям в бесконечной области / И. Н. Саушкин, A.A. Андреев // Вестн.Самар.техн.ун-та. Сер.: «Физ. -мат. науки». 2005. В.34. С.10−16.

63. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1966. — 292 с.

64. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. -304 с.

65. Солдатов, А. П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А. П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. 1974. Т.10, № 1. -С.143−152.

66. Тер-Крикоров, A.M. Курс математического анализа / A.M. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. М.: Наука, 1988. — 816 с.

67. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. М.: Наука, 1980.-496 с.

68. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях частных производных второго порядка смешанного типа. (Пер. с итал. Ф.И. Франкля) / Ф. Трикоми. М. -Л.: Гостехиздат, 1947. — 192 с.

69. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. М.: Физматгиз, 1960. — 656 с.

70. Франкль, Ф.И. К теории сопел Лаваля / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССРсер. матем. 1945. Т.9, № 5. — С.387−422.

71. Чаплыгина, Е. В. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента / Е. В. Чаплыгина // XIV международная научная конференция им. акад. М. Кравчука, г. Киев (Украина), 19−21 апреля, 2012. С.435−436.

72. Чаплыгина, Е. В. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента в производных / Е. В. Чаплыгина // Научные ведомости БелГу. Серия: Математика. Физика.-2012.-№ 17(136). Вып.28.-С.119−131.

73. Чаплыгина, Е. В. Задача Геллерстедта для эллиптико-гиперболического уравнения со смешанным отклонениям аргумента / Е. В. Чаплыгина //Доклады Адыгейской Международной академии наук. 2012 г. Т. 14, № 1. — С.116−123.

74. Чаплыгина, Е. В. Задача Геллерстедта для эллиптико-гиперболического опережающе-запаздывающего уравнения / Е. В. Чаплыгина // XI Белорусская математическая конференция. Минск, 5−9 ноября, 2012, С.89−90.

75. Чаплыгина, Е. В. Задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с дифференциально-разностным оператором / Е. В. Чаплыгина // Вестник науки. Орел: ОГУ, 2011, В.10. — С.189−193.

76. Чаплыгина, Е.В. О задачах Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанным отклонением аргумента / Е. В. Чаплыгина // Вестник науки. Орел: ОГУ, 2012, В. 11. — С.61−64.

77. Чаплыгина, Е. В. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа / А. Н. Зарубин, Е. В. Чаплыгина // Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» («СамДиф-2011»). С.45−46.

78. Чаплыгина, Е. В. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дифференциально-разностными операторами / А. Н. Зарубин, Е. В. Чаплыгина // 6-я Международная конференция «АМАДЕ-2011». Минск (Белоруссия), 12−7 сентября, 2011. С. 67−68.

79. Чаплыгина, Е. В. Задача Геллерстедта для опережающее-запаздывающего уравнения смешанного типа / А. Н. Зарубин, Е. В. Чаплыгина // Вестник науки. Орел: ОГУ, 2012, В. 11. — С.13−23.

80. Чаплыгин, С.А. О газовых струях / С. А. Чаплыгин. М. — Л.: ГИТА, 1949.-144 с.

81. Gellerstedt, S. Sur un problem aux limites pour une eauation lineaire aux derives partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat Uppsala / S. Gellerstedt. — 1935. — 92p.