Распространение и взаимодействие волн в каналах

Работа посвящена описанию длинных линейных и нелинейных волн в каналах произвольного поперечного сечения. Предполагается, что характерный масштаб движения вдоль дна канала / много больше характерной глубины потока К. Используются уравнения теории мелкой К воды, а также уравнения следующего приближения по — - уравнения I типа Буссинеска [38]. Способ вывода таких уравнений для каналов произвольного сечения предложен в этой работе.

Имеется много работ, посвященных длинным волнам в неограниченном бассейне, на шельфе, а также в каналах прямоугольного сечения с постоянной глубиной или глубиной, меняющейся в зависимости только от координаты вдоль канала [22, 25, 29, 30, 37, 44, 45, 46, 52, 62, 70]. Описанию длинных волн в каналах произвольного поперечного сечения посвящено значительно меньше работ [22, 43, 47, 63, 64, 68].

Поперечный рельеф дна существенно влияет на процесс распространения волн в мелких каналах. В каналах непрямоугольного сечения появляются качественно новые особенности процесса распространения волн по сравнению с волнами в каналах прямоугольного сечения. Приведем два примера. Известно, что для некоторых форм поперечного сечения в канале могут существовать прыжки понижения уровня [33], в то время, как в прямоугольном канале возможны только прыжки повышения уровня. Волны в прямоугольном канале, которые описываются уравнениями теории мелкой воды, не обладают дисперсией. Если же сечение не прямоугольное, а, например, ступенчатое, то, как следует, в частности, из результатов этой работы, даже в рамках теории мелкой воды возникает дисперсия волн.

Описание влияния неровности дна, а также отражения от берегов, на распространение и взаимодействие волн представляет интерес как с точки зрения развития общей теории волн, так и с точки зрения приложений.

Содержание диссертации можно разбить на две части. В первой части (главы 1,11) рассмотрены относительно узкие каналы при условиях т «1 ^ т «1 (2> где /, И, Ъ — типичные длина волны, глубина и ширина потока соответственно. При этом отдельно изучались каналы с & ~ /г и & < /1. При выполнении условия (2) естественно вводить среднюю по сечению скорость вдоль канала и изучать зависимость этой средней скорости, а также площади живого сечения потока, от продольной координаты х и времени t. Таким образом при условиях (1), (2) получается квазиодномерная задача.

Во второй части работы (главы III, IV) изучаются волны в относительно широких каналах, для которых выполнено условие (1) и Ъ к. В этом случае задача получается двумерной, в уравнения входит средняя по глубине скорость с компонентами как вдоль, так и поперек канала, зависящими как от продольной координаты х, так и от поперечной координаты у.

В первой главе предлагается метод получения одномерных уравнений, описывающих длинные нелинейные волны в каналах произвольного поперечного сечения с учетом поперечного ускорения частиц жидкости (приближение Буссинеска). Для каналов с некоторыми заданными формами поперечного сечения эти уравнения выписаны в явной форме. При выводе уравнений Буссинеска малость амплитуды волны не предполагается. Получаемые уравнения являются уравнениями относительно площади живого сечения (или глубины) и средней по сечению продольной скорости потока. Способ получения уравнений, примененный в этой работе, основан на рассмотрении уравнений Лагранжа для некоторого жидкого объема. При этом используется полученное в работе приближенное выражение для кинетической энергии движения в плоскости поперечного сечения русла. Получение явного вида уравнений для конкретных русел связано только с вычислением некоторых известных интегралов по площади поперечного сечения потока.

В этой же главе выводятся уравнения Буссинеска для волн в узких по сравнению с глубиной каналах. Уравнения Буссинеска и уравнения следующего приближения для рассматриваемых узких каналов записываются в явном виде для потоков в руслах с произвольной формой поперечного сечения.

Во второй главе сначала излагаются известные сведения, касающиеся уравнений Сен-Венана и уравнений теории кинематических волн, которые необходимы для дальнейшего изложения. Далее с помощью полученных в первой главе уравнений Буссинеска исследуется устойчивость однородных потоков в наклонных каналахпри этом необходим учет трения. В первой части исследования для трения принимаются формулы, используемые в гидравлике. Показано, что если параметры потока и русла удовлетворяют условию, а — и > с, то амплитуды всех малых возмущений растут. Здесь, а и и ± с — скорости малых крупномасштабных и мелкомасштабных возмущений соответственно, и — скорость однородного потока. При, а — и < с растут амплитуды возмущений с волновыми числами к, большими ко. где ко определяется формой русла и параметрами исследуемого однородного потока. В общем случае fco велико, то есть растут амплитуды очень коротких волн. Такие волны не описываются уравнениями, основанными на предположениях мелкой воды, в частности уравнениями Буссинеска, поэтому полученный результат не означает неустойчивости любого однородного потока. Если поток таков, что, а — и меньше с, но близко к с, то величина ко мала, и, следовательно, будут расти и амплитуды длинноволновых возмущений, описываемых уравнениями Буссинеска. Это означает неустойчивость таких потоков. Таким образом, учет дисперсии расширяет границы области неустойчивости в пространстве параметров потока и русла, определяемые теорией мелкой воды.

Во второй части исследования дополнительно учитывается внутренд^и нее трение: в уравнение Буссинеска добавляется член вида 2 • Член такого вида включался ранее при изучении турбулентных течений. Показано, что при выполнении условия, а — и < с и при ± > ??i, где? j, вычисляется известным образом через параметры потока, поток устойчив. При, а — < с ц < (ii растущие возмущения соответствуют волновым числам к, удовлетворяющим неравенству |fci| < |fc| < |&2|, причем |/сх, 21 > N. Поэтому при /i < /ii, так же, как при /л = 0 из полученного роста возмущений следует неустойчивость только при малых к. Величина к для заданного потока зависит от величины /л.

В этой же главе изучены бегущие волны в наклонных каналах с текущей жидкостью, когда перед и за волной течение жидкости однородно.

Такие волны описывают, в частности, структуру кинематического разрыва и гидравлического прыжка.

В задаче о бегущих волнах рассматриваются решения вида и = 5 =? = х — изЬ. Исследование сводится к построению интегральных кривых в трехмерном пространстве, соединяющих особые точки, соответствующие однородным потокам. Определены типы особых точек в зависимости от параметров однородных потоков. Указаны в явном виде ситуации, когда при заданном течении перед волной течение за волной при заданной скорости условиями на разрывах определяется неоднозначно. Примером русла, где это может иметь место, является русло с сечением в виде изломанного треугольника, то есть русло, уклон бортов которого на некоторой глубине меняется скачком. Показано, что в таком русле могут существовать бегущие волны как повышения, так и понижения уровня. Показано, что интегральные кривые, соответствующие структуре кинематических разрывов, соединяют две ближайшие особые точки. Приведены примеры полученных численно решений, представляющих структуру кинематического разрыва в русле с сечением в виде изломанного треугольника.

В этой же главе проведено исследование структуры гидравлического прыжка на основе уравнений Буссинеска. Выписаны условия, при которых на заднем фронте гидравлического прыжка имеются колебания. Приведены примеры полученных численно решений структуры гидравлического прыжка в канале с сечением в виде изломанного треугольника.

В третьей главе в рамках теории мелкой воды рассматриваются двумерные волны малой амплитуды в широких каналах со сложной формой поперечного сечения, в частности, ступенчатой. Численно и аналитически изучены свойства линейных волн в таких каналах. Показано, что неровность дна приводит к дисперсии волн даже в рамках теории мелкой воды. Исследованы волны в канале со ступенчатым дном (глубина в центральной части равна /12, у берегов — Н < Н^). Получены дисперсионные соотношения. Описаны свойства линейных волн. Волны с фазовыми скоростями, большими fghi, но меньшими л/дк2, обладают таким свойством, что их амплитуда на мелкой части значительно превышает амплитуду волн на глубокой части. В теории волн на шельфе аналогичные волны называются береговыми или захваченными. Изучено поведение групповых скоростей волн сд — <1и/(1кх. Для волн с фазовыми скоростями, равными у/дЬ,^ групповая скорость, в отличие от волн на шельфе, не равна фазовой. Известно, что группы волн с — 0 затухают медленнее, чем все остальные. Численное исследование дисперсионных кривых для канала со ступенчатым дном показывает, что точки, где ?2и/(1к1 = 0, существуют на всех дисперсионных кривых.

В этой же главе рассмотрено нелинейное трехволновое взаимодействие волн. Проведено подробное исследование трехволнового взаимодействия для канала со ступенчатым профилем дна. Показано, что в таком канале могут существовать тройки волн с некратными частотами, удовлетворяющие условию резонанса. Получены явные выражения для коэффициентов уравнений, описывающих трехволновое взаимодействие в канале со ступенчатым дном.

С помощью численного исследования получены следующие выводы о поведении амплитуд волн при их нелинейном взаимодействии.

Взрывная неустойчивость не наблюдается. Амплитуды всех волн изменяются периодически. Волна с наибольшей частотой возбуждает волны низших мод (волна накачки), то есть волны с высшими частотами являются распадно неустойчивыми. Таким образом при наличии фонового волнения далее малой амплитуды, волны высших мод, вообще говоря, распадаются на волны более низких мод, передавая им свою энергию. В свою очередь, эти более низкие моды передают свою энергию еще более низким модам. Только волны, соответствующие нулевой и первой нечетной модам, практически не меняют амплитуду при взаимодействии с малыми возмущениями в виде остальных волн. В этом смысле волны высших мод могут быть названы распадно неустойчивыми, а волны, соответствующие нулевой четной и первой нечетной модам — устойчивыми.

В четвертой главе рассматриваются нелинейные волны малой амплитуды в широких горизонтальных каналах. Получена новая форма двумерного уравнения Буссинеска, в котором в качестве искомой функции выступает потенциал скорости на невозмущенной поверхности. Рассмотрено распространение солитона вдоль неровности дна в бассейне, имеющем форму канала, то есть при наличии двух берегов. При этом глубина канала является функцией, слабо зависящей от поперечной координаты то есть Н = Hq + ah (y), Щ = const, < 1.

Наличие неровности дна и берегов приводит к тому, что в хвостовой части уединенной волны образуется система двумерных синусоидальных волн. Фазовая скорость хвостовых волн в направлении канала совпадает со скоростью солитона, а групповая скорость — меньше скорости солитона. Таким образом неровность дна канала в поперечном.

— 12 направлении и наличие берегов приводят к потере солитоном энергии за счет излучения хвостовых волн, и его затуханию.

Исследована зависимость длины и амплитуды излучаемых волн от ширины канала и амплитуды солитона. При увеличении ширины канала или амплитуды солитона длина хвостовых волн увеличивается. Для канала заданной ширины амплитуда хвостовых волн зависит от амплитуды солитона немонотонно, достигая максимума при некотором ее значении.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие результаты:

1. Выведены одномерные уравнения, приближенно описывающие длинные волны на поверхности идеальной жидкости в каналах произвольного сечения, учитывающие дисперсию волн (уравнения типа Бусси-неска). При выводе этих уравнений малость амплитуды не предполагалась. Для ряда конкретных форм поперечного сечения уравнения получены в явном виде.

2. Предложена модель типа Буссинеска для описания длинных волн, распространяющихся по текущей жидкости в наклонных каналах, с учетом трения.

3. С помощью уравнений этой модели проведено исследование устойчивости однородных течений жидкости в наклонных каналах. Показано, что учет дисперсионных членов приводит к расширению области неустойчивости в пространстве параметров потока.

4. Изучены бегущие волны в канале с текущей жидкостью, когда перед и за волной течение жидкости однородно. Такие волны описывают, в частности, структуру кинематического разрыва и гидравлического прыжка. Задача о бегущих волнах сводится к исследованию интегральных кривых в трехмерном пространстве, соединяющих особые точки, соответствующие однородным потокам. Определены типы особых точек в зависимости от параметров потока и скорости волны.

5. Исследованы решения, описывающие структуру кинематических разрывов. Указаны в явном виде ситуации, когда при заданном течении перед волной течение за волной при заданной скорости условиями на разрывах определяется неоднозначно. Проведено численное исследование структуры кинематических волн в русле с сечением в виде изломанного треугольника. В таком русле могут существовать волны как повышения, так и понижения уровня. Показано, что интегральные кривые, соответствующие структуре кинематических разрывов, соединяют две ближайшие особые точки.

6. Исследована структура гидравлического прыжка на основе уравнений Буссинеска. Выписаны условия, при которых гидравлический прыжок имеет колебательную структуру.

7. С использованием уравнений теории мелкой воды исследовано распространение двумерных волн в длинных горизонтальных каналах со сложной формой поперечного сечения. Подробно изучены линейные волны в каналах со ступенчатым поперечным сечением. Найдены зависимости и (к) для различных типов волн, демонстрирующие наличие дисперсии. Выявлены отличия волн в таких каналах от волн на шельфе и от волн в каналах прямоугольного поперечного сечения.

8. Исследовано нелинейное взаимодействие троек волн малой амплитуды в длинных горизонтальных каналах со сложной формой поперечного сечения. Показано, что в каналах со ступенчатым профилем дна может существовать резонансное взаимодействие волн с некратными частотами. При этом происходит распад волн высших мод на волны низших мод.

9. Выведена новая форма двумерного уравнения Буссинеска для канала с неровным дном. Полученное уравнения представляет собой уравнение для потенциала скорости на невозмущенной поверхности.

— 119.

10. Найдены хвостовые волны, порождаемые движением солитона малой амплитуды в канале с неровным дном. Фазовая скорость этих волн совпадает со скоростью солитона, а их групповая скорость меньше скорости солитона. Исследована зависимость длины и амплитуды хвостовых волн от ширины канала, амплитуды солитона и степени неровности дна. Оценены потери энергии солитона, связанные с излучением хвостовых волн.