Спектральный анализ некоторых классов дифференциальных операторов

Исследование спектральных свойств сингулярных дифференциальных операторов является одной из важных задач математического анализа. Постепенно выясняется, что для подробного изучения этого круга вопросов следует рассматривать отдельные классы дифференциальных операторов, выделенных по тем или иным признакам. Исследованиям в данной области посвящены работы многих авторов. Например, вопросам нахождения индекса дефекта и спектра дифференциальных операторов в зависимости от поведения их коэффициентов большое внимание уделено в книгах Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана [2], Н. Данфорда и Дж.Т.Шварца [5], М. А. Наймарка [15].

В данной работе рассматриваются дифференциальные операторы, порожденные квазидифференциальными выражениями 1п произвольного (чётного или нечётного) порядка. При этом предполагается, что коэффициенты квазидифференциалыюго выражения 1п такие, что если уравнение 1пу = у свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка, то полученную систему удаётся преобразовать к системе дифференциальных уравнений с единственной регулярной особой точкой при х — 0. Кроме того, мы рассматриваем дифференциальные операторы, порожденные некоторыми иррегулярными дифференциальными выражениями.

Целыо работы является исследование структуры решений одного класса дифференциальных уравнений произвольного (чётного или нечётного) порядка с комплекснозначными коэффициентами в окрестности нуля, определение индекса дефекта соответствующих минимальных замкнутых симметрических дифференциальных операторов и характера спектра самосопряженных расширений этих операторов, а также определение дефектных чисел некоторых классов дифференциальных операторов, порожденных иррегулярными дифференциальными выражениями с вещественными коэффициентами.

Основные результаты данной работы являются новыми. Из них выделим следующие.

1. Получены асимптотические формулы решений одного класса дифференциальных уравнений 1пу = Ху в окрестности нуля, где 1п — квазидифференциальные симметрические выражения произвольного порядка с комплекснозначными коэффициентами.

2. Исследованы индекс дефекта минимальных симметрических дифференциальных операторов и характер спектра самосопряженных расширений этих операторов, порожденных квазидифференциальными выражениями 1п с аналитическими и неаналитическими коэффициентами специального вида.

3. Определены дефектные числа некоторых классов операторов, порожденных иррегулярным одночленным дифференциальным выражением с вещественными коэффициентами.

Перейдем теперь к более точным определениям и фактам.

Пусть комилекснозначные функции Д, — (i, j = 1,2., n-n > 1) — элементы матрицы — функции F := (/у) — измеримы на множестве / := (а-Ь), (—оо < а < b < +оо) и суммируемы на каждом замкнутом конечном интервале (Д— 6 Cjoc (I)). Пусть далее = 0 почти всюду на / при 2 < г + 1 < j < п, fk, k+1 0 «ри l-н-Д — символ Кроиекера. Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные заданной функции у посредством матрицы F, полагая У, к у[к] := (fkMirV'^Y — Е^'» 11]' = 1,2,., п — 1), j'=1.

М := (уМу-Е/^-11, и скалярное формально — самосопряженное квазидифференциальное выражение 1п, полагая.

1пУ := t" j/W.

Выражение 1п известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Lq в гильбертовом пространстве £г (-0 (более подробно см. [гл. 1, ii. 1.1.3]).

Известно, что вообще говоря при любом невещественном, А уравнение ку = А у (1) имеет решения из причём максимальное число п+(п) линейно независимых решений из Л ПРИ 9А > О (SA < 0) не зависит от, А и называется дефектным числом, а пара чисел (п+, п) — индексом дефекта оператора L0.

Отметим, что уравнение (1) равносильно системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка у' = (F + Л) у,.

2) где у := colon (y№, ., у^п !1), а элементы числовой матрицы Л := (Ау) определяются равенствами Хп := г~пХ и := 0 для остальных значений г и j.

В работе С. А. Орлова [17] рассмотрен один частный случай выражения 1п. А именно, предполагается, что:

I) функции ра (х), pi (x),., рт (х) измеримы, принимают вещественные значения при х? [0- +оо) и при любом 0 < b < +оо ь ь.

J Pm~l < +°°>У Ы < +00 (А- = 0,1,., m — 1) — о о.

II) po{z), pi (z),., pm (z) — аналитические функции при z > xq > 0 и.

Ik '.

Pk (z) := z.

2 k+v E4 j=i к = 0,1,., mz >x$> 0), где am ф 0, a v > 0 — целое число.

Условие (I) позволяет определить выражение ln порядка п — 2 т формулой ктУ •'= Ро (х)у + ^ ^Р{х)у' + ^ Р2{х)у" +. а из условия (II) следует, что выражение /2,п при х > хц имеет вид т. кш[у) = (3) к=0.

При этих предположениях справедлива следующая теорема, принадлежащая С. А. Орлову (см. [17]). Здесь и далее эту теорему будем называть теоремой Орлова.

Теорема Орлова. Если функции po (x), pi (x),., рт (х) удовлетворяют условиям (I) и (II), то максимальное число линейно — независимых решений уравнения (1), принадлежащих /^[О-, +сю) — равно: 1) при и > 0 числу корней полинома т k-1 к=1 j=0.

I/2 (v+ 4 2.

Z + 2> - — ао, лео/еащих в области Шг < 0, и не зависит от А;

2) при и = 0 числу корней полинома fom^O) — Длеэюащих в области Кг < 0, и при невещественном, А равно т.

При этом в случае и > 0 спектр любого самосопряженного расширения оператора Lq дискретный.

В работе [18] С. А. Орлов исследовал одномерную регулярную краевую задачу в конечном интервале [0- 6] (Ь < Ч-оо), порожденную линейным самосопряженным квазидифференциальным выражением 12 т. В работе [19] с помощью предельного перехода от конечного интервала [0- Ь] к иол у бесконечному [0- оо) даётся описание всех самосопряженных граничных условий при любом заданном индексе дефекта (п, п), (га < п < 2га) оператора Lo и устанавливаются формулы для резольвент и спектральных матриц-функций, определенных этими граничными условиями.

В работе Ф. А. Неймарк [1С] предполагается, что коэффициенты Po, Pi,., рт выражения fam представляются в виде pk{x) = x2k+v{ak + rk (x)) (fc = 0, l,., m-l), pm (x) = где v — неотрицательное (необязательно целое) число, ад, «ь. •, ат вещественные числа, ат ф 0, а го, п,., гт вещественные функции па [0, +оо). Пусть далее выполняются условия: a) при некотором жо (> 0) 00 dx гк{х)~ < +оо (к = 0,1,., т);

Хо b) все корпи полинома при и > О И полинома $ 2m (z, 0) — Л при и — 0 различны.

При этих предположениях в [1G] найдены асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения (1). В частности, в этой работе доказано, что утверждения 1) и 2) теоремы Орлова остаются справедливыми, если в ней условие (II) заменить условиями а) и Ь).

Отмстим, что в книге М. А. Наймарка [15] в общих чертах изложены содержания работ [17] и [16] (см. [15, гл. У, § 17, с.207]). Работа [17] включена также в библиографию книги Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [5, с.1006]. Однако в гл. XIII книги [5], посвященной обыкновенным дифференциальным операторам, нет ссылки на [17]. В работе R.B. Paris и A.D. Wood [29], вошедшей позже в книгу [30], заново открыта теорема Орлова для частного случая Рк{х) = ai-x2k+v (к = 0,1,., т) и подробно изучен полином $ 2m{z, i/). Таким образом, по-видимому, работы [17] и [16] так и остались незамеченными авторами книги [30]. В книге [30] рассматриваются также и некоторые дифференциальные выражения нечетного порядка частного вида и исследуются соответствующие им полипомы.

В работе К. А. Мирзоева [14] исследуются задачи об индексе дефекта и характере спектра оператора Lq, порожденного квазидифференциальным выражением ln произвольного (чётного или нечётного) порядка с комплекс-позначными коэффициентами на множестве / := [0- +оо). Полученные результаты аналогичны утвеждениям теоремы Орлова, при этом условия, налагаемые на коэффициенты выражения 1п того же характера, что и (/), а условие а) видоизменено так, что выполнение условия b) не требуется.

Отметим, что в области задач об определении индекса дефекта минимального замкнутого симметрического дифференциального оператора Lq интересную историю имеют операторы, порожденные дифференциальными выражениями вида т кт[у] := 5> 1) кЫх)у{к}){к] к=0 на / [аоо), a G R с коэффициентами рт € Ст (1), рт > 0, pkeCk (I), pk>0(k = 0, l,., m-l).

В частности, в 1961 году W.N. Everitt высказал гипотезу, что в этом случае возможен только случай п+ = п = т. Эту гипотезу в 1976 году опроверг R.M. Kanffmaii [28]. Он показал, что для выражений вида.

Щ = -(*V3))(3) + (4) существуют положительные числа, а и К такие, что п+ = п > 3.

После публикации работы Кауффмапа появилась новая гипотеза. В 1976 году J.B. McLeod сформулировал предположение о том, что дефектные числа оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением l2m, могут принимать любые натуральные значения только из отрезка [т- 2 т — 1].

В 1981 году R.B. Paris и A.D. Wood показали, что индекс дефекта примера Кауффмана (Kauffman) есть (5,5) и, таким образом, максимальные значения гипотезы Маклеода (MeLeod) уже получены в данном случае. Они также вычислили границы постоянных в этом примере: си > 25 и для, а = 25 примерный интервал для К — это 1, б • 106 < К < 1,77 • 10°.

Более подробно о дифференциальных выражениях этого типа можно посмотреть, например, в работе В. Schultze [31] и в литературе, на которую там имеются ссылки.

Покажем, что этот нашумевший пример Кауффмана (Kanffmaii) является примером применения теоремы Орлова.

В выражении (4) произведём замену, а — G + v, полученное выражение.

Щ = -(х^'у^ + Кх’у, (5) является выражением 6 порядка вида (3) с коэффициентами/^ = ?G+I/, Pi — Pi = 0, Ръ = К хи. Составим полином^g (z, v) для уравнения 1§-[у] = А у. j=о.

2 /и+1 г+г) — —+ J.

Таким образом, задача о нахождении индекса дефекта преобразовалась в задачу о нахождении количества решений уравнения = 0, для которых Шг < 0 в зависимости от значений параметров К и и.

В первой главе данной работы исследуется задача о структуре решений уравнения (1) произвольного порядка (чётного или нечётного) с комплекснозначными коэффициентами в правосторонней окрестности нуля, т. е. мы рассматриваем случай / := (0- 1], и полученные результаты применяются к задаче об определении индекса дефекта соответствующих минимальных симметрических дифференциальных операторов и к задаче о характере спектра самосопряженных расширений этих операторов. При этом предполагается, что коэффициенты квазидифференциалыюго выражения ln и, следовательно, элементы матрицы F, удовлетворяют условиям, аналогичным либо (/) и (II), либо (/), а) в правосторонней окрестности нуля.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, даётся традиционное определение симметрического (формально самосопряженного) дифференциального выражения, вводится понятие квазипроизводной и симметрического квазидифференциального выражения, минимального и максимального операторов, рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями регулярных и иррегулярных точек линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений.

Параграф 1.2 дайной работы носит в основном вспомогательный характер. Он посвящен вопросу задания дифференциального выражения 1п в дивергентной форме посредством матрицы F в чётном и нечётном случаях и преобразованию системы (2) к системе дифференциальных уравнений с единственной регулярной особой точкой при х = 0.

Рассмотрим случай п = 2 т. Пусть выполняется условие.

Л) pu, pi,., pm, q (), qi,., qm-i (т = 2,3,.) — вещественные функции на I и все функции ат := (-1)тр-}, ami := (-1)m+1(pmi +), ** := ИГ+1Р*, Д&bdquo-1 := -qm~P'm Pk := (-1)m+V, {k = 0,1,., т — 2) принадлежат Сос (1).

Определим матрицу i*2W := F следующим образом: fhn-kjk+l — Oik] {к = 0, 1,. , ш) — f2m-k, k = hm+l-k, k+i = Wk-1 fc = 1,2, ., m) — = 1 (А- = 1,2,., т — 1, ш + 1,., 2 т — 1) и fij — 0 при всех остальных значениях г и j.

Предположим также, что выполнено соотношение (23) функции po, pi,., рт, до, ft,., дт-i имеют вид pk{x) :=х2к+1/{ак + гк{х))-, qk (x) := хш'/+Ък + sk (x)) (к = 0,1,., m — 1) — х2т,+ у при всех х Е I, где и < 0, ац, а,., ат, bo, ., Ьт- - действительные числа, ат ф О, а tq, г,., rm, sq, si, ., sm- - вещественные функции на I.

В случае п = 2га + 1 матрица F2m+1 и коэффициенты соответствующего квазидифференциального выражения определяются аналогично предыдущему с некоторыми изменениями.

Отметим, что квазидифференциальное выражение порожденное матрицей Fn, где п — любое (чётное или нечётное) натуральное число, обладает тем свойством, что если.

Pk е сМ{1) (к = о, 1,., [n/2]), qk е (к = о, 1,., 1(п — 1)/2]) б) и коэффициент при старшей производной отличен от нуля для всех х 6 /, то оно совпадает с классическим дифференциальным выражением п/2] [(н-1)/2] к=0 fc=О где [а] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее числа а.

Основным результатом данного параграфа является преобразование системы (2) с заданной матрицей F к системе дифференциальных уравнений dY х— = (Л + B (x))Y, ах с единственной регулярной особой точкой при х = 0.

В параграфах 1.3 и 1.4 мы более точно формулируем условия на поведение коэффициентов дифференциального выражения 1п в окрестности нуля, а именно, в параграфе 1.3 предполагаем, что выполняется.

С) функции r/:{z) и Sk (z) из соотношения (Ъ) представляются в виде сходящихся при z < :r0(< 1) степенных рядов rk{z) '= Y1 а) zJ {k = 0,1,., m, если n = 2m или n = 2m + 1) — 3=1 00 &bdquo-Л. sk{z) := Y! Щ z3 (fc = 0,1,. — 1, если n — 2m и k = 0,1,., m, з=i если n = 2m 4- 1).

Определим многочлен $n (z, v): если n = 2mf 1.

Справедлива следующая Теорема 1.3.1 Пусть элементы матрицы Fn удовлетворяют условиям (Л) и © и пусть 1п — квазидифференциальное выражение, порождённое матрицей Fn. Тогда максимальное число линейно — независимых решений уравнений (1.3), прииадлеэ/сащих пространству € 2(1), равно:

1) при v < О числу корней полинома $n (z, и), лежащих в области Шг > 0- и не зависит от А;

2) при и = 0 числу корней полипома #"(2,0) — А, лежащих в области z > 0, и если п — 2 т, то п+ — п = т, если Dice п = 2 т 4- 1, то п+ — т, П- = т + 1.

При этом в случае v < О спектр любого самосопряженного расширения оператора Lq дискретный.

В параграфе 1.4 мы отказываемся от аналитичности функций го, и,., rm, so, si,., sm и предполагаем лишь, что выполняется условие (V) если п — 2 т, то о если п = 2 т + 1, то функции го, п,. rm, So, Si,. sTOi такие же, как и в случае п = 2 т, а для функции sm х0.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.4.1 Пусть и < 0 и элементы матрицы, Fn удовлетворяют условиям {Л) и (D) в этом случае. Предположим, что z, Z2,. ¦ ¦, zq, zq+,., zq+j — все различные характеристические корпи матрицы А, причём zi, z2,., zq — однократные корни, при 1 < р < j кратность корня zq+p равна гр и i гр + Я. — ni тах г&bdquo- = г 1, тогда уравнение (1.3) имеет фундамен-Р=1 1.

Теорема 1.4.2 Пусть выполняются условия теоремы 1−4-1, тогда справедливы все утверэ/сдепия теоремы 1.3.1.

В заключительном параграфе 1.5 главы 1 рассматривается пример применения полученных результатов к одночленному симметрическому дифференциальному выражению четного порядка. Пусть.

1ъп[у] = №а (х)уМ)М, где р € [1- 2т), а (х) — вещественная функция па отрезке [0- 1] и |а (ж)| > 0 для всех х € [0- 1].

Справедливы следующие утверждения. Утверждение 1.5.1 1) если р не целое число и функция а (х) удовлетворяет условию 1 |а (х) -а / -1 dx < оо,.

J X о где, а — некоторое ненулевое число, то уравнение ктУ = Ау (7) имеет фундаментальную систему решений у^(х) такую, что при х +0 f^-1(l + o (l)), к — 1,2,., т;

У к = хк’р'1{1 + о (1)), к = т + 1, т + 2,., 2 т.

2) если о/ее р целое число, а функция а (х) удовлетворяет условию 1 f а (х) -аL 1п (я) cfcc < 00,.

J X где, а — некоторое ненулевое число, то уравнение (7) имеет фундаментальную систему решений ук (х) такую, что при р € [1,т] и х —> +0 хк-1 + о{1)), к = 1,2,., тУк= хк-р-[пх{ + о (1)), к = га + 1, т + 2,., т + рД-р-i (i + к = т + р+1,т + р + 2,., 2та при р 6 [m + 1,2га — 1] и х —> 4−0 хА—1(1−1-о (1)), к = 1,2,., шa? fc" p1(l 4- о (1)), к = 7п + 1, га + 2,. zfc-P-1lna-(l + o (l)), = p + 1, р + 2,., 2га. аг.

У к =.

Утверждение 1.5.2 Дефектное число п+(= nJ) оператора Lq, порожденного дифференциальным выраоюением km, определяется по формуле.

2 га, если ре [1, т + }>);

71+.

Зга-[р+4], если р G [га + L 2т).

До сих пор мы рассматривали дифференциальные выражения 1п, старшие коэффициенты которых (т.е. функция при п — 2га, или функция qrn при п = 2га + 1) не обращаются в нуль в точках множества I.

Предположим теперь, что коэффициенты выражения 1п удовлетворяют условию (б), но старший коэффициент этого выражения обращается в нуль в некоторых точках внутри множества I (аЬ), (—оо < а <Ь < +оо). И в этом случае, так же, как было сделано выше, можно построить матрицу F и определить квазипроизводные заданной функции. Однако при этом для матрицы F нарушается условие суммируемости коэффициентов на каждом замкнутом конечном интервале (е Сос{1)). Тем не менее, множество бесконечно дифференцируемых финитных функций является всюду плотным линейным многообразием в пространстве ?2(-0 и 1пу 6 ?2(-0> если У ~ из этого множества. Далее, исходя из этого, известным образом определяется минимальный замкнутый симметрический оператор Lq в гильбертовом пространстве £г (/), порожденный выражением /п [5, гл. XIII, § 2].

В данной работе, следуя книге Н. Даифорда и Дж. Т. Шварца [5, гл. ХШ, § 1, с. 447], будем называть дифференциальное выражение 1п иррегулярным дифференциальным выражением, если коэффициенты этого выражения удовлетворяют условию (6) и его старший коэффициент обращается в нуль в некоторых точках множества I.

Дифференциальные операторы, порожденные иррегулярными дифференциальными выражениями, возникают во многих областях современного анализатаковыми являются, например, обобщенные операторы Лежандра (см. [24, гл.7]) из теории квазиклассических ортогональных многочленов. Однако вопросы спектрального анализа этих операторов изучены удивительно мало. В частности, лишь сравнительно недавно стали появляться работы, посвященные определению дефектных чисел операторов, порожденных одночленными иррегулярными дифференциальными выражениями с вещественными коэффициентами (см. [20] и работы, на которые там имеются ссылки).

В работе [22] Ю. Б. Орочко рассматривает иррегулярное дифференциальное выражение spq[f}(x), х? I := [—h, h], которое строится путём склеивания в точке х = 0 дифференциальных выражений s-qm = и)%хЧ{х)у^тх) произвольного чётного порядка2т > 2, гдеа (х) 6 С°°[0, h], b (x)? C°°[—h, 0], h > 0, — действительные функции, не имеющие нулей па рассматриваемых отрезках, р > 0, q > 0.

Пусть Lq'+ и Lq'~ симметрические минимальные операторы, порожденные выражениями s+[/] и s~[f] соответственно в гильбертовых пространствах £2(0-Д) и ?2(—.

При определенных ограничениях пар и q дифференциальное выражение spq[f] порождает симметрический минимальный оператор Щ1, действующий в C<2(—h]h) и являющийся симметрическим расширением ортогональной суммы операторов L|J'+ $ Lq~.

Основной результат работы [22] заключается в следующей теореме. Теорема. Для любой пары значений параметров р, q > 2п — | моэюпо найти комплексное число z, isz ф 0, такое, что дефектные пространства, Мр, Mpq симметрических операторов Lq'+, Ц}~ и Lq1 обладают свойствами.

М-®я- = ЯрЧ) dimjfq ~ dimMp = m, dimMpq = dimjf~ + dimMp — 2m.

В работе [20] рассматривается минимальный симметрический дифференциальный оператор Lq, порожденный иррегулярным дифференциальным выражением вида.

12т[у](х) := (-1)т (с (х)у^(х))^ X е (-Л, К), (8) а именно, предполагается, что с (х) = хра (х), а (х) — бесконечно дифференцируемая действительная функция и а (х) ф 0 для любого х 6 [—h, h], h > 0, р € {1,2,. ., 2 т — 1}. В ней доказано, что для верхнего дефектного числа п+(— п) оператора Lq справедлива формула п+ = 2 т + р, если р € {1,2,., т}. Кроме того, в этой работе Ю. Б. Орочко сформулировал гипотезу о справедливости равенства п+ = 4m — р в случае р£ {т+1,т + 2, ., 2т- 1}.

Во второй главе рассматриваются дифференциальные выражения вида (8). Исследуется структура решений дифференциального уравнения hт,+[у] — Ау, х 6 (0,1], и определяются дефектные числа минимального симметрического оператора, порожденного иррегулярным дифференциальным выражением вида (8).

В параграфе 2.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, вводятся понятия иррегулярного дифференциального выражения и минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного таким выражением.

В параграфе 2.2 мы уточняем формулы для решений уравнения hm+[y] — Ау, х Е (0,1], полученные в параграфе 1.5 для более общего случая, а именно, мы предполагаем, что функция a (z) — аналитическая функция при z.

Обозначим пр := n+iP (njP) — дефектное число минимального симметгл. IV, § 8]). рического оператора Ly, порожденного дифференциальным выражением (8), в верхней (нижней) открытой комплексной полуплоскости и [f, g](x) — билинейную форму, возникающую в известном тождестве Лаграпжа для дифференциального выражения '.

Важным промежуточным результатом является Теорема 2.2.1 При р Е {т + 1, т + 2,., 2 т — 1} уравнение (2.3) имеет фундаментальную систему решений ук, к = 1,2,., 2т- 3 т — р элементов ?/i, 7/2,., ут, yp+iiVp+2, • • •, Vim, которой принадлежат пространству ?2(0,1) и для которых значения [/, |/а:](+0) выч’исляются по формулам где ак — числа, отличные от нуля.

Основным результатом этого параграфа является теорема, доказывающая гипотезу, сформулированную в работе [20], а именно, справедлива следующая.

Теорема 2.2.4 При р = т + 1, т f 2,., 2m — 1 справедлива формула пр = Ат — р.

В параграфе 2.3 мы рассматриваем дифференциальные выражения вида (8), где вещественная функция с (х) представляется в виде где |а (х)| > 0 для всех х Е [0- 1], Ь (х) > 0 для всех х Е [—1- 0]. Знак с (х) при х Е [— 1- 0) иж&euro- (0- 1] может быть любым. а*/[2т~А,(0)" если k = р + 1, р + 2,., 2тво всех остальных случаях, хра (х), если ж € [0- 1]- |х|чЬ (х), если х Е [-1−0].

9).

Пусть p, q? {1,2, ., 2m — 1}, функции a (z) и b (z) — аналитические функции при z < xq < 1. Предположим далее, что при z < xq < 1 +00 i +00 a (z) := ao + X] ao 0 и b (z) := +? bo 7^ 0. j=i j=i.

Для дефектных чисел минимального замкнутого симметрического дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением вида (8) со сделанными выше предположениями относительно коэффициента с (х), справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.3.2 При p, q е {т + 1, т + 2,., 2 т — 1} справедлива формула npq = 4 т — maxjp, q}.

Теорема 2.3.3 При p, q е {1,2,., т} справедлива формула пп = 2 т + min{p, q}.

Теорема 2.3.4 При ре {1,2,., т), q € {т 4- 1, т + 2,., 2 т — 1} справедлива формула npq — 3 т + р — q.

В заключении, в параграфе 2.4, мы рассматриваем возможность обобщения результатов, полученных в параграфах 2.2 и 2.3, на случай, когда функции а (х) и Ь (х) в определении коэффициента с (х) не являются аналитическими на соответствующих множествах, а принадлежат классу достаточное число раз непрерывно дифференцируемых функций.

2.4 Заключение.

В параграфах 2.2 и 2.3 мы рассматривали дифференциальные выражения вида (2.1) с коэффициентом с (:г), который представляется аналитическими функциями в правосторонней и левосторонней окрестности пуля (х < 1).

Предположим, что в дифференциальном уравнении (2.3) функция а (х) € Ст[0- 1]. В данном случае, используя процесс преобразования дифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений, изложенный в параграфе 1.2 главы 1, мы можем привести это уравнение к системе вида (2.3) dY х— = (А + В (х)) Y, (2.19) где матрицы, А и В (х) определяются следующим образом: а-кМ 1 = 1″ (?= l, 2,.ml, m+l,.2m- 1) — (!)"".

От, т+1 = — Ьт, т+1{х) = (-1)тг (х) — X.

1 1 a>k, k = k-~, (к = 1,2, .m) — ак, к = к—-р, (к = т + 1, т + 2,. .2т) — ww = (-i)'" ^.

Остальные элементы обеих матриц, А и В равны нулю. Собственными значениями матрицы, А являются числа:

1 1.

Zk = k—~, А- =1,2, .mzk — k — -—p, к = тf 1, т + 2,. 2 т.

При m + 1 < р < 2 т — 1, р Е N, среди 2 т собственных значенийр различных, среди них однократных собственных значений 2р — 2 т и двукратных — 2 т — р штук.

Рассмотрим матрицу перехода С := (с^) матрицы Л к её жордаповой форме, столбцами которой являются линейно независимые векторы Координаты 2 т — р собственных векторов, соответствующих двукратным собственным значениям, имеют следующий вид: cf-l = 1- с2к~1 = (к — l)(k — 2).(k — (j — 1)), 2 < j < кcf'1 = О, А- + 1 < j < 2m, при 1<�к<2тр.

Координаты 2 т — р векторов, присоединённых к собственным векторам, соответствующих двукратным собственным значениям, имеют вид: ск = 0- cf~l = ик ф 0, 2 < j < р + к] cf = 0, р + к + 1 < j < 2m, при 1 < к < 2 т — р.

Точные значения ненулевых элементов ик не играют существенной роли. Координаты р — т собственных векторов, соответствующих первой группе однократных собственных значений (zk > 0), имеют вид: c2m-p+fe = 1- сь"-р+ь = (к-Щк-2). .{к-и-1)), 2 < j < кс2 т-р+к = о, А- + 1 < j < 2 m, при 2т-р+1<�к<�т.

Координаты р — т собственных векторов, соответствующих второй группе однократных собственных значений (zk < 0), имеют вид: ъп-р+к с2 ^ = {kpmp2).(k-p-(j-l)), 2 < j < mc2m~p+k = t^l (k-p-l).{k-p-m){k-m-l).{k-j + l), m + 2< j < kc), n-p+k = 0, к + 1 < j < 2m, при m + 1 < к < p.

В системе (2.19) сначала сделаем замену х = е~г, тогда t —> +оо при х —> 0, а затем Y = CZ, тогда эта система преобразуется к виду = (-J + R (t))Z, (2.20) где J — жорданова форма матрицы А.

Решая систему дифференциальных уравнений ^ = — JZ и применяя лемму 1.4.1 (см. параграф 1.4), мы получаем главный член асимптотики решений системы (2.20). Далее, применяя в точности метод последовательных приближений, используемый при доказательстве леммы 1.4.1, определяем асимптотическое решение системы (2.20) с необходимой для нас точностью.

Возвращаясь к переменной ж, мы получаем не только асимптотику решений дифференциального уравнения (2.3), но и всех их квазипроизводных, необходимых нам для определения пределов соответствующих квадратичных форм (более подробно см. параграф 2.2).

Таким образом, все результаты параграфов 2.2 и 2.3 и в данном случае остаются справедливыми.