Теплиц-плюс-ганкелевы матрицы и равномерная сходимость аппроксимаций Паде — Чебышева

Основной целью диссертационной работы является изучение равномерной сходимости некоторой строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде — Чебышева, являющихся одним из обобщений классических аппроксимаций Паде. Хорошо известно, что аппроксимации Паде — это локально наилучшие рациональные аппроксимации заданного степенного ряда оо a (z) = anzn. Они легко находятся по коэффициентам ряда ап и дают возтг—О можность эффективного аналитического продолжения степенного ряда за пределы круга сходимости.

В последнее время появилось множество работ по обобщенным аппроксимациям Паде [18, 22, 23, 26, 31, 32, 33, 42, 44]. Речь идет о так называемых аппроксимациях Паде ортогональных разложений, которые строятся для функций, заданных разложением в ряд по ортогональным многочленам оо a (z) = X} anMz) и позволяют, в частности, приближенно представить a (z) п=о за пределами канонической области сходимости ее ряда.

Исследователи отмечают улучшение сходимости [32] и аппроксимацион-ных свойств [33] при использовании такого вида аппроксимаций. В зависимости от конкретного вида многочленов (pn (z) — многочлены Чебышева, Jle-жандра — мы получаем аппроксимации Паде — Чебышева, Паде — Лежандра и т. д.

Сразу отметим, что всюду в этой работе мы используем многочлены Чебышева первого рода. Эти многочлены на отрезке [—1,1] определяются формулой Тп{х) = cos{n arccosrr) и старший коэффициент Тп (х) равен 2n1. Среди всех многочленов степени п с единичным старшим коэффициентом многочлены Тп (х) наименее уклоняются от нуля на [—1,1]. Как отмечает К. О. Гедцес [33], ввиду важных экстремальных свойств многочленов Чебышева, можно ожидать лучших результатов именно от аппроксимаций Паде — Чебышева.

Поскольку далее в диссертации нам постоянно придется иметь дело с разложениями функций в ряд по многочленам Чебышева, укажем условия такой разложимости. Любая функция a (z), аналитическая внутри некоторого эллипса с фокусами в —1, 1, разлагается в ряд по многочленам Чебышева, абсолютно и равномерно сходящийся внутри области, ограниченной этим эллипсом, причем разложение единственно (см., например, [19]).

В теории аппроксимаций Паде ортогональных разложений принято уточнять, о каких аппроксимация — линейных или нелинейных — идет речь. В случае классических аппроксимаций Паде необходимости в таком разделении не возникает. Так, аппроксимацией Паде типа (п, т) называют рациональную.

Ю (Z) функцию Fnim (z) = degpn, mO) < п, degqn, m (z) < т, такую, что a (z)-Fn, m (z) = 0(zn+m+1). Умножая это уравнение на знаменатель qn, m{z), мы получаем дП>т (*)Ф) -Pn, m (z) = 0(zn+m+1).

Аппроксимацию Паде, определяемую первым из этих двух уравнений следовало бы назвать нелинейной, а определяемую вторым — линейной. Однако ясно, что они совпадают, если? гг, т (0) 0. Если же qn}Tn (0) = 0, то при переходе от второго уравнения к первому может понизиться порядок аппроксимации, т. е. рациональная функция Fn, m (z) может не аппроксимировать функцию a (z) до порядка n + га включительно. В этом случае иногда принято считать, что аппроксимации Паде (нелинейной) не существует [10].

Отметим, что, несмотря на неединственность знаменателя, сама аппроксимация Паде находится единственным образом. Допуская некоторую вольность речи, в дальнейшем будем говорить, что знаменатель единственнен, если он находится с точностью до постоянного множителя.

Если теперь потребовать совпадения начальных отрезков разложения функций a (z) и Fn) Tn (z) в ряд не по степеням zk, а по ортогональным многочленам 4>k (z), то мы придем к естественному обобщению аппроксимаций Паде на случай ортогональных разложений. Полученная при этом аппроксимация будет называться нелинейной. Если же совпадут начальные отрезки ортогональных разложений функций qn, m (z)a (z) и pn, m (z) Д° члена cpn+m (z) включительно, мы получим линейную аппроксимацию.

В случае ортогональных многочленов линейные и нелинейные аппроксимации являются различными рациональными конструкциями (см., например, [25]) и их нужно рассматривать отдельно. Заметим, что линейная аппроксимация Паде ортогонального разложения всегда существует, но, вообще говоря, не единственна, нелинейная же аппроксимация может не существовать. Что касается ее единственности, то об этом будет сказано чуть ниже.

Причина такого несовпадения кроется в специфическом правиле умножения для ортогональных многочленов, которое, например, для многочленов Чебышева имеет вид: Ti (z)Tj (z) = ^ можно сказать, что именно это правило оказалось во многом определяющим построенную теорию линейных аппроксимаций Паде — Чебышева. Оно, в частности, обуславливает важную связь задачи определения линейной аппроксимации Паде — Чебышева и задачи нахождения ядра теплиц-плюс-ганкелевой матрицы (см., например, [10] или параграф 2.1 настоящей диссертации). Далее для краткости будем использовать для таких матриц обозначение Тf Н.

Таким образом, наряду с линейными аппроксимациями Паде — Чебышева, в этой работе естественным образом появляется еще один объект исследования — это (Т + #)-матрицы. Как будет показано ниже, многие вопросы формальной теории линейных аппроксимаций Паде — Чебышева (единственность знаменателя, самой аппроксимации, устойчивость этой задачи) успешно решаются только после предварительного изучения структуры ядра (Т + 77)-матриц. Обращение таких матриц также имеет прямое отношение к этой теории.

Начнем поэтому обзор литературы с основных сведений и результатов в теории теплиц-плюс-ганкелевых матриц.

1. Теплиц-плюс-ганкелевы матрицы. Теплицевы матрицы, по определению, это матрицы, в которых на диагоналях, параллельных главной (и на главной в том числе), располагаются равные элементы. В ганкелевых матрицах равные элементы располагаются параллельно побочной диагонали.

Главную в этой работе роль будут играть матрицы следующего вида: которые и называют теплиц-плюс-ганкелевыми матрицами. Практически все.

S = Т+ Н = работы, в которых рассматриваются такие матрицы, посвящены задаче их обращения. Дело в том, что использование специфической структуры теплиц-плюс-ганкелевых матриц позволяет сильно упростить их обращение. Так, например, для нахождения обратной к скалярной (Т 4- #)-матрице достаточно решить лишь четыре системы линейных уравнений [34].

Одной из первых работ по обращению (Т + #)-матриц была статья [43], где использовалось сведение этой задачи к обращению блочной матрицы, составленной из теплицевых блоков (так называемой мозаичной матрицы). Недостатком этого подхода являлось то, что для обращения (Г +^{-матрицы} требовалась дополнительно обратимость (Т — #)-матрицы. Это же условие использовалось в работе Нерсесяна, Папояна [20] и в монографии [36].

В дальнейшем (см., например, [37]) от этого условия удалось избавиться. Кроме того, Гохбергом и Шаломом [34] была получена обратная к тсплиц-плюс-ганкелевой матрице в блочном случае, т. е. когда элементы матрицы в свою очередь тоже являются матрицами.

Таким образом, задача обращения (блочных) (Т + #)-матриц исследована достаточно полно. Однако для нужд формальной теории аппроксимаций Паде — Чебышева большее значение имеет неизученная задача описания структуры ядра таких матриц. Кроме того, случай теплицевых матриц показывает, что эти две задачи тесно связаны между собой (см., например, [7]). По этой причине прежде всего в диссертации необходимо разработать метод, позволяющий одновременно исследовать структуру ядра блочных (Т + Я)-матриц, решить задачу их обращения и обобщенного обращения.

Отметим, что структура ядра блочных теплиц-плюс-ганкелевых матриц была исследована в 2002 году Г. Хайнигом [39]. Однако эта работа появилась позже наших результатов в этой области [1].).

Решение первой поставленной в диссертации задачи будет применяться в дальнейшем для построения формальной теории линейных аппроксимаций Паде — Чебышева. Рассмотрим основные результаты, имеющиеся в этой области.

2. Формальная теория аппроксимаций Паде ортогональных разложений. К такой теории мы относим работы, которые изучают вопросы существования, единственности, устойчивости, построения этих аппроксимаций, но не исследует вопросы их сходимости.

Понятие аппроксимаций Паде ортогональных разложений впервые появилось в работе Д. Холдемана [40], в которой предложен рекуррентный алгоритм их отыскания. Числитель и знаменатель аппроксимации предполагались разложенными по различным системам ортогональных многочленов.

Д. Флейшер [32] рассмотрел нелинейные аппроксимации Паде — Лежанд-ра (в более ранней работе и линейные). Автор отметил увеличение скорости сходимости при использовании аппроксимаций Паде — Лежандра и очень хорошее приближение к заданной функции на всем отрезке ортогональности [—1,1] многочленов Лежандра.

Линейные аппроксимации Паде — Чебышева изучались А. П. Голубом в [11]. В этой статье разработан подход к применению обобщенных момент-ных представлений к построению и исследованию линейных аппроксимаций Паде — Чебышева. Автор изучил некоторые свойства линейных аппроксимаций Паде — Чебышева для частного класса функций, являющихся аналогом класса марковских функций.

Остановимся подробнее на статье К. О. Геддеса [33], в которой наиболее полно были исследованы нелинейные аппроксимации Паде — Чебышева. В ней показано, что задача нахождения этих аппроксимаций может быть при некоторых условиях сведена к задаче нахождения классической аппроксимации Паде. Этот результат, помимо того, что дает возможность найти нелинейные аппроксимации Паде — Чебышева, важен еще и с точки зрения вопроса единственности. Действительно, поскольку нелинейная аппроксимация Паде — Чебышева может быть сведена к Паде аппроксимации, она естественно будет единственна. (В связи с этим отметим результаты А. Сиди [44], который доказал единственность нелинейной аппроксимации Паде ортогональных разложений при некоторых ограничениях на ее знаменатель — предполагается, что он является вещественной функцией, не меняющей знак на [—1,1], т. е. не имеющей нулей на этом отрезке.).

Работа К. О. Геддеса основана на следующем факте, который часто будет использоваться в диссертации. Рассмотрим преобразование Жуковского г — | (w + и обратное к нему w = z + л/ z1 — 1 (берется, например, ветвь, для которой ги (оо) = 0, т. е. |ги| < 1). Тогда для многочленов Чебышева справедливо представление (см., [19, 21]):

Это дало возможность представить аппроксимируемую функцию a{z) = оо.

Y^'akTk (z) в виде: к=о.

1 00 1 00 / 1 00 / аН = 2 akwk = 2 afc™* + 2 ttfcUr* = + к=-оо к=0 /с=0.

Далее для функции у?(ги) автор нашел аппроксимацию Паде rnim (w), а затем рассмотрел функцию Rn, m (w) = rnjm (w) +rn)Tn (w~l).

Как показано в [33], эта функция (после обратного преобразования w = z + z2 — 1) будет нелинейной аппроксимацией Паде — Чебышева для a (z) при условии отсутствия полюсов в единичном круге у соответствующей аппроксимации Паде rn^rn (w).

Отметим также, что именно этот алгоритм К. О. Геддеса реализован в пакете Maple (команда chebpade для вычисления нелинейной аппроксимации Паде — Чебышева). Возможности вычисления линейных аппроксимаций Паде — Чебышева Maple не предоставляет.

В области формальной теории линейных аппроксимаций Паде — Чебышева не были выяснены причины их неединственности. Не решен также вопрос, почему, в отличие от случая классических аппроксимаций Паде, где неединственность знаменателя не приводит к неединственности самой аппроксимации, в случае линейных аппроксимаций Паде — Чебышева не наблюдается похожей ситуации. Кроме того, нахождение знаменателя аппроксимации приводит к неустойчивой задаче решения системы линейных уравнений, но вопрос корректности рассматриваемой задачи не был рассмотрен. Изучение этих вопросов и является второй задачей диссертации.

Решение этой задачи необходимо для достижения основной цели диссертации — исследования равномерной сходимости аппроксимаций ПадеЧебышева. Рассмотрим основные результаты в теории сходимости.

3. Равномерная сходимость аппроксимаций Паде ортогональных разложений. В диссертационной работе предполагается построить полную теорию равномерной сходимости некоторой строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде — Чебышева типа (n, m). Поясним, что подразумевается под строчной последовательностью.

Набор классических аппроксимаций Паде принято записывать в виде таблицы Паде, располагая в ее т-й строке и п-м столбце аппроксимацию Паде типа (п, т). Для линейных аппроксимаций Паде — Чебышева было бы ие совсем корректно говорить о таблице Паде — Чебышева, поскольку такая аппроксимация находится, вообще говоря, неединствснным образом и в одной ячейке таблицы оказалось бы несколько рациональных дробей. Однако если зафиксировать т и считать п —" оо, то соответствующий набор линейных аппроксимаций Паде — Чебышева типа (п, т) для некоторых номеров т будет определяться единственным образом и может рассматриваться как строка с номером т.

Основы теории сходимости аппроксимаций Паде ортогональных разложений были заложены С. П. Суетиным в [22]—[26]. В частности, им был полностью решен вопрос сходимости по емкости любой строчной последовательности аппроксимаций Паде ортогональных разложений. Что касается равномерной сходимости, то С. П. Суетиным был получен первый серьезный результат в этой области — аналог классической теоремы Монтессу де Болора для линейных и нелинейных аппроксимаций Паде ортогональных разложений [22, 23]. Позже аналог теоремы Монтессу был доказан и Д. С. Любинским и А. Сиди в [42], но при более сильных ограничениях. Отметим, что некоторые вопросы сходимости диагональных аппроксимаций Паде ортогональных разложений изучены в работах [14], [24], [35].

Таким образом, на сегодняшний день единственным результатом в теории равномерной сходимости строчных последовательностей линейных аппроксимаций Паде — Чебышева является результат С. П. Суетина, полученный им в более общей ситуации аппроксимаций Паде ортогональных разложений (как линейных, так и нелинейных) [22, 23]. Номер т в работе С. П. Суетина равен числу Л полюсов аппроксимируемой мероморфной функции a (z) в некотором эллипсе с фокусами в —1,1.

Приведем наиболее существенные для нас результаты С. П. Суетина. Для любого Л через D обозначим максимальную каноническую область, в которую a (z) продолжается как мероморфная функция, число полюсов которой < Л. Пусть Rn,{z) — линейная и Fn}(z) — нелинейная аппроксимации Паде ортогональных разложений для функции a (z).

Теорема 0.1. Если функция a (z) имеет в области D ровно, А полюсов, то.

Rn,{z) a (z), n оо, равномерно в сферической метрике внутри D.

Теорема 0.2. Если функция a (z) имеет в области D ровно, А полюсов, то при любом достаточно большом п существует аппроксимация Fn,(z) типа (п, Л) для функции a (z) и.

Fn,(z) a (z), п оо, равномерно в сферической метрике внутри D.

Заметим, что в сформулированных теоремах можно говорить и о равномерной сходимости по обычной метрике в С, но в этом случае из множества D необходимо выбросить полюсы аппроксимируемой функции.

Приведенные теоремы являются аналогами теоремы Монтессу де Боло-ра, которая применяется к функции a (z) мероморфной в круге D и имеющей внутри него, А полюсов. В таком случае теорема Моитессу утверждает, что строка аппроксимаций Паде с номером, А сходится равномерно на компактах в круге D с выброшенными полюсами функции a (z).

Таким образом, в случае как классических аппроксимаций Паде, так и аппроксимаций Паде ортогональных разложений, для строки с номером, А наблюдается «идеальная» ситуация. Полюсы аппроксимаций стремятся к полюсам функции a (z), причем каждый полюс a (z) «притягивает» столько полюсов аппроксимаций, какова его кратность. Предельными точками множества полюсов аппроксимаций Паде являются полюсы a (z) и «лишних» предельных точек не появляется.

Ситуация усложняется при переходе к другим строкам уже даже в случае классических аппроксимаций Паде. Оказывается, что предельные точки полюсов аппроксимаций Паде могут не совпадать с множеством полюсов аппроксимируемой функции. Ясно, что для построения полной теории равномерной сходимости необходимо описать это множество «лишних» предельных точек.

Для строки с номером Л — 1 эта задача была успешно решена В.М. Аду-ковым [28, 29]. Как оказалось, асимптотическое поведение полюсов классических аппроксимаций Паде для данной строки полностью определяется рациональной частью (т.е. суммой главных частей лорановских разложений в окрестностях полюсов) аппроксимируемой мероморфной функции a (z). Для рациональной же функции автору удалось явно вычислить предельные точки полюсов аппроксимаций.

Как будет показано в настоящей работе линейные аппроксимации Паде.

— Чебышева типа (п, Л — 1) для мероморфной функции также определяются единственным образом. В связи с этим естественно поставить вопрос о равномерной сходимости последовательности аппроксимаций в строке с номером га = А — 1.

Итак, основной задачей диссертации является построение полной теории равномерной сходимости строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде — Чебышева типа (n, Л — 1) мероморфной функции. Это означает, что необходимо явно в терминах аппроксимируемой функции найти все сходящиеся подпоследовательности аппроксимаций данной строки, найти все предельные точки полюсов этих аппроксимаций и явно указать множества равномерной сходимости всей строки.

Как будет показано в диссертации, для линейных аппроксимаций Паде.

— Чебышева справедливы аналоги результатов В. М. Адукова. Будет установлено, что и в этом случае картина сходимости полностью определяется рациональной частью аппроксимируемой функции. Удивительно, что для таких разных вообще-то конструкций, как аппроксимация Паде и линейная аппроксимация Паде — Чебышева, геометрия множества предельных точек оказалась абсолютно одинаковой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации решены основные задачи теории блочных (Т + //^-матриц с использованием нового в этой области метода существенных многочленов. Разработанный аппарат успешно применен к решению вопросов формальной теории линейных аппроксимаций Паде — Чебышева. Построена полная теория равномерной сходимости строчной последовательности аппроксимаций типа (п, X — 1) для мероморфной функции, имеющей, А полюсов в некотором эллипсе.

Получены следующие результаты.

• Описана структура ядра блочных теплиц-плюс-ганкелевых матриц, решена задача обращения и обобщенного обращения блочных (Т + Н)-матриц.

• Получена параметризация числителя и знаменателя линейной аппроксимации Паде — Чебышева. Найден критерий единственности знаменателя и получено достаточное условие единственности самой аппроксимации Паде — Чебышева. С помощью данного критерия доказана единственность знаменателя аппроксимации Паде — Чебышева типа (n, А —1) для мероморфной функции. Решен вопрос корректности рассматриваемой задачи.

• Получена явная формула для знаменателей аппроксимаций Паде — Чебышева тина (n, А — 1) и найдены предельные точки полюсов аппроксимаций для рациональной функции. Показано, что асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций для мероморфной функции будет таким же, как и поведение знаменателей аппроксимаций для рациональной части этой функции. Построена полная теория равномерной сходимости строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде — Чебышева типа (n, А — 1) мероморфной функции. Описаны области равномерной сходимости этой последовательности.